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• percy chahuaylacc paquiyauri

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TEMA: SISTEMA DE MEDIDA ANGULAR

Podríamos asignarle a este ángulo el número 1 y decir que: ángulo de una vuelta: 1v. La forma más lógica para medir un ángulo es el número de vueltas o

ANGULO TRIGONOMÉTRICO Es aquel que se genera por la rotación de un rayo (en un mismo plano), alrededor de un punto fijo llamado vértice, desde una posición inicial hasta una posición final.

llamado también número de revoluciones, así podemos obtener de manera natural los ángulos y sus asignaciones numéricas, como se muestra en la figura.

Consideramos un ángulo positivo cuando la rotación sea contraria al movimiento de las manecillas del reloj, cuando la rotación sea en el mismo sentido de movimiento el ángulo se considera negativo. Donde: 0: Vértice de los ángulos generados. : Ángulo trigonométrico positivo. : Ángulo trigonométrico negativo.

OBSERVACIÓN • CUANDO UN ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO SE LE INVIERTE SU SENTIDO SU SIGNO CAMBIA. • PARA SUMAR ÁNGULOS TRIGONOMÉTRICOS EN UN GRÁFICO ESTOS DEBEN TENER EL MISMO SENTIDO.

MEDICIÓN DE UN ÁNGULO Cuando medimos un ángulo, tratamos de asignarle un número que indique la magnitud de este. Se debe tener presente para un ángulo positivo, que cuando sea mayor la rotación, mayor será el ángulo. Angulo de una Vuelta Es aquel generado, cuando el lado inicial y el lado final coinciden por primera vez luego de cierta rotación.

Trigonometría

7

Sin embargo, estos no son los números que la mayoría de nosotros estamos acostumbrados a utilizar, cuando medimos los ángulos. Medida en Grados Sexagesimales El sistema más utilizado en las aplicaciones de ingeniería, topografía, navegación, es el sistema sexagesimal. En este sistema definimos el ángulo de una vuelta como aquel ángulo cuya medida es 360º (1º; grado sexagesimal)

8

Trigonometría

Ejemplo: Dibujemos un ángulo de

2 de una vuelta y calculemos su medida. 3 La medida en grados de este ángulo 2 es 360º   240º ; como se observa 3 en el gráfico.

Debido a esto podemos concluir Medida de un ángulo .  en grados sexagesima les

Número de revolucion es 360º  .

Conforme avancemos en nuestro estudio de la trigonometría veremos que aunque la medida en grados sexagesimales ofrece algunas ventajas, el sistema más utilizado en matemáticas superiores es el sistema circular o radial (internacional) en el cual la medida se expresa en radianes. Medida en Radianes Consideremos un ángulo  y dibujemos una circunferencia de radio r y el vértice del ángulo en su centro “0”; sea además l la longitud del arco de la circunferencia que se genera. Entonces se define:

Tenemos también: . La medida en radianes de un ∢ como:   . 1v=360º . . 1º = 60’ . . 1’ = 60” .

l r

.

Ejemplos:

Donde:

De la definición: l 4cm =  2 r 2cm El número 2 no tiene unidades, así un ángulo de 2 (radianes) significa un ángulo que subtiende un arco cuya longitud es dos veces la longitud del radio (l = 2r).

1’: Minuto sexagesimal 1”: Segundo sexagesimal Medida en Grados Centesimales Debido a que este sistema no es muy utilizado y carece de aplicaciones prácticas, solo nos limitaremos a mencionar algunas equivalencias. En este sistema definimos el ángulo de una vuelta como aquel cuya medida es 400 g (1g: grado centesimal). También tenemos: . 1v=400g . . 1g = 100m . . 1m = 100s .

Ahora si consideramos l = r, entonces según la definición tenemos: l r  1 = r r Es decir, podemos definir un ángulo de un radián (1 rad) como el ángulo central que subtiende un arco cuya longitud es igual a la del radio.

Donde: 1m: Minuto centesimal 1s: Segundo centesimal

Trigonometría

9

10

Trigonometría

Relación Importante: Si el ángulo es una vuelta completa se cumple: 360º  400g  2rad

OBSERVACIÓN RELACIÓN DE MINUTOS: . M  m

27

Simplificando ...180º  200g  rad . Además si a

180º  200g

50

.

M: # MINUTOS SEXAGESIMALES m: # MINUTOS CENTESIMALES

RELACIÓN DE SEGUNDOS: a: # SEGUNDOS SEXAGESIMALES . a  b . b: # SEGUNDOS CENTESIMALES 81 250

le simplificamos ...9º  10g .

Relación entre los Números que Representan la Medida de un Ángulo Consideremos ahora un ángulo trigonométrico positivo como se muestra en la figura. Siendo: S: Número de grados sexagesimales del ángulo  C: Número de grados centesimales del ángulo . R: Número de radianes del ángulo .

ISAAC NEWTON (1642 – 1727)

Se cumple: .

S C R   180 200 

. El físico y matemático inglés Isaac Newton fue uno de los científicos más importantes de todos los tiempos. Sus teorías revolucionaron el pensamiento científico e influyeron en la astronomía práctica y teórica. Su libro Principia Mathematica (1687) es uno de los trabajos más importantes en la historia de la ciencia moderna. Newton descubrió la gravedad y las tres leyes de movimiento todavía utilizadas hoy en día. Fue la primera persona en dividir la luz blanca en los colores del espectro y su investigación de la luz le condujo a diseñar un telescopio reflector. Fue también uno de los pioneros de una nueva rama de las matemáticas llamada cálculo.

También: .

S C .  9 10

. S  180

. C  200

Trigonometría

R



.

R . 

11

12

Trigonometría

PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. Convertir: 108º a centesimales y radianes 1000g a radianes y sexagesimales 45º a centesimales y radianes 150g a sexagesimales y radianes 7rad a sexagesimales y 5 centesimales

 rad a 6 centesimales

2. Si: 3

 5

sexagesimales

rad  (7x + 17)º. Hallar “x”

a0

g

b0

m

.

10. Un alumno al querer copiar 30º se equivoca y copia 30g ¿Cuál fue el error cometido en radianes?

6. Reducir

P 

100' 60m  100" 60s

Rpta.

Rpta.

11. Hallar “” de la figura

Trigonometría

centesimal

sexagesimal,

y radial de un

ángulo verifica: S 3C 6R    27 12 10 

Calcular la medida radial de dicho ángulo Rpta.

14. Si, S, C Y R es lo convencional

7. Reducir

M

E 

g

18 10º  m 200 120' Rpta.

Rpta.

