5to II Trimestre
ÁRITMÉTICA – TEMA 10 MAGNITUDES La razón de sus valores correspondientes de las dos magnitudes es la misma constante. 2
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ÁRITMÉTICA – TEMA 10
MAGNITUDES La razón de sus valores correspondientes de las dos magnitudes es la misma constante. 2. Magnitudes Inversamente Proporcionales (IP). MAGNITUD: Viene a ser todo aquello que es suceptible de variación (aumento o disminución)
Dos magnitudes A y B son inversamente proporcionales (IP) si el producto de sus valores correspondientes es siempre la misma constante. (Valor de A) (Valor de B) = Constante Ejm.:
RELACIONES ENTRE DOS MAGNITUDES: La mayoría de las magnitudes dependen de otras de diferentes formas. Una de las formas más simples de estas dependencias viene a ser la proporcionalidad, la cual se puede dar de dos maneras: 1. Magnitudes Directamente Proporcionales (DP)
18.20 = 36.10 = 9.40 = 360
Dos magnitudes A y B son directamente proporcionales (DP) si la razón geométrica de sus valores correspondientes es siempre la misma constante. Valor de A Valor de B
Puede observarse que:
PROPIEDADES: Sean A ; B y C magnitudes y n ] , se cumplen: 1. Si A DP B B DP A Si A IP B B IP A
Cons tan te
Ejm.:
2. Si A IP B A DP
1 B
Si A DP B A IP
1 B
° An DP B n 3. Si A DP B ® n n °¯ A DP B ; n t 2 ° An IP B n Si A IP B ® n n °¯ A IP B ; n t 2
Observamos que:
1 8
4 32
2 16
6 48
0,125
4. Si A DP B , cuando C es constante
cte.
y A DP C, cuando B es constante A DP (B.C)
5TO GRADO DE SECUNDARIA
1
MAGNITUDES
4.
1.
Si la magnitud M es inversamente proporcional a la magnitud N. Hallar el valor de x.
En la empresa FITOMAX el sueldo de un empleado es proporcional al cuadrado del número de años de servicio. Dentro de cuántos años cuadruplicará su suelo.
Rpta.: ......................................................... 5.
Una rueda de 20 dientes de 280 RPM, engrana con otra que da 3000 vueltas por hora. ¿Cuál es el número de dientes de la segunda rueda?
Rpta.: ......................................................... 2.
Si la magnitud A es DP a B y C cuando A=10; B=2 y C=7. Calcular C cuando A=20 y B=4.
Rpta.: ......................................................... 6.
Se tienen 2 magnitudes A y B, tales que A es IP a 2 B . Si cuando B aumenta en un quinto, A varía en 22 unidades. ¿En cuánto varía A, cuando B disminuye en un tercio?
Rpta.: ......................................................... 3.
Sean A, B y C magnitudes que guardan cierta relación de proporcionalidad. A 24 B 4 C 3
45 m 9 5 2 n 2 9 6
Calcule m+n
Rpta.: ......................................................... 7.
El número de días que demora la construcción de una pared es inversamente proporcional al número de obreros que trabajan. Si 20 obreros demoran “n” días y 24 obreros demoran n–2 días. ¿Cuántos días demorarán 15 obreros para hacer la misma obra?
Rpta.: ......................................................... Rpta.: ......................................................... ARITMÉTICA
5TO GRADO DE SECUNDARIA
2
MAGNITUDES
10 1.
5.
Una rueda de 27 dientes engrana con otra de 12 dientes. Dando la primera 400 vueltas por minuto. ¿Cuántas vueltas dará por minuto la segunda?
Si la magnitud A es directamente proporcional a la magnitud B. Calcular la cantidad m.
Rpta.: ......................................................... 6.
2
Se sabe que A es DP a B . ¿En cuánto variará el valor de A, cuando B aumenta en su cuádruple?
Rpta.: ......................................................... 2.
3
Se tiene que A es DP a B . Si A=2 cuando B=30. Calcular B cuando A=16
Rpta.: ......................................................... 7.
Rpta.: ......................................................... 3.
2
Se tiene que A es DP a B e inversamente proporcional a C. Si A=10 cuando B=4 y C=18. Hallar B cuando A=80 y C=26.
El precio de una pulsera de oro es directamente porporcional al cuadrado de su peso. Si una pulsera cuesta S/.800. ¿Cuánto costará otra que pesa el doble del anterior?
Rpta.: ......................................................... 8. El peso de un elefante es DP a sus años de vida, si un elefante tuviera 384 kg tendrá 32 años. ¿Cuál sería su edad si pesará 324 kg?
La fuerza F de atracción entre dos cargas eléctricas es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. Si cuando están separados 27 cm la fuerza de atracción es 25 Newton, hallar la nueva fuerza de atracción, si ahora están separados 0,15 m.
Rpta.: .........................................................
Rpta.: .........................................................
Rpta.: ......................................................... 4.
5TO GRADO DE SECUNDARIA
3
ÁRITMÉTICA – TEMA 11
MAGNITUDES II
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS MAGNITUDES PROPORCIONALES 1 ) Cuando dos magnitudes A y B son directamente proporcionales las parejas de valores correspondientes al ser representadas en un sistema cartesiano se obtiene un conjunto de puntos colineales uno de los cuales coincide con el origen de coordenadas. Ej emplo:
2 ) Si las magnitudes A y B son inversamente proporcionales al representar en el sistema cartesiano las parejas de valores correspondientes, se obtienen puntos alineados sobre una curva la cual viene a ser una parte de una hipérbola equilátera. Ej emplo:
5TO GRADO DE SECUNDARIA
4
MAGNITUDES
SISTEMAS DE RUEDAS ENGRANADAS 1 ) Si dos ruedas están en contacto a través de sus dien-
2 ) Cuando dos ruedas están montadas sobre un mismo eje, independientemente del tamaño que puedan tener, girarán la misma cantidad de vueltas en el mismo tiempo.
tes, al girar una de ellas la otra también lo hace pero en sentido contrario.
1.
A partir del gráfico, hallar “a + b”, si las magnitudes A y B son D.P. y el área sombreada es de 20u 2 .
3.
El siguiente cuadro muestra los valores que asumen las magnitudes A y B que guardan cierta relación de proporcionalidad. Calcule: m + n
Rpta: .................................................. Rpta: ..................................................
4.
2. Si la siguiente gráfica representa dos magnitudes inversamente proporcionales. Hallar: “x+y”
Un polo de 1,50 m de longitud produce una sombra de 4,50 m. ¿Cuál será la altura de un edificio que a la misma hora origina una sombra de 75m?
Rpta: ..................................................
Rpta: .................................................. ARITMÉTICA
5TO GRADO DE SECUNDARIA
5
MAGNITUDES
5. E l va l o r d e u n a s e d a e s D . P. a l á r e a e inversamente proporcional al peso. Si un área de 2m 2 con 50 g de peso cuesta S/. 100. ¿Cuánto costará un área de 3m 2 con 100g de peso?
7. La ley de Boyle dice que: “La presión que soporta un gas es IP al volumen que ocupa; manteniendo la temperatura constante”. Si la presión disminuye en 6 atmósferas el volumen varía en 1/5 de su valor. Hallar la presión a la que está sometido dicho gas (en atmósferas)
Rpta: .................................................. 6. Una rueda A de 20 dientes engrana con otra rueda B de 40 dientes. Si la rueda A da 60 RPM. ¿Cuántas revoluciones dará la rueda B en 1 hora? Rpta: ..................................................
Rpta: ..................................................
11 1.
2. Del gráfico: Sabiendo que A IP B, calcular: x + y
Del gráfico: Si A y B son magnitudes calcular: a + b
Rpta: ..................................................
Rpta: ..................................................
5TO GRADO DE SECUNDARIA
6
MAGNITUDES
3.
Sean A y B, magnitudes. Calcular del gráfico: m + n +p
6. Se sabe que una magnitud A es I.P. a B 2 . Hallar el valor de A, sabiendo que si disminuye en 36 unidades, el valor de B varía en un 25%.
Rpta: .................................................. Rpta: .................................................. 4.
El precio de un ladrillo es proporcional a su peso e inversamente proporcional a su volumen. Un ladrillo de 27cm 3 y 24 kg cuesta S/. 32.
7. Dos ruedas A y B dentadas están engranadas y tienen 48 y 72 dientes cada una. Si en un minuto la rueda A gira 24 vueltas. ¿Cuántas vueltas dará la rueda B en ese mismo tiempo?
¿Cuánto costará un ladrillo de 64 cm 3 con un peso de 9kg?
Rpta: .................................................. 5.
El precio de un joya varía en forma proporcional al cuadrado de su peso. ¿Cuánto se perderá al partir una joya que costó 3600g en 3 partes cuyos pesos son entre sí como 1, 2 y 3 respectivamente.
Rpta: .................................................. 8. Una rueda A de 20 dientes engrana con otra rueda B de 75 dientes. Fija al eje de B hay otra rueda C de 35 dientes que engrana con una rueda D de 20 dientes. Si A da 60 vueltas por minuto. ¿Cuántas vueltas dará la rueda D?
Rpta: ..................................................
Rpta: ..................................................
ARITMÉTICA
5TO GRADO DE SECUNDARIA
7
MAGNITUDES
P
rob le m a s p rop ue stos
7.
La velocidad del sonido es DP a T , si la velocidad es 324 m/s a una temperatura de 16ºC. ¿Cuál será la velocidad en m/s a una temperatura de 25ºC? (T o temperatura en grados Kelvin) A) 390 B) 400 C) 405
8.
La figura muestra la gráfica de los valores que toman las magnitudes A y B. Calcular a + b.
NIVEL I 1.
Si la magnitud A es IP a la magnitud B. Calcular la cantidad n.
A) 72 D) 2.
3.
B) 108
116
D)
410
E) 420
C) 96
E) 124 2
Se sabe que A es DP a B . Si A=8 cuando B=16. Calcular el valor de A cuando B=9 A) 24
B) 36
D)
E) 56
48
C) 40
A) 12 D) 20 9.
Si se tienen 2 magnitudes A y B A 144
36 16
B
6
3
9
9
B) 18 E) 16
C) 14
Dado el gráfico. Hallar el nº de vueltas del engranaje B en 3 minutos.
4
12 18
se puede afirmar que A) A DP B D) 4.
2
3
A IP B
2
B) A DP B
C)
2
A IP B
E) A IP B
Se sabe que dos magnitudes A y B son directamente proporcionales. Hallar el valor de A, sabiendo que si A disminuye en 12 unidades, el valor de B varía 1 en de su valor.. 2 A) 12 B) 25 C) 28 D)
36
E) 42
5.
Dos ruedas de 30 y 45 dientes están concatenadas. En el transcurso de 5 minutos una da 60 vueltas más que la otra. Hallar la velocidad menor en RPM. A) 18 B) 24 C) 30 D) 36 E) 40
6.
Para pintar un cubo de 100 cm de arista se gastó
A) 15 B) 30 C) 45 D) 60 E) 75 10. El área cubierta por la pintura es proporcional al número de galones de pintura que se compra. Si para pintar 400 m 2 se necesitarán 25 galones. ¿Qué área se pintará con 12 galones? A) 180 m 2
B) 192 m 2
C) 196 m 2
D) 200 m 2 E) 208 m 2 11. Si A es D.P. a B. Calcular: “p + q” del gráfico
S/.2 000. ¿Cuánto se gastará para pintar un cubo de 1,5 m de arista? A) 4 000
B) 4 200
D)
E) 4 800
4 500
C) 4 250
A) 20 D) 27
5TO GRADO DE SECUNDARIA
8
B) 25 E) 28
C) 26
MAGNITUDES
NIVEL II 1.
