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CALCULO DIFERENCIAL TAREA 5

PRESENTADO POR:

PRESENTADO A:

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS AGRICOLAS, PECUARIAS Y DEL MEDIO AMBIENTE ECAPMA CEAD TUMACO JUNIO 2018

ESTUDIANTE 1 FASE 1

1

WILBER ROSERO

Ejercicio 1. Derivadas sencillas a.

𝑑 𝑑𝑥

√𝑥 ∗ (𝑥 3 + 2)

Derivada de un producto

𝑑 𝑓 𝑑𝑥

∗𝑔=

𝑑 𝑓 𝑑𝑥

∗𝑔+𝑓∗

𝑑 𝑔 𝑑𝑥

𝑓 = √𝑥, 𝑔 = (𝑥 3 + 2) 𝑑 𝑑 3 (𝑥 + 2) ∗ √𝑥 √𝑥 ∗ (𝑥 3 + 2) + 𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝑑 1 √𝑥 = 𝑑𝑥 2√𝑥 𝑑 3 (𝑥 + 2) = 3𝑥 2 𝑑𝑥 =2

1 (𝑥 3 √𝑥

+ 2) + 3𝑥 2 √𝑥

Simplificando tenemos

𝑑

7𝑥 3 +2 2√𝑥

𝑥 3 +2

b. 𝑑𝑥 𝑥 3 −3𝑥+8 𝑑 𝑓

𝑑

𝑑 𝑔∗𝑓 𝑑𝑥 2 𝑔

𝑓∗𝑔−

Regla de cociente 𝑑𝑥 𝑔 = 𝑑𝑥

𝑑 3 𝑑 3 (𝑥 + 2) ∗ (𝑥 3 − 3𝑥 + 8) − (𝑥 − 3𝑥 + 8) ∗ (𝑥 3 + 2) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 (𝑥 3 − 3𝑥 + 8)2 𝑑 3 (𝑥 + 2) = 3𝑥 2 𝑑𝑥 𝑑 3 (𝑥 − 3𝑥 + 8) = 3𝑥 2 − 3 𝑑𝑥 3𝑥 2 ∗ (𝑥 3 − 3𝑥 + 8) − (𝑥 3 + 2) ∗ (3𝑥 2 − 3) (𝑥 3 − 3𝑥 + 8)2 Expandir 3𝑥 2 ∗ (𝑥 3 − 3𝑥 + 8) = 3𝑥 5 − 9𝑥 3 + 24𝑥 2 −(𝑥 3 + 2) ∗ (3𝑥 2 − 3) = −3𝑥 5 − 6𝑥 2 + 3𝑥 3 + 6

2

Simplificar =3𝑥 5 − 9𝑥 3 + 24𝑥 2 − −3𝑥 5 − 6𝑥 2 + 3𝑥 3 + 6= -6𝑥 3 + 18𝑥 2 + 6 = −6𝑥 3 + 18𝑥 2 + 6 (𝑥 3 − 3𝑥 + 8)2 c. √𝑥 ∗ 𝑐𝑜𝑠4𝑥 𝑑

𝑑

𝑑

Regla del producto 𝑑𝑥 𝑓 ∗ 𝑔 = 𝑑𝑥 𝑓 ∗ 𝑔 + 𝑓 ∗ 𝑑𝑥 𝑔 𝑑 𝑑 𝑐𝑜𝑠4𝑥 ∗ √𝑥 √𝑥 ∗ 𝑐𝑜𝑠4𝑥 + 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑 1 √𝑥 = 𝑑𝑥 2√𝑥 𝑑 cos 4𝑥 = −4𝑠𝑒𝑛4𝑥 𝑑𝑥 =

1 2√𝑥

𝑐𝑜𝑠4𝑥 − 4√𝑥 𝑠𝑒𝑛4𝑥

Derivadas implícitas a. √𝑥 + √𝑦 = 18 𝑑𝑦 = 𝑦′ 𝑑𝑥 𝑑 1 √𝑥 = 𝑑𝑥 2√𝑥 𝑑 1 √𝑦 = 𝑑𝑥 2√𝑦 𝑑 18 = 0 𝑑𝑥 1 2√𝑥

+

𝑦′ =

1 2√𝑦 −1

∗ 𝑦′ = 0

∗ 2√𝑦 2√𝑥 𝑑𝑦 −1 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑠 = ∗ 2√𝑦 𝑑𝑥 2√𝑥

Derivada de orden superior

3

a. 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 + 4, ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑓 ′′′′ (𝑥) 𝑓 ′ (𝑥) = 4𝑥 3 𝑓′′(𝑥) = 12𝑥 2 𝑓 ′′′ (𝑥) = 24𝑥 𝑓 ′′′′ (𝑥) = 24

