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• jesús david Lozano

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Unidad 3 : Tarea 4 Integrales de funciones de varias variables

Curso: Calculo Multivariado Grupo 203057_36

Integrantes

Tutor: José Adel Barrera

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA_UNAD Escuela: ECBTI 2019

Introducción

El presente documento tiene el desarrollo de los ejercicios indicados en el foro colaborativo del curso de cálculo multivariado, donde cuyo objetivo es que el estudiante aborde temáticas nuevas como aplicación de temas anteriormente visto, estos temas son tomadas del material del entorno de conocimiento y aplicados por cada ejercicio como: Integración de funciones de varias variables, Integrales dobles y de volúmenes, Integrales triples en diferentes coordenadas, Integrales de línea, Integrales de flujo. Y Teoremas de integración. Todo esto siguiendo los dispuesto por la guía de actividades como el syllabus del curso.

Desarrollo de actividad Ejercicios 1 – Integrales Dobles. (Aplicaciones de las integrales dobles – Momento de Inercia) Si una partícula de masa m está a una distancia d de una recta fija, su momento de inercia respecto de la recta se define como: 𝐈 = 𝐦𝐝𝟐 = (𝐦𝐚𝐬𝐚)(𝐝𝐢𝐬𝐭𝐚𝐧𝐜𝐢𝐚)𝟐 Se puede generalizar este concepto para obtener los momentos de inercia de una lámina de densidad variable respecto de los ejes 𝐱 y 𝐲. Estos segundos momentos se denotan por 𝐈𝐱 e 𝐈𝐲 y en cada caso el momento es el producto de una masa por el cuadrado de una distancia.

Donde (𝐲 𝟐 ) es el cuadrado de la distancia al eje 𝐱 (𝐱 𝟐 ) es el cuadrado de la distancia al eje 𝐲 𝛒(𝐱, 𝐲)𝐝𝐀 es la Masa A la suma de los momentos se le llama el momento polar de inercia y se denota Por 𝐈𝟎 . Evaluar la integral doble requerida para hallar el momento de inercia I, con respecto a la recta dada, de la lámina limitada o acotada por las gráficas de las ecuaciones. Inciso c a desarrollar: 𝑦 = √𝑥, 𝑦 = 0, 𝑥 = 4, donde 𝜌 = 𝑘𝑥, y la recta 𝑦 = 𝑎 Respuesta

𝟒

𝟐

∫ ∫ 𝟏

𝟎

𝒙 √ 𝒅𝒚𝒅𝒙 𝒚

Se desarrolla la primera integral indefinida 𝒚 𝟏 𝟏 𝒚𝟑/𝟐 𝟐𝒚𝟑/𝟐 𝟐√𝒚𝟑 √𝒚 𝟏/𝟐 √ ∫ 𝒅𝒚 = ∫ 𝒅𝒚 = ∫ 𝒚 𝒅𝒚 = = = +𝑪 𝒙 𝟑√ 𝒙 𝟑√ 𝒙 √𝒙 √𝒙 √𝒙 𝟑/𝟐

Se reemplazan los límites 𝒙

𝒚 𝟐√𝒚𝟑 𝒙 𝟐√𝒙𝟑 𝟐√𝒙𝟔 𝟐 𝒙𝟑 𝟐 𝒙𝟔 𝟐 ∫ √ 𝒅𝒚 = [ ] 𝟐= − = √ − √ = (𝒙 − √𝒙𝟓 ) 𝒙 𝒙 𝟑 𝒙 𝟑 𝒙 𝟑 𝟐 𝟑 𝒙 𝟑 𝒙 𝟑 𝒙 √ √ √ 𝒙

Se realiza la otra integral 𝟕

𝟒

𝟒 𝟓 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝒙𝟐 𝒙𝟐 𝟒 𝟓 √ 𝟐 ∫ (𝒙 − 𝒙 ) 𝒅𝒙 = [∫ 𝒙 𝒅𝒙 − ∫ 𝒙 𝒅𝒙] = [ − ] 𝟕 𝟏 𝟑 𝟏 𝟑 𝟐 𝟏 𝟑 𝟏 𝟐

= =

𝟐 𝟏𝟔 𝟐𝟓𝟔 𝟐 𝟏 𝟐 ( − )− ( − ) 𝟑 𝟐 𝟕 𝟑 𝟐 𝟕

𝟐 𝟒𝟎𝟎 𝟑 𝟖𝟎𝟔 𝟒𝟎𝟑 (− − )=− =− 𝟑 𝟏𝟒 𝟏𝟒 𝟒𝟐 𝟐𝟏

Ejercicios 2 – Integrales Triples. (Aplicaciones para hallar el valor promedio)

Calcule el trabajo total realizado al mover una partícula a lo largo del arco C si el movimiento lo ocasiona el campo de fuerza F. Suponga que el campo que el arco se mide en metros y la fuerza en Newton.