12. Si el número de grados sexagesimales y centesimales de la medida de un ángulo están representados por dos números enteros y consecutivos, indicar su medida en el sistema radial.

8. Simplificar:

4. Si: 120º 

Rpta.

medidas

para un mismo ángulo, reducir:

Rpta.

A rad . Hallar B A  B A  B  P A.B

13. Las

Rpta.

Rpta.



rad = aºb’. 24 Calcular: E = b – a



Calcular: a + b

y

Rpta.

3. Si:

5. Si: 9º 27’

9. La diferencia de las medidas de 2 ángulos complementarios es 60g. Hallar el número de radianes de cada uno de ellos

H 

99º0,2rad 26º59'60"180 g

Rpta.

Rpta.

13

14

C  S  60R C  S

Rpta.

15. Reducir la Expresión

E 

C C

 S   C  S  2 2  S   C  S  2

2

Rpta.

Trigonometría

PROBLEMAS PARA LA CASA 1. Calcular:

N 

A) 1 D) 4

8000m

4. Convertir g

360  270º 216º 



10

B) 2 E) 1/3

rad

A) 45º

B) 55º

D) 72º

E) 75º

A) 1 D) 4

C) 68º

   D) 4 A)

3C  2S  40R C  S

A) 10

B) 20

D) 40

E) 50

C) 30

C) 176º

3. Hallar “P”

A) 6 D) 36

78 g 20º  300m 120' B) 2 E) 7

C) 16

E 

A) 1 D) 4

25º 50 g  64º 40 g 

B) 2 E) 5

 3



6

 3  E) 10 B)

C)

B) 2 E) 5

C) 3

10. Un alumno, al querer copiar 60º se equivoca y copia 60g ¿Cuál fue el error cometido en radianes?

 9

A)

8. La diferencia de la medida de 2 ángulos complementarios es 80g. Hallar la medida del mayor ángulo en radianes

6. Calcular

P 

rad  xºy'. Hallar

sexagesimales.

E 

B) 158º E) 196º

16

y x

5. Simplificar:

7 P  rad  40 g 9



9. Siendo

a

C) 3

2. Sumar

A) 166º D) 186º

7. Hallar “x”

C) E)

 6

B)

rad



30



21

D)

rad

 3

rad



10

rad

rad

A) /20 B) 3/20 C) 9/20 D) 22/45 E) /3 rad rad “TE

SORPRENDERÁ TENER LA OPORTUNIDAD DE

AYUDAR

C) 3

ESCUCHAR AUNQUE

A

UN LO

NO

SEMEJANTE

QUE

TIENE

ESTÉS

DE

CON

PARA

SÓLO

DECIRTE,

ACUERDO.

SABER

ESCUCHAR ES UNA DE LAS MANERAS MÁS GRATIFICANTES DE SER GENEROSO”

“DOMINAR A LOS DEMÁS ES UNA FÁCIL ILUSIÓN. DOMINARSE A SI MISMO ES UNA DURA REALIDAD”

MÓNICA BUONFIGLIO

LOUIS CATTIAUX

Trigonometría

15

16

Trigonometría

TEMA: SECTOR CIRCULAR Es aquella porción de círculo limitado por dos radios y un arco de circunferencia

CLAVES

1. C

6. A

2. C

7. A

3. A

8. C

4. D

9. B

5. A

10. C

De la figura se obtiene: A0B Sector Circular

LONGITUD DE ARCO (l) Es aquella en unidades de longitud de un arco de circunferencia, se calcula mediante el producto del número de radianes del ángulo central y el radio de la circunferencia. Deducción.– Sea la circunferencia con centro en “0” y radio “r” comparando la longitud de arco y el ángulo central como se muestra en la figura siguiente: Teniendo en cuenta el geométrico de 1rad. se tiene: Longitud de Arco l r De donde se obtiene

significado

Ángulo Central  rad. 1 rad. . l=.r .

Donde: l : longitud de arco  : número de radianes del ángulo central r : radio de la circunferencia

Trigonometría

17

18

Trigonometría

Ejemplo:

NUMERO DE VUELTAS (nv) Del gráfico mostrado, calcular la longitud de arco (l), siendo 0: centro. Solución: l =  . r Convirtiendo =30º  = 30º en rad πrad π 30º .  rad 180º 6

El número de vueltas que da una rueda de radio “r” al desplazarse (sin resbalar) se calcula mediante el cociente de la longitud que describe el centro de la rueda dividido entre 2r. (perímetro de la rueda).

 l= . 18 6 l = 3 cm

ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR (S) El área de un Sector Circular se calcula mediante el producto del número de radianes del ángulo con el radio de la circunferencia elevado al cuadrado dividido entre dos.

En esta figura el número de vueltas que da la rueda de radio (r) al desplazarse desde “A” hasta “B” se calcula:

Deducción.– Comparando (por regla de tres simple) Área de un Sector Circular  r2 S Resolviendo se obtiene: S 

 r2 2

también: S 

lr 2

nv 

Ángulo Central

(lc : longitud descrita por el centro de la rueda). (perímetro de la rueda).

2 rad.  rad.

S 

lc 2r

Ejemplo:

l2 2

¿Cuántas vueltas da la rueda de 4cm de diámetro?

Ejemplo: Del gráfico mostrado, calcular el área del sector A0B. 0: centro. Solución:   S = 6 cm2  = 60º . rad   rad 180º 3  62 S  . 3 2

Trigonometría

19

Solución: r = 2cm lC = 80 . 100cm

20

nV =

80 100cm

nV = 2000 vueltas

2 2cm

Trigonometría

PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. En

un

sector

circular

la

4. Se tiene un sector circular de

longitud de su arco es 1m. Si su

6cm de radio y 12cm de

ángulo central se aumenta en

longitud de arco. Si el radio

10% y su radio se disminuye en

aumenta 2cm sin que el ángulo

10%, se determina un nuevo sector circular cuya longitud de arco, en cm, es:

un ángulo cuya medida es 28º y un arco de longitud de 66cm. Encontrar péndulo,

la en

longitud m.

del

(considerar

=22/7)

la

nueva

longitud de arco?

Rpta. 8m.

5. En

un

sector

circular

se

conoce que su radio mide (x + 1)cm, su longitud de arco

Rpta. 8m.

