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ACTIVIDAD EVALUATIVA EJE 2 Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales. Foro de debate

Presentado a: SILVIA REBECA VEGA RIAÑO

Presentado por: EDGAR ADRIAN GUZMAN VARGAS Grupo 012 JOSE GILDARDO GUTIERREZ PICO Grupo 012 JUAN DAVID CASTRILLON GOMEZ Grupo 011 JUAN DAVID PÉREZ LEMUS Grupo 012

FUNDACIÓN UNIVERSITARIA DEL AREA ANDINA Ingeniería de Sistemas Virtual Ecuaciones Diferenciales Bogotá, Colombia Febrero de 2020

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Intereses y Expectativas. Juan David Castrillón Gómez. Edgar Adrián Guzmán Vargas José Gildardo Gutiérrez Pico. Juan David Pérez Lemus

3 3 3 3 4

Introducción

4

Situación 1. Leyes del movimiento de Newton. Introducción Marco teórico Ejemplo Situación 1. Leyes del movimiento de Newton. Conclusiones

4 4 5 6 8

2. Problemas de crecimiento y decrecimiento. Introducción Marco Teórico Ejemplo Situación 2. problemas de crecimiento y decrecimiento. Conclusión

8 8 9 9 11

3. Circuitos Electricos. Introducción. Marco Teórico Ejemplo Situación 3. descarga de un inductor Conclusión

11 11 12 13 16

Conclusiones generales

17

Referencias

18

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Intereses y Expectativas. Juan David Castrillón Gómez. Mi interés al indagar sobre la aplicación de las ecuaciones diferenciales en distintas áreas, es adquirir conocimiento práctico y efectivo de esta rama de las matemáticas para interpretarlas de la mejor manera y facilitar así su entendimiento. Considero que al aprender con casos reales y situaciones cotidianas se me hará más fácil el uso de ecuaciones diferenciales en mi área profesional cuando así se requiera. Por otra parte, tengo la gran expectativa de conocer cómo las ecuaciones diferenciales hacen parte de los fenómenos naturales y la proyección y solución de situaciones de carácter cotidiano. Me genera gran expectativa el saber cómo aplicar esta área en la ingeniería de sistemas.

Edgar Adrián Guzmán Vargas Las matemáticas facilitan en gran medida la vida al hacer posibles analizar y crear modelos matemáticos que permitan hacer observaciones precisas, el interés que tengo es aprender más sobre las aplicaciones matemáticas y en un caso más preciso sobre las ecuaciones diferenciales, con lo cual espero del mismo modo tener un mejor entendimiento y capacidad de análisis para resolver problemas que precisen abordarlos mediante este tipo de ecuaciones.

José Gildardo Gutiérrez Pico. Actualmente en la empresa donde laboro existen varios departamentos de ingeniería, como son Hidrología, Eléctrica, Mecánica, Estructural, Vías, Geotecnia, a estos debo prestarles servicio técnico en sistemas y veo como rutinariamente emplean fórmulas matemáticas que calculan por ejemplo las fuerzas de los materiales de una represa que genera energía eléctrica, esto ha hecho que también tenga que estar aprendiendo sobre estos sistemas aplicados a la ingeniería, actualmente hay una sección llamada Análisis Matemático que se encarga de escribir fórmulas complejas que ayuden a mejorar los cálculos a la hora de diseñar los modelos.

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Juan David Pérez Lemus El interés que tengo con respecto a la materia en general y en este tipo de trabajos en el cual se profundiza en las ecuaciones diferenciales es poder entender al detalle que sus aplicaciones y usos se ven implícitas en cualquier aspecto o escenario común del día a día, simplemente es analizar y darse cuenta que las ecuaciones están allí presentes en todos los aspectos de la vida. Por otro lado mis expectativas al realizar este trabajo es afianzar y consolidar el conocimiento que tengo en las ecuaciones diferenciales de cualquier tipo, descubriendo y aprendiendo en cada trabajo de este tipo que las matemáticas es una materia infinita y que siempre se aprende cada día más de algo nuevo a pesar que crea que ya lo sé lo suficiente, todo esto para tener la idoneidad, las aptitudes, actitudes y la capacidad del día de mañana en ser un ingeniero de sistemas profesionalmente en todo el sentido de la palabra.