𝑭(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 sobre el cubo en el primer octante acotado por los planos coordenados y los planos 𝒙 = 𝟏, 𝒚 = 𝟏 y 𝒛 = 𝟏. Respuesta

los límites de integración son: 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒙 𝟎 𝒂 𝟏

𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒚 𝟎 𝒂 𝟏

𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒛 𝟎 𝒂 𝟏

𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝒙 + 𝒚 + 𝒛 Entonces decimos que

1

𝟏

𝟏

∫ (𝒙 + 𝒚 + 𝒛) 𝒅𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒛

∫ ∫ 𝟎

𝟎

𝟎

1 𝟏

𝒙𝟐

∫ ∫ [

𝟐

+ 𝒙𝒚 − 𝒙𝒚|𝟏𝟎 ] 𝒅𝒚 𝒅𝒛

𝟎 𝟎

𝟏

𝟏

𝟏

∫ ∫ [ + 𝒙 − 𝒛 − 𝟎] 𝒅𝒚 𝒅𝒛 𝟎

𝟎

𝟐

𝟏−𝟏=𝟎 𝑬𝒍 𝒑𝒓𝒐𝒎𝒆𝒅𝒊𝒐 𝒆𝒔 = 𝟎

Ejercicios 3 – Integrales de Línea. (Aplicaciones de las integrales de línea – Trabajo y campos de Fuerza) Calcule el trabajo total realizado al mover una partícula a lo largo del arco C si el movimiento lo ocasiona el campo de fuerza F. Suponga que el campo que el arco se mide en metros y la fuerza en Newton. 𝑭(𝒙, 𝒚) = 𝟐𝒙𝒚𝒊 + (𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝒚𝟐 )𝒋 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝑪: 𝒆𝒍 𝒂𝒓𝒄𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒂𝒃𝒐𝒍𝒂 𝒚 = 𝒙𝟐 desde el punto (𝟏, 𝟏) hasta (𝟐. 𝟒). Respuesta 𝑪: 𝐞𝐥 𝐬𝐞𝐠𝐦𝐞𝐧𝐭𝐨 𝐝𝐞 𝐫𝐞𝐜𝐭𝐚 𝐝𝐞𝐥 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 (𝟏, 𝟏) 𝒂𝒍 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 (𝟐, 𝟒). 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂 𝑪𝒖𝒓𝒗𝒂 𝒚 = 𝟑𝒙 − 𝟐, 𝒙 = 𝒙, 𝒅𝒚 = 𝟑𝒅𝒙 𝑷𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 𝒚 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 (𝟏, 𝟏)

𝒂 (𝟐, 𝟒)

𝟐

𝟒

⃗ = ∫(𝟐𝒙𝒚𝒊 + (𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝒚𝟐 )𝒋) ∗ (𝒅𝒙𝒊 + 𝒅𝒚𝒋) = 𝟐 ∫ 𝒙𝒚𝒅𝒙 + ∫ (𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝒚𝟐 )𝒅𝒚 𝑾 = ∫ ⃗𝑭. 𝒅𝒓 𝟏

𝟏

=𝟐 𝟐

𝟐

𝟐 ∫ 𝒙(𝟑𝒙 − 𝟐)𝒅𝒙 + ∫ (𝒙𝟐 + (𝟑𝒙 − 𝟐)𝟐 )(𝟑𝒅𝒙) 𝟏

𝟏

𝟐

𝟐∫ 𝟏

(𝟑𝒙𝟐

𝟐

− 𝟐𝒙)𝒅𝒙 + 𝟑 ∫ (𝟏𝟎𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟒)𝒅𝒙 𝟏

𝟐𝒙𝟑 |𝟐𝟏 − 𝟐𝒙𝟐 |𝟐𝟏 + 𝟏𝟎𝒙𝟑 |𝟐𝟏 − 𝟏𝟖𝒙𝟐 |𝟐𝟏 + 𝟏𝟐𝒙|𝟐𝟏 (𝟖 − 𝟏) − 𝟐(𝟒 − 𝟏) + 𝟏𝟎(𝟖 − 𝟏) − 𝟏𝟖(𝟒 − 𝟏) + 𝟏𝟐(𝟐 − 𝟏) = 𝟑𝟔

