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• Manuel Joaquin Puello Toscano

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LÍMITES : IDEAS FUNDAMENTALES Límites: ideas fundamentales

Manuel Joaquín Puello Mayerly Acosta Peña

Fundación Universitaria del Área Andina

Tutor Antonio Salustiano Rodríguez Pacheco

Facultad de Ciencias Administrativas, Económicas y Financieras Finanzas y Negocios Internacionales Modalidad Virtual Bogotá D.C 2020

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LÍMITES : IDEAS FUNDAMENTALES ÍNDICE Introducción

3

Caso problema. Taller eje 4 Caso problema 1. Arriendos Actividades Caso problema 2. Costos, ingresos y utilidades Actividades Caso problema 3. Dosificación de Medicamentos Actividades

3 3 4 4 5 6 7

Conclusiones

9

Bibliografías

9

2

LÍMITES : IDEAS FUNDAMENTALES

Introducción Una función puede no estar definida por un punto, pero se puede aproximar a un límite diferente, encontramos que muchas veces una función es el mismo que un límite en el punto. Un límite nos puede servir para calcular una función puede tener su límite exacto o un resultado preciso a 0, a veces no se puede calcular directamente pero se puede saber cuál es el resultado si nos acercamos cada vez más y más, esto se llama límite de una función, “f(x) se acerca a un límite cuando x se acerca a un valor si llamamos la “L” al límite , y al límite y “a” al valor que se acerca x podemos decir “f(x) se acerca a L cuando x se acerca a a”.

Caso problema. Taller eje 4

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LÍMITES : IDEAS FUNDAMENTALES A continuación, se presentan tres casos problema que muestran la aplicación de las funciones en diferentes contextos. Se explica el contexto en cada caso y se proponen unas actividades al final de cada explicación. Caso problema 1. Arriendos Una empresa de bienes raíces es propietaria de un conjunto de departamentos que consta de 70 de ellos. Se puede arrendar cada uno de los departamentos en 250 dólares al mes. Sin embargo, por cada 10 dólares que se aumenten al arriendo cada mes se tendrán dos departamentos desocupados sin posibilidad de alquilarlos. La empresa desea obtener 17980 dólares mensuales con los arriendos. ¿Cuánto debe cobrar por el alquiler de cada departamento? Supóngase que 𝒓 es el arriendo, en dólares, que se cobrará por departamento. Con esto, el aumento sobre el nivel de 250 es 𝒓−𝟐𝟓𝟎, así que el número de aumentos de 10 dólares es r−250 . Puesto que cada aumento de 10 dólares da como resultado dos departamentos 10 vacíos, el número total de éstos será. 2∗r −250 10 En consecuencia, el número total de departamentos arrendados será 70−2 𝒓𝒆𝒏𝒕𝒂

( r−250 10 ) 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍

= (𝒓𝒆𝒏𝒕𝒂 𝒑𝒐𝒓

𝒅𝒆𝒑𝒂𝒓𝒕𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐) ∗ (𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒅𝒆𝒑𝒂𝒓𝒕𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔

[ (

17980=r∗ 70−2

𝒓𝒆𝒏𝒕𝒂𝒅𝒐𝒔),

r−250 ( 1) 10

)]

Hemos llegado a una función que depende de la variable 𝒓, que corresponde al valor del arriendo que se debe cobrar por departamento, si la empresa desea obtener 17980 dólares mensuales con los arriendos. Actividades 1. A partir de la ecuación (1), continúe haciendo operaciones hasta llegar al modelo de la función cuadrática de la forma. ax ❑2❑+𝒃𝒙+𝒄=𝟎.