9(x – 1)cm, y la medida de su ángulo central correspondiente (x2 – 1)rad. Hallar el valor de

10. En la figura, el perímetro del sector circular A0B es igual al del trapecio circular ABCD. Encontrar “

“x”

Rpta. 1,35

sector

Rpta. 2 circular,

el

quíntuplo de la longitud de su radio es igual al cuádruplo de su

será

8. Calcular el perímetro de la región sombreada.

2. Un péndulo oscila describiendo

un

¿Cuál

9. En el gráfico mostrado a continuación, calcule la longitud total de la trayectoria descrita por la bola ubicada en “P, desde la posición mostrada hasta llegar a la pared AB. (BC = 8m)

Rpta. 16 cm

Rpta. 99.

3. En

varíe

7. Las medidas de dos ángulos en el centro de una circunferencia son complementarias y las longitudes de los arcos que subtienden suman 4m, luego la longitud de radio de la circunferencia es:

longitud

del

arco

Rpta. R

6. Determinar la longitud de una circunferencia, sabiendo que en ella un ángulo central que 20g

respectivo; luego la medida de

mide

su ángulo central es:

longitud de arco igual a u.

Rpta. 1,25rad

Rpta. 20u

Trigonometría

determina

una

Rpta. 2/3rad

21

22

Trigonometría

11. Hallar a partir del gráfico W = x  0,5

2

13. El área de un sector circular de radio “R” es 4u2. ¿Cuál será el área de otro sector circular cuyo radio es “2R” y cuyo ángulo central es la mitad del anterior? Rpta. 8u2

Rpta. 5/4

12. Calcular el área del círculo

14. El ángulo central de un sector circular mide 36º y su radio es “R”, si se disminuye en 11º el ángulo central. ¿Cuánto hay que aumentar el radio para que el área no varíe? Rpta. R/5

sombreado

PROBLEMAS PARA LA CASA 1. En un sector circular la longitud de su arco es 1m. Si su ángulo central se aumenta en 20% y su radio se disminuye en 30%, se determina un nuevo sector circular cuya longitud de arco, en cm, es: A) 0,2 D) 1,82

B) 83 E) 84

C) 0,16

2. Un péndulo oscila describiendo un ángulo cuya medida es 36º y un arco de longitud de 88cm. Encontrar la longitud del péndulo, en m. (considerar =22/7)

15. Hallar de la figura: S  S2  S3 M 1 S2  S3

A) 0,14 D) 1,41

B) 0,4 E) 14

C) 1,4

4. Se tiene un sector circular de 7 cm de radio y 21 cm de longitud de arco. Si el radio aumenta 3 cm sin que el ángulo varíe, ¿Cuál será la nueva longitud de arco? A) 30cm B) 40cm C) 50cm D) 20cm E) 10cm

5. En

el

gráfico

continuación, longitud

mostrado

a

calcule

la

de

la

total

trayectoria descrita por la bola ubicada en “P, desde la posición mostrada hasta llegar a la pared AB. (BC = 6m)

3. En un sector circular, el héptuplo de la longitud de su radio es igual al doble de su longitud de arco respectivo; luego la medida de su ángulo central es: Rpta. 2m2

A) 3rad B) 3,5rad C) 1,5rad D) 0,3rad E) 2,5rad

Rpta. 2

Trigonometría

23

24

A) 7m B) 6m C) 8m D) 12m E) 10m

Trigonometría

6. Calcular el área del círculo sombreado

8. El ángulo central de un sector circular mide 20g y su radio es “R”, si se disminuye en 15g el ángulo central. ¿Cuánto hay que aumentar el radio para que el área no varíe? A) R D) 4R

2

2

A) 1m D) 4m2

B) 2m E) 5m2

2

C) 3m

B) R/5 E) R/2

10. Hallar



u2

B) 20u2 C) 5u2

3 D) 10u2 E) 12u2

“EL

S1

C) 3R

A) 1 D) 9

9. Hallar de la figura: S  S2  S3 M 1 S3  S2

B) 6 E) 10

“QUIEN CONOCE EL SABOR DE LA DERROTA, VALORA MEJOR SUS TRIUNFOS”

C) 8

ANÓNIMO

7. El área de un sector circular de radio “R” es 4u2. ¿Cuál será el área de otro sector circular cuyo radio es “2R” y cuyo ángulo central es la mitad del anterior? A)

S 3  S2

CLAVES

A) 3/4 D) 4/3

B) 1/3 E) 4

C) 1/4

MAYOR PELIGRO EN LA VIDA ES NO

ARRIESGAR NADA. Y EL HOMBRE Y LA MUJER QUE NO ARRIESGAN, NO HACEN NADA, NO TIENEN NADA Y NO SON NADA”

1. E

6. C

2. C

7. B

3. B

8. A

4. A

9. D

5. A

10. C

BACH

Trigonometría

25

26

Trigonometría

¿SABÍAS QUÉ...

TEMA: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE

MARSUPIALES

ÁNGULOS AGUDOS

TRIÁNGULO RECTÁNGULO Se llama triángulo rectángulo al triángulo donde uno de sus ángulos es recto (90º), además recuerde que el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los dos lados restantes catetos. En la figura mostrada:

c : hipotenusa a  b : catetos    : son ángulos agudos

CANGURO Las crías de canguro pasan unos 10 meses en la bolsa de su madre.

Además en el triángulo rectángulo se cumple: • Los ángulos agudos suman 90º

Los marsupiales difieren de otros mamíferos en que dan a luz crías inmaduras que viajan en la bolsa de su madre, donde se amamantan. De esta forma, se mantienen calientes y protegidos mientras se desarrollan. Algunos no tienen una bolsa propiamente dicha y las crías se agarran al pelaje de sus madres. Los marsupiales sólo se encuentran en Australia y en América. Los canguros y los koalas son marsupiales australianos, mientras que las zarigüeyas viven en América. Existen alrededor de 250 especies de marsupiales en el mundo, que van desde pequeños animales del tamaño de las musarañas hasta carnívoros del tamaño de un lobo.

.  +  = 90º . •

Teorema de Pitágoras . a2 + b2 = c2 .

•

La hipotenusa siempre es mayor que los catetos . c>ab .

Trigonometría

27

28

Trigonometría

RAZÓN TRIGONOMÉTRICA La razón trigonométrica de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo se define como el cociente que se obtiene al dividir las medidas de las longitudes de dos de los lados del triángulo rectángulo con respecto del ángulo agudo.