2.
NIVEL III
Se sabe que A es D.P. a B 2 . ¿En cuántas veces aumenta el valor de A, cuando B aumenta en su triple? A) 16 B) 15 C) 3 D) 9 E) 8 El precio de un ladrillo es D.P. a su peso e I.P. a su volumen, un ladrillo de densidad 2,5 g / cm 3 cuesta S/. 1. ¿Cuánto costará un ladrillo de 600 cm 3 que pesa 1,2 kg? A) S/. 0,50 B) S/. 0,60 C) S/. 0,70 D) S/. 0,80 E) S/. 0,90
1.
PRE-UNTELS
2.
6.
B) 90
C) 36 E) 60
Un edificio de 40 m de altura produce una som-
de 0,64 m? PRE UNI
3.
A) 1,2 m
B) 1,3 m
D) 1,5 m
E) 1,6 m
C) 1,4 m
Dos magnitudes son inversamente proporcionales; si una de ellas disminuye en 1/4 de su valor. ¿En cuánto aumenta o disminuye la otra? A) Aumenta en 1/4
hoja de coca baja en 10% y el precio de la yuca
5.
24
sona que a la misma hora produce una sombra
nuye el precio del café cuando el precio de la
B) Disminuye en 1/4 C) Disminuye en 1/5
C) 20%
D) 25% E) 30% Un edificio de 20 m de altura produce una sombra de 30 m. ¿Cuál será la estatura de una persona que a la misma hora produce una sombra de 2,70 m? A) 1,20m B) 1,60 m C) 1,80m E) 1,92m D) 1,90m
n
50
bra de 16 m. ¿Cuál será la estatura de una per-
y en forma IP al precio de la yuca. Averiguar en qué porcentaje aumenta o dismi-
B) 18%
200
A) 40 D) 54
La elongación producida al estirar un resorte es D.P. a la fuerza aplicada a dicho resorte. Si se aplica una fuerza de 18N se produce una elongación de 9cm. ¿Qué fuerza debemos aplicar para que la elongación sea de 11 cm? B) 16 N C) 20 N A) 11 N D) 22 N E) 24 N 4. En cierta ciudad de la selva el precio del café
sube en 20%. A) 10%
A B
Halle el valor de "n"
3.
varía en forma D.P. al precio de la hoja de coca
Sean A y B dos magnitudes, tales que: A D.P. B2 cuando B t 30 A I.P. B cuando B d 30 Además:
D) Disminuye 1/3 E) Aumenta 1/5 4.
Un edificio de 40 m de altura produce una sombra de 16 m. ¿Cuál será la estatura de una persona que a la misma hora produce una sombra de 0,64 m?
La figura muestra los valores de las magnitudes A y B. Hallar: m + n 5.
A) 1,2 m
B) 1,3 m
D) 1,5 m
E) 1,6 m
C) 1,4 m
Dos magnitudes son inversamente proporcionales; si una de ellas disminuye en 1/4 de su valor. ¿En cuánto aumenta o disminuye la otra? A) Aumenta en 1/4 B) Disminuye en 1/4 C) Disminuye en 1/5
A) 10 D) 16
B) 12 E) 18
C) 14
D) Disminuye 1/3 E) Aumenta 1/5
ARITMÉTICA
5TO GRADO DE SECUNDARIA
9
ÁRITMÉTICA – TEMA 12
REPARTO PROPORCIONAL - REPARTO INVERSO Se hace en forma I.P. a los índices, para ello se invierten los índices y luego se efectúa un reparto directo, como ya se conoce.
REPARTO SIMPLE - REPARTO DIRECTO Se hace de tal manera que las partes resultantes sean D.P. a los índices de proporcionalidad.
• Ejemplo: Repartir 594 en forma I.P. a 2; 3; 6 y 10.
• Ejemplo: Repartir 750 en forma D.P. a 6; 7 y 12.
REPARTO COMPUESTO PROPIEDAD Si a todos los índices de proporcionalidad se les multiplica o divide por un mismo número, entonces el reparto no se altera.
En este caso se trata de repartir una cantidad en forma D.P. a ciertos números y a la vez en forma I.P. a otros. Se procede de la siguiente manera:
• Ejemplo: En el reparto que se hizo a 750 en forma D.P. a 6; 7 y 12 se obtuvieron como resultados: 180; 210 y 360 ... pero ... ¿Qué pasaría si se reparte la misma cantidad D.P. a 6x2; 7x2; y 12x2? ... Veamos ...
• Ejemplo: Repartir 648 en forma D.P. a 4 y 6 y a la vez en forma I.P. a 3 y 9.
O sea, que si todos los índices se multiplican por un mismo número, el reparto no se altera. 5TO GRADO DE SECUNDARIA
10
MAGNITUDES
5. Repartir 4890 en 3 partes D.P. a: 12; 15 y 16 a la vez I.P. a: 9; 6 y 10. Indicar la parte mayor. 1.
Dividir S/. 468 en 3 partes que sean D.P. a: 2; 3 y 4. Indicar la mayor parte:
Rpta: ......................................................... 2.
Repartir 910 en partes I.P. a los números: 2; 3 y 4. Indicar cada una de las partes
Rpta: ......................................................... 6. Repartir 18000 en 3 partes que sean D.P. a las raíces cuadradas de los números 32; 50 y 72. Indicar cada una de las partes.
Rpta: ......................................................... 3.
Repartir 480 en tres partes D.P. a los números: 12; 16 y 20. Indicar cada una de las partes. Rpta: .........................................................
Rpta: ......................................................... 4.
7. 3 amigos fueron a un restaurant y pidieron un conejo, uno de ellos pidió el lomo, el otro las piernas y el tercero el resto. A los pocos instantes, los 3 amigos se intoxicaron y por ello el dueño los indemnizó con 7200 soles. Si el lomo era la tercera parte del conejo y las piernas la cuarta parte. ¿Cuánto de la indemnización, le tocó al tercero?
Repartir 750 en forma D.P. a los números: 30; 35 y 60. Indicar cada una de las partes.
Rpta: .........................................................
Rpta: .........................................................
ARITMÉTICA
5TO GRADO DE SECUNDARIA
11
MAGNITUDES
12 1.
5.
Repartir 1200 en partes D.P. a los números: 2; 3 y 7. Indicar cada una de las partes.
Al repartir 234 en tres partes tales que la primera sea a la segunda como 2 es a 9 y la segunda sea a la tercera como 3 es a 5. La parte menor que se obtiene es:
Rpta: ......................................................... Rpta: .........................................................
6. Dividir 585 en forma D.P a los números: 43 ; 4 ! y
2.
4 . Indicar cada una de las partes.
Repartir 740 en tres partes I.P. a los números: 4; 5 y 6. Indicar cada una de las partes.
Rpta: ......................................................... 3.
Rpta: ......................................................... Se reparte una cantidad en 3 partes inversamente proporcionales a 4, 6 y 9. Si la parte menor es 4000. Hallar la diferencia de las otras 2 partes.
Rpta: ......................................................... 4.
Repartir 468 lapiceros en forma inversamente proporcional a los números
8 ; 18 y
32 , e indicar
la mayor parte.
Rpta: .........................................................
5TO GRADO DE SECUNDARIA
12
7. Repartir 5000 doláres en partes D.P. a 2 20 , 2 23 , 2 25 . Indicar la parte mayor.
Rpta: ......................................................... 8. Se compra una “boletinka” entre tres amigos, si el costo fue 3 soles; además, se sabe que uno de los amigos puso 1 sol, el otro 0,5 soles y el tercero el resto. Si el boleto comprado ganó la “yapa” y premio con 6000 soles, libre de impuestos. ¿Cuánto le toco al que puso 0,5 soles?
Rpta: .........................................................
ÁRITMÉTICA – TEMA 13
REGLA DE COMPAÑIA
REGLA DE COMPAÑÍA Es un caso particular del reparto proporcional y se emplea para realizar distribuciones de beneficios o pérdidas entre los socios de una empresa mercantil, proporcionalmente al capital aportado y/o al tiempo de permanencia en la sociedad.
§ Ganancia · ¨ ¸ © o pérdida ¹
G2 C 2 . t2
a 4000 < 2
b 5000 < 2
a=4k ; b=5k ; c=6k
c a 6000 < 2 4 o
b 5
c 6
K
a + b + c = 15k = 4500
K = 300 o a = 1200 ; b = 1500 ; 1800 Ejemplo 2:
DP (Capital) (Tiempo)
Un comerciante forma un negocio aportando S/. 5000, 3 meses más tarde ingresa un socio con un capital de S/. 6000. Si el negocio duró un año y produjo una pérdida de S/. 570; hallar la pérdida de cada uno.
Para «n» socios: G1 C1 . t1
G 3=c ; C 3=6000 ; t 3=2 ; Se tendrá:
G3 C 3 . t3
........
Gn C n . tn
Resolución:
Siendo G i ; C i y t i la ganancia, capital y tiempo de permanencia en la sociedad respectivamente del iésimo socio (1 d i d n) .
Sean a y b las pérdidas de cada uno. P 1=a ; C 1=5000 ; t 1=12 ; P 2=b ; C 2=6000 ; t 2= 9 a 5000 u 12
Ejemplo 1: Al finalizar un negocio que duró 2 años, 3 socios desean repartirse una utilidad de S/. 4500, habiendo aportado el primero S/. 4000, el segundo S/. 5000, y el tercero S/. 6000. Hallar las partes de cada uno. Resolución: Sean a; b y c las partes de cada uno. Siendo; a + b + c = 4500 G 1=a ; C 1=4000 ; t 1=2 ; G 2=b ; C 2=5000 ; t 2=2
5TO GRADO DE SECUNDARIA
13
b a 6000 u 9 10
b 9
K
a = 10k ; b =9k o a + b = 19k = 570 K = 30 o
a = 300 ; b = 270
REGLA DE COMPAÑIA
8.
2.
La suma de los capitales de 2 socios es 30000 doláres, el aporte de la primera excede a la segunda en 4000 dólares si entre ambos han obtenido una ganancia de 4500 doláres. ¿Cuánto gano el primero?
Maritza y Fany deciden formar una empresa de servicios de mensajería para lo cual invirtieron $ 5000 y $ 3000, si luego de 6 meses maritza le compra su parte a Fany, además se sabe que la ganancia total hasta ese momento a sido 24000 doláres. Calcular con cuanto se retiro Fany?
Rpta: ........................................................ Rpta: ........................................................ 4.
Si Antonella y Geraldine forman un negocio reuniendo un capital de 10000 doláres y obtuvieron 7770 y 7030 doláres de utilidad. Indique cuanto aporto cada uno en el negocio.
10. Tres personas se asociaron formando una empresa aportando: 8000, 7000 y 5000 doláres, si al cabo de 6 meses la empresa ha obtenido una utilidad total de 24000 doláres. ¿Cuánto obtuvo el que aportó más?
Rpta: ........................................................ Rpta: ........................................................ 6.