Rta 4

LÍMITES : IDEAS FUNDAMENTALES

f( x )=( 70−2 x ) ( 250+ 10 x ) f( x )=17500+700 x -500 x -20 x

2

f( x )=-20 x +200x+17500 2

Ahora:

17980=-20 x +200x+17500 2

0=-20 x +200x+17500-17980 2

0=-20 x +200 x -480 a=-20 x b=200 x c=480 2

2

2❑

X= −b ± √b2❑a

Tenemos:

−4 ac

( 200 ) ❑2−4 (−20 ) (−480 ) √ X=200± 2 (−20 ) 1600

X=200± √−40

2. Resuelva la ecuación encontrada para la variable 𝒓. Recuerde que puede usar la fórmula cuadrática X=

−b ± √b 2−4 ac❑ 2a

Rta −200 ± 40 −40 −200+40 −160 −40 = 40 =

X=

X1=

5

4

LÍMITES : IDEAS FUNDAMENTALES

X2=

−200+40 −240 −40 = 40 =

6

Para obtener 17980 encontramos 2 respuestas

X1 4*10= 40 250+40= 290 17980 = 290

62 Departamentos

X2 6*10 = 60 250+60 = 310 17980 = 310

58 Departamentos

3. Elabore el gráfico de la función encontrada en el punto 1. Rta Para obtener los 17980 dólares Solución 1 = 62 departamentos a 290 dólares 6

LÍMITES : IDEAS FUNDAMENTALES Solución 2 = 58 departamentos a 310 dólares

4. ¿Cuál debe ser el arriendo que se debe cobrar por departamento, si la empresa desea obtener 45000 dolares mensuales con los arriendos?

Caso problema 2. Costos, ingresos y utilidades Para un fabricante de termostatos, el costo combinado de mano de obra y materiales es de $5 por unidad. Los costos fijos (los costos en los que se incurre en un lapso dado sin que importe la cantidad que se fabrique) son de $60,000. Si el precio de venta de un termostato es de $7, ¿cuántos deben venderse para que la compañía obtenga utilidades? Sea 𝒒 el número de termostatos que deben venderse. Entonces, su costo es 𝟓𝒒. Por ello, el costo total para la compañía es de 𝟓𝒒+𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎. Los ingresos totales por la venta de 𝒒 aparatos serán 𝟕𝒒. Ahora bien, 𝑼𝒕𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 = 𝒊𝒏𝒈𝒓𝒆𝒔𝒐𝒔 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍𝒆𝒔 − 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒐𝒔 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍𝒆𝒔, y se desea que haya ganancias, es decir, las utilidades deben ser mayores que cero. Por lo tanto, 𝑼𝒕𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔>𝟎, Es decir, 𝒊𝒏𝒈𝒓𝒆𝒔𝒐𝒔 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍𝒆𝒔 − 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒐𝒔 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍𝒆𝒔>𝟎

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LÍMITES : IDEAS FUNDAMENTALES 𝟕𝒒−𝟓𝒒+𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎>𝟎 (𝟐) Actividades 1. A partir de la inecuación (2), despeje la variable 𝒒, que nos da el mínimo número de termostatos que se deben vender para no tener pérdidas. Rta : Variable q

=?

7q-(5q+60000)>0 7q-5q-60000 >0 2q>60000 q>

60000 2

q>30000 = Cantidad mínima de termostato

2. Elabore el gráfico de la función encontrada en el punto 1. Rta : Gráfico de q>30000

Vender más de 30000 para tener más utilidad. 8

LÍMITES : IDEAS FUNDAMENTALES

3. ¿Cuántos termostatos se deben vender para obtener utilidades de $2000000?

Rta :

U=7q-(5q-60000) 2000000=7q-5q+60000 2000000+60000=2q 2060000=2q q=

2060000 =1030000 2

q=1030000 Unidad de termostato vendidas Caso problema 3. Dosificación de Medicamentos Determinar y recetar dosis de fármacos son aspectos sumamente importantes de la profesión médica. Con frecuencia se debe tener precaución debido al lado posiblemente adverso a los efectos tóxicos de las medicinas (o drogas). Muchos medicamentos son utilizados por el cuerpo humano de manera que la cantidad presente sigue una ley exponencial de disminución. Es decir, si 𝑵 es la cantidad de fármaco presente en el cuerpo al tiempo 𝒕, entonces N=N 0∗e❑ −kt