Introducción En su gran mayoría los sistemas que conforman nuestra sociedad humana así como nuestro entorno natural están sometidos a un patrón interminable el cambio, es allí donde entran las matemáticas como herramientas útiles para investigar, analizar, dichos fenómenos como son el movimiento de planetas, desintegración de sustancias radiactivas, crecimiento poblacional, modelos económicos, entre otros, y las ecuaciones diferenciales permiten generar modelos matemáticos que aborden estos problemas y brindan un entendimiento acerca de nuestro entorno.

Situación 1. Leyes del movimiento de Newton. Introducción Las leyes planteadas por Newton, han permitido expresar el comportamiento de la naturaleza en forma de leyes, con lo que permitió un gran avance científico y tecnológico luego de su planteamiento, pero es importante recalcar que no hubiese sido posible sin el descubrimiento del cálculo como base matemática para llegar a estas conclusiones y hallazgos, las leyes del movimiento han permitido como se mencionó anteriormente expresar el comportamiento de la naturaleza en forma de leyes matemáticas, es gracia a esto que podemos analizar matemáticamente problemas como la caída de un objeto desde una cierta distancia y poder estudiar no solo su velocidad sino también su posición, lo cual podemos extrapolar a problemas de mayor complejidad como pueden ser problemas de ingeniería en donde tengan que analizar dichos cambios en función del tiempo, este tipo de problemas sin estas “herramientas” de análisis matemáticas hubiese sido demasiado complicado o imposible de analizar, es allí donde radica la importancia de las ecuaciones diferenciales y su conveniencia como herramienta de análisis matemático. 4

Marco teórico En su obra Philosophiæ naturalis principia mathematica Newton define sus famosas tres leyes, según este famoso escrito el autor define la segunda ley como: Newton (1687), Lex II: Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae, et fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur.

Traducción: El cambio de movimiento es directamente proporcional a la fuerza motriz impresa y ocurre según la línea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime.

De esta manera Newton nos presentaba su planteamiento, pero esta definición no sería clara si no se hiciese una interpretación matemática que acompañase a su interpretación conceptual es allí donde aparece la ecuación que nos permite ver este concepto en un modelo matemático. ❑

❑ F=m∗a ∑ ❑ Donde podemos interpretar que: F (Fuerza): En física, la fuerza es una magnitud vectorial que mide la razón de cambio de momento lineal entre dos partículas o sistemas de partículas. m (Masa): La masa es una magnitud física fundamental que indica la cantidad de materia contenida en un cuerpo. Como ya hemos visto anteriormente, la unidad de medida de la masa, según el S.I (Sistema Internacional de Unidades) es el Kilogramo (Kg). a (aceleración): La aceleración es la magnitud física que mide la tasa de variación de la velocidad respecto del tiempo. Las unidades para expresar la aceleración serán unidades de velocidad divididas por las unidades de tiempo (en unidades del Sistema Internacional generalmente). No debe confundirse la velocidad con la aceleración, pues son conceptos distintos, acelerar no significa ir más rápido, sino cambiar de velocidad.

Para entender esta fórmula, debemos entender previamente que tanto la fuerza como la aceleración son magnitudes vectoriales, es decir además de tener un valor, tienen una dirección y un sentido.

5

Figura 1. Segunda ley de Newton

Una vez definida la segunda ley de Newton y los conceptos que la integran es importante aclarar que este planteamiento es considerado si la masa del cuerpo es constante, para otros casos como por ejemplo cuando un cohete va quemando combustible, no es válida la relación F=m∗a, para estos casos debemos primero incluir una nueva magnitud física cantidad de movimiento o momento lineal , la cual podemos definir como p=m∗v la cual es una magnitud vectorial y, en el Sistema Internacional se mide en Kg m/s, definimos ahora la fuerza en términos de esta nueva magnitud tenemos F=

dP dT

Ejemplo Situación 1. Leyes del movimiento de Newton. Segunda ley de Newton ❑

❑ F=m∗a ∑ ❑ dv dt w=m∗g m m g=9.8 2 ≈ 10 2 s s m=10 kg a=

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Un cuerpo con masa de 10 Kg (m), se suelta a una altura de 300 m sin velocidad inicial, el cuerpo encuentra resistencia al aire ( Ra ) proporcional a su m velocidad, si la velocidad límite es de 95 . Encontrar s A. La velocidad del cuerpo en un tiempo t. B. La posición del cuerpo en un tiempo t.

