Calculo multivariado
Calculo multivariado Tarea 2 Duber Humberto Perdomo Cuellar Grupo: 203057_35 Presentado a: José Adel Barrera Univers
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Calculo multivariado
Tarea 2
Duber Humberto Perdomo Cuellar Grupo: 203057_35
Presentado a: José Adel Barrera
Universidad nacional abierta y a distancia UNAD Ingeniería electrónica Neiva-Huila 2019
Introducción Cálculo Multivariado proporciona fundamentos teóricos necesarios para los cursos posteriores como Electrónica de Potencias, Electrónica Digital y Antenas, donde los conceptos de funciones, derivadas e integrales de múltiples variables, juegan un papel central en el desarrollo de los temas en dichos curso
Desarrollo de la actividad Grupo de ejercicios 1 – Integrales Dobles. (Aplicaciones de las integrales dobles – Momento de Inercia) a. 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑏 2 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝜌 = 𝑘 , 𝑥 = 𝑎 𝑦 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑥 = 𝑎 𝑐𝑜𝑛 > 𝑏 Desarrollo 𝑥 2 + 𝑦 2 = 42 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝜌 = 𝑘 𝑥 = 8 𝑦 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑥 = 𝑎 𝑐𝑜𝑛 > 𝑏 𝑦 = √16 − 𝑥 2 √16−𝑋 2
4
𝑦 2 (𝑘)𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ∫
𝐼𝑥 = ∫ ∫ 0
4
0
0
𝑘 3
√16−𝑥2
[𝑦3 ]
𝑑𝑥 0
3 𝑘 4 𝐼𝑥 = ∫ (16 − 𝑥 2 )2 𝑑𝑘 3 0
=
3 𝑘 4 ∫ (16 − 𝑠𝑒𝑛2 𝜃)2 𝑑𝑥 3 0
=
4 256 𝑘 ∫ 𝑐𝑜𝑠 4 𝜃𝑑𝜃 3 0
𝑥 = 4𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝑥 = 4𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃
4 𝑘 3 = (64𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 192 ∫ 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃𝑑𝜃 ) 3 0
=
4 𝑘 (96𝜃 + 96 𝑠𝑒𝑛𝜃√1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 + 64𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠 3 𝜃)] 3 0
𝑘 𝑥(16 − 𝑥 2 ) = ( 3 4
3⁄ 2
4
𝑥 + 6𝑥 √16 − 𝑥 2 + 96𝑠𝑒𝑛−1 )] 4
0
𝐼𝑥 =
𝑘 [(0 + 0 + 96𝑠𝑒𝑛−1 1) − (0 + 0 + 96𝑠𝑒𝑛−1 0)] 3
𝐼𝑥 =
16 𝜋𝑘 3 √16−𝑥 2
4
𝐼𝑦 = 𝑘 ∫ ∫ 0 4
4
𝑥 2 (𝑘)𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ∫ 𝑘𝑥 2 𝑦
0
0 4
𝐼𝑦 = 𝑘 ∫ 𝑥 2 √16 − 𝑥 2 𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ 16 𝑠𝑒𝑛2 𝜃√16 − 16𝑠𝑒𝑛2 𝜃 𝑑𝜃 0
0
4
𝑥 = 4𝑠𝑒𝑛𝜃
= 256𝑘 ∫ 𝑠𝑒𝑛2 𝜃𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 𝑑𝜃 0
𝑑𝑥 = 4𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃
4
= 256𝑘 ∫ 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛4 𝜃𝑑𝜃 0
= 𝑘(32𝜃 + 64𝑠𝑒𝑛2 𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 − 32𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃)]40 4
= 𝑘 (32𝜃 − 32√1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 + 64𝑠𝑒𝑛3 𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃)]
0
4
𝑥2
𝑥 − 2𝑥√16 − 𝑥2 + 32𝑠𝑒𝑛−1 )] 16 4
= 𝑘 (𝑥3 √1 −
0