En donde 𝒌 es una constante positiva y 𝑵, es la cantidad presente al tiempo es la semivida de tal medicamento, entonces ¿2 H= k

𝒕=𝟎. Si 𝑯

Supóngase que se desea analizar el caso en que se administren a un paciente dosis iguales de un fármaco como ese, cada 𝑰 unidades de tiempo, hasta que se logre un cierto nivel terapéutico. La razón de administrar dosis reducidas de mantenimiento se relaciona con

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LÍMITES : IDEAS FUNDAMENTALES frecuencia con los efectos tóxicos de los fármacos. En particular, supóngase que existen 𝒅 dosis de P unidades cada una, que se aplican en los tiempos 𝒕=𝟎, 𝒕=𝑰, 𝒕=𝟐𝑰,…,𝒚 𝒕=𝒅−𝟏𝑰 Y que el nivel terapéutico 𝑻, se alcanza en 𝒕 = 𝒅𝒍, lo cual se presenta un intervalo después de que se administra la última dosis. Después de realizar algunos cálculos dispendiosos se puede demostrar que la fórmula (función) para determinar el nivel terapéutico, 𝑻, es T=

p ( 1−e−dkl ) ( 1) e❑kl❑−1

La ecuación (1) permite determinar el nivel terapéutico 𝑻, en términos de la dosis 𝑷, los ¿2 intervalos 𝑰, el número de dosis 𝒅, y la semivida 𝑯, del medicamento (puesto que K= . H Entre varias posibilidades, se puede determinar la dosis 𝑷 si se conocen 𝑻, 𝑯, 𝑰 y 𝒅. Actividades 1. A partir de la ecuación (1), despeje cada una de las variables que aparecen, es decir, escriba ecuaciones para 𝑷, 𝑯, y 𝒅. Rta :

T=p

(

i−e ❑−dki❑ e ❑ki−1

)=p-pe

❑−dki

pe❑ =p-t( e ❑ −1 ) ki

−dki

e ❑−dki=p-t

Ln

-kdi=Ln

10

[

e ❑−dki=Ln

[

( e ❑ki−1 ) p p−t ( e ❑ki−1 ) p

p−t ( e ❑ki−1 ) p

]

]

LÍMITES : IDEAS FUNDAMENTALES

[

d=Ln

p−t ( e❑ki −1 ) p −ki

]

2. A partir de la ecuación (1), de valores para las variables 𝑷, 𝑯, y 𝒅, de la siguiente manera 𝑷=𝟏𝟐, 𝑯=𝟐𝟎, y 𝒅=𝟑.

Rta:

P=12 H=20 D=3 H=

ln 2 k

N=N❑

0∗3 ❑−kt

(−e ❑−dki )

T=p e ❑ −1 ki

(1)

ln 2

K= H ln 2

ln 2

ln 2

P=12 K= 20 *D=3 K= H = K= 20 ln2 20

12 (1−e❑ ∗I ) ( 1−e ❑ ) T= T= P e ❑ −1 (e ❑ −1 ) −3 x

ln 2 20

−dki

ki

Con la ecuación (1) modificada, elabore la siguiente tabla de valores.

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LÍMITES : IDEAS FUNDAMENTALES T

?

-3,17

-2,77

-2,40

I

0

1

2

3

P

H

4

5

6

7

8

D

3. A partir de la tabla anterior, elabore el gráfico de 𝑻 en función de 𝑰.

Conclusiones Con la realización de los casos contemplados en el desarrollo de esta actividad podríamos decir que el límite de una función se usa para describir de qué manera varía una función, se evidencio en el desarrollo que algunas lo hacen de manera continua, cambios pequeños en X producen cambios pequeños en f( x )otras tienen valores que brincan por decirlo así de modo errático.Descubrimos que también se usan límites para definir rectas tangentes a gráficas de funciones,esta aplicación geométrica conduce de inmediato al concepto de derivada de una función.

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Bibliografías ❏ https://es.slideshare.net/PameGarciia/teoria-de-limites-43305928

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