R a

m=10 kg g=9.8 m/s^2

W-Ra = m*a

Figura 2. Segunda ley de Newton

w

Cambia Ra por KV , kv = Constante de la velocidad para representar la proporcionalidad a la velocidad, ya que la Resistencia al aire es proporcional a la velocidad según nos lo plantea el problema W −KV =m∗a Reemplazamos a y W m∗dv m∗g−KV = dt Despejamos para encontrar nuestra ecuación dv KV + =g dt m Sustituimos valores dv KV + =10 dt 10 Buscamos el factor integrante ❑

∫ ❑ 10k dt

μ(t )e

❑

k

=e 10

t

v=μ(t) v=

1 e

k t 10

❑

k dt ∫ ❑10 10

e

❑

7

−k

t

−k

v=e 10 (

t 100 k 100 e t+ c); v= +c e 10 k 10 k

m velocidad límite s 100 100 20 95= ;k= ; k= k 95 19 v(0)=0Valor inicial, donde se suelta 100(19) 100 −k 0= +Ce (0)= +C ; C=−95 20 10 20 19 v(∞)=95

v=

100 +c e k

−k t 10

20 19 t 10

100 +(−95)e ; 20 19 A. La velocidad del cuerpo en un tiempo t.

v=95−95 e

−2 t 19

;

=> La velocidad del cuerpo en un tiempo t.

B. La posición del cuerpo en un tiempo t. dx V = ; dx=vdt dt ❑

❑

∫ ❑dx=∫ ❑ vdt ; x=v∗t +c ❑

❑

t 95(19) −2 x=95 t + e 19 +c 20 −2

t

x=95 t +902.5 e 19 +c t (0)=10 x (0)=300 m 300=905.5+c ; c=300−902.5=−602.5 −2

t

x=95 t +902.5 e 19 −602.5

=> La posición del cuerpo en un tiempo t

Conclusiones La importancia de esa ecuación estriba sobre todo en que resuelve el problema de la dinámica de determinar la clase de fuerza que se necesita para producir los diferentes tipos de movimiento: rectilíneo uniforme (m.r.u), circular uniforme (m.c.u) y uniformemente acelerado (m.r.u.a).una magnitud vectorial y, en el Sistema Internacional se mide en Kg·m/s

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2. Problemas de crecimiento y decrecimiento. Introducción El estudio de la ecuación diferencial es de vital importancia dentro de campos como la ingeniería, la ciencia, matemáticas y física entre otros. Lo cual genera gran expectativa al momento de estudiar este tipo de ecuaciones para aplicar en la interpretación de distintos eventos naturales o de ciencia aplicada. Gran cantidad de fenómenos naturales se expresan en forma de ecuación diferencial constituyendo así una expresión cuantitativa de las leyes que se estudian y se presentan. Como es el caso de la segunda ley de Newton la cual es una ecuación diferencial de segundo orden. Así mismo, por medio de la experimentación, se logran estudiar y aplicar los circuitos eléctricos, que, por medio de ecuaciones diferenciales, ahora son usados en la vida cotidiana alrededor del mundo. No siempre la solución se halla de forma analítica, es necesario entonces realizar aproximaciones para buscar soluciones al comportamiento de los sistemas bajo distintos ambientes o condiciones. De esta manera, analizamos problemas combinados de crecimiento y decrecimiento con ecuaciones diferenciales, aplicados al incremento de bacterias en un cultivo durante determinado tiempo.

