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ACTIVIDAD EVALUATIVA EJE 2 ECUACIONES DIFERENCIALES

ESTUDIANTES: LAURA DANIELA MOSCOSO GRUPO 042 LAURA VALENTINA ALVAREZ GRUPO 042

BOGOTÁ, AGOSTO DE 2020

INTRODUCCIÓN En el presente documento se dará respuesta a la situación propuesta para el foro grupal correspondiente al Eje 2, en el cual podremos visualizar el alcance y aplicación de las ecuaciones diferenciales en diferentes ámbitos y situaciones, lo cual nos mostrará una perspectiva mas amplia de su uso en los diferentes campos.

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TABLA DE CONTENIDO

ACTIVIDAD EVALUATIVA EJE 2 ECUACIONES DIFERENCIALES...............................1 BOGOTÁ,...................................................................................................................................1 AGOSTO DE 2020.....................................................................................................................1 INTRODUCCIÓN......................................................................................................................2 INSTRUCCIONES.....................................................................................................................4 INTERESES Y EXPECTATIVAS.............................................................................................6 DESARROLLO..........................................................................................................................7 Situación 1. Leyes del movimiento de Newton..........................................................................7 Introducción:............................................................................................................................7 Marco Teórico:............................................................................................................................7 EJEMPLO...................................................................................................................................9 Conclusión................................................................................................................................10 Situación 2. Problemas combinados de crecimiento y decrecimiento......................................10 Introducción..............................................................................................................................10 Marco Teórico:..........................................................................................................................11 Ejemplo.....................................................................................................................................11 Conclusión................................................................................................................................13 Situación 3. Circuitos eléctricos................................................................................................13 Introducción..............................................................................................................................13 Marco teórico:...........................................................................................................................13 Ejemplos:..................................................................................................................................14 Ejemplo:....................................................................................................................................14 Conclusión................................................................................................................................17 CONCLUSIONES....................................................................................................................18 BIBLIOGRAFIA.......................................................................................................................19

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INSTRUCCIONES Indicación de actividades 1.

Deben conformar grupos de 4 estudiantes.

2.

En la etapa inicial del trabajo colaborativo, cada estudiante debe indagar y proponer sus intereses y expectativas frente a los contenidos matemáticos propuestos, dando una respuesta para cada una de las tres situaciones problémicas que se proponen a continuación: Las ecuaciones diferenciales representan una herramienta muy útil para modelar matemáticamente fenómenos variados, que van desde contextos muy propios como la Ingeniería, la Estadística, la Aeronáutica, la Astronomía, la Física y la Geología hasta otros, como la Medicina, la Administración, las Finanzas y la Economía. Y en general, cualquier área del conocimiento que exija relacionar variables a través de alguna función de variable real. En este sentido, por grupo, planteen al menos una aplicación de las ecuaciones diferenciales en las siguientes tres disciplinas del conocimiento:

o

Situación 1. Leyes del movimiento de Newton.

o

Situación 2. Problemas combinados de crecimiento y decrecimiento.

o

Situación 3. Circuitos eléctricos.

Para hacerlo sigan el siguiente formato:

o

Introducción. En un párrafo corto, expliquen la importancia de la aplicación seleccionada, especificando el problema que resuelve.

4

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Marco teórico. Expliquen brevemente los conceptos tratados, debe

presentar fórmulas, gráficos, tablas, etc. En sus respuestas deben presentar por lo menos dos citas referenciadas con normas APA. o

Ejemplo. Planteen un problema, a manera de un ejemplo resuelto dónde paso a paso expliquen su solución. Deben presentar gráficos, ecuaciones o diagramas que ilustren la explicación.

o

Conclusiones. Expongan brevemente los usos de esa aplicación en el contexto seleccionado.

o

Referencias bibliográficas. Elaboren una lista de las referencias bibliográficas usadas en normas APA.

En los referentes de pensamiento de los ejes 1 y 2 aparecen ejemplos ilustrativos muy claros de las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales. Además, resulta muy útil revisar las referencias bibliográficas que se encuentran al final de cada referente de pensamiento. 2.

En grupo, deben crear y compartir un archivo en Google drive, llamado Actividad evaluativa eje 2. Allí, cada estudiante escribe sus propuestas para que sean revisadas por los integrantes del grupo. Después de consolidar el trabajo propuesto, los estudiantes deciden qué propuesta van a presentar y complementar el documento. Finalmente, en grupo, proponen un documento en Word para subir en el espacio indicado en la plataforma.