Fabiola y Marly se asocian formando un negocio de comida rapida aportando 4800 y 5400 doláres respectivamente, pero al cabo de 7 meses Fabiola le compra su parte a Marly, si hasta ese momento el negocio a rendido una utilidad total de 4420 doláres, calcular con cuanto se retiro Marly.
12. Dos amigas forman una sociedad buscando utilidades, si la que tuvo la idea aporto 6858 soles y gano S/. 4572. ¿Cuánto gano su socia si aporto 3732 soles?
Rpta: ........................................................
Rpta: ........................................................
ARITMÉTICA
5TO GRADO DE SECUNDARIA
14
REGLA DE COMPAÑIA
13 1.
4.
Dos amigos se asocian y forman una pequeña empresa aportando sendos capitales que son entre si como 4 es a 3. Si al repartir las utilidades obtenidas en 5 meses se observó que las partes correspondientes se diferencia en 2000 doláres. Calcular el monto de dichas utilidades.
Al finalizar un negocio, sus 3 socios reciben entre aportes y ganancias S/. 4500, S/. 7000 y S/. 8500. Si la ganancia total fue de 8000 soles. Calcular la menor de las tres ganancias.
Rpta: ........................................................ Rpta: ........................................................ 2.
3.
Armando y Carlos deciden formar una empresa apo rtan do 2 0000 y 24 000 doláres respectivamente, si al cabo de un año de funcionamiento de la empresa obtuvieron una ganancia total de 144000 doláres. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?
Rpta: ........................................................ Guillermo empezó un negocio y 5 meses después acepto a Ricardo como socio el cuál aporto 2700 soles. Al final de los 12 meses de funcionamiento la sociedad se rompe, pues el negocio se liquido al obtener pérdidas por un total de 2100 soles. Si Guillermo se retiro con los 3/7 de su capital. ¿Cuánto perdió Ricardo?
Rpta: ........................................................
5TO GRADO DE SECUNDARIA
15
5.
Tres personas se asociaron formando una empresa aportando: 11000, 9000 y 8000 doláres, si al cabo de un año de iniciada la empresa se reparten todas las utilidades y se observa que el que aporto más capital obtuvo una utilidad de 25200 doláres. ¿Cuánto obtuvo el que aporto menos?
Rpta: ........................................................ 6. Una persona inicia una empresa con 8000 soles, si a los cuatro meses acepta un socio que aporto 7000 soles y cinco meses después se distribuye los 6420 soles de utilidad obtenidos durante los 9 meses. ¿Cuánto le corresponde al que inicio la empresa?
Rpta: ........................................................
REGLA DE COMPAÑIA
P
rob le m a s p rop ue stos
6.
NIVEL I 1.
7.
C) 125
Repartir 384 en 3 partes en forma D.P. a los
nancia obtenida se observó que la diferencia de las partes es de 4000 doláres .Calcular di-
Indicar el valor de la menor parte que se obtiene. A) 36 B) 45 C) 54
cha ganancia.
D) 63 B) 20000 E) 12000
E) 72
C) 36000 8.
Repartir 470 canicas en 3 partes en forma D.P. a 10; 15 y 25. Calcular la mayor parte obtenida.
La suma de los capitales de 2 socios es 24600
A) 230
B) 235
doláres, el aporte de la primera excede a la segunda en 2400 doláres. Si entre ambos han
D) 245
E) 250
obtenido una ganancia de 8610 doláres. ¿Cuánto
NIVEL II
gano el primero? A) 4725 doláres C) 4715 doláres
1.
B) 4720 doláres D) 4710 doláres
Repartir 161 en forma D.P. a los números: 2 4 ; 2 5 y 2 6 . Dar como respuesta la suma de las 2
José y Lucho deciden formar una empresa en sociedad para lo cual aportan 18000 y 2000 de funcionamiento de la empresa, obtuvieron una ganancia total de 95000 doláres. ¿Cuántos
2.
A) 60
B) 63
D) 69
E) 71
Al repartir 470 en 3 partes se observo que la parte la intermedia como 4 es a 3. Calcular el valor de la
A) 40000 y 550000
B) 30000 y 65000
mayor parte.
C) 20000 y 75000 E) 35000 y 60000
D) 45000 y 50000
A) 160
B) 180
D) 220
E) 240
Si Ximena y Tatania forman un negocio reuniendo un capital de 12000 doláres y obtuvieron 6440 y 8280 doláres de utilidad. Indique
3.
Repartir 500 juguetes en 3 grupos en forma 45 ; 20 y 125 . Calcular cuántos juguetes tiene
A) 5100 y 6900
B) 5150 y 6850
el menor grupo.
C) 5200 y 6800 E) 5300 y 6700
D) 5250 y 6750
A) 70
B) 80
D) 100
E) 110
obtenida. B) 200
D) 400
E) 480
C) 200
directamente proporcional a los números
cuanto aporto cada uno en el negocio.
Dividir 600 caramelos en 3 partes que sean D.P. a 3, 5 y 7. Indicar la suma de la mayor y menor parte
C) 66
mayor es a la menor 5 es a 3 y la parte mayor es a
doláres le corresponde a cada uno?
A) 120
C) 240
menores partes.
doláres respectivamente. Si al cabo de un año
5.
E) 140
números: 4; 5 y 3 e I.P. a los números: 2; 3 y 5.
E) 4705 doláres
4.
B) 110
D) 135
entre si como 7 es a 5. Si al repartirse la ga-
A) 24000 D) 48000
3.
A) 105
Antonella y Geraldine forman una empresa en sociedad aportando sendos capitales que son
2.
Repartir 711 en partes I.P. a los números 3; 5 y 8. Calcular la menor parte.
C) 90
4. Liquidada una empresa sus tres socios reciben entre aportes y pérdidas S/.4 000; S/.7000 y S/.8 000. Si la pérdida total es de S/.1 900, determinar cuánto aportó el segundo.
C) 280
a) S/.4 400 d) 7 700
ARITMÉTICA
b) 5 500 e) 8 800
c) 6 600
5TO GRADO DE SECUNDARIA
16
REGLA DE COMPAÑIA
5. Cuatro personas forman una compañía para explotar un negocio. El primero puso 1/3 del capital, el segundo 1/4, el tercero 5/18 del capital necesario y el cuarto puso los S/.250 restantes. Si al liquidar el negocio por pérdidas el primero se retira con S/.492, ¿con cuánto se retira el segundo? a) S/.250 d) 369
b) 615 e) 205
c) 410
6. Un empresario inició un negocio con un capital de S/.250 000 y al cabo de tres meses se asoció con otro que aportó S/.200 000 más del capital con que se inició el negocio; éste último aportó 7 meses hasta la liquidación donde el capital total de la sociedad era S/.643 220. ¿Cuánto más que el empresario original perdió el nuevo? a) S/.780 d) 700
b) 750 e) 600
c) 720
7. La empresa CATÓLICA inició una actividad con un capital de S/.1 500. A los 8 años admiten un socio que aporta S/.1 000; 7 años después a otro socio con un capital de S/.2 000; 5 años después se liquida la empresa obteniéndose una ganancia de S/.42 432. ¿A cuánto ascendió la ganancia de la empresa CATÓLICA? a) S/.28 600 d) 28 040
b) 28 400 e) 24 480
c) 24 080
NIVEL III 1.
Tres individuos se asociaron para la explotación de una industria, las ganancias fueron de S/. 262 125. ¿Cuánto correspondió a cada uno? I. Los capitales impuestos están en la misma relación que los números: 2; 3 y 7. II. Los tiempos de imposición en la misma relación que los números 1/5; 1/8 y 1/6. Para resolver el problema se requiere: A) solo I D) I ó II
B) solo II C) I y II E) Se requiere más datos
2. Se reparte una cantidad proporcionalmente a todos los números capicúas de dos cifras. ¿Qué fracción de la cantidad repartida representa la suma de las dos mayores partes obtenidas?
a)
2 9
b)
9 2
d)
17 45
e)
2 15
c)
15 46
5TO GRADO DE SECUNDARIA
17
3.
Se repartió una cierta cantidad entre tres individuos: el primero se quedo con los 5/9; el segundo con los 2/7, y el resto se dividió entre los tres por partes iguales. Después del reparto formaron una sociedad, y en tres años obtuvieron un beneficio. Se desea saber la ganancia de cada uno si: I. La ganancia de la sociedad fue de S/. 181 440. II. Al segundo le correspondió en el reparto primitivo S/. 198 000. Para resolver el problema son necesarios. A) solo I D) I ó II
B) solo II C) I y II E) Se requieren más datos
4. En el reparto que se hace de S/.1.320 entre “n” personas en forma directamente proporcional a los términos t1, t2, t3, ... , tn; la parte que le toca al último es 330. Halle “n”, si : ti = i + ti-1 (i>1) y t1 = 1. a) 10 d) 13
b) 11 e) 14
c) 12
ÁRITMÉTICA – TEMA 14
DIVISIBILIDAD
I.
DIVISIBILIDAD MULTIPLICIDAD Y DIVISIBILIDAD DE NUMEROS ENTEROS a. Divisibilidad de Números: Un número entero positivo es divisible entre otro positivo (módulo) cuando al dividir el primero entre el segundo el cociente es entero y el residuo es cero.
II. PROPIEDADES Y PRINCIPIOS FUNDAMENTALES a. La suma de varios módulos iguales seguirá siendo múltiplo del mismo módulo: nº nº nº ... nº nº
b.
La resta de dos módulos iguales seguirá siendo múltiplo del mismo módulo: nº nº nº
Donde: 20 es número entero 5 es número entero positivo (módulo) 4 número entero Entonces: 20 es divisible entre 5 5 es divisor de 20 5 divide a 20 b.
c.
Si: nº k nº
d.
Si §¨ nº ·¸
e.
Multiplicidad de Números Un número entero es múltiplo de otro positivo (módulo) cuando es el resultado de multiplicar dicho número entero positivo por uno entero cualquiera. 30 = 6∙5 Donde: 30 es número entero 6 es número entero positivo (módulo) 5 es número entero Entonces: 30 es múltiplo de 6 6 es submúltiplo de 30 6 es factor a 30
5TO GRADO DE SECUNDARIA
18
© ¹
k
nº
Obs : K =
todo entero es múltiplo de los factores positivos que lo forman o de las combinaciones de estos factores º ½ º ° 2 °¾ 6 °º ° 3 ¿° 180 ® ° 4º ½° º ° ¾ 20 °5º ° ¯ ¿
f.
Si:
N
g.
º
....120
aº r r ° º °º ®a r r MC M(a ;b ;c) r r °º °a r r ¯
·§ º · §º · º Si: §¨ nº r1 ·§ ¸¨ n r2 ¸¨ n r3 ¸ ... ¨ n rk ¸ © ¹© ¹© ¹ © ¹
DIVISIBILIDAD I
o
Entonces: nº r1 h.
x
r2
x
r3
x
....x rk
Observamos que: 10 6 7 1 y que en total hay 6 residuos diferentes: {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5} a dicha cantidad se le llama gaussiano.