Marco Teórico Uno de los primeros intentos de modelar el crecimiento fue de Thomas Malthus, economista inglés en 1798. Su hipótesis se expresa de la siguiente manera: dP dP ∞ PEs decir; kP dt dt Donde k es constante. (Tomado de SD-11-Ecuaciones-diferenciales-Gómez. Recuperado el 2 de marzo de 2020. https://fcf.unse.edu.ar/archivos/series-didacticas/SD-11-Ecuacionesdiferenciales-GOMEZ.pdf). Las ecuaciones diferenciales son una herramienta fundamental en el tratamiento matemático de fenómenos dinámicos, es decir, que involucren magnitudes que cambian con el tiempo. ( Tomado de http://departamento.us.es/. Versión 22 de septiembre de 2019. Recuperado el 2 de marzo de 2020.http://departamento.us.es/edan/php/asig/GRABIO/GBM/Tema5.pdf).

Ejemplo Situación 2. Problemas de crecimiento y decrecimiento. De esta manera se plantea el siguiente problema de crecimiento y decrecimiento: 9

Un cultivo tiene una cantidad inicial Node bacterias, cuando t = 1h la cantidad de 3 medida de bacterias es N 0. Si la razón de reproducción es proporcional a la la 2 cantidad de bacterias presentes, calcule el tiempo necesario para triplicar la cantidad inicial de microorganismos. Ecuación Diferencial: dN =kN Sujeta a N (0)=N 0❑ dt Se define entonces la condición empírica: N (1) =

3 N ; para hallar k. 2 0

De la ecuación:

dN =kN dt

Pasando términos:

dN −kN =0 ; Ecuación lineal con q(x) =0. dt

Separando variables: Integramos: ∫

dN =kdt N

dN =∫ kdt+C ⇒ ln N=kt +C ⇒ N (t)=C e kt N

Cuando t=0 ⇒ N ( 0)=C e k 0 ⇒ N (0)=C De esta manera N (0)=N 0 ⇒C=N 0 Entonces: N (t )=N 0 e kt

3 3 k kt Cuando t=1 ⇒ N 0=N 0 e o bien: e = 2 2 3 De aquí que: k =ln =0,4055 2 Así: N (t )=N 0 e0,4055 t

Para establecer el momento en que se triplica la cantidad de bacterias despejamos t: 0,4055 t=ln 3 ⇒ t=

ln 3 ≈ 2.71 horas 0,4055 10

y 3 N 0

N(t)=N0e0,40 55t

N 0 Figura 3. Gráfica.

x t=2. 71

t = 0; No influyó en la definición de tiempo necesario para que el cultivo se triplicara. El tiempo requerido para aumentar la población inicial de 100 a 1.000.000 bacterias es alrededor de 2.71 horas.

Conclusión Dentro del contexto de crecimiento y decrecimiento aplicando ecuaciones diferenciales, encontramos un uso eficiente para temas agrícolas. Se pretendía evaluar el crecimiento de bacterias dentro de un cultivo en determinado tiempo y por medio de una ecuación diferencial, se halló el resultado. Utilizando el resultado obtenido, se puede prevenir y garantizar diferentes cultivos y prever cosechas, para de esta manera optimizar recursos, esfuerzos y estrategias.

3. Circuitos Eléctricos. Introducción. En cuanto a los circuitos eléctricos se refiere, es importante mencionar que para poder domesticar la energía eléctrica el hombre tuvo que experimentar para llegar a la conclusión mediante modelos matemáticos se puede estabilizar y viajar la corriente de modo seguro, es allí donde las ecuaciones diferenciales jugaron un papel importante en la generación y distribución de la energía en las grandes ciudades, estos circuitos garantizan un flujo constante de corriente que viaja a través de las redes proporcione un servicio vital para el desarrollo de la humanidad.

