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• Edmundo Palomino

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RAZONAMIENTO MATEMÁTICO SEC II BIMESTRE 1. Dos números están en la razón 2:5; el doble del mayor excede al triple del menor en 20. Hallar el mayor. A) 5 B) 8 C) 10 D) 12 E) 25 2. Si María recibe S/.12, tendría el cuádruple que si hubiera perdido S/. 3. ¿Cuánto tiene María? A) S/. 5 B) S/. 6 C) S/. 9 D) S/. 8 E) S/. 10 3. Al agregarle al triple de un número, en 28 unidades se obtiene el cuadrado del número. ¿Cual es este número? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 4. Compré cierto de relojes por S/.192. Si el precio de cada reloj es los 3/4 del número de relojes, ¿cuántos relojes compré? A) 16 B) 17 C) 14 D) 12 E) 8 5. Al comprar una docena de mangos, me regalan uno. Si en total recibí 520 mangos, ¿cuántos me dieron de regalo? A) 480 B) 80 C) 50 D) 40 E) 20 6. Un niño compró 8 chocolates y le sobró S/. 6. Si hubiera comprado 10 chocolates le sobraría S/. 3. ¿Cuánto cuesta cada chocolate? A) 1,5 B) 2 C) 1,2 D) 2,4 E) 1,6 7. Hoy gané 100 soles más que ayer y lo que he ganado en los dos días es 200 soles más que la mitad de lo que gané hoy. ¿Cuánto gané hoy? A) S/. 300 B) S/. 250 C) S/. 200 D) S/. 150 E) S/. 100 8. En un grupo de gallinas y conejos, el número de ojos es 60 y el número de patas es 88. ¿Cuál es el número de alas? A) 32 B) 24 C) 18 D) 20 E) 40 9. El doble de mi edad aumentado en su mitad en sus 2/5 y en sus 3/10 y en 40 suman 200 años. ¿Cuántos años tengo? A) 20 B) 30 C) 40

D) 50

E) 60

10. El exceso de 15 sobre la mitad de un número es igual al exceso de 20 sobre los 9/8 del número. Halla el número. A) 16 B) 24 C) 8 D) 40 E) 32

SEC RM Traduce, paso a paso, al lenguaje algebraico el siguiente epitafio de la tumba de Diofanto, que proporciona algunos detalles de su vida: ¡Caminante! Aquí yacen los restos de Diofanto. Los números pueden mostrar, ¡oh maravilla! La duración de su vida, cuya sexta parte constituyó la hermosa infancia. Había transcurrido además una duodécima parte de su vida cuando se cubrió de vello su barba. A partir de ahí, la séptima parte de existencia transcurrió en un matrimonio estéril. Pasó, además, un quinquenio y entonces le hizo dichoso el nacimiento de su primogénito. Este entregó su cuerpo y su hermosa existencia a la tierra, habiendo vivido la mitad de lo que su padre llegó a vivir. Por su parte Diofanto descendió a la sepultura con profunda pena habiendo sobrevivido cuatro años a su hijo. Dime, caminante, cuántos años vivió Diofanto hasta que le llegó la muerte. Aquí Diofanto redactó su vida en una forma que al traducirlo al lenguaje algebraico se lograba una ecuación donde se lograba hallar la edad que estuvo vivo. ECUACIONES DIOFÁNTICAS Las ecuaciones diofánticas deben su nombre al famoso, matemático griego Diofanto de Alejandría, quien publicó trabajos sobre lo que hoy en día denominamos "álgebra" y "resolución de ecuaciones

positivos, tenemos 4 pares que cumplen la condición: (x; y) = (1; 4) ; (2; 3) ; (3; 2) y (4; 1). Cada uno de estos pares es una solución de la ecuación.

II. Las ecuaciones diofánticas de segundo grado (n = 2), también a veces llamadas "ecuaciones pitagóricas", son las que tienen la forma general:𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒛𝟐 Para resolver esta clase de ecuaciones es suficiente determinar ternas de números primos entre sí o ternas coprimas. Puede demostrarse que dichas ternas están expresadas por las siguientes relaciones:

Como se observa en el cuadro, existen infinitas soluciones de la ecuación diofántica de segundo grado. • No hay fórmula general que resuelve cualquier ecuación diofántica; sin embargo, podemos desarrollar métodos y usualmente necesitaremos además algún otro aspecto del contexto del problema para determinar completamente el resultado. • Veamos ahora un grupo de ejercicios donde notarás la diferencia entre una ecuación determinada, como por ejemplo, 2x + 3 = 7 ó 3𝒙𝟐 + 2x = 5, y una ecuación diofántica.