Teorema de Arquímedes Euclides: En el producto de dos factores igual a cierto módulo, uno de los factores necesariamente es múltiplo del módulo. Ejemplo: º
º
A
7
B
15
A
9–1
12(B – 2) 17
B
17 2
–
3A
7
–
13B
–
4(A 1)
–
º
15 º
9 º
º
o
10 gaussiano
o
7 1
375 Aplicación 1: ¿Cuál es el resto de dividir 10 entre 7? Resolución
º
º
ECUACIÓN DIOFÁNTICA LINEAL : Es una ecuación algebráica cuyas variables son enteras: Aplicación 2: ¿Cuál es el resto de dividir 6 307 entre 8? Resolución
Ejemplo 1: Resolver en N 87x + 111y = 3903 Resolución
RESTOS POTENCIALES:
Aplicación 3: ¿Cuál es el resto de dividir tre 14?
Son los diversos residuos que se obtienen al dividir las diferentes potencias de una misma base entre un cierto número llamado módulo.
76CATOLICA2018
en-
Resolución
Ejemplo: Calcule los restos potenciales de la base 10, respecto al módulo 7. Resolución
n 0 1 r 1 3
2 3 4 5 6 7 8 .... 2 6 4 5 1 3 2 ....
ARITMÉTICA
5TO GRADO DE SECUNDARIA
19
DIVISIBILIDAD I
4.
º
En una división inexacta el divisor es 13 3 ; el º
º
cociente es 13 2 y el resto es 13 – 5 . Entonces, el 1.
dividendo es de la forma:
Del 1 al 8000: * ¿Cuántos son múltiplos de 10?
5. *
2.
3.
Rpta.: ........................................................ De la expresión: ab
¿Cuántos son múltiplos de 19?
º
7 3 ; cd
º
7 5
¿Cuál es el residuo de dividir abcd por 7?
¿Cuántos números de cuatro cifras son múltiplos 10 y 16?
Rpta.: ........................................................ ¿Cuántos números de tres cifras son múltiplos de 8 y terminan su escritura en 6?.
Rpta.: ........................................................
6.
7.
Rpta.: ........................................................ Al empaquetar menos de 900 caramelos de 4 en 4, de 3 en 3, y de 5 en 5 me sobran siempre 2 caramelos. ¿Cuántos caramelos como máximo se pueden tener?.
Rpta.: ........................................................ Tenga en cuenta los términos de la siguiente sucesión: 12·1; 12·2; 12·3; 12·4; ....; 12·184 ¿Cuántos de éstos términos son divisibles por 15?
Rpta.: ........................................................
5TO GRADO DE SECUNDARIA
20
DIVISIBILIDAD I
14 1.
5.
De los asistentes a una reunión 1/9 de los hombres usan corbata y 1/8 de los hombres tienen bigotes. ¿Cuántas mujeres asistieron de un total de 100 personas?.
La expresión: es igual a:
Rpta.: ........................................................ 6. Rpta.: ........................................................ 2.
Si N es un número entre 240 y 300 que sean divisibles por 3 y por 4. ¿Cuántos números existen con esta condición?.
Cuántos números de tres cifras múltiplos de 7 existen.
Rpta.: ........................................................ Rpta.: ........................................................ 3.
Del 1 al 2400, ¿cuántos no son múltiplos de 3;ni de 7?.
Rpta.: ........................................................ 4.
7.
Un número de la forma abab siempre es divisible por:
Rpta.: ........................................................ 8.
Del 500 al 3000, ¿cuántos números son múltiplos de 9 pero no son múltiplos de 13?.
Cuántos valores puede tomar ab en: ab 2 < ab 3 < ab .... 2a < ab
Rpta.: ........................................................
m91
Rpta.: ........................................................
ARITMÉTICA
5TO GRADO DE SECUNDARIA
21
ÁRITMÉTICA – TEMA 15
DIVISIBILIDAD II BINOMIO APLICADO A LA DIVISIBILIDAD
ECUACIÓN DIOFANTICA
BINOMIO APLICADO A LA DIVISIBILDIAD
Ax By
* (A, B, C, x , y) Z Luego: xo ; yo es una solución particular: tendremos la solución general.
Observamos que: 2 º * (n r)
( nº )2 2 ( nº )r r 2
nº nº r 2
* ( nº r )3 ( nº )2 3 ( nº )2 r 3 ( nº )r 2 r 3
nº r 2
nº nº nº r 3
C
B t d
xo
x
nº r 3
e
y
yo
A t d
donde: d = MCD (A; B) y t Z En particular si A y B son PESI (d = 1)
Generalizando: ( nº r )k
nº r k l k ]
x o Bt
x
Pero si el residuo fuera por exceso:
e
y
y o At
Ejemplo: Resolver la ecuación 52x + 68y = 3816 * al simplificar: 13x + 17y = 954 * expresando en función del módulo del menor coeficiente:
( nº – r)k = [ nº + (–r)]k ; donde tenemos: nº + (–r)k entonces esto depende de “k” Luego:
º
º
º
13 x + ( 13 +4)y = 13 + 5
º k °n r l k es número par ( nº r )k ® °nº r k l k es número impar ¯
luego:
º
º
º
13 + 13 + 4y – 5 = 13 º
º
4y – 5 + 13 = 13 4(y + 2) = 13 Ejemplo:
º
º
º
º
*
( 16 + 7)10 = 16 + 710
*
( 19 – 3)20 = 19 + 320
*
( 17 – 2)31 = 17 – 231
º
º
(y + 2) = 13 (Teorema de Arquímedes – Euclides) º
Si: 13 = 13 yo = 11 xo = 59 la solución general es: y = 11 + 13t x = 59 – 17t al reemplazar valores enteros a posibles soluciones: t ............... –1 0 x ............... –2 11 y ............... 76 59
º
5TO GRADO DE SECUNDARIA
22
“t”, tenemos sus 1 24 42
2 .... 37 .... 25 ....
DIVISIBILIDAD
5.
1.
La expresión: E
º
14 3
3
º
14 – 4
2
º
– 14 2
He comprado libros de química a S/.24 cada uno y libros de física a S/.18 cada uno. Si la cuenta total ha sido de S/.200, ¿de cuántas formas se pudo haber realizado la compra pagando siempre lo mismo?
5
es igual a:
Rpta.: ........................................................ 2.
¿Cuál es el residuo de dividir entre 9 el número N?
Rpta.: ........................................................
1004
N = 37
6.
En el sistema de base 9, la cifra de las unidades del 32 número 568 es:
Rpta.: ........................................................ 3.
º Si: N 13 3 80
entonces N
será: Rpta.: ........................................................ 7.
Rpta.: ........................................................ 4.
¿Cuál es la mínima cantidad de frutas que se puede comprar con S/.153, entre sandías, manzanas y ciruelas, si los precios unitarios de cada uno son S/ .50; S/.10 y S/.1 respectivamente? Se sabe además que se compró por lo menos una fruta de cada especie.
Calcular la suma de todos los valores positivos que puede tomar “x” en: 3x + 5y = 28
Rpta.: ........................................................
Rpta.: ........................................................
ARITMÉTICA
5TO GRADO DE SECUNDARIA
23
DIVISIBILIDAD
5.
15 1.
La expresión: M
º
17 2
3
º
17 – 1
8
º
– 17 – 3
Compré lapiceros de S/.4 cada uno y cuadernos de S/.6 pagando en total S/.34. Calcular el número de cuadernos que compré, si he comprado más cuadernos que lapiceros.
3
es igual a:
Rpta.: ........................................................ 6. Rpta.: ........................................................ 2.
En el sistema de base 7, la cifra de las unidades del 25 número 1459 es:
Al operar: F
º
5–3
4
º
5 –4
3
º
5 1
17 º
5 –1
10
º
– 7–2
6
se obtiene:
Rpta.: ........................................................ 7.
E
Rpta.: ........................................................ 3.
Calcular el resultado de dividir entre 6 la expresión: 1 < 71 2 < 7 2 3 < 7 3 .... 120 < 7120
¿Cuál es el residuo de dividir “M” entre 13? M
545 abc4
Rpta.: ........................................................ 8.
Rpta.: ........................................................ 4.
Determine el número de soluciones posibles si m y n son enteros positivos: 6m + 4n = 104
Rpta.: ........................................................
41
Al dividir el número n21n entre 56, el residuo por exceso es 35. ¿Cuál es el valor de “n” sabiendo que es máximo?
Rpta.:
5TO GRADO DE SECUNDARIA
24
ÁRITMÉTICA – TEMA 13
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
4. 7:
CRITERIO DE DIVISIBILIDAD
Si: DIVISIBILIDAD POR:
1. 2; 4; 8; .....; (2n) 5. 11: Si: Si:
6. 13:
2. 5, 25; 125; ......; (5n)
Si: Si:
7. 33 y 99: 3. 3 y 9:
Si:
Si:
5TO GRADO DE SECUNDARIA
25
REGLA DE COMPAÑIA
1.
5.
Calcular el máximo valor de a´b si: 7aa
º
y
5
ab
Calcular: (a+b) º
Si: ab5ba
º
4
44
Rpta.: ........................................................ 2.
Se conoce que:
Rpta.: ........................................................
º
º
º
a11 3a 22 3 ; b 4 b11b 4 ; c – 2 6c5 25
6.
Calcular: (a+b)
Dar: (a+b+c)
º
Si: 89a 46b
56
Rpta.: ........................................................ 3.
Teniendo en cuenta que: 31ab72
Rpta.: ........................................................
º
99
Calcular: a ´ b
7.
Calcular: (c+b); si: abcd
4.
º
99 y cd – ab
43
Rpta.: ........................................................ Calcular el máximo valor de (a+b); si: 3a1b8
º
72
Rpta.: ........................................................
Rpta.: ........................................................ ARITMÉTICA
5TO GRADO DE SECUNDARIA
26
REGLA DE COMPAÑIA
13
5.
1. Hallar la suma de todos los números de la forma
5353....5353
x3x que son múltiplos de 2.
19 cifras
Rpta.: ........................................................ 2.
Conociendo que es el numeral 2n2n2 divisible por 3; calcular el máximo valor de: E
6.
7.
º
º
Rpta.: ........................................................
Si:
8. º
5 ; abc
º
9 y cb
Calcular: (a+b+c) Si: 4a 3bc 1125
11
Rpta.: ........................................................
abc
º
45
Rpta.: ........................................................
Determinar el valor de “x”, si el numeral: x x 2 x 4 9 x 1
4.
Rpta.: ........................................................ Si: a 441ab Calcular: a´b
4 n 9n
Rpta.: ........................................................ 3.
Determine el resto de dividir entre 7 el siguiente numeral:
º
13
Si los números aaa ; abb y cba son divisibles por 27; 13 y 9 respectivamente. Calcular: a´b´c.
Calcular: a ´ b ´ c
Rpta.: ........................................................
Rpta.: ........................................................
5TO GRADO DE SECUNDARIA
27
REGLA DE COMPAÑIA
P
NIVEL II
rob le m a s p rop ue stos
NIVEL I
1.
1.
Hallar la suma de todos los números a5a A) 2220 C) 2420 E) 23220
2.
B) 2240 D) 3220 2.
º
5 y ba
º
3
A) 12 C) 10 E) 20 3.
B) 1 D) 10
Alicia compra botellas de vino tinto a S/.4 cada una y botellas de pisco a S/.18 cada uno. Si la cuenta total ha sido de S/.200; ¿de cuántas formas se pudo haber realizado la compra pagando siempre lo mismo? A) 4 D) 7
B) 35 D) 18 3.