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Marco Teórico Dorf, R., Dorf, R. C., & Svoboda, J. A. Define lo siguiente “Un circuito consta de elementos eléctricos conectados entre sí. Los ingenieros utilizan los circuitos eléctricos para resolver problemas de importancia para la sociedad actual. En particular: 1. Los circuitos eléctricos se usan en la generación, transmisión y consumo de la potencia eléctrica y la energía. 2. Los circuitos eléctricos se emplean en la codificación, decodificación, almacenamiento, transmisión y procesamiento de la información.” En ese sentido el circuito eléctrico no solo abarca el campo de generación, transmisión y distribución de energía como un servicio público esencial, por el contrario, es fundamental en el desarrollo de las comunicaciones que a cada momento se generan. I. Campos-Canton´ a, R. E. Lozoya-Ponceb, and R.O. Lozoya-Ponceb, en su estudio “Celda lógica en un sistema bidimensional” cita en sus conclusiones lo siguiente: “Este trabajo aporta el desarrollo de un circuito electrónico que podemos denominar de nueva generación bajo la filosofía de reconfiguración, basado en envolver uno, o tres puntos fijos del sistema lineal (1), cabe mencionar que se trabaja con valores propios reales distintos.” En el trabajo desarrollado se evidencia la importancia de la aplicación de las ecuaciones diferenciales en el desarrollo de la celda en un sistema bidimensional, definiéndola como “... Celda Lógica Reconfigurable a aquel sistema que permite obtener diversas compuertas lógicas como las funciones AND, OR, XOR, sus respectivas negaciones y algunas funciones lógicas más. El término celda refiere entonces a un sistema mínimo que puede ser unido con otros idénticos a él, donde un solo sistema tiene la capacidad de emular diversas funciones lógicas, al agrupar varios de estos sistemas se obtiene un sistema de mayor complejidad, como una red neuronal.”

Ejemplo Situación 3. Descarga de un inductor Un inductor se carga y se descarga a través del circuito que se muestra en la figura. 12

Figura 4. Circuito eléctrico

Si el voltaje de la fuente E=10[V ], el valor de la resistencia es de 20[Ω] y el valor del inductor es de 2[ H ]. ✔ ✔ ✔ ✔

¿Cuál es la ecuación de carga del inductor cuando el interruptor se cierra? ¿Cuál es el tiempo de carga cuando la corriente sobre el inductor es de 0,25 [ A]? ¿En cuánto tiempo el inductor tiene el 90% de su carga total? ¿Cómo es la gráfica de carga del inductor?

Desarrollo Dado que la sumatoria de los voltajes en el circuito debe ser igual a cero, tenemos que: E=E L + E R Donde el voltaje sobre el inductor es: E L =L

dI dt

El voltaje sobre la resistencia es: E R=RI Por lo tanto, la ecuación diferencial que describe el circuito será: E=L

dI + RI dt

Organizando la ecuación diferencial tenemos: dI R E + I= dt L L Reemplazando los valores de R, L y E tenemos dI 20 10 + I= dt 2 2 dI +10 I =5 dt 13

EL factor integrante será: ❑

∫ ❑ RL dt

μ ( t ) =e

❑

R

20

t

t

=e L =e 2 =e10 t

Multiplicando el factor integrante por la ecuación diferencial tenemos: R

eL

R

R

dI R L t E t + e I= e L dt L L

t

e 10 t

dI + 10 e10 t I =5 e 10t dt R

(

R

)

d Lt E t e I = eL dt L d 10t ( e I )=5 e10 t dt R t L

❑

❑

∫ ❑d ( e I )= EL ∫ ❑e ❑

R t L

dt

❑

R t L

R

E t E e I= eL − R R −E I ( t )= e R I ( t )=

−R t L

+

E R

−10 −10 t 10 e + 20 20

I ( t )=

−1 −10 t 1 e + 2 2

La solución de la ecuación diferencial es:

(

−R t L

)

I ( t )=

E 1−e R

I ( t )=

10 ( 1−e−10 t ) 20

1 I ( t )= ( 1−e−10t ) 2 ✔ ¿Cuál es la ecuación de descarga del inductor cuando el interruptor se abre? 1 I ( t )= ( 1−e−10t ) 2

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✔ ¿Cuál es el tiempo de carga cuando la corriente sobre el inductor es de 0,25 [ A]? 1 0,25= ( 1−e−10 t ) 2 1 1 = (1−e−10 t ) 4 2 1 =1−e−10 t 2 e−10 t=

1 2

( 12 ) −1 1 t= ln ( ) 10 2

−10 t=ln

t=0,069 [ s ] ≈ 69 [ms ]

✔ ¿En cuánto tiempo el inductor tiene el 90% de su carga total? 1 1 ( 0,9)= ( 1−e−10 t ) 2 2 0,9=1−e−10 t 0,1=e−10t ln (e−10t )=ln(0,1) t=

−1 ln ( 0,1) 10

t=0,2302[s ] El tiempo que transcurre es de 0,2302[s ]y la corriente al 90% es de 0,45 [ A] ✔ ¿Cómo es la gráfica de carga del inductor?