Ejemplo: Calcule los valores de las seis razones trigonométricas del menor ángulo agudo  en un triángulo rectángulo, cuyos catetos miden 8 y 15 unidades. Resolución Aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos: (8)2 + (15)2 = x2  289 = x2  x = 17

Si el triángulo anterior nos referimos a las longitudes de los lados del triángulo con los nombres hipotenusa (c) cateto opuesto (b) cateto adyacente (a). Podemos definir las razones trigonométricas de  del modo siguiente:

senθ 

cos θ 

tgθ 

hipotenusa



csc θ 



hipotenusa cateto opu esto al án gulo θ

sec θ 

b c

cateto ady acente al ángulo θ



cateto ady acente al ángulo θ

ctgθ 

Trigonometría

cateto opu esto al an gulo θ

catetoadya cente al á ngulo θ cateto opu esto al án gulo θ

hipotenusa cateto ady acene al á ngulo θ hipotenusa cateto opu esto al án gulo θ



Luego

a c

a b



c a

8 17

ctg  

cos  

15 17

sec  

17 15

csc  

17 8

tg 

b a



sen 

8 15

15 8

Razones Trigonométricas de los Ángulos Agudos: 30º, 60º, 45º, 37º Y 53º Las razones trigonométricas de estos ángulos se obtienen a partir de los siguientes triángulos rectángulos.

c b

29

30

Trigonometría

De los triángulos anteriores se obtiene: Ángulo

Del Triángulo Rectángulo ACB tenemos que: sen 

30º

37º

45º

53º

60º

sen

1 2

3 5

2 2

4 5

3 2

cos

3 2

4 5

2 2

3 5

1 2

tg

3 3

3 4

1

4 3

3

ctg

3

4 3

1

3 4

3 3

sec

2 3 3

5 4

2

5 3

2

csc

2

5 3

2

5 4

2 3 3

R.T.

OBSERVACIÓN: LOS VALORES DE

BC AB

Por otra pare, del triángulo rectángulo AC’B’ tenemos que: sen  Luego:

B'C ' AB'

BC B'C '  AB AB'

Así encontramos el mismo valor para sen sin importar cual sea el triángulo rectángulo que utilicemos para calcularlo, una idea similar podría servir para las otras razones trigonométricas.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS Siendo  un ángulo agudo se cumple:

LAS SEIS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEPENDEN

csc  

1  sen . csc   1 sen

sec  

1  cos  . sec   1 cos 

ctg 

1  tg .ctg  1 tg

ÚNICAMENTE DE LA MEDIDA DEL ÁNGULO Y NO DE LAS LONGITUDES DE LOS LADOS DEL TRIÁNGULO RECTÁNGULO.

Lo anterior lo podemos describir a continuación, en la siguiente figura. Ejemplo: Si

Trigonometría

31

32

sen  

3 4  csc   4 3

cos  

1  sec   5 5

ctg 

5 3  tg  3 5

csc  

3 2  sen  2 3

Trigonometría

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Dos ángulos agudos se llaman complementarios si su sima es un ángulo recto.

Ejemplos: sen40º = cos50º tg80º = ctg10º cos62º = sen28º

sec20º = csc70º ctg3º = tg87º csc24º = sec66º

Ejercicio: si: sen(40º + ) = cos(10º + ); 12º <  < 24º, halle  Resolución Por lo anterior se tiene: (40º + ) + (10º + ) = 90º 2 = 40º   = 20º

En la figura se muestra:  y : Son ángulos complementarios ( +  = 90º) Hemos nombrado el ángulo opuesto al cateto b como  y al ángulo opuesto al

OBSERVACIÓN: RECORDEMOS QUE

cateto a como  en consecuencia:

COLOCAN SUS RESPECTIVAS LETRAS MINÚSCULAS POR DECIR: SI EN UNO DE

EN LOS VÉRTICES DE LOS TRIÁNGULOS SIEMPRE SE

COLOCAN LETRAS MAYÚSCULAS Y A LOS LADOS QUE SE OPONEN SE LOS VÉRTICES DEL TRIÁNGULO COLOCAMOS LA LETRA

sen 

tg  

b  cos  ; c

b  ctg  ; a

sec  

c  csc  ; a

cos  

a  sen  c

ctg  

a  tg b

csc  

c  sec  b

“A”,

EN SU LADO

OPUESTO COLOCAREMOS SU MINÚSCULA “A”.

Debido a estas relaciones las razones: •

seno y coseno

•

tangente y cotangente

•

secante y cosecante

Se llaman co–razones trigonométricas una de la otra

Trigonometría

33

34

Trigonometría

PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. Del gráfico hallar “tg . tg”

5. Del gráfico calcular “tg”

8. En un triángulo rectángulo el coseno de uno de sus ángulos

3. Del gráfico calcular “tg” si: 5BF  7FE

agudos

es

0,96.

Si

su

hipotenusa mide 50m. Hallar el

perímetro

de

dicho

triángulo Rpta.

Rpta.

Rpta.

1 2

7 12

6. En

4. Del gráfico calcular:

2ctg 

2. En un triángulo rectángulo el

2 3

un

Rpta. 112m

triángulo

9. En

un

triángulo

rectángulo

ABC, recto en B, si b  2 2ac .

ABC recto en C, se cumple:

Calcular: E  tgA  tgC

tgA + tgB = 3

Rpta. 8

7. Si ABCD Calcular:

coseno de uno de sus ángulos 12 agudos es , si el menor de 13

rectángulo

Rpta. es

un

E  6ctg  ctg 

15 3

cuadrado. 10. Calcular: E=sen25º.sec65º+tg40º.tg50º

sus lados es 20m. determine el mayor de los lados

Rpta. 2

Rpta. 52m

Rpta. 4

“ALCANZARÁS

BUENA

11. Calcular x:

REPUTACIÓN

Si: tg(3x – 10º) . tg70º = 1

ESFORZÁNDOTE POR SER LO QUE DESEAS”

SÓCRATES

Trigonometría

Rpta. 5

35

36

Rpta. 10º

Trigonometría

12. Calcular: sen10ºsen20º........  sen80º E  cos 10º cos 20º........  cos 80º

PROBLEMAS PARA LA CASA

15. Calcular “x” e “y” si: tg(x + 10º) . ctg(30º + y) = 1

1 sen + cos 4

Rpta. 1 Rpta. 50º y 30º 13. Calcular “x” si: Tg(3x–15º)=tg10º.tg20º.tg30º ......tg70º.tg80º Rpta. 20º

3. Si “” es un ángulo agudo y

1. De la figura, calcular:

sen(x + 5º) = cos(y + 5º)

sec = 13/12. calcular: P = csc – ctg

16. Calcular “E” sen 3x  10 º  E cos 80 º 3x 

A) 1/5

B) 1/4

D) 1/2

E) 2/3

4. En

Rpta. 10

un

triángulo

C) 1/3

rectángulo

ABC (recto en B), AB = 3 y

14. Calcular “x” E = (2sen20º + 3cos70º) . (5csc20º . 3sec70º)

A) 1

B) 2

D) 4

E) 5

C) 3

BC = 7. Si se prolonga BC hasta el punto D y tgD = 1/4, calcular la longitud de CD .