B) 5 E) 8
C) 6
Dar el residuo de dividir “M” en 7. M = 295200
Si:
A) 1 C) 2 E) 4
º
7n 6 – x n 2 x
3
Hallar E máximo: E
3n 7n
A) 103 C) 120 E) 118 4.
º
65
Hallar: x · y A) 0 C) 6 E) 15
º
2.
Hallar aub máximo si: 6aa
xy63xy
B) 93 D) 117
4.
Determine el residuo de dividir: 5873 entre 8. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 0
5.
¿En qué cifra termina la suma?
Simplifique: E
º
º
72 7 3
4
º
7 5
4
B) 0 D) 3
216 + 532 A) 7º 3
B) 7º 4
C) 7º 5
D) 7º 6 6.
E) 7º 2 5.
B) 750 D) 600
7.
º
º
5 ; cba
11 y cb
B) 11 D) 13
º
45
Hallar x · y máximo. A) 5 C) 35 E) 21
B) 1194 D) 1182
ARITMÉTICA
º
7
Si: 4 x29y
Del 1 al 3800, ¿cuántos no son múltiplos de 5 ni de 7? A) 1184 C) 1104 E) 1164
abc
B) 2 D) 6
Hallar: a · c + b A) 10 C) 9 E) 12
Del 1 al 6000, ¿cuántos son múltiplos de 8? A) 500 C) 250 E) 800
6.
A) 1 C) 3 E) 7
B) 7 D) 12
5TO GRADO DE SECUNDARIA
28
REGLA DE COMPAÑIA
8.
Si: 4343....43
º
9 r
32 cifras
A) 4 C) 5 E) 6
B) 8 D) 7
NIVEL III 1.
Si: abbaaa es divisible por 72. Calcular el residuo al dividir. ( ababab ...... )UNI98 entre 28
ddd 42 cifras
a) 0 d) 9 2.
mnm
o
b) 5 e) 7
c) 6
Hallar la suma de todos los números no negativos que no se pueden obtener con la expresión : E = 6a + 5b, donde a y b son números enteros no negativos.
a) 70 d) 50 4.
c) 7
4 1 Si: 21 u mnm ¿Cuántos valores puede asumir mnm que sean múltiplos de 3 pero no de 9?
a) 3 d) 22 3.
b) 8 e) 27
b) 80 e) 40
c) 60
Hallar la suma de cifras del residuo que se obtiene al dividir 2 u (278 !) entre 281. a) 1 d) 10
b) 4 e) 12
c) 6
5TO GRADO DE SECUNDARIA
29
ica l ó t a L aC ÁLGEBRA - TEMA 10
RADICACIÓN RADICALES SIMPLES Y RAIZ CUADRADA DE UN POLINOMIO
D
esarrollo del tema Redefiniendo este concepto general, se tiene : • Si “n” es PAR : a 0 y b 0 • Si “n” es IMPAR : aR y bR Siendo el signo de “b”, el mismo que el de “a”
Es aquella operación algebraica que consiste en hallar una expresión numérica llamada RAÍZ, conocidos dos cantidades denominadas ÍNDICE y CANTIDAD SUBRADICAL, los cuales verifican la igualdad : n
n
a b b a;
n N,
n2
Ejemplos:
Donde : n : índice del radical a : cantidad subradical o radicando b : raíz enésima de “a” DEFINICIÓN DE RAÍZ ARITMÉTICA: Sea “a” un número real positivo y “n” un número natural (n 2), se denomina raíz enésima aritmética de “a”, al número positivo “b”, tal que bn = a. Esta raíz verifica la definición general: n
5
6
729 3
•
5
1024 4
•
3
1000 10
PROPIEDADES GENERALES DE LA RADICACIÓN EN EL CONJUNTO R P1) (a ; b ) R 2 y “n” un natural impar n
4
a bb a
n
4
a•
n
b
a• b n | a| •
n
| b|
P2) (a ; b ) R 2 y “n” un natural impar
243 3 3 5 243 ;
625 5 5
n
(a ; b ) R y “n” un natural par
n
siendo 3 la raíz quinta aritmética de 243. •
a• b 2
n
Ejemplos explicativos: •
•
a b
n
a
n
b
; b0
(a ; b ) R 2 y “n” un natural par
625 ;
siendo 5 la raíz cuarta aritmética de 625.
n
a n | a| ; b0 b | b|
EXISTENCIA Y UNICIDAD DE LA RAÍZ EN EL CONJUNTO R En la igualdad
n
a b , si “n” es un número natural (n
2) y “a” es un valor permisible para que n a esté definida en R, el valor de “b” existirá y será único.
5TO GRADO DE SECUNDARIA
30
P3)
m n
a
• •
Si “mn” es IMPAR : a R Si “mn” es PAR : a0
mn
a ;
( m ; n ) N2
ÁLGEBRA
RADICACIÓN
HOMOGENIZACIÓN DE RADICALES :
P4) n N , n 2 y a 0 n
am
n
a
m
m
Esta transformación elemental se fundamenta en el criterio : Un radical no altera su valor intrínseco cuando se multiplica simultáneamente por un mismo número, el índice del radical y el exponente del radicando. Es decir:
an
n N , “n” un número par y aR n
am n | a|
m
m
| a | n
n
a
m
np
a
mp
p0
;
P5) Si “n” es par o impar y a ³ 0 np
n
mp
m
a a Si “n” y “p” son pares y a < 0 np
a
n
mp
| a|
Ejemplo : Homogenizar o dar común índice los siguientes radicales :
m
6
n
bp
n
6 4
a mn • b p
n
p
mn
24
a
m
•
n
b
p
n
a
mn
•b
p
m a m a m | a | n am
()
n
n
Son aquellos radicales que tienen igual índice. Ejemplos:
2)
6
•
5
72 ,
xy ,
6
24 ; 5
xy
6
98
y
y
5
6
66
3x 4y
RADICALES SEMEJANTES
Ejemplos:
2x ,
74 4 2x , 2x 8
y
10
4
•
3
•
(a b ) m , ( b c ) m y (c a ) m
ÁLGEBRA
w
8 3 7 3 2 12 4 6 3 6 5 4 x ; y ; z ; w12
x
20
;
24
18
y
;
24
21
z
;
24
12
w
2º) Se extrae la raíz cuadrada al primer término del polinomio, el cual será el primero de la raíz. Luego, éste se eleva al cuadrado y el resultado se resta del polinomio. 3º) Se bajan los dos términos siguientes del radicando, y paralelamente se duplica la raíz encontrada. Se divide el 1º término bajado entre la expresión duplicada, obteniéndose el segundo término de la raíz.
Son aquellos radicales que admiten el mismo signo y además igual radicando.
4
;
1º) El polinomio radicando debe estar ordenado, generalmente en forma decreciente y no necesariamente ser completo.
a mn
RADICALES HOMOGÉNEOS
•
z7
Considerando que el polinomio es de grado PAR, se siguen los siguientes pasos :
CLASIFICACIÓN DE RADICALES 1)
8
PROCEDIMIENTO PARA EXTRAER LA RAÍZ CUADRADA DE UN POLINOMIO
El signo (–) resulta del valor absoluto, veamos:
y3 ;
p
• b a •b a 0 y “m” un número IMPAR. a
•
n
4
Resultan los radicales homogéneos :
Si “n” es par, debemos tener en cuenta: • a 0 y “m” un número PAR. m
;
El MCM de los índices 6, 4, 8 y 2 es igual a 24. Luego, homogenizando se tiene :
P6) (a ; b ) R 2 y “n” un natural impar am •
x5
2x
4º) Este término obtenido se le adiciona a la raíz duplicada, obteniéndose un resultado. Este resultado se multiplica por el segundo término de la raíz, para luego restarlo de los términos bajados del polinomio. 5º) Se bajan los dos términos subsiguientes y se repite el paso anterior, tantas veces hasta que el residuo sea de grado menor que el de la raíz o dicho resto sea un polinomio identicamente nulo.
31
5TO GRADO DE SECUNDARIA
RADICACIÓN
Calcular los valores de «a» y «b», si el polinomio mostrado :
Ejemplo (1) Extraer la raíz cuadrada del polinomio : 4
3
4
4 x 4 12x 313x 2 6x 1 2x2 3 x 1 4x4
12x 3 3
12x 13x
2
12x 3 9x 2
81x4 216 x3 216 x 2 ax b
3x ( 4x 2 3 x)(3x )
2(2x 2 ) 4x 2
81x
216 x 3 216 x 216 x
2
( 4x 6 x1)(1)
1
2( 9 x 2 ) 72 x2
2
2( 9 x 2 )
72 x ax b
12 x (18 x 2 12 x )( 12 x ) 4
(18 x 2 24 x 4)( 4 )
72 x 2 96 x 16 ( a 96) x ( b 16)
2
r (x) = 2x – 3x + 1 R(x) 0
Residuo :
Como es exacta :
Ejemplo (2)
R(x) = (a–96) x + (b-16) 0x + 0
Hallar la raíz cuadrada del polinomio : 6
5
4
3
Se cumplen: a – 96 = 0 a = 96
2
P(x) = 9x + 24x - 14x - 28x + 33x - 18x + 15
b – 16 = 0 b = 16
9x 6 24x 514 x 428x 3 33x 218 x 5 3x 3 4 x 2 5x 2 9x 6 24 x5 4 x 2 (6x3 4 x2 )( 4 x 2 ) 5 4 24x 14 x 2(3 x3 ) 24x5 16x 4
30x 4
30x 4 28x 3 33x 2 4
3
30x 40x 25x
3( 3x3 )
2
Ejemplo (5) Si la raíz cuadrada del polinomio : 4
12x 3
2
3
2
(6x 8x 10x 2)(2)
12x 316x 220 x 4 8 x 2 2 x 1 3
RADICACIÓN INEXACTA
2
•
7
5
4
P(x) - R(x) r(x) 0
Por el criterio mencionado : F(x) = P(x) – (3x+5)
Determinar la raíz cuadrada del polinomio : 10
RADICACIÓN EXACTA
P(x) r(x) R(x)
2
R(x) –8x + 2x + 1
Ejemplo (3)
P(x) = 16x
2
posee coeficiente principal y término independiente positivos. Calcular el valor de (b-a), si el resto de la extracción es igual a (3x+5). • Aplicando la siguiente propiedad :
r (x) = 3x + 4x – 5x + 2
Residuo :
3
P(x) = 9x + ax + bx - 67x + 54
5x (6x3 8x2 5 x)(5x )
12x 3 8x 218 x 5 2(3 x3 )
Raíz :
2
216 x 3 144 x 2
0
Raíz :
2
9 x 2 12 x 4
4 3
4x2 6 x 1 2(2 x2 ) 4x 2 6x 1
3
P(x) = 81x + 216x + 216x + ax + b tiene raíz cuadrada exacta.
2
P(x) = 4x – 12x + 13x – 6x + 1
El nuevo polinomio :
2
+ 24x - 8x + 9x - 7x + 4
4
3
2
F(x) = 9x + ax + bx - 70x + 49 tendrá raíz cuadrada exacta.