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Figura 5. Gráfica

El eje vertical corresponde a la corriente en Amperios y el eje horizontal corresponde al tiempo.

Conclusión Se puede concluir respecto al tema de Circuitos Eléctricos, que la energía en su estado “salvaje” debe ser tratada con modelos matemáticos que permitan transportarla a través de las redes de distribución, en el ejemplo arriba citado se evidencia cómo debe ser tratada la energía cuando pasa a un estado controlado y como se aprovechan más eficientemente en la transmisión y distribución. El ejercicio pretende mostrar mediante ecuaciones las siguientes interrogaciones:

✔ ✔ ✔ ✔

¿Cuál es la ecuación de carga del inductor cuando el interruptor se cierra? ¿Cuál es el tiempo de carga cuando la corriente sobre el inductor es de 0,25 [ A]? ¿En cuánto tiempo el inductor tiene el 90% de su carga total? ¿Cómo es la gráfica de carga del inductor?

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Conclusiones generales ● Las ecuaciones diferenciales, permiten generar diferentes modelos matemáticos, que brinda herramientas a diferentes ramas de las ciencias, ingenierías, así como el ámbito económico para analizar y abordar diversos problemas que ellas afrontan. ● En términos generales podemos concluir que las ecuaciones diferenciales juegan un papel muy importante en la vida cotidiana, siendo de gran ayuda en la construcción de modelos matemáticos que permitan el desarrollo de nuevas tecnologías, así como de mejorar los procesos ya existentes, un ejemplo claro en su aplicación en el tratamiento de la Radiactividad generada por el desastre en la planta nuclear de Fukushima durante el maremoto que dejó al descubierto el reactor principal.

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Referencias Floyd, T. L., Salas, R. N., González, L. M. O., & López, G. P. (2007). Principios de circuitos eléctricos. Pearson Educación. Dorf, R., Dorf, R. C., & Svoboda, J. A. (2000). Circuitos eléctricos: introducción al análisis y diseño. Marcombo. ECUACIONES DIFERENCIALES. (2020). [ebook] Disponible: http://matema.ujaen.es/jnavas/web_recursos/archivos/continuos/modelos %20ecuaciones%20diferenciales.pdf [Consultado 28 Feb. 2020]. ECUACIONES DIFERENCIALES. (2005). [ebook] Disponible en: https://fcf.unse.edu.ar/archivos/series-didacticas/SD-11-Ecuaciones-diferencialesGOMEZ.pdf [Consultado 3 Mar. 2020]. MODELOS BASADOS EN E.D.O. (2020). [ebook] Disponible en: http://matema.ujaen.es/jnavas/web_modelos_empresa/archivos/archivos %20pdf/problemas/problemas%20continuos/pcontinuo2.pdf [Consultado 27 Feb. 2020].

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bismark sologuren (2020). Segunda ley de Newton con ecuaciones diferenciales. [video] Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=3xBQIBIM-Lo [Consultado 27 Feb. 2020] bismark sologuren (2020). Segunda ley de Newton con ecuaciones diferenciales segunda parte. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=Zn_SgxX8_LY [Consultado 27 Feb. 2020]. bismark sologuren (2020). Segunda ley de Newton con ecuaciones diferenciales tercera parte. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=Fmzm7qz4hbM [Consultado 27 Feb. 2020]. iquimicas.com. (2020). Definiciones de: masa, volumen, densidad, energía y trabajo. [online] Disponible en: https://iquimicas.com/clases-de-quimica-general-definicionesde-masa-volumen-densidad-energia-y-trabajo-leccion-de-quimica-n-2/ [Consultado 2 Mar. 2020]. Ecuaciones diferenciales. (2019). [ebook] Disponible en: http://departamento.us.es/edan/php/asig/GRABIO/GBM/Tema5.pdf [Consultado 3 Mar. 2020].

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