Ejercicios 4 – Integrales de Flujo (Aplicaciones a las integrales de superficie – Carga Eléctrica) En los siguientes ejercicios utilizar la Ley de Gauss para hallar la carga total en el interior de la superficie dada:

Sea 𝑬 = 𝒛𝒊 + 𝟐𝒙𝒋 + 𝟐𝒚𝒌 un campo electrostático. Usar la Ley de Gauss para hallar la carga total que hay en el interior de la superficie cerrada formada por el hemisferio 𝒛 = √𝟒 − 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 y su base circular en el plano 𝒙𝒚. Respuesta: 𝑄𝑒𝑛𝑐 = 𝜀 ∫ ∫ 𝐸𝑑𝐴 = ∫ ∫ ∫ 𝑑𝑖𝑣𝐸𝑑𝑉 Tenemos que

∇ ∗ 𝐸 = (𝟑 ) √1−𝑦 2

1

∫ ∫

√4−𝑥2 −𝑦 2

∫

(3𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥)

−1 −√1−𝑦 2 0

Se usa coordenadas cilíndricas 2𝜋

𝑄𝑒𝑛𝑐 = 𝜀 ∫

√1−𝑟 2

1

(3𝑟 𝑑𝑧𝑑𝑟𝑑𝜃) =

∫ ∫

0

0 2𝜋

𝑄𝑒𝑛𝑐 = 𝜀 ∫ 0

0 1

2 ∫ 3𝑧𝑟 √1 − 𝑟 𝑑𝑟𝑑𝜃 0 0 2𝜋

∫ 𝑟√1 − 𝑟 2 𝑑𝑟𝑑𝜃

𝑄𝑒𝑛𝑐 = 3𝜀 ∫ 0 𝟐𝝅

𝑸𝒆𝒏𝒄 = 𝟑𝜺 ∫ 𝟎

1 0

(𝟏 − 𝒓𝟐 )𝟑/𝟐 𝟏 𝒅𝜽 𝟎 𝟑 2𝜋

𝑄𝑒𝑛𝑐 = 3𝜀 ∫ 0

1 (− ) 𝑑𝜃 3

Ejercicios 5 – Teoremas de Integración (Aplicación de los Teoremas de Integración – Movimiento de un líquido) En los siguientes ejercicios el movimiento de un líquido en un recipiente cilíndrico de radio 1, se define mediante el campo de velocidad 𝑭(𝒙, 𝒚, 𝒛). Hallar

𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = −3𝑥𝒊 + 4𝑦𝒌 Respuesta

𝟐

∫ 𝟎

𝟏

∫ (𝒙 + 𝒚 + 𝒛) 𝒅𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒛 𝟎

Nota Se realiza aclaración que la mayoría de ejercicios me guie con la revisión por el material suministrado por el tutor en el foro que se detalla en las referencias bibliográficas ante algunas dudas también me guie con algunos de los ejercicios de mis compañeros, el motivo que con el tutor no solicite aclaración es por tiempo y fechas de entrega demasiado pronto.

Referencias bibliográficas

Integrales dobles y de volúmenes. Zill, D. (2011). Matemáticas 3 Cálculo de varias variables. México: McGraw-Hill Interamericana.

(pp. 202-210);

(pp.220-224).

Recuperado

de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2053/?il=629

García, H. (2014). Cálculo de varias variables. México: Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 110-119).

Recuperado

de https://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2538/lib/unadsp/reader.action?ppg=135&docID=32 27732&tm=1541622801109

García, H. (2014). Cálculo de varias variables. México: Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 123-125).

Recuperado

de https://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2538/lib/unadsp/reader.action?ppg=134&docID=32 27732&tm=1541622979789

Zill, D. (2011). Matemáticas 3 Cálculo de varias variables. México: McGraw-Hill Interamericana.

(pp. 246-253).

Recuperado

de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2053/?il=629

García, H. (2014). Cálculo de varias variables. México: Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 126-131).

Recuperado

de https://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2538/lib/unadsp/reader.action?ppg=137&docID=32 27732&tm=1541623009478

Punto 4: https://www.loom.com/share/50e0db8aa7c34c118b9b68baaa52e8a4 Punto 5: https://www.loom.com/share/0e8db46171a04d4eabf1802f5d5ee882