Rpta. 10 2. De la figura, calcular: tg

A) 3

B) 4

D) 6

E) 7

5. En

un

ABC secA

C) 5

triángulo

rectángulo

(recto

en

+

ctgB

=

7;

C)si: hallar

E = cscB - tgA

Trigonometría

37

38

A) 1

B) 2

D) 4

E) 5

C) 3

A) 1/7

B)

D) 7 / 7

7

C)

7 /7

E) 3 7

Trigonometría

6. En un triángulo rectángulo ABC. TgA = 2,4, determine el perímetro del triángulo si además el lado mayor mide 39 cm. A) 30cm B) 60cm C) 90cm D) 120cm E) 150cm

11. En un triángulo rectángulo ABC, recto en “C, se sabe que: C 3 a .b

9. Indicar la diferencia de las raíces de la ecuación xsec60º = x.sen30º + 3 A) 2,5

B) 3,5

D) 4,5

E) 3

Calcular: E = tgA + tgB C) 4

A) 1 D) 4

7. Calcular de la figura: Q = sec – tg

B) 1/20 E) 1/50

C) 1/30

8. De la figura, calcular el valor de: csc + 2csc

A) 3 D) 6

Trigonometría

B) 4 E) 7

A) 1/4 B) D)

3/4

3 / 8 C)

B) 2 E) 9

JOSÉ FERNÁNDEZ

C) 3

CLAVES

10. De la figura, hallar tg

A) 1/10 D) 1/40

“MEJOR QUE APRENDER MUCHO, ES APRENDER BUENAS COSAS”

2/4

E) 1/8

1. A

7. A

2. B

8. C

3. A

9. B

4. C

10. B

5. A

11. D

6. C

12. E

C) 5

39

40

Trigonometría

¿SABÍAS QUÉ...

TEMA: RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Las aplicaciones de la trigonometría en campos como topografía y navegación requieren resolver triángulos rectángulos. La expresión “Resolver un triángulo” significa encontrar la longitud de cada lado y la medida de cada ángulo del triángulo. En esta sección veremos que podemos resolver cualquier triángulo rectángulo si se nos da: I. Las longitudes de dos lados. II. La longitud de un lado y la medida de un ángulo agudo.

MAMÍFEROS ACUÁTICOS

1. Conociendo las longitudes de los lados: Ejemplo: Resolver un triángulo rectángulo, sabiendo que sus catetos miden 1 y 2 respectivamente. Resolución • Para calcular x, aplicamos el teorema de Pitágoras: (1)2 + (2)2 = x2  x2 = 5 x= 5

GRANDES NADADORES Los delfines y las ballenas nadan moviendo la cola arriba y abajo y no hacia los lados como lo hacen los peces.

Los delfines, las ballenas, las focas y las morsas son mamíferos, pero se han adaptado a la vida acuática. Su cuerpo tiene forma hidrodinámica, las extremidades anteriores presentan forma de aleta y la cola es plana. Las ballenas y las focas poseen una capa de grasa bajo la piel para protegerse del frío. Los delfines y las ballenas nunca salen del agua, incluso se aparean y dan a luz en ella. Cuando nacen las crías, sus padres las empujan hasta la superficie para que respiren por primera vez. Las focas y las morsas se aparean y dan a luz en tierra.

Trigonometría

41

•

42

Para determinar la medida del ángulo , calculemos una razón trigonométrica con los catetos de longitudes 1 y 2. 1 Por decir: tg =   = 26º30’ (aproximadamente) 2 como:  +  = 90º   = 63º30’ Con la cual el triángulo rectángulo queda resuelto.

Trigonometría

2.

CONCLUSIÓN:

A. Conociendo la longitud de la hipotenusa y un ángulo agudo incógnitas x, y •

•

•

Cálculo de x: x = cos  x = a cos a Cálculo de y: y = sen  y = a sen a En el triángulo rectángulo la medida del otro ángulo agudo es: 90º – .

C. Conociendo un ángulo agudo y la longitud del cateto adyacente a dicho ángulo Análogamente a los triángulos rectángulos anteriores

Conclusión:

Ejemplos:  B. Conociendo un ángulo agudo y la longitud del cateto opuesto a dicho ángulo incógnitas x, y •

•

•

Trigonometría

Cálculo de x: x = ctg  x = a ctg a Cálculo de y: y = csc  y = a csc a En el triángulo rectángulo la medida del otro ángulo agudo es: 90º – .

43





44

Trigonometría

Aplicaciones

Resolución Graficando, tenemos por condición al problema

1. Un topógrafo puede medir el ancho de un río emplazando su tránsito en

Sea h la altura a la cual se encuentra la cometa, a partir de la figura vemos que: h = sen22º 12  h = 12 sen 22º h = 12(0,374) = 4,488 h = 4,488 m

un punto C en un borde del río y visualizando un punto A situado en el otro borde. Después de girar un ángulo de 90º en C, se desplaza 200 m hacia el punto B, aquí mide el ángulo  y encuentra que es de 20º. ¿Cuál es el ancho del río?

ÁREA DE LA REGIÓN TRIANGULAR (S) El área de cualquier región triangular está dado por el semi producto de dos de sus lados multiplicado por el seno del ángulo que forman dichos lados. Así tenemos: Del gráfico: Resolución S 

Buscamos la longitud del lado b, conocemos a y , por lo que usamos la b relación tg = a Reemplazando: tg 20º 

b 200

Demostración:

 b = 200tg20º  el ancho del río es (200 tg20º) m

Por geometría S, se calcula así b .h S  (h: altura relativa del lado b 2 En el triángulo rectángulo sombreado se tiene por resolución de triángulo que: h = a sen

2. Una cometa se queda atascada en la rama más alta de un árbol, si la cuerda de la cometa mide 12 m y forma un ángulo de 22º con el suelo, estime la altura del árbol encontrando la distancia que hay entre la cometa y el suelo (sen22º = 0,374)

Trigonometría

1 a b sen  2

45

46

Trigonometría

Luego:

b) SE

HA DEMOSTRADO QUE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS SON

NÚMEROS, LUEGO CON ELLOS SE PUEDE OPERAR ASÍ:

S 

b . asen 2

; (ba = ab)

S 

1 ab sen 2

I)

5 SEC – 2 SEC + 2 SEC = 4 SEC

II)

 1   cos    3  sen  . sen  2  sen   sen 

Ejemplo:

= 3 COS + 2

Calcular el área de la región triangular ABC, sabiendo que AB = 5 cm; Ac = 6

c) TENGA

N

CUIDADO CON LA EQUIVALENCIA SEN X

= (SENX)N;

LA PRIMERA

SE UTILIZA CONTINUAMENTE PERO LA SEGUNDA NO; PORQUE CORRE EL

cm y el ángulo comprendido entre dichos lados es igual a 37º

RIESGO DE CONCLUIR QUE:

(SENX)N = SENNXN 

Y ESTO ES INCORRECTO

Resolución Graficando tenemos Nos piden: S 1 (5cm) (6cm) sen 37º 2 1 3 S  (5cm) (6cm) 2 5

De la figura: S 

 S = 9 cm2

OBSERVACIÓN: a) EN

TRIGONOMETRÍA, LOS OPERADORES NO TIENEN SIGNIFICADO POR

SÍ SOLO, NI TAMPOCO PUEDE REALIZAR OPERACIONES ALGEBRAICAS ELLAS,

CON

DE

MANERA

QUE,

ES

ABSURDO,

CONSIDERAR

LAS

EN LA ANTENA SE PUEDE OBSERVAR LA APLICACIÓN DE

OPERACIONES

sen



Trigonometría

α   sen β   sen α  β   sen  (ABSURDO) ; sen  Absurdo

ÁNGULOS VERTICALES

47

48

Trigonometría

PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. Calcular “x” en:

6. Hallar “x”

9. Hallar x en términos de m,  y 

4. Calcular “ctg ”:

Rpta.

Rpta.

2. Calcular “tg” en:

7. Calcular: sensec

Rpta.

10. Hallar “x” en términos de H,  y

Rpta.

Rpta.

5. Calcular “ctg”

Rpta.

8. Hallar: tg

3. Calcular “x” en:

Rpta.

Trigonometría

Rpta.

Rpta.

49

50

Rpta.

11. Hallar AB en términos de Ry

Rpta.

Trigonometría

12. De la figura, hallar: tg

14. Hallar el perímetro del triángulo rectángulo sabiendo que uno de sus ángulos agudos mide “” y su cateto opuesto mide “a

17. Hallar el área de la región sombreada

18. Hallar “h”, si: sen =

1 5

Rpta.

Rpta.

15. Calcular:

S1 S y S2: áreas  S2 1 Rpta.

13. Calcular: cos

Rpta.

Rpta.

16. Calcular: tg si ABCD es un cuadrado

Rpta.

Rpta.

Trigonometría

51

52

Trigonometría

PROBLEMAS PARA LA CASA 1. Calcular “x” en:

A) 8

B) 9

D) 14

E) 20

5. Calcular “tg” del gráfico

7. Hallar “x” en términos de “d” y “” siendo AC  d y ED  x

3. Calcular “x” en:

C) 10 A)

31 B)

D)

41 E) 3 3

29 C)

A) 1/2

B) 2/3

D) 4/5

E) 5/6

C) 3/4

25

A) B) C) D) E)

d sen . cos d sen2 . cos2 2d sen2 . cos d sen  . cos2 2d cos2 . sen

6. De la figura calcular “x” en

2. Calcular tg en la figura si

términos de “”, “” y “d”

ABCD es un cuadrado.

8. Del gráfico mostrado. Hallar BD en términos de “”, “” y “d”

4. Calcular “tg”

A) d(ctg +ctg) B) d ctg.ctg

A) 2

B) 1/2

D) 5/3

E) 1/4

Trigonometría

C) 3/4

A) 2

B) 1/2

D) 1/5

E) 2/3

C)

C) 1/3

d ctg . ctg

D)

E) (ctg – ctg) . d

53

54

d ctg  ctg

A) B) C) D) E)

d d d d d

sen sen cos cos tg tg sen cos cos sen

Trigonometría

9. Hallar AC sombrada es lado “n”

si la región un cuadrado de

TEMA: ÁNGULOS VERTICALES Y HORIZONTALES

10. De la figura, hallar “x” en términos de “m” y “”

INTRODUCCIÓN Debido a que en nuestra vida cotidiana indicamos la posición de los objetos dando referencias que nos permitan la mayor precisión para ubicarlos, en el presente tema definiremos en un mismo plano al observador y al objeto en observación. Así como también ángulos que nos permitan

A) B) C) D) E)

n (1 + n (1 + n (1 + n (1 + n (1 +

A) B) C) D) E)

sec + cos) sec + csc) tg + ctg) tg + sec) ctg + csc)

visualizar determinado punto del objeto en consideración.

m sen + tg m sen cos 2m sen 2m cos m tg

A

continuación

enunciaremos

algunos

puntos

que

consideramos

importantes para el desarrollo del tema: Línea Vertical: Vertical de un lugar es la línea que coincide con la dirección que marca la plomada. Línea Horizontal: Se denomina así a toda aquella línea perpendicular a la vertical. Plano Vertical: es el que contiene a toda la línea vertical.

CLAVES

Línea Visual: Llamada también línea de mira, es aquella línea recta imaginaria que une el ojo del observador con el objeto a observarse. 1. C

6. E

2. E

7. D

3. A

8. A

4. B

9. C

5. B

10. D

ÁNGULOS VERTICALES Son aquellos ángulos contenidos en un plano vertical formados por la línea de mira (o visual) y la línea horizontal. Que parten de la vista del observador. Los ángulos verticales pueden ser: Ángulos de Elevación Es el ángulo formado por la línea horizontal y la línea de mira cuando el objeto se encuentra por encima de la línea horizontal.

Trigonometría

55

56

Trigonometría

ÁNGULOS HORIZONTALES Son aquellos ángulos que se encuentran sobre un mismo plano (plano horizontal). Normalmente estos ángulos se ven en la navegación y la aviación. Éstos ángulos los constituyen los llamados puntos cardinales (este, oste, norte y sur).

: Ángulo de observación

Ángulos de Depresión Es aquel ángulo formado por la línea horizontal y la línea de mira cuando el objeto se encuentra por debajo de la línea horizontal. Dirección La dirección es la inclinación o ángulo que forma una línea con respecto a otra tomada como referencia. Así:

: Ángulo de depresión OBSERVACIÓN: AL ÁNGULO FORMADO POR DOS LÍNEAS DE MIRA SE DENOMINA ÁNGULO DE OBSERVACIÓN O DE VISIBILIDAD.

Respecto a “M” “P” se encuentra en la dirección EºS “Q” se encuentra en la dirección OºN Debemos tener en cuenta que cuando se toma como referencia la línea norte siguiendo en sentido horario, a esa dirección se le denomina rumbo.