3.

Cada grupo, debe responder las tres situaciones propuestas con las indicaciones dadas en un archivo en Word, y subirlo en el espacio destinado para ello.

Después de subir su archivo al foro por cada grupo, de manera individual, cada estudiante debe ingresar a la participación de por lo menos tres estudiantes, y comentar su participación, ya sea para complementar o refutar lo expuesto. 5

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INTERESES Y EXPECTATIVAS

Laura Daniela Moscoso Sanchez:

Desde mi punto de vista espero indagar mas sobre el uso de las ecuaciones diferenciales, tanto en las situaciones planteadas como en algunas otras áreas, ya que esta rama de la matemática nos brinda un amplio conocimiento, el cual puedo aplicar en mi día a día, me parece interesante profundizar en el área, y conocer mas acerca de los problemas y/o situaciones a las cuales podamos aplicar y resolver con ayuda de las ecuaciones de primer Grado.

Laura Valentina Alvarez Sánchez: Mi interés y expectativas con la actividad a desarrollar es poder indagar y aprender más sobre ecuaciones diferenciales planteadas en diferentes temas posibles, como los propuestos en el trabajo. Adquirir conocimiento de análisis matemático entre otras.

DESARROLLO

Situación 1. Leyes del movimiento de Newton. 6

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Introducción: Como se ha podido evidenciar a lo largo del tiempo, las leyes de Newton han sido utilizadas como base de Expresión para el comportamiento de la naturaleza, sin embargo, cabe resaltar que tienen como base el calculo para su ejecución y hallazgo, como dijo Rudolf Camap “En verdad es un hecho sorprendente y afortunado que la naturaleza pueda expresarse mediante funciones matemáticas de orden relativamente bajo”. Marco Teórico: Las leyes de movimiento de Newton fueron enunciadas por primera vez en su libro publicado en (1986) conocido como Philosophiae Naturalis Principiam en el cual anuncia las leyes de la siguiente manera: PRIMERA LEY Podemos enunciarla así: «Si la fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo es nula, permanecerá a velocidad constante (en un sistema de referencia inercial)». Más precisamente:

∑ ❑ F=0 ↔ V =Constante ↔ A=0

SEGUNDA LEY El enunciado con que trabajamos es «la fuerza resultante ejercida sobre un cuerpo es igual al producto de su masa (inercia]) por la aceleración que la fuerza le produce». En símbolos:

∑ ❑ F=M . A TERCERA LEY

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Usaremos el siguiente enunciado: «Cuando dos cuerpos interaccionan, la fuerza que el primer cuerpo ejerce sobre el segundo (acción) es igual y opuesta a la fuerza que el segundo ejerce sobre el primero (reacción))). En símbolos: F ( 1.2 )=F (2.1)

(edlc_a1986v4n1p51.pdf, s. f.)

Ilustración segunda ley

Recuperado de: https://sites.google.com/site/fisica1arj/home/leyes-de-newton   La segunda ley de Newton nos indica que la suma de fuerzas que actúan sobre la masa será igual a su variación de momento lineal, por tanto:

siendo g la aceleración de la gravedad, k el coeficiente de fricción con el aire, y m la masa del objeto, es decir, g, m y k son constantes numéricas conocidas. Esta es una ecuación diferencial del tipo  F(v(t), v, v’ ) = 0.(Ecuaciones diferenciales., s. f.) 8

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EJEMPLO

Aplicación segunda ley de Newton Un cilindro con masa de 10 Kg, se deja caer desde una altura de 300 m sin velocidad inicial, el cilindro se encuentra con resistencia al aire(R a) proporcional a su velocidad, si la velocidad limite es de 95 m/s Encontrar 1.La posición del cuerpo en ese mismo tiempo t.

