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• Jaime Castrillon

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Actividad Eje 4 Calculo Diferencial

Angie Velasco Muñoz Michael Romero Ortega Wilton Mauricio Ocampo Villabon Noviembre 2019

Fundación Universitaria Areandina Facultad de Ingeniería y Ciencias Básicas Programa de Ingeniería de Sistemas

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Actividad evaluativa eje 4 Caso problema

A continuación, se presentan tres casos problema que muestran formas de maximizar una función de variable real, haciendo uso de las derivadas en diferentes contextos. Se explica el contexto en cada caso y se proponen unas actividades al final de cada explicación.

Epidemiología. En los estudios epidemiológicos realizados en determinada población se ha descubierto que el número de personas afectadas por cierta enfermedad viene dado por la función: 𝐸(𝑑) = −3𝑑2 + 72𝑑 + 243. Donde 𝑑 es el número de días transcurridos desde que se detectó la enfermedad. A continuación, aparece la gráfica de la función, donde el eje vertical representa número de personas afectadas, y el eje horizontal representa el número de días transcurridos desde que se detectó la enfermedad.

Determine: ● El número de días que han de transcurrir hasta que desaparezca la enfermedad. ● El número máximo de personas afectadas. ● Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la enfermedad.

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Desarrollo:

𝐸(𝑑) = −3𝑑2 + 72𝑑 + 243 𝐸(𝑑) = 0 = −3𝑑2 + 72𝑑 + 243 3𝑑2 − 72𝑑 − 243 = 0 𝑑 2 − 24𝑑 − 81 = 0 (𝑑 − 27)(𝑑 + 3) = 0 𝑑 = 27 𝑑 = −3 Tiene que trascurrir 27 Díaz para que la enfermedad desaparezca por completo.

𝐸(𝑑) = −3𝑑2 + 72𝑑 + 243 𝐸′(𝑑) = −6d + 72 𝐸 ′ (𝑑) = 0 = −6d + 72 6𝑑 = 72 𝑑 = 12 𝐸(12) = −3(12)2 + 72(12) + 243 𝐸(12) = −3(12)2 + 72(12) + 243 𝐸(12) = 675

El número máximo de personas que estuvieron contagiadas en su totalidad son 675

 La derivada indica que solo hay dos intervalos, uno donde crece la función y otro en la que decrece, por lo cual se evalúan dos puntos uno mayor y otro menor al punto crítico en la función derivada, en donde el resultado sea positivo, se tiene crecimiento, y donde se obtenga un valor negativo obtiene un crecimiento. 𝐸 ′ (1) = −6(1) + 72 = 66

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𝐸 ′ (20) = −6(20) + 72 = −48 Creciente en el intervalo (-∞,12) y Decreciente en el intervalo (12, ∞)

Medio ambiente. La concentración de ozono contaminante, en microgramos por metro cúbico, en una ciudad viene dada por la función 𝐶(𝑥) = 100 + 12𝑥 − 0,5𝑥 2

donde 𝑥 es el tiempo transcurrido desde el primero de enero de 2001 contado en años.  Determine el dominio y el rango de 𝐶(𝑥).  Elabore el gráfico de 𝐶(𝑥) usando GeoGebra.  Seleccione un punto de la gráfica de 𝐶(𝑥), luego calcule la ecuación de la recta tangente en dicho punto. Interprete el resultado gráficamente y en el contexto del problema.  ¿Cuál es la concentración máxima de ozono que se alcanza en esa ciudad?

Desarrollo Dominio: Xϵ ℝ Rango: 𝐶(𝑥) = 100 + 12𝑥 − 0,5𝑥 2 𝑎 = −0,5 ; 𝑏 = 12 ; 𝑐 = 100 Vértice (h,k) ℎ=

−𝑏 −12 = = 12 2𝑎 2(−0,5)

𝑘 = 𝐶(ℎ) = 100 + 12(12) − 0,5(12)2 𝑘 = 172 Vértice (12,172) 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜: (−∞, 172)  Gráfica de C(x):

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 Ecuación de recta tangente 𝐶 ′ (𝑥) = 12 − 𝑥 𝐶 ′ (12) = 12 − 12 = 0 Para X menor que 12 la pendiente en cada punto es positivo lo cual significa que trascurrir cada año la contaminación se eleva

 Concentración máxima de contaminante En X=12 se obtiene una recta tangente de pendiente cero, lo que significa que se tiene una recta horizontal en ese punto, y como en la gráfica para este X se obtiene el mayor valor en Y significa que se tiene un máximo en la gráfica, lo que corresponde a que transcurridos los 12 años en que se empezaron a medir las concentraciones de contaminantes se obtuvo la mayor concentración de ozono contaminante.

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Transporte. Una compañía de autobuses metropolitanos ha comprobado que el número de viajeros diarios, 𝑉, es función del precio del billete, 𝑝, según la expresión: 𝑉(𝑝) = 400 − 8𝑝

 Determine el dominio y el rango de 𝑉(𝑥).  Elabore el gráfico de 𝑉(𝑥) usando GeoGebra.  Determine la expresión que nos proporciona los ingresos diarios, 𝐼(𝑝), de esa compañía en función del precio del billete. Recuerde que los ingresos se calculan como el producto del número de viajeros y el precio.  Elabore el gráfico de 𝐼(𝑥) usando GeoGebra.  ¿Cuál es el precio del billete que hace máximo los ingresos diarios?  ¿Cuáles son esos ingresos máximos?

Desarrollo  𝐷𝑜𝑚: {𝑝 ∈ ℝ}, 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜: ℝ  Gráfica V(p)

 Expresión de ingresos diarios 𝐼(𝑝) = 𝑉(𝑝) ∗ 𝑝 = (400 − 8𝑝) ∗ 𝑝 = 400𝑝 − 8𝑝2 𝐼(𝑝) = 400𝑝 − 8𝑝2

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 Gráfico de I(p):

 Precio del billete que hace máximo los ingresos: 𝐼′(𝑝) = 400 − 16𝑝 𝐼′(𝑝) = 0 = 400 − 16𝑝 16𝑝 = 400 𝑝 = 25 El precio del billete debe ser de 25 para obtener el máximo de ingresos diarios.  Ingresos máximos: 𝐼(16) = 400(25) − 8(25)2 = 4352 𝐼(25) = 5000 Se obtienen 5000 como ingresos máximos diarios.