: ÁNGULO DE OBSERVACIÓN

Trigonometría

57

58

Trigonometría

La Rosa Marina o Rosa Náutica Es un indicador de las direcciones, funciona a base del campo magnético de la tierra, éste instrumento lo utilizan los navegantes y aviadores, y está constituido por 32 direcciones

PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. Un observador se encuentra a 40m. de la base de un edificio, se acerca hacia el edificio en línea recta hasta un punto que se encuentra a 10m. del mismo. Si en su posición inicial observó a un punto del edificio con un ángulo de elevación de 37º y en la segunda observación lo hizo al mismo punto con ”” ¿Cuánto vale  ctg ? 2 Rpta.

2. Desde un acantilado se observan dos bolicheras en línea recta con ángulos de depresiones  y  ( < ) respectivamente, si ese instante la separación de las bolicheras es 120m ¿Qué altura a nivel del mar tiene el observador? 1   tg  ; tg  0,2  7   Rpta.

Trigonometría

59

60

3. La

antena

de

una

radio

emisora se encuentra sobre un morro, si su base es vista desde un punto sobre el plano horizontal con un ángulo de elevación de 37º. Si la altura de la antena es la tercera parte la del morro. ¿Cuánto medirá

el

ángulo

de

observación correspondiente a la antena desde el mismo punto de observación? Rpta.

4. Dos edificios de diferentes alturas se encuentran uno al frente del otro. Desde la parte superior e inferior del edificio de menor altura se observan

con

ángulos

de

elevaciones  y  un punto del extremo

superior

del otro

edificio respectivamente ¿En qué relación se encuentran sus alturas (menor/mayor)? Rpta.

Trigonometría

5. Un barco navega a 20km/h hacia el Este, en un instante desde el barco es visto un faro en el rumo N53ºE, al cabo de dos horas, es visto el faro desde el barco en la dirección O37ºN ¿Cuál es la distancia del faro a la 1ra y 2da observación? Rpta.

6. Un navío parte de un puerto en la dirección NE. Luego de una hora de camino desvía y, se dirige en la dirección S15ºE.

¿En

respecto

al

qué

puerto

se

equidiste

que

desde

al

puerto

punto de desvío? Rpta.

Trigonometría

éste y

al

10. De un edificio de 24m. de altura se divisa una torre con un ángulo de elevación de 30º y la base de la torre con un ángulo de depresión de 60º. Encontrar la altura de la torre. Rpta.

Rpta.

13. Emilio apunta

desde hacia

el

suelo

una

paloma

con un ángulo de elevación de 45º separados por una distancia

de

14,142m.

si

mientras Emilio se pone de pie, la paloma se aleja 14m. por la horizontal. Calcular la altura de Emilio, si el

8. Desde la base de un edificio Juan ve un halcón con un ángulo de elevación de 37º a una distancia de 12 pies y desde la parte superior del mismo edificio se ve la misma ave con un ángulo de depresión de 53º. Calcular la altura del edificio. Rpta.

dirección

encontrará el navío, de tal manera

7. Una persona sube una cuesta y cuando llega al punto máximo, ve que la altura de ésta es la mitad, del camino recorrido, hallar el ángulo que hace la horizontal con la cuesta

9. Calcular la altura de un árbol si el ángulo de elevación de su extremo superior aumenta desde 30º hasta 60º cuando el observador avanza 80m. hacia el árbol

11. En un ángulo de elevación de un edificio de 22º30’, nos acercamos a una distancia “m” y el nuevo ángulo es 45º. Hallar ”m” si la altura del edificio es 10m. Rpta.

paloma es de 16º. Rpta.

14. Un marciano se encuentra colocado sobre el edificio de

12. Cierto día Luis ve a Luisa en la parte más alta de un edificio de 16m. de altura con un ángulo de elevación de 53º. Si él se acerca al edificio y ella baja 10m. para luego ver Luis con un ángulo de elevación de 37º a Luisa. Calcular la relación de velocidades de Luis y Luisa, si todo es al mismo tiempo.

Rpta.

Rpta.

61

nuevo ángulo con que ve a la

62

9u

de

altura.

persona

Una

impresionada

observa con un ángulo de elevación de 53º a la parte superior

del

marciano;

luego se aleja 2u, luego observa con un ángulo de elevación de del

edificio.

37º a lo alto Calcular

la

altura del marciano. Rpta.

Trigonometría

15. Un avión se encuentra a una altura de 150m de un objetivo y se encuentra descendiendo con un ángulo de depresión “”. Luego de recorrer 150m es observado desde el objetivo con un ángulo de elevación de 26º30’, calcular a que la altura se encuentra el avión en dicha observación.

PROBLEMAS PARA LA CASA 1. Desde lo alto de un faro de “EL QUE NO PIERDE TIEMPO, TIENE MUCHO TIEMPO”

45m. de alto los ángulos de

que

depresión de 2 delfines que

elevación de 37º, cuando

se hallan en el mar y en una misma

FONTENELLE

dirección

observador 37º.

del

miden

Hallar

la

45º

y

distancia

entre los delfines

Rpta.

MEDICINA VETERINARIA

3. Un niño escala una montaña

A) 13

B) 15

D) 19

E) 20

tiene

llega

a

escalado

un la

ángulo

de

cumbre

a

hallar

la

150m.

altura de la montaña. A) 100m B) 90m C) 80m

C) 17

D) 70m E) 60m

4. Desde la parte más alta de un

un edificio se observa con

objeto que está en caída

un ángulo de depresión de

con un ángulo de elevación

64º la parte más alta de un

de 60º luego de un momento

poste

2. Una

persona

observa

lo vuelve a observar con un ángulo de elevación de 30º,

Facultad de Medicina Veterinaria

si en la primera observación se encontraba a 60m de

Descripción Ocupacional: El médico veterinario estudia y aplica procedimientos científicos y tecnológicos para la preservación y proyección de la salud animal, la crianza, producción, reproducción y mejoramiento genético de los animales. Examina, diagnostica y prescribe tratamiento médico y/o quirúrgico. Maneja los componentes en los sistemas de producción animal protegiendo el medio ambiente. Preserva la salud pública protegiendo la salud ambiental, mediante el control de las zoonosis, el saneamiento ambiental y la evaluación de la calidad de los alimentos y otros productos y subproductos de origen animal. Administra programas de salud animal y desarrollo pecuario.

Trigonometría

altura.

En

observación

la

segunda

estará

a

la

altura de:

63

64

A) 10m

B) 20m

D) 40m

E) 50m

C) 30m

de

5m

de

altura.