PASO DOS PANTALLAZO GEOGEBRA

4

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PASO 3 SOLUCION A PROBLEMAS PLANTEADOS 1. El peso de cierto lote de peces está dado por W = nw, donde n es el tamaño del lote y w es el peso promedio de cada pez. Si n y w cambian con el tiempo de acuerdo con las fórmulas n = (2t2 + 3) y w = (t2 − 1 + 2), encuentre la razón de cambio de W con respecto al tiempo. 𝑑𝑊 𝑑𝑛 𝑑𝑤 = ∗𝑤+ ∗𝑛 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝑑𝑊 𝑑(2𝑡 2 + 3) 𝑑 (𝑡 2 − 1 + 2) = ∗ (𝑡 2 − 1 + 2) + ∗ (2𝑡 2 + 3) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝑑(2𝑡 2 + 3) = 4𝑡 𝑑𝑡 4𝑡 ∗ (𝑡 2 − 1 + 2) = 4𝑡 3 − 4𝑡 + 8𝑡 𝑑(𝑡 2 − 1 + 2) = 2𝑡 𝑑𝑡 2𝑡 ∗ (2𝑡 2 + 3) = 4𝑡 3 + 6𝑡 Tenemos 𝑑𝑊 = (4𝑡 3 − 4𝑡 + 8𝑡) + (4𝑡 3 + 6𝑡) 𝑑𝑡

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𝑑𝑊 = (8𝑡 3 + 10𝑡) 𝑑𝑡 2. Si la población de cierta especie de zorros en un bosque se puede modelar mediante la función: P(t) =

500.000 100 + 4900𝑒 −0.075𝑡

donde t se mide en semestres. Determine la razón de cambio de la población con respecto al tiempo. 𝑑𝑃 500.000 = 𝑑𝑡 100 + 4900𝑒 −0.075𝑡 ) (𝑎 ∗ 𝑓)’ = 𝑎 ∗ 𝑓 500.000

𝑑𝑃 1 = 𝑑𝑡 100 + 4900𝑒 −0.075𝑡 1/𝑎 = 𝑎 − 1

500.000

𝑑𝑃 = ((100 + 4900𝑒 −0.075𝑡 )−1 ) 𝑑𝑡

𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑒𝑛𝑎

𝑑𝑓(𝑢) 𝑑𝑓 𝑑𝑢 = ∗ 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥

𝑓 = 𝑢−1 ; 𝑢 = 100 + 4900𝑒 −0.075𝑡 = 500.000

𝑑 −1 𝑑 𝑢 ∗ = 100 + 4900𝑒 −0.075𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑 −1 1 𝑢 = 2 𝑑𝑡 𝑢

𝑑 = 100 + 4900𝑒 −0.075𝑡 𝑑𝑡 𝑑 𝑑 100 + 4900𝑒 −0.075𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑 100 = 0 𝑑𝑡 𝑑 𝑑 4900𝑒 −0.075𝑡 = 4900 𝑒 −0.075𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝐹 = 𝑒 𝑢 ; 𝑢 = −0.075𝑡 4900

𝑑 𝑢 𝑑 𝑒 ∗ − 0.075𝑡 𝑑𝑢 𝑑𝑡

4900

𝑑 𝑢 𝑒 = 4900𝑒 𝑢 𝑑𝑢

7

𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 4900𝑒 −0.075𝑡 𝑑 − 0.075𝑡 = −0.075 𝑑𝑡 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 4900

𝑑 −0.075𝑡 𝑒 = −0.075 ∗ 4900𝑒 −0.075𝑡 𝑑𝑡

= −367.5𝑒 −0.075𝑡

𝑅𝑒𝑡𝑜𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 = 500 (−

1 ) ∗ (−367.5𝑒 −0.075𝑡 ) 𝑢2

𝑆𝑒 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒 𝑢 = 100 + 4900𝑒 −0.075𝑡 500 (−

1 ) ∗ (−367.5𝑒 −0.075𝑡 ) (100 + 4900𝑒 −0.075𝑡 )2

1 500 ( ) ∗ (367.5𝑒 −0.075𝑡 ) (100 + 4900𝑒 −0.075𝑡 )2 500 ∗ 367.5𝑒 −0.075𝑡 = ( ) (100 + 4900𝑒 −0.075𝑡 )2

=(

183750𝑒 −0.075𝑡 ) (100 + 4900𝑒 −0.075𝑡 )2

Como conclusión la razón de cambio es 𝑑𝑃 183750𝑒 −0.075𝑡 =( ) 𝑑𝑡 (100 + 4900𝑒 −0.075𝑡 )2

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BIBLIOGRAFÍA

Cabrera, J. ((2105).). Cabrera, J. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. . (U. N. Distancia., Ed.) Rondón, J. ( (2010).). 100410 – Cálculo Diferencial. Unidad 3 – Análisis de las derivadas y sus aplicaciones. Pág. 88-231. . Rondón, J. (. (s.f.). – Análisis de Límites y Continuidad. . Cálculo Diferencial. Unidad 2( Pág. 39-85. . ), Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/4806. Universidad Nacional Abierta y a Distancia.

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