M=10 G= 9.8 A= 300 m

Realizamos el cambio de Resistencia al aire por KV el cual representa la constante de la velocidad para representar la proporcionalidad ya que es proporcional a la velocidad. Lo cual representa la siguiente ecuación: W −KV =m. a Reemplazando a y W V=

dx ; dx=vdt dt

∫ dx=¿∫ vdt ; x =v∗t+c ¿ x=95 t +

95 (19 ) −2 e 19 t +C 20

x=95 t +902.5 e−2 19 t +C 9

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t ( 0 )=10 x ( 0 )=300 m 300=905.5+c ; c=300−902.5=−602.5 x=95 t +902.5 e−2 19 −602.5

Posición en un tiempo t

Conclusión Como pudimos observar se evidencia la ecuación diferencial que da solución para determinar la fuerza necesaria que reproduce el movimiento en los objetos, conocimos un poco mas sobre la ley de Newton desde su origen hasta aplicación en este campo reflejado en este sencillo ejercicio.

Situación 2. Problemas combinados de crecimiento y decrecimiento. Introducción: Uno de los primeros intentos de modelar el crecimiento demográfico humano lo hizo Thomas Malthus, economista ingles en 1798. En esencia, la idea del modelo maltusiano es la hipotesis de que la tasa de crecimiento de la población de un país crece en forma proporcional a la población total, P(t) de ese país en cualquier momento t. En otras palabras, mientras más personas haya en el momento t, habrá más en el futuro.(SD-11-Ecuaciones-diferencialesGOMEZ.pdf, s. f.)

Marco Teórico:

Modelos de crecimiento y decrecimiento: En muchas aplicaciones, el ritmo o velocidad de cambio de una variable y es proporcional al valor de y. Si y es una 10

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función del tiempo t, la proporción se puede escribir como se muestra.(6.2 Ecuaciones diferenciales, s. f.) En esta parte de la matemática estudiamos ecuaciones diferenciales de primer orden que rigen el crecimiento de varias especies. A primera vista parece imposible describir el crecimiento de una especie por medio de una ecuación diferencial, ya que el tamaño de una población no puede ser una función diferenciable con respecto al tiempo. Sin embargo, si el tamaño de una población es grande y se incrementa en uno, entonces el cambio es mi pequeño comparado con el tamaño de la población. Asi pues, se toma la aproximación de que poblaciones grandes cambian continuamente, e incluso de manera diferenciable, con respecto al tiempo. (Bolivar, s. f.) Ejemplo: Si y es una función derivable de t tal que y > 0 y ´y ¿ ky, para alguna constante k, entonces y=C e k

t

C es el valor incial y, y k es la constante de proporcionalidad. El crecimiento exponencial se produce cuando k > 0, y el decrecimiento cuando k < 0

Escribir la ecuación original de una ecuación diferencial, ´y =ky Separar variables ´y =k y Integrar con respecto a t 11

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∫

y´ =dt= ∫ k dt y

Dy = ´y dt.

∫

1 =dy= ∫ k dt y

Encontrar la antiderivada de cada uno de los miembros ¿ y=kt+C 1

Despejar Y y=ekt e C

1

Sea C =e C

1

Así que todas las posibles soluciones de y´ = ky son de forma y = Cekt . Diferenciamos la función y = Cekt con respecto a t, yverifica que ´y = ky.

Conclusión: A lo largo del ejemplo se puede visualizar como el crecimiento y decrecimiento hacen parte y se relacionan con las ecuaciones diferenciales de primer orden, dando así la solución para los estudios que sean realizados sobre diferentes tipos de población demográfica, del mismo modo sobre las diferentes especies. Situación 3. Circuitos eléctricos. Introducción: Así como la mecánica tiene como base fundamental las leyes de Newton, la electricidad también tiene una ley que describe el comportamiento de 12

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los circuitos eléctricos, conocida como la ley de Kirchhoff. Realmente, la teoría de la electricidad está gobernada por un cierto conjunto de ecuaciones conocidas en la teoría electromagnética como las ecuaciones de Maxwell. La ley de Kirchhoff es adecuada para estudiar las propiedades simples de los circuitos eléctricos.(Anón s. f.)

Marco teórico: Ecuaciones diferenciales: es una ecuación que relaciona de manera no trivial a una función desconocida y una o más derivadas de esta función desconocida con respecto a una o más variables independientes. Si la función desconocida depende de una sola variable la ecuación diferencial se llama ordinaria, por el contrario, si depende de más de una variable, se llama parcial.(Introducción ecuación diferencial Anón s. f.)