Calcular a que distancia se encuentra

el

poste

del

edificio (altura del edificio 45 m) Nota: considerar: sen64º = 80/89 A) 19,5m B) 20m C) 25m D) 30m E) 39m

Trigonometría

5. Desde

la

cúspide

monumento altura

de

los

de

30m.

ángulos

un de de

depresión de dos piedras, que están sobre el terreno en

la

respecto

misma del

son de 45º

dirección monumento,

y 37º

¿Qué

distancia los separa? A) 30

B) 20

D) 10

E) 40

C) 50

6. Desde lo alto de un edificio de 24m. de altura se divisa una torre con un ángulo de elevación de 30º y la base de la torre con un ángulo de depresión de 60º. Encontrar la altura de la torre. A) 32m

B) 18m

D) 16m

E) 12m

Trigonometría

C) 40m

7. Un barco navega directamente hacia el Norte, en un momento observa dos botes anclados y alineaos en la dirección Este, luego de recorrer 36 3 m observa los mismos

9. Una persona observa un poste con un ángulo de elevación ; cuando la distancia que los separa se ha reducido a la tercer parte la medida del ángulo se ha duplicado. Hallar .

botes en las direcciones, 60º al Sur del Este y 60º al Este del Sur. Hallar la distancia que separa a los botes. A) 40 D) 37

B) 50 E) 28

A) 15º D) 53º

C) 72

B) 10 E) 50

C) 45º

A) 10m D) 18m

B) 12m E) 16m

C) 20m

CLAVES

8. Dos barcos A y B parten simultáneamente en las direcciones E10ºS y E20ºN respectivamente, si antes de partir A es visto desde B en la distancia O70ºN. Determinar la distancia que recorre el barco A para encontrarse con B. si inicialmente estaban separados 10 millas. A) 20 D) 40

B) 30º E) 60º

10. Desde un punto de tierra se divisa lo alto de una torre de 24m de altura con un ángulo de elevación de 37º. ¿Qué distancia habría que acercase para que el ángulo de elevación tenga como tangente 2?

1. B

6. B

2. B

7. C

3. B

8. A

4. E

9. B

5. D

10. C

C) 30

65

66

Trigonometría

TEMA: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE

CUALQUIER MAGNITUD (R.T.C.M.) ANGULO EN POSICIÓN NORMAL Un ángulo trigonométrico está en POSICIÓN NORMAL, si su vértice está en el origen de coordenadas y su lado inicial coincide con el lado positivo del eje X. Si el lado final está en el segundo cuadrante, el ángulo se denomina ÁNGULO DEL SEGUNDO CUADRANTE y análogamente para los otros cuadrantes. Si el lado final coincide con un eje se dice que el ÁNGULO NO PERTENECE A NINGÚN CUADRANTE.

1. Propiedad Si  es un ángulo en posición normal positivo y menor que una vuelta entonces se cumple:

Ejemplos: Si   I

 0

<  < 90º

Si   II

 90º

<  < 180º

Si   III  180º <  < 270º Si   IV

 270º <  < 360º

Ejemplos:   

  

I II III

1. Si   III ¿En qué cuadrante está 2/3?

90º  a ningún cuadrante  no está en posición normal

Resolución Si   III



180º <  60º

ÁNGULO CUADRANTAL Un ángulo en posición normal se llamará CUADRANTAL cuando su lado final coincide con un eje. En consecuencia no pertenece a ningún cuadrante. Los principales ángulos cuadrantes son: 0º, 90º, 270º y 360º, que por “comodidad gráfica” se escribirán en los extremos de los ejes.

Trigonometría

67


0  sen = tg230 – tg245º

Rpta. “EL

Calcular: cos

2 4 8    ...... . 3 9 27 Además   IIIC, calcular: 10 cos   tg

20. Si tg = 1 +

SILENCIO ES ELEMENTO EN EL CUAL SE

FORMAN LAS MÁS GRANDES COSAS Y DEBE SER EL PRINCIPIO Y EL FIN DE TODA REALIZACIÓN”

Rpta.

Trigonometría

Rpta.

JORGE ADOUM

75

76

Trigonometría

PROBLEMAS PARA LA CASA 1. En

el

esquema

mostrado,

3. Del

gráfico

mostrado,

5. Si se tiene que cos > 0 y además: 8tg+1 = 4; calcule el valor de “sen ”

calcule el valor de:

calcular “sec”

A) 

E = 4tg  + 3

D)

A)  5

3 D)  2

5 B)  2

5 C)  3

6 E)  2

A) –3

B) –1

D) 9

E) –6

“”

un

A) 0 D) 2,5

C) –5

ángulo

en

2. El punto (3; –4) pertenece

posición normal del segundo

al lado final del ángulo en

cuadrante, donde tg = –3/2;

posición

calcule el valor del

calcule:

B) –4

D) –10

E) –11

Trigonometría

E)

C)



B) 1 E) 1,25

C) –5

2 10

C) 1,5

7. Del gráfico mostrado calcule el valor de: M = csc + cos

A) 1

B) 2

D) 4

E) 5

C) 3

A) 1 D) 4

77

A) 1 D) 2

B) 0 E) ½

9. Indicar el expresión:

C) –1

signo

de

la

 sen 220 º.cos 370 º.tg275 º     sec 45 º.cos 120 º.sec 240 º 

A) + B) – D) – y + E) F.D.

C) + ó –

10. Si el punto (–1; 3) pertenece al lado final de un ángulo en posición canónica ””, calcular: R = sen . ctg

E  3  13 sen   cos  

M = 5 cos + 6 tg A) –3

10

3 10 3 10

6. Siendo “” un ángulo en posición estándar del tercer cuadrante, para lo cual se tiene que ctg = 2,4, calcule el valor de: E = tg – sec

4. Siendo

normal;

1

1 B) 10

8. A partir del gráfico, hallar: cos – cos

78

B) 2 E) 5

C) 3

A)  1 / 10

B)  2 / 10

 3 / 10

D)  4 / 10

C) E)

10

Trigonometría

CLAVES

1. B

6. C

2. C

7. B

3. E

8. B

4. D

9. A

5. A

10. A

ÍNDICE PÁG.

SISTEMA DE MEDIDA ANGULAR ................................................................................. 7

SECTOR CIRCULAR........................................................................................................ 18

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS .............................................. 28

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS .......................................................... 42

ÁNGULOS VERTICALES Y HORIZONTALES ................................................................. 56

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE CUALQUIER MAGNITUD (R.T.C.M.) ........................................................................ 67

Trigonometría

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80

Trigonometría