𝐼𝑦 = 𝑘[(0 − 0 + 32𝑠𝑒𝑛−1 ) − (0 − 0 + 0)] 𝐼𝑦 = 16𝜋𝑘 Grupo de ejercicios 2 – Integrales Triples. (Aplicaciones para hallar el valor promedio) a. 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 2 + 9 sobre el cubo del primer octante acotado por los planos coordenados y los planos 𝑥 = 2 , 𝑦 = 2, 𝑧 = 2 Desarrollo 2
2
2
𝑉 = ∫ ∫ ∫ (𝑥 2 + 9)𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥 0
0
𝟐
0 2
𝟐
𝟐
𝟐
2
𝑉 = ∫ ∫ (𝑥 + 9)𝑧] 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ∫ ∫ (2𝑥 2 + 18)𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝟎
𝟎
𝟐
𝑉=∫
(2𝑥 2
𝟎
𝟎
0 2
+ 18) 𝑦 ]
𝟎
𝟐
𝑑𝑥 = ∫
0
(4𝑥 2
𝟎
2
4 + 36) 𝑑𝑥 = 𝑥 3 + 36𝑥 ] 3 0
4 248 3 𝑉 = [( (2)3 + 36(2) − 0] = 𝑢 3 3 Grupo de ejercicios 3 – Integrales de Línea. (Aplicaciones de las integrales de línea – Trabajo y campos de Fuerza) a. 𝐹(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 2 𝑦𝑖 + (𝑥 2 + 𝑦 2 )𝑗 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐶 el segmento de recta desde el origen hasta el punto (2,2) Desarrollo 𝐹(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 2 𝑦𝑖 + (𝑥 2 + 𝑦 2 )𝑗
(𝑥, 𝑦) = (2𝑡, 2𝑡) 𝑥 = 2𝑡,
𝑡𝐸[0,1]
𝑑𝑥 = 2𝑑𝑡; 𝑦 = 2𝑡 𝑑𝑦 = 2 𝑑𝑡
∫2𝑥 2 𝑦𝑑𝑥 + (𝑥 2 + 𝑦 2 )𝑑𝑦 𝑐 1
= ∫ 2(2𝑡)2 (2𝑡)2𝑑𝑡 + ((2𝑡)2 + (2𝑡)2 ) 2 𝑑𝑡 0 1
= ∫ 32𝑡 2 + 16𝑡 2 𝑑𝑡 0 1
= 8𝑡 4 + 16⁄3 𝑡 3 ]
0
= [(8(1)4 + 16⁄3 (1)3 − 0)] =
40 𝑁. 𝑚 3
Grupo de ejercicios 4 – Integrales de Flujo (Aplicaciones a las integrales de superficie – Carga Eléctrica) a. Sea 𝐸 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 2𝑧𝑘 un campo electrostático. Usar la ley de gauss para hallar la carga total que hay en el interior de la superficie cerrada formada por el hemisferio 𝑧 = √1 − 𝑥 2 − 𝑦 2 y su base circular en el plano 𝑥𝑦. Desarrollo 𝐸 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 2𝑧𝑘 √1 − 𝑥 2 − 𝑦 2 𝑥2 − 𝑦2 = 1
0 = √1 − 𝑥 2 − 𝑦 2
𝑧=0 ⃗⃗⃗ 𝑑𝑠 = 𝑄 ∬𝐸 𝑠
𝛿𝛿
𝑥=𝑢
𝑦=𝑣
𝑑𝛿̅
𝑧 = √1 − 𝑢2 − 𝑣2
𝑖
𝑗
|1 0 |
0 1
𝑘 −𝑢
| 𝑢 𝑣 √1 − 𝑢2 − 𝑣2 = 𝑖+ 𝑗+𝑘 | √1 − 𝑢2 − 𝑣2 √1 − 𝑢2 − 𝑣2 −𝑣 √1 − 𝑢2 − 𝑣2
𝑢2
∬
𝐷 √1
2𝜋
∫ 0
− 𝑢2
𝑟2
1
∫ ( 0
− 𝑣2
√1 −
𝑖+
𝑣2 √1 − 𝑢2 − 𝑣2
+ 2√1 − 𝑢2 − 𝑣2 𝑑𝑥 2𝜋
𝑟2
1
+ 2√1 − 𝑟 2 ) 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 = ∫
∫
0
0
𝑟3 √1 −
𝑟2
+ 2√1 − 𝑟 2 𝑑𝑟 𝑑𝜃
]40 2𝜋
∫
−
0 2𝜋
∫ 0
2𝜋 (𝑟 2 + 2) 3 2 2 3 √1 − 𝑟 2 − (1 − 𝑟 2 ) ⁄2 ]10 𝑑𝜃 = ∫ [0 − (− − )] 𝑑𝜃 3 2 3 3 0
4 4 4 8𝜋 𝑑𝜃 = 𝜃 ]2𝜋 0 = [2𝜋 − 0] = 3 3 3 3
Grupo de ejercicios 5 – Teoremas de Integración (Aplicación de los Teoremas de Integración – Movimiento de un líquido) a. 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑖 + 𝑗 + 2𝑘 Desarrollo a. 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑖 + 𝑗 + 2𝑘 𝑟=1
∫ ∫(𝑟𝑜𝑡 𝐹)𝑁𝑑𝑠 𝑠
𝑖 𝛿 𝑟𝑜𝑡 𝐹 = 𝛿𝑥 [1 𝛿 𝑟𝑜𝑡 𝐹 = 𝑖 [𝛿𝑦 1
𝑗 𝛿 𝛿𝑦 1
𝑘 𝛿 𝛿𝑧 −2]
𝛿 𝛿 𝛿𝑧 ] − 𝑗 [𝛿𝑥 1 −2
𝑟𝑜𝑡 𝐹 = 0𝑖 − 0𝑗 + 0𝑘 𝑟𝑜𝑡 𝐹 = 0 ∫ ∫(𝑟𝑜𝑡 𝐹)𝑁𝑑𝑠 = 0 𝑠
𝛿 𝛿 𝛿𝑧 ] + 𝑘 [𝛿𝑥 −2 1
𝛿 𝛿𝑦 ] 1