Circuitos eléctricos: Un Circuito Eléctrico es un conjunto de elementos conectados entre si por los que puede circular una corriente eléctrica". La corriente eléctrica es un movimiento de electrones, por lo tanto, cualquier circuito debe permitir el paso de los electrones por los elementos que lo componen. (https://www.areatecnologia.com, s. f.)

Ejemplos:

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(Alej & Riverol, 2014)

Ejemplo:

Aplicación ecuaciones diferenciales circuito eléctrico: A continuación, presentaremos un ejemplo como se aplicará ecuación diferencia en un circuito eléctrico simple

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la resistencia es de 12 Ω y que la inductancia es de 4 H. Si una batería proporciona un voltaje constante de 60 V y el interruptor está cerrado cuando t = 0, de modo que la corriente comience con I(0) = 0, determine. 1. I(t) 2. La corriente después de 1 segundo 3. El valor límite de la corriente Solución: n Si L = 4, R = 12 y E(t) = 60, en la ecuación conseguimos el problema con valor inicial

4

dI +121=60 , I ( 0 )=60 dt

Equivale dI +3 I =15 , I ( 0 ) =60 dt

Se multiplica por el factor e 3 dt =e3 t para obtener

e3 t

dI 3 t +e I =15 e3 t dt

dI 3 t (e I )=15 e3 t dt

15

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e 3 t I =∫ 15 e 3t dt

e 3 t I =5 e3 t + C

I (t)=5+ C e−3 t

Ya que si I ( 0 )=0 entonces tenemos que 5+C=0 por lo tanto C=−5 y I ( t )=5(1−e−3t )

Después de un segundo la corriente es igual a

I ( 1 )=5 ( 1−e−3 ) ≈ 4,75 A

Tenemos que lim I ( t ) =lim 5 ( 1−e−3 t ) t→∞

❑

t→∞

¿ 5−5 lim e−3 t t →∞

¿ 5−0❑ ¿5

Conclusión: Se evidencia dentro de la aplicación de la situación como las ecuaciones hacen mas sencilla la solución de estos casos, teniendo en cuenta los 16

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factores que pueden variar y obteniendo así una solución precisa a las diferentes interrogantes que puedan surgir, tales como la ecuación que nos lleva a la carga del inductor cuando el interruptor se cierra.

CONCLUSIONES Como pudimos observar a lo largo del análisis en las diferentes situaciones, evidenciamos que las ecuaciones diferenciales no muestran otra perspectiva en diferentes áreas de la Matemática y la Física, demostrando así que en diferentes escenarios su aplicación apropiada 17

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es de beneficio para la solución de la pregunta que sea dada y la generación de graficas o proyecciones según corresponda.

BIBLIOGRAFIA

?` Qué es una ecuación diferencial ? (s. f.). Recuperado 29 de agosto de 2020, de https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursos18

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linea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap1geo/node3.html 6.2 Ecuaciones diferenciales: Crecimiento y decrecimiento - PDF Free Download. (s. f.). Recuperado 29 de agosto de 2020, de https://docplayer.es/456682026-2-ecuaciones-diferenciales-crecimiento-y-decrecimiento.html Alej, M., & Riverol, ro V. (2014, marzo 23). Ecuaciones Diferenciales Aplicadas, Circuitos Eléctricos. Ecuacion Diferencial Ejercicios Resueltos. https://ecuaciondiferencialejerciciosresueltos.com/ecuaciones-diferencialesaplicadas-circuitos-electricos Bolivar, N. (s. f.). PROBLEMAS DE CRECIMIENTO. 7. Ecuaciones diferenciales. (s. f.). Recuperado 29 de agosto de 2020, de http://www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/apoyo/ec_diferenciales.htm Edlc_a1986v4n1p51.pdf. (s. f.). Recuperado 29 de agosto de 2020, de https://ddd.uab.cat/pub/edlc/edlc_a1986v4n1/edlc_a1986v4n1p51.pdf https://www.areatecnologia.com. (s. f.). Circuitos. Recuperado 29 de agosto de 2020, de https://www.areatecnologia.com/electricidad/circuitoselectricos.html SD-11-Ecuaciones-diferenciales-GOMEZ.pdf. (s. f.). Recuperado 29 de agosto de 2020, de https://fcf.unse.edu.ar/archivos/series-didacticas/SD-11Ecuaciones-diferenciales-GOMEZ.pdf https://www.youtube.com/watch?v=3xBQIBIM-Lo

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