16 x10 24 x7 8 x5 9 x 4 7 x2 4 4 x 5 3 x 2 1 24 x 7
16 x10 24 x 7 8 x 5 9 x 4 24 x 7
2( 4 x 5 )
9x 4
8x5
8x 5
7 x2 4
8 x5
6 x2 1
2( 4 x 5 )
3 x 2 ( 8 x 5 3 x 2 )( 3 x 2 )
•
Utilizando la identidad de la radicación exacta. 2
1
5
Se tiene : F(x) [r(x)]
2
( 8 x 6 x 1)(1)
4
2
2
2
Identificando, luego de desarrollar el 2do. miembro, resultan las relaciones:
x2 3
32
2
a = 6n,
b = n + 42,
Luego
: n = –5 por lo tanto : a =– 30
y
Ejemplo (4)
5TO GRADO DE SECUNDARIA
3
9x + ax + bx –70x + 49 (3x + nx + 7)
14n = –70
: b = 67. Finalmente b – a = 97
ÁLGEBRA
RADICACIÓN
P
1.
rob lem a s d e c la se
Efectuar:
5. P
10 2 50
8 3 12
2 5
Calcular (A+B) si: 4
3
2
9x -12x +Ax +(B-5)x+25 tiene raiz cuadrada exacta
20
Rpta: ........................................................ 2.
Efectuar: 7 2
E
7 2
7 2 7 2
Rpta: ........................................................ 6.
Determinar (mn); si al extraer la raíz cuadrada del polinomio. 4 3 2 P(x)=4x -12x +13x +mx+n Se obtuvo como residuo: (n–m)x–3m
Rpta: ........................................................ 3.
Calcular: E
4 8 50 5 8 4 50 8 18
Rpta: ........................................................ 7.
Rpta: ........................................................ 4.
Calcular el valor de (m+n) si el polinomio: 4 3 2 P(x)=4x +mx +nx +24x+16 Es cuadrado perfecto
Determinar (m+n) si la raíz cuadrada de: 4
3
2
x +6x +mx +12x+n es exacta
Rpta: ........................................................
ÁLGEBRA
Rpta: ........................................................ 33
5TO GRADO DE SECUNDARIA
RADICACIÓN
10
Ta lle r N° 1.
6
5
4
3
2
B)
Q(x)=4x -12x +13x -22x +25x -8x+16
C)
A(x)=x +4x -6x +4x -12x+8
D)
M(x)=25a -20a +34a -52a -24a +15
E)
F(x)=9x -6x +13x -34x +19x +23
Efectuar: E 8 12 32 72 2 3
Rpta: ........................................................ 2.
6
4
3
2
Indicar la relación verdadera (V) o falsa (F) según corresponda: I.
a b a b a b
II.
3
3 2 2 3 3 2 2 19
III. 5 5 1 5 5 1 124
IV.
3 27 3 8 8
......... (
)
......... (
)
......... (
)
......... (
6
5
4
3
2
)
. 3.
Calcular: E
5
5 2 2 5 5 2 2 1
6
5
4
3
2
Rpta: ........................................................ 4.
Extraer la raíz cuadrada de los siguientes polinomios: A)
4
3
2
P(x)=x +6x -x -32x+18
5TO GRADO DE SECUNDARIA
34
ÁLGEBRA
RADICACIÓN
5.
7.
Extraer la raíz cuadrada de: 6
4
3
2
4x -16x +28x +16x -56x+49
Rpta: ........................................................ 6.
Obtener el valor de (n-m) si el polinomio: 4 3 2 P(x)=16x -32x +24x +mx+n Es cuadrado perfecto.
Rpta: ........................................................ 8.
Si el residuo de:
x 1 4 4 x 13 2 x 1 2 11x es equivalente a: mx+n, proporcionar el valor de (m.n)
Rpta: ........................................................
Rpta: ........................................................
ÁLGEBRA
Calcular el valor de (m+n) si el polinomio: 4 3 2 P(x)=4x +mx +nx +24x+16 Es cuadrado perfecto
35
5TO GRADO DE SECUNDARIA
RADICACIÓN
1.
P
4.
rob lem a s d e c la se
J
Evaluar:
si: x
2.
2a 1 x
2
x 1x
P x 4 x x 9 x x 16x x
Dar el valor de:
2
Sabiendo que: x
5
1 a – 2 b
b ;0 0
Finalmente, todo en (I), se obtiene la forma clásica de la descomposición en radicales simples :
Siendo {x,y} Ì Q+, tal que x > y > 0. Efectuando (a) + (b), resulta :
a±
a+ b + a - b = 2 x Elevando al cuadrado :
2a + 2
b - a- b = 2 y
2a - 2 a 2 - b = 4y
y ……(I)
Del cual, se generan las relaciones : a+
a+
b=
a+ c + 2
Siendo : C =
a -c 2
a2 - b
a 2 - b = 4x
CONDICIÓN : a2 - b = # cuadrado perfecto.
5TO GRADO DE SECUNDARIA
39
ÁLGEBRA
RADICACIÓN
REGLA I:
Ejemplo (1) :
(+ ) a + b + 2 ab = | a + b | ; Luego :
Descomponer
7 + 40 Identificando : a = 7 y b = 40
Por condición : c =
7 2 - 40 =
7+
40 =
7+ 3 + 2
7+
40 =
5+
a + b + 2 ab =
9= 3
7-3 2
b;
a > 0,
b> 0
Ejemplo : Descomponer
2
10 +
Ejemplo (2) :
10 +
4 21 =
84
10 + 2 21
7 + 3 + 2 7 3 =
Transformar
a+
7+
3
12 - 108
Identificando : a = 12 y b = 108 Por condición : c = 12 2 - 108 = 36 = 6
12 - 108 =
12 - 108 =
12 + 6 12 - 6 2 2
9 - 3= 3- 3
REGLA II: (+ ) a + b - 2 ab = | a - b | =
a- b
DEDUCCIÓN DE LA REGLA PRÁCTICA :
Considerando que a > b, se tiene :
Desarrollemos la potencia de ( a ± b)2 :
a + b - 2 ab =
2
( a±
b)2 =
a ± 2 a b+
( a±
b )2 = a + b ± 2 ab
b
( a± |
a±
b) = b| =
Ejemplo : Transformar
a + b ± 2 ab
21 - 432
21 - 4 • 108 =
a + b ± 2 ab
ÁLGEBRA
a > b> 0
2
Extrayendo raíz cuadrada mam, así : 2
a- b ;
21 - 2 108
12 + 9 - 2 12• 9 =
40
12 - 9 = 2 3 - 3
5TO GRADO DE SECUNDARIA
RADICACIÓN
P 1.
rob lem a s d e c la se
5.
Hallar el equivalente de: P 4 17 12 2
Efectuar: E 13 4 3 7 4 3
Rpta.: ........................................................
Rpta.: ........................................................ 2.
6.
Reduzca:
Indicar el valor simplificado de: E 12 140 8 28 11 2 30 7 2 6
E 74 3 3 2
Rpta.: ........................................................ 7.
Rpta.: ........................................................ 3.
Reduzca: Q 19 4 21 7 12 29 2 28
Reduzca: H 6 2 10 2 8 2 7
Rpta.: ........................................................
Rpta.: ........................................................ 4.
Transformar a Radicales Simples:
8.
E 24 2 60 2 84 2 35
Calcular: P
7 4 45 18 180
Rpta.: ........................................................ Rpta.: ........................................................ 5TO GRADO DE SECUNDARIA
41
ÁLGEBRA
RADICACIÓN
Ta lle r N° 1.
12
5.
A 62 3 2 6 2 2 =
Transformar a Radicales Simples: A)
E)
8 60
Transformar a Radicales Simples:
94 2
B 16 80 2 28 140 =
2.
B)
3 8
F)
74 3
C)
12 140 =
G)
12 8 2 =
D)
15 200 =
H)
12 108
C 21 4 5 8 3 4 15 =
6.
Reduzca: E
Efectuar:
2x 5 2 x 2 5x 6
x2 x3
P 18 6 3 12 6 3
Rpta.: ........................................................ 7.
Rpta.: ........................................................ 3.
Efectuar:
Hallar el equivalente de: E 2 16 192 21 432
K
12 4 3 7 4 3 28 6 3 12 4 3
Rpta.: ........................................................ 8.
Se cumple: 52 6 32 2 x2 y
donde x e y > 0 Calcular (x + y)
Rpta.: ........................................................ 4.
Transformar a Radicales Simples: L 10 24 40 60
Rpta.: ........................................................ Rpta.: ........................................................
ÁLGEBRA
42
5TO GRADO DE SECUNDARIA
RADICACIÓN
P
rob le m a s p rop ue stos
NIVEL II
NIVEL I 1.
1.
E 5 2 5 2 5 2 2 10 2
Efectuar: E 10 84 5 24
A) 1 D) 2.
Calcular:
2
B)
7
E)
7 1
C)
A) 8 D) 14
7 2
2.
Reduzca:
3.
B)
D) 2
E)
C)
–1
A) 10 D) 20
7 1
3.
–1
C)
D) –2
E)
2
A) 13/2 D) 11/4 4.
E 15 2 56
5.
7 2
B)
2 7 2
C)
7 3 2
D)
7 2 2
E)
7 2 2
5.
A)
2
D) 2 2 6.
B)
2 2
E)
0
C)
A) 24 D) 81 6.
A)
6
D) 3 7.
B) E)
3
C)
A) 0
B)
A) 12 D) 18
D) 4
E)
1
C)
7.
2
2
5TO GRADO DE SECUNDARIA
75 2
5
1 3
5
7 5 2
C)
B) E)
36 121
C)
4
25
B) E)
14 22
C)
3
16
Al extraer la raíz cuadrada al polinomio: 4 3 2 36x -156x +241x -158x+39 Indicar el residuo A) D)
43
–2
63 3 63 3
3
4 15 2 3
4/5
E 2 1 2 1
1
C)
Encontrar el valor de:
6
Reduzca la expresión: R 5 2
11 2
Calcular el valor de:
2
Q 6 2 5 11 2 30 1
11 2
26/9 1
B) E)
E
Indique el equivalente de:
15
Calcular:
A) 0 D) 2
P 13 2 40 7 2 10
C)
11 2
B) E)
E
Reduzca:
18 25
11 2
2
Transformar a Radicales Simples:
A)
B) E)
E
2
B)
10
Efectuar:
8 2 12 6
A) 1
C)
E 8 5 1 8 5 1 4 5 1 5 1 5
Simplificar: E
4.
1
9 0
Reduzca:
P 10 84 4 12
A) 0
B) E)
x+3 3x+2
B) E)
x-3 x-2
C)
-2x+3
ÁLGEBRA
RADICACIÓN
8.
3.
Dar el valor de (m+n) si el resto que se obtiene al extraer la raíz cuadrada de: 6
5
4
3
x y x y 20
2
x -6x +13x -18x +22x +mx+n; es idéntico a: -x+5 A) D)
1 4
B) E)
2 5
donde: x 1; y 0 UNI
C)
3
A) x 4(y 1) C) y 4(x 2) D) y 4(x 1)
9. Calcular «m» si la raíz de: 3 18 15 6 3 40x -4x +12x +x -mx +9; es exacta
A)
6
B)
5
D)
8
E)
10
C)
4.
Si:
B) x 4(y 2) E) x 4(y 1)
2n 12 4 6 n 12 n 3 4 n 3 n
An n B n; n 0
7
Hallar: A/B
A) 2 D) 4
NIVEL III 1.
Encontrar la relación que debe existir entre "x" e "y" para que se verifique la igualdad:
B) 1
C) 2 E) 3
Hallar el valor de: E
2 2 2 2 2 ..... 2 2 2 4 2 3
UNTELS
2.
