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• Carlos zapata

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Actividad Eje 4

1. Evaluar las siguientes integrales de línea: a. ∫ G ( x , y ) dx C

b. ∫ G ( x , y ) dy C

c. ∫ G ( x , y ) ds c

donde G ( x , y )=2 xy a lo largo de la curva C, cuyas ecuaciones paramétricas son π x=5 cos t y y =5 sen t para los valores 0 ≤ t ≤ 4

a)

❑

❑

c

c

∫ G ( x , y ) dx = ∫ 2 ( 5 cost ) (5 sen t )(−5 sen t ) dt=250∫ sen2 t cos t dt=¿ ¿ π −250 sen 3 t 1 =¿ 4= 3 6 √2 0 1 125 −250. = 6 √2 3 √2

|

❑

b)

❑

π 4

c

0

∫ G ( x , y ) dy = ∫ 2 ( 5 cost ) (5 sen t )( 5 cos t ) dt=250∫ cos 2 t sen t dt=¿ ¿ c

π 3 −250 cos t 1 1 =¿ 4= − 3 3 6 √2 0

|

1 1 250( − ) 3 6 √2

❑

❑

c

c

2 c) ∫ G ( x , y ) ds = ∫ 50 cos t sen t √(−5 sen t ) +¿ ¿ ¿

5(50) sen2 t π 1 4 = =¿ 2 3 0

|

1 125 5. ( 50 ) = 3 2

2. Evaluar ∫ ydx + xdy a lo largo de la parábola y=x 2 entre los puntos (0,0) y (1,1) c

❑

❑

❑

c

c

c

∫ y dx + xdy=∫ x 2 ( dx )+ x ( 2 x ) dx=∫ x 2 dx+2 x 2 dx 1

∫x 0

1

2

1

dx+ 2∫ x dx=3∫ x2 dx=x 3 1 =1 0 0 0 2

❑

|

2 2 3. Hallar el valor de ∮ ( x + y ¿ )dx−2 xy dy ¿ c

La curva es aislada y puede dividirse en curvas: c 1 y c 2

curva c1 x=2 cos t y y=2 sent

Sustituimos: ❑

∫ ( x 2 + y 2 ) dx−2 xy dy=¿ ¿ c1

❑

∫ 4 (−2 ) sen t dt −2 (2 cost ) ( 2 sent ) 2 cost dt =¿ ¿ c1

❑

❑

❑

c1

c1

c1

∫−8 sen t dt −16 cos2 t sen t dt=∫ −8 sen t dt−16 ∫ cos2 t sen t dt Sentido de la integración: contrario a las manecillas del reloj

x=2 ⇒ t=0 x=−2 ⟹ t=π π

π

¿−8∫ sen t dt −16∫ cos2 t sen dt 0

0

3 π 16 cos t π −80 ¿ 8 cost + = 0 3 0 3

|

|

curva c 2 y=0 y dy =0 ❑

❑

c2

c2

3

∫ (x 2¿ + y2 )dx−2 xy dy =∫ x2 dx= x3 ❑

❑

c1

c1

∮ ( x 2 + y 2 ) dx−2 xy dy =∫ +∫ ¿− 64 3

|−22 = 83 + 83 = 163 ¿

4.

❑

∫ ydx + xdy c

❑

❑

c

c

∫ x 2 dx+ x ( 2 x ) dx=∫ x 2 dx+2 x 2 dx 1

1

1

x3 1 x dx+ 2 x dx= x dx +2 x dx=3 = ∫ ∫ ∫ 3 3 0 c 0 0 ❑

2

2

2

1 ¿ 3. =1 3

2

[ ]