I. Las ecuaciones diofánticas lineales o de primer grado (n = 1) tienen la forma general siguiente: ax + by = c Una ecuación así es por ejemplo: x + y = 5. Esta ecuación tiene infinitas soluciones en los números enteros. Como regla general, sin embargo, las ecuaciones que aparecen en los problemas tienen restricciones que nos ayudan a limitarnos a un pequeño número de casos e incluso a una única solución. Por ejemplo, en nuestra ecuación x + y = 5, si restringimos los posibles valores de x e y a los enteros

EJEMPLOS: 1. La diferencia de dos números es 36. Si el mayor disminuye en 12 se tiene el cuádruplo del menor. Hallar el producto de los números dados. A) 352 B) 334 C) 328 D) 224 E) 330 2. Una persona puede comprar 24 manzanas y 20 naranjas ó 36 manzanas y 15 naranjas. Si se desea comprar sólo naranjas, ¿cuál es el máximo número que podría comprar? A) 30 B) 35 C) 36 D) 64 E) 72

3. Cierto campesino compró 15 animales entre vicuñas y alpacas. Si cada vicuña le costó $500 y cada alpaca $400, ¿cuántas vicuñas y alpacas compró respectivamente si se sabe que en total gastó $6600? A) 6 y 9 B) 10 y 5 C) 8 y 7 D) 9 y 6 E) 7 y 8

1. Una sala tiene 3 m más de largo que de ancho; y si el largo fuese 3 m más de lo que es y el ancho fuese 2 m, la superficie del piso sería la misma. Entonces el área del piso es: 2. En un viaje a la playa se observa tantas alas de gaviotas como cabezas de pelícanos, una vez posadas se observan noventa patas. Determinar el número de gaviotas. 3. Raúl quiere repartir propina a sus 30 nietos, pero se da cuenta que tiene S/. 430 en billetes de S/. 10 y S/. 20. Tomando en cuenta que a cada nieto le tocó un billete, ¿cuántos de ellos recibieron S/. 10? 4. Dos números naturales son tales que si se les resta 6 y 3 respectivamente su producto es igual a 2. ¿Cuál es la suma de dichos números? 5. Subiendo las escaleras de 3 en 3, Julio da seis pasos más que subiendo de 5 en 5. ¿Cuántos peldaños tiene la escalera? 6. A una fiesta asisten 200 personas, mitad hombres y mitad mujeres, cincuenta hombres son mayores de edad, hay tantas personas mayores de edad como mujeres menores de edad. ¿Cuántas mujeres son menores de edad y cuantas mayores de edad? 7. Tú tienes la mitad de lo que tenías, y tendrás el triple de lo que tienes; si tuvieras lo que tienes, tenías y tendrás, tu dinero sería igual al que yo tengo que es 75 soles más de lo que tu tienes. ¿Cuánto dinero tendrías si tuvieses el doble de lo que tenías, más lo que tendrás? 8. En un examen de admisión de 150 preguntas, un alumno contestó 130 preguntas y en total obtuvo 94 puntos; además sabemos que por cada respuesta correcta gana 2 puntos, por cada respuesta errada le quitan un punto y por aquella que no conteste le da un punto. ¿Cuántas preguntas contestó correctamente? 9. Se quiere disponer de cierto número de árboles de modo que formen un cuadrado completo. En la primera disposición sobran 14 árboles, formando el cuadrado con un árbol más por lado faltan 31. El número de árboles es:

10. En una tienda de animales hay 56 animales entre perros y loros. Si se cuenta el número de patas tenemos que es 196. Luego: I. Hay 42 perros. II. La diferencia entre perros y loros es 24. III. Si vendiéramos todos los loros a S/. 5 cada uno, se lograría recaudar S/. 70. Entonces, ¿qué proposiciones son ciertas? 11. Multiplicando un número por 16, restando 1124 al producto, sumnado 123 a esa diferencia y luego dividiendo el resultado entre 9, se obtiene 703. ¿De qué número se trata? 12. Un muchacho da un total de 120 altos al subir de 2 en 2 y baja de 3 en 3 escalones por una escalera ¿Cuántos peldaños tiene la escalera? 13. Cuatro personas recibieron respectivamente la mitad, el doble, el tercio y el triple de otra persona, además las cuatro juntas recibieron S/.58 más que la otra, luego una de ellas tiene: 14. Un operario fue contratado por una empresa por 45 días en la siguente condición: por cada día que trabaja la empresa le abona 32 soles y por cada día que no trabaja, el operario abona a la empresa 40 soles. ¿Cuántos días ha trabajado el operario si no recibió sueldo alguno? 15. Los primeros metros de un puente de 40 m han sido pintados de verde a S/. 60 el metro y los restantes de azul a S/. 50 el metro. Si se gastó S/. 2240 en total, ¿cuántos metros están pintados de verde? 16. En un orfanato se regalan 30 caramelos a cada niño, luego llegaron 6 niños más y ahora cada uno recibe 2 caramelos menos. ¿Cuántos niños hay? Dar la suma de cifras.

1. En una fiesta hay tantos caballeros bailando como damas sin bailar y ningún caballero sin bailar; una vez que se retiran 70 damas y 20 caballeros cuando de nuevo salen a bailar, nadie se queda sin pareja. ¿Cuántas personas habían inicialmente? A) 150 B) 150 C) 90 D) 180 E) 162 2. Un cliente compró cierta cantidad de lapiceros y plumones. Si en total gastó 51 soles y se sabe que cada lapicero costó 5 soles y cada plumón costó 7 soles. ¿cuántos objetos compró de cada tipo? A) 6 y 3 B) 6 y 4 C) 3 y 7 D) 7 y 2 E) 5 y 8

3. En una famila, el padre gana 105 pesos por hora y la madre 95 pesos. Después de haber trabajado ambos 25 días, el padre que ha trabajado 4 horas más por día que la madre, ha recibido 11 750 pesos más que ella. ¿Cuántas horas diarias ha trabajado el padre? A) 12 B) 9 C) 8 D) 10 E) 7 4. Un chofer cobra x soles por el primer kilómetro recorrido y n soles por cada kilómetro adicional. ¿Cuántos kilómetros se puede viajar con y soles?

5. La diferencia de dos números más 80 unidades es igual al cuádruplo del menor, menos 60 unidades. Hallar los dos números si el mayor es 2 veces más que el menor. A) 80 y 180 B) 70 y 210 C) 80 y 240 D) 80 y 160 E) 70 y 140 6. En una asamblea, todos deben votar a favor o en contra de una moción. En una primera rueda, los que votaron en contra ganaron por 20 votos; en una segunda vuelta se aprobó la moción por una diferencia de 10 votos.¿Cuántos asambleístas cambiaron de opinión? A) 15 B) 10 C) 5 D) 20 E) 25 7. Cierto número de libros se han comprado por 100 soles. Si el precio por libro hubiese sido un sol menos, se tendría 5 libros más por el mismo dinero. ¿Cuántos libros se compró? A) 15 B) 18 C) 25 D) 30 E) 20 8. Un estante que guarda 24 libros de Razonamiento Matemático y 20 libros de Historia o 36 libros de Razonamiento Matemático y 15 libros de Historia. ¿Cuántos libros de Razonamiento Matemático pueden contener? A) 66 B) 82 C) 84 D) 72 E) 86 9. En un corral hay liebres y gallinas; si comparamos el número de cabezas, con el número de patas, éste excede a aquel en 16. ¿Cuántas liebres hay? A) 3 B) 16 C) 8 D) 6 E) 7 10. Marco recibe de su papá una propina que es tanto como lo que tiene, luego su mamá le da otra propina que es tanto como el doble de lo que tiene hasta entonces. Si Marco ahora tiene S/. 60, ¿cuánto tenía inicialmente? A) S/. 10 B) S/. 15 C) S/. 8 D) S/. 18 E) S/. 9