A)
3 1
D)
2 1
B)
3 2
C)
2 1
E)
3 1
Calcular "p" en:
1 11 2 m
3 7 2 10
1 84 3
PRE SAN MARCOS
A) 30 D) 20
B) 10
ÁLGEBRA
C) 15 E) 40
44
5TO GRADO DE SECUNDARIA
ica l ó t a L aC ÁLGEBRA - TEMA 13
NÚMEROS COMPLEJOS CANTIDAD IMAGINARIA-FORMA BINÓMICA
D
esarrollo del tema •
CANTIDADES IMAGINARIAS DEFINICIÓN: Son aquellos números que resultan al extraer la raíz de aquellos radicales de índice par de cantidades subradicales reales negativas. Es decir, se trata de extraer las RAÍCES ALGEBRAICAS del radical Z+. Veamos: 2n
2n
a , siendo a R+ y n
2n
– a 2n a – 1
a
2n
– 1
RAÍZ RAÍZ ARITMÉTICA ALGEBRÁICA
El problema consiste en hallar las “2n” raíces algebraicas del subradical (–1). Observemos los siguientes ejemplos: n=1
2
1 i(dos raíces)
n = 2 4 1
n=3
n=4
6
8
1 2
i 1 1 2 3 i (seis raíces)
1
Tener
256 en
8
8
256
cuenta
1 2 2 2 2 i
que
5
10i,
2
(1+i),
3i
y
2 2 2 2 i son cantidades imaginarias, ya que
provienen de radicales de índice par de cantidades subradicales negativas. Teniendo en cuenta que estos, son elementos del conjunto de los números complejos. UNIDAD IMAGINARIA.Es aquella cantidad imaginaria elemental que resulta al extraer la raíz cuadrada de (–1). Es decir : 2
–1 i i –1
Notación Gaussiana
Ejemplos :
(1 i)(cuatro raíces)
8
1 2 2 2 2 i (ocho raíces) 2
•
16 16 1 4 i
•
7 7 1 7i
•
a a
•
28 4 • 7 1 2 7i
2
2
1 | a | i
y así sucesivamente.
POTENCIAS ENTERAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA
Aplicaciones Diversas:
Nos interesa analizar la potencia enésima de in; n Z . Considerando las definiciones :
• • •
0
4
6
625
4
729
6
625
4
729
6
1
1
i 1;i i
100 100 1 10i
5 2
Analicemos por inducción las potencias crecientes de in; n1. Veamos: * i1 = i * i5 = 1 * i9 = 1 2 6 * i = –1 * i = –1 * i10 = –1 3 7 * i = –i* i = –i * i11 = –i
(1 i)
1 3i
5TO GRADO DE SECUNDARIA
45
ÁLGEBRA
NÚMEROS COMPLEJOS
i4 = 1
*
*
i8 = 1
*
i12 = 1
Se observa que las potencias de “i” se repiten cada cuatro veces y sólo asumen uno de los cuatro valores i, –1, i y 1. Teniendo en cuenta lo siguiente : o
(4) o
(4+ 1) o
(4+ 2) o
(4+ 3)
:
0, 4, 8, 12, 16,
:
1, 5, 9, 13, 17,
:
2, 6, 10, 14, 18,
:
3, 7, 11, 15, 19,
*
i –53
º
= (1) i4+ 1 = (–1)i
= (–1) 53 i 53
= (–1) i4+ 3 = (–1)(–i) = i
*
i –87
*
i –100 = (–1) 100i 100
*
= (–1) 87 i 87
º
= (1) i4
= (1) (1) = 1
º
i 63826 = (–1) 63826 i638 26 = (1) i4+ 2
Reducir: P P i
4 n 3
1
1
4 n
= i
º
4 n 3
nZ
;
3
= (1)(–1) = – 1
4n 4n
• i ( 1) i • (i)
Luego: P 1 1 i i 1
Luego generalizando se tiene: PROPIEDADES DIVERSAS: 1º i + i2 + i3 + i4 = 0
º
i 4 + 1= i
º
i4 + 3= – i
º
i4 = 1
º
i 4+ 2= –1
Ejemplos diversos: *
º
i 84 = i4
= 1
º
*
i 105 = i4+ 1
*
i 78 = i
4+ 2
*
i 123 = i4+ 3
2º
i4k + i4k+1 + i4k+2 + i4k+3 = 0; K Z
3º
ik + ik+1 + ik+2 + ik+3 = 0; K Z
4º
2n = 4 ; n N, n 2
5º
( 4 + r)n = 4 + rn ; n N, r Z
º
º
º
= i
º
APLICACIONES ELEMENTALES:
= –1
º
1000
1. Calcular: S
= –i
i
k
; i 1
k 100
Se sabe que un número es múltiplo de cuatro, si sus dos últimas cifras son múltiplos de él. Veamos los siguientes ejemplos: * * * *
i 3841
= i = i
i 6600092
= i
= i
66000 92
71234506122
i 71234506122 = i
º
= i
4
= i
4+ 2
º
= –i
1
= –1
k
•
1 k
k
14 13
12
Ai
22
33
k
Ejemplos diversos:
ÁLGEBRA
13
(4 k)
4k
14
i 33
(4 k 2)
47
k
3. Reducir: E k
998
999
1000
S 1
44
4k
1 33
4 k (2)
44
4k
37
47
37
47
= i (4k+3) = i (4k- 1) = i4k+ (- 1) • C= i 27 Como 3747 es un número impar, se tiene : C = i4k-1 = i4k+3 = i4k • i3 = (1) (–i) = –i
i k 1 i 1 k i
1 k i ; k Z
997
i
44
37
TEOREMA:
i
107
33
(2)
i i i • i • Bi Aplicando la 4ta. propiedad en el 2do. factor: B = (1) i4K = (1) (1) = 1
i
i
106
2. Calcular las siguientes potencias:
Generalizemos esto, mediante la siguiente propiedad :
i
105
= 1
i
104
S 0 0 0 i
1 i i i • i i i i 2 1 Por lo tanto: 1
103
Por la segunda propiedad se tiene :
Calculemos ahora la potencia negativa de i:
i
102
996
= i4+ 1 = i º 4+ 3
101
i i i i i
º
38 41
547 39
i 54739
100
S i i i i i i i i
1
(4 n 3) (4 n 2)
(4 n 1)
Ei
(4 n 3) (4 n 2)
(4 n 1)
i
; (4 n 3) (4 n 2)
4 n (1)
i
37
44
47
n Z 4 n 1
i 1
4. Calcular:
46
5TO GRADO DE SECUNDARIA
NÚMEROS COMPLEJOS
E
100
i
k
; kN
Ejemplo: Sea Z = 3 + 4i
k 0 0
1
Ei i i 1
1
2
3
i
2
6
i
Ei i i i i Es evidente que:
24
4
i 120
i
5
i
100
(3; 4)
Módulo
de
Z
100
i
2
| Z| 3 4
º
n4 ; n4
2
| Z| 25 5
E i i 1 1 1 1 1 97 veces
Por lo tanto: R = 2i + 95 FORMA BINÓMICA O RECTANGULAR DE UN NÚMERO COMPLEJO Por definición, un número complejo es todo par ordenado de números reales. Donde la primera componente es la parte real y la segunda componente la parte imaginaria. Es decir : Dado Z = (a; b) tal que a, b R Siendo : “a” es la parte real de Z “b” es la parte imaginaria de Z En símbolos:
Re
(Z) a
;
O
3)
Inversa de Z Dado el complejo: Z = a+bi ¹ 0 Se define:
Z
4)
1
a 2
a b
2
b 2
a b
División en C Se tienen los complejos :
2
i
Z = a + bi y W = c + di
PROPIEDADES USUALES
de 2
2
Norma
de
Z
2
2
Eje Real | Z| a b
1º) (1+i)2 = 1 + 2i + i2 (1+i)2 = 1 + 2i - 1 Por lo tanto:
Z
| Z| a b
5TO GRADO DE SECUNDARIA
Multiplicación en C Dados: Z = a + bi W = c + di Se define:
Z ac bd bc ad 1 Z• W 2 2 i 2 2 W c d c d
Lqqd.
Módulo
Z = (a; b)
2)
Se define:
DIAGRAMA DE ARGAND DEL COMPLEJO “Z” Dado el complejo Z = a + bi
Eje imaginario
Z W (a c) (b d) i
Z• W (ac bd) (bc ad) i
Por definición: (1;0) = 1 (unidad real) (0; 1) = i (unidad imaginaria) Luego: Z = a (1) + b (i)
Z a bi
Z W (a c) (b d) i
(Z) b
Im
TEOREMA: Todo número complejo Z = (a; b), tiene como equivalente la forma cartesiana Z = a+bi, denominada también binómica o rectangular. Demostración: Sea: Z = (a; b); tal que a, b R Por adición de pares ordenados: Z = (a; 0) + (0; b) Z = a (1; 0) + b (0; 1)
Finalmente :
OPERACIONES BÁSICAS EN LA FORMA CARTESIANA 1 ) Adición y Sustracción en C Dados : Z = a + bi W = c + di Se definen :
; i 1
2
(1 i) 2 i
0
2º) (1+i)2 = 1 + 2i + i2 (1+i)2 = 1 + 2i – 1
2
47
; i 1
ÁLGEBRA
NÚMEROS COMPLEJOS
Por lo tanto:
P i
2
(1 i) 2 i
3º) Como consecuencia de las propiedades anteriores: 4
3.
Efectuar:
T 2 i 3 2i 8 i ;
4
(1 i) (1 i) 4
1i ; i 1 1i Racionalizando el denominador, se tiene: Z
2
1 i 1 i (1 i) 2i • i 1 i 1 i 1 i2 2
i 1
Multiplicando los dos primeros factores, aplicando la propiedad distributiva: T = (6 + 4i – 3i – 2i2) (8 – i) ; i2 = –1 Luego : T = (8 + i) (8 – i) Entonces: T = 82 – i2 = 64 –(–1) = 65
4º) Dado:
Z
1i 1i i ii 0 1i 1 i 1 1i
4.
Resolver la ecuación:
1 i n 512 i ; i 1 Como: 512i = 29 i9 = (21)9 resulta:
Por lo tanto:
1i i 1i
1 i n 2 i 9 1 i n 1 i 2
5º) Dado:
9
1 in 1 i18
1i Z 1i
n 18
i 1
;
5.
De la propiedad anterior:
1i 1 1 i i i • i 1 i i i i i2 1 Por lo tanto:
Simplificar:
Z
R
*
1i i 1i
5
* *
i
2 7
6
5
5
7
i
i
5
i
1
2
5
1 2
5
i
i 1
;
i
1 i 2 1 i
2i
i 7 1 1 i
7
i
7
7
i
i
Por lo tanto: APLICACIONES ELEMENTALES 1.
6
i(i)
6
2
i
6
6
i i
Simplificar: A
(1+ i)2 (1+ 5 i) 2i (1+ 5 i) i 5 i 5
A
2.
R
2 i5 i i5
2
2 i 5 2 i5
Reducir:
P i
Como:
1i 1i 1 1i 1 1i
;
i 1
1i i ; se tiene lo siguiente: 1i
ÁLGEBRA
48
5TO GRADO DE SECUNDARIA
NÚMEROS COMPLEJOS
P
1.
rob lem a s d e c la se 4.
