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• Daniel Pinzon

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Solución

Situación 1: Leyes del movimiento de Newton Marco Teórico

En su obra Philosophiae naturalis principia matemática Newton define sus famosas tres leyes, según este famoso escrito el autor define la segunda ley como: Newton (1687), Lex II: Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impresae, et fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur.

Traducción: El cambio de movimiento es directamente proporcional a la fuerza motriz impresa y ocurre según la línea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime.

De esta manera Newton nos presentaba su planteamiento, pero esta definición no sería clara si no se hiciese una interpretación matemática que acompañase a su interpretación conceptual es allí donde aparece la ecuación que nos permite ver este concepto en un modelo matemático.

∑

𝐹 =𝑚∗𝑎

Donde podemos interpretar que: Física.Unav.edu (S.f). Física. https://www.unav.edu/documents/11302/1978541/T_Fisica.pdf/. Define lo siguiente:

“La física es una ciencia de gran importancia que se encuentra presente en una gran parte de los ámbitos de nuestra sociedad, con múltiples aplicaciones en otras áreas científicas como las telecomunicaciones, instrumentación médica, biofísicas y nuevas tecnologías, entre otras”.

Magnitud vectorial. Escuela pública digital (S.f) Magnitud vectorial http://contenidosdigitales.ulp.edu.ar/exe/fisica/magnitudes2.html. Define lo siguiente: “Son aquellas que además de un valor numérico y su unidad debemos especificar su dirección y sentido.

Entonces si medimos la velocidad que posee un animal como por ejemplo el guepardo, y nos da como resultado una medida de 25 metros por segundo, necesitamos además conocer cuál es la dirección y sentido en que se mueve el cuerpo. Por lo cual se puede decir que la velocidad es una magnitud vectorial”.

F (Fuerza): En física, la fuerza es una magnitud vectorial que mide la razón de cambio de momento lineal entre dos partículas o sistemas particulares.

M(Masa): La masa es una magnitud física fundamental que indica la cantidad de materia contenida en un cuerpo. Como ya hemos visto anteriormente, la unidad de medida de la masa, según el S.I (Sistema internacional de unidades) es el kilogramo (kg).

A(aceleración): La aceleración es la magnitud física que mide la tasa de variación de la velocidad respecto del tiempo. Las unidades para expresar la aceleración serán unidades de velocidad divididas por las unidades de tiempo (en unidades del sistema internacional generalmente).

No debe confundirse la velocidad con la aceleración, pues son conceptos distintos, acelerar no significa ir más rápido, sino cambiar de velocidad.

Para entender esta fórmula, debemos entender previamente que tanto la fuerza como la aceleración son magnitudes vectoriales, es decir además de tener un valor, tienen una dirección y un sentido.

Una vez definida la segunda ley de newton y los conceptos que la integran es importante aclarar que este planteamiento es considerado si la masa del cuerpo es constante, para otros casos como por ejemplo cuando un cohete va quemando combustible, no es válida la relación F=m*a, para estos casos debemos primero incluir una nueva magnitud física cantidad de movimiento o momento lineal, la cual podemos definir como p=m*v la cual es una magnitud vectorial y, en el sistema internacional se mide en Kg m/s, definimos ahora la fuerza en términos de esta nueva magnitud tenemos

𝐹=

𝑑𝑃 𝑑𝑇

Ejemplo Un cuerpo con una masa de 10 kg (m), se suelta a una altura de 300 m sin velocidad inicial, el cuerpo encuentra resistencia al aire (Ra) proporcional a su velocidad, si la velocidad límite es de 95 ms. Encontrar:

A. B.

La velocidad del cuerpo en un tiempo t La posición del cuerpo en un tiempo t

Solución Cambia Ra por KV, kv= constante de la velocidad para representar la proporcionalidad a la velocidad, ya que la resistencia al aire es proporcional a la velocidad según nos lo plantea el problema

𝑊 − 𝐾𝑉 = 𝑚 ∗ 𝑎

Reemplazamos a y W

𝑚 ∗ 𝑔 − 𝐾𝑉 =

𝑚 ∗ 𝑑𝑣 𝑑𝑡

Despejamos para encontrar nuestra ecuación 𝑑𝑣 𝐾𝑉 𝑑𝑡+ 𝑚=

𝑔

Sustituimos valores 𝑑𝑣 𝑑𝑡

+

𝐾𝑉 10

=10

Buscamos el factor integrante 𝑘 𝑘 𝑑𝑡 = 𝑒 𝑡 10 10

µ (𝑡)𝑒 ∫

𝑣 = µ(𝑡) 𝑣=

1 ∫ 𝑒 𝑘 𝑡 𝑒 10 −𝑘

𝑣 = 𝑒 10 𝑡

100 𝑘 100 −𝑘 𝑒 𝑡 + 𝑐); 𝑣 = + 𝑐𝑒 𝑡 10 10 𝑘 𝑘

𝑣 = (∞) = 95

95 =

𝑘 1010 𝑑𝑡

𝑚 𝑠

Velocidad limite

100 100 20 ;𝑘 = ;𝑘 = 𝑘 95 19

V (0) = 0 valor inicial, donde se suelta

0=

100 −𝑘 100(19) (0) = + 𝐶𝑒 = + 𝐶; 𝐶 = −95 20 10 20 19

20

−𝑘 100 100 19 𝑣= + 𝑐𝑒 10 𝔱 ; + (−95)𝑒 10 𝑡 𝑘 20

19

A. La derivada del cuerpo en un tiempo t. −2

𝑣 = 95 − 95𝑒 19 𝑡 => la velocidad en un cuerpo en un tiempo t

B. La posición de un cuerpo en un tiempo t. 𝑉=

∫

𝑑𝑥 ; 𝑑𝑥 = 𝑣𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝑑𝑥 = ∫

𝑥 = 95𝑡 +

𝑣𝑑𝑡; 𝑥 = 𝑣 ∗ 𝑡 + 𝑐

95(19) −2 𝑒 19 20

𝑡

+𝑐

𝑡(0) = 10 𝑥(0) = 300𝑚 300 = 905.5 + 𝑐; 𝑐 = 300 − 902.5 = 602.5 2

𝑥 = 95𝑡 + 902.5𝑒 19 𝑡 − 602.5 => La posición del cuerpo en un tiempo t

Situación 2: Problemas combinados de crecimiento y decrecimiento Marco Teórico

El matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizo el termino funciones crecientes y decrecientes para referirse a varios aspectos de una curva, como pendiente. (1964). Hasta que fue definido por un matemático alemán, J.P.G Lejeune-dirichlet quien escribió: “una variable es un símbolo que representa un numero dentro de un conjunto de ello” (1829). Según la Universidad de Salamanca “La ecuación diferencial ay dt/dy = nos dice que la variación con el tiempo de una cantidad y es proporcional a y. Si la constante de proporcionalidad a es positiva siendo y positivo, entonces dy/dt es positivo e y aumenta. En este caso hablamos de que, y crece, y el problema es de crecimiento. Por otro lado, si a es negativo siendo y positivo, entonces dy/dt es negativo e y decrece. Aquí el problema es uno que involucra decrecimiento. Puesto que la solución de ay dt/dy = identificada como una ecuación de variables separadas está dada por la función exponencial y = ce at, resolviendo mediante integración, definiéndose la ecuación diferencial ay dt dy = como la ley de crecimiento exponencial si a > 0 y la ley de decrecimiento exponencial si a