Efectuar:
1 i5 1 – i5 A 5 1 i5 1 – i
7 4
1 – i 1 i A – 7 1 – i 7 1 i 7
5.
Calcular: E 1 i
200
– 1 – i
200
6 – ai ;a 1 2i
Rpta.: ........................................................
Reducir:
6.
1i A 1 i 1– 1i 1– 1 i 1– 1 i 1– 1 i 1– 1– i
Simplificar: I
Rpta.: ........................................................
5TO GRADO DE SECUNDARIA
Calcular el valor de “a” para que el complejo “z” sea real: z
Rpta.: ........................................................ 3.
1 i 9 7 1 – i
Rpta.: ........................................................
Rpta.: ........................................................ 2.
Reducir:
1 i 1– i 8 1 – i 1 i 1 i 4
Rpta.: ........................................................ 49
ÁLGEBRA
NÚMEROS COMPLEJOS
13
Ta lle r N° 1.
7.
Calcular: P
– 1– i – 1– i S 1 i
1 i 17 1 – i 15
Rpta.: ........................................................ 9.
De la igualdad de complejos:
1 i 2 1 i 4 1 i 6 1 i 8 Hallar: M
4
se obtiene:
Rpta.: ........................................................ 3.
Después de simplificar:
x yi
Dado el complejo: L
xy x–y
10 13 2 – 3 i 2 – 3i 1 i
indique su módulo.
Rpta.: ........................................................ Rpta.: ........................................................ 5.
11. Indicar el valor de “b” para que el complejo: z
Reducir: L
– i 5 i17 – i 23 – i 51 – i 9 – i 25 i 35 – i 49
3b – i
sea imaginario puro.
Rpta.: ........................................................
ÁLGEBRA
b 1 6 i – 6
Rpta.: ........................................................ 50
5TO GRADO DE SECUNDARIA
NÚMEROS COMPLEJOS
13. Calcular “b” para que el cociente
2 – bi sea real: 1 2i
15. Simplificar: 1– i 1 i – 1 – i 1 i 1 i 1– i Q – 1 i 1 – i
–2i
Rpta.: ........................................................ 14. La suma de dos números complejos es 4+2i, siendo la parte real de uno de ellos 3 y el cociente de ellos la unidad imaginaria. Calcular dichos números.
Rpta.: ........................................................
Rpta.: ........................................................
5TO GRADO DE SECUNDARIA
51
ÁLGEBRA
NÚMEROS COMPLEJOS
1.
Si z1 = 2 + 3i , z2 = 4 – i , z3 = 1 + i ;
Calcular: E = z1 z 2 z 3 . A) 1 + i B) 1 – i C) i D) – 2i E) – 3 + 3i
5.
Hallar «b» para que:
real.
A) 4 D) – 2 2.
Simplificar: E =
1 i9 6.
1 i
1 i
Hallar
x y si: (1+2i)x + (3–5i)y = 1 – 3i
A) 4/5 D) 5/4 7.
Calcular: E =
C) 2 E) 5
8
Efectuar: E = 1 i 1 i (1 i) 4 A) 1 B) – 1 C) 2 D) – 2 E) 4
4.
B) – 4
(1 i) 9
A) 2 B) 4 C) 8 D) 16 E) 32
3.
2 bi sea un complejo 1 2i
B) 3/5
C) – 4/5 E) – 5/4
Hallar el módulo de: z = 4 3 – 4i
(1 i)3 (1 i) 2 (1 i) 6
A) i B) i/2 C) i/3 D) i/4 E) i/5
A) 2 B) 4 D) 10
ÁLGEBRA
52
C) 8 E) 12
5TO GRADO DE SECUNDARIA
NÚMEROS COMPLEJOS
P
rob le m a s p rop ue stos NIVEL II
NIVEL I 1.
1.
Si z1 = 4 – 5i , z2 = 1 – i , z3 = 1 + i ;
z2 .z1 . Calcular: E = z1 z3
hallar:
Simplificar: E =
2.
(1 i) 9
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 3.
3.
Efectuar: E = 2 A) 0 D) 3
101
(1 i)
B) 1
(1 i)
C) 2 E) 4
1 i 1 i 1 i 1 i 1 i
1 i Calcular: E = 1 i 1 i
2i
B) 2 2
5.
E) 2 5
Hallar «n» para que:
5 3i sea un complejo ni
6.
B) – 1/5
5TO GRADO DE SECUNDARIA
D) 12 E) 16
1i 1i 8 Simplificar: Z = 1 i 1 i (1 i)4 D) – 1 E) – 2
7.
Hallar «x + y» en: (1+2i)x + (3–5i)y = 1 – 3i A) 1/11 D) – 2/11 B) 2/11 E) 3/11 C) – 1/11
8.
Hallar “n”; si: 8 1 – i 6 n 1 i . A) 8 C) 4 E) 1
53
1 i9
Simplificar: Z = 2–50.(1 + i)101 + (1 + i) A) 2 D) – 2 B) 1 E) – 1 C) 0
C) 2/5 E) – 3/5
Hallar «xy» si: (2–5i)x + (1+3i)y – 8 + 9i = 0 A) 2 B) 3 C) 6 D) 8 E) 10
(1 i)9
6.
puro. A) 1/5 D) 3/5
3 (2 a 1)i es un número real, entonces 1 3i
Simplificar: Z =
A) 1 B) 2 C) 0
C) 2 2
D) 2 4
Si Z =
A) 2 B) 4 C) 8 5.
A) ½
9 mi , sabiendo que es un 5 3i
«a» y «Z» son: A) 3; 5 D) 4; 3 B) 5; 3 E) –4; 5 C) 3; 4
4.
4.
Calcular: Z =
imaginario puro. A) 8i D) 5i B) 7i E) 3i C) 6i
(1 i) 7
50
Z1* Z2 Z3 A) 1 + 2i D) 3 + i B) 2 E) 2 – i C) 3i
A) 9 – 9i B) 9 + 9i C) 1 – i D) 2i E) – 3i 2.
Si Z1=(a–5)+3i ; Z2 = 3i ; Z3 = 2 – i ; entonces,
B) 6 D) 3
ÁLGEBRA
NÚMEROS COMPLEJOS
9.
Calcular:
NIVEL III
1 i 3 – 1 i 2 1 – i 6
Q
1. El complejo:
A)
i 4
B)
C)
i 2
D) i
4(cos 23 i sen 23 )5 8 ci s12 2 2(ci s15 )7 128(cos 4 i sen 4 )
i 3
Es equivalente a: UNTELS
A) 1 3 i
E) 2i
B)
2 3 2i
E)
3 1 i 2 2
C) 4 3 4i
10. Hallar: a+b 3 2i 5 – i 2 i a bi 1 2i 2 i
A)
6 5
B)
6 7
C)
7 6
D)
5 6
D)
3 i
3 a i 54
2. Cumpliéndose que: 3b (a b)i 9 i : Siendo a y b números raíces, calcule:
a b J b a
E) 2 A) 1,5 D) 5,5
11. Si: Z1 Ù Z2 son complejos conjugados tal que: Z1 –
1 3 – i 2 2
C) 3,5 E) 4,5
3. Siendo Z un número complejo donde: 2 Z 5R (Z), hallar: Z 2, 5
Calcular: Q
B) 2,5
2
PRE UNTELS
Z13
– 3Z1 · Z2
A) –1 C) 1 E) 3
Z32
B) –2 D) 2
A) 1/2 D) 5/2
B) 3/2
C) 25/4 E) 5/4
12. Si los complejos: b a 8 i a 2i y b – 3i a bi
son un número real y un número imaginario puro respectivamente. Hallar a+b. A) 2 B) –4 C) 6 D) –2 E) 1 13. Dado: 3
1 – i x yi
hallar el valor de: Q = x2 + 4xy + y2 A) 0 C) 3
B) 2 D) 4
E) 1
ÁLGEBRA
54
5TO GRADO DE SECUNDARIA
ica l ó t a L aC ÁLGEBRA - TEMA 14
ECUACIONES DE PRIMER GRADO ECUACIONES LINEALES
D
esarrollo del tema
CONCEPTO.Denominada también ECUACIÓN LINEAL, es aquella ecuación polinomial de una incógnita, que se reduce a la forma general : ax + b = 0 ; a0 Cuya solución o raíz es:
x
b a
DISCUSIÓN DE LA ECUACIÓN: ax + b = 0 Primer Caso.
Cuarto Caso. Si a = 0 y b 0 La ecuación no se verifica para ningún valor de la incógnita; lo cual indica que, la ecuación es INCOMPATIBLE de primer grado de la forma: 0x + b = 0 La cual se reduce a: b = 0 y esto contradice la condición de este caso. Para nuestro propósito, nos limitaremos al estudio de las ecuaciones compatibles determinadas de primer grado de la forma: ax + b = 0 ; a 0 APLICACIONES DIVERSAS:
Si a 0 y b 0 La raíz x = –b/a es única, y la ecuación resulta COMPATIBLE DETERMINADA de primer grado, de la forma: ax + b = 0 Segundo Caso. Si a 0 y b = 0 La raíz x = 0 es única y la ecuación también resulta COMPATIBLE DETERMINADA de primer grado, de la forma: ax + 0 = 0
1.
De la ecuación lineal consistente: mx m 5 4x 3 2
Que se puede afirmar respecto del parámetro “m”, si esta admite solución única. • Por transposición de términos: mx m 4x 5 3 2
Efectuando operaciones de reducción: m 12 x m 10 2 3
Tercer Caso. Si a = 0 y b = 0 La ecuación se verifica para todo valor que toma la incógnita “x”; esto quiere decir que, la ecuación es COMPATIBLE INDETERMINADA de primer grado, de la forma: 0x + 0 = 0
Si es compatible determinada, la condición es: m 12 0 m 12 Es decir, para a 3 cualquier valor de «m» distinto de 12, la ecuación admite una única solución, la cual es: x
5TO GRADO DE SECUNDARIA
55
3 2
m 10 m 12
ÁLGEBRA
ECUACIÓN LINEAL
2.
De la ecuación lineal mostrada:
a 1 x
b 3x b 1 3 4 2 6 que se deduce, si ésta admite infinitas soluciones. • Transponiendo términos, se tiene:
a 1 x 3
SOLUCIÓN GRÁFICA DE LA ECUACIÓN COMPATIBLE DETERMINADA DE COEFICIENTES REALES: ax + b = 0 Dada la función real de variable real definida por la regla de correspondencia:
3x b b 1 2 4 6
y = F(x) = ax + b ; a 0
a 1 3 x 3b 2 b 1 2 12 3
Efectuando: 2a 7 x b 2 12 6
Cuya representación gráfica en el plano cartesiano es una LINEA RECTA, obtenida al unir los puntos cuyas coordenadas (x; y) verifican la condición: y = F(x)
Simplificando: b2 2 Si la ecuación es indeterminada, debe tomar la forma: 0x = 0 Por ello: 2a – 7 = 0 a = 7/2 b b = –2
2a 7 x
3.
Qué condiciones se debe establecer para que la ecuación algebraica:
Donde la constante “a” es la pendiente de la recta, cuyo valor resulta de a = Tana, y la constante “b” es la ordenada del punto de intersección de la recta con el eje de ordenadas. De acuerdo al valor de la pendiente, esta recta se inclina de dos maneras; veamos: •
Si a > 0
x p 1 x q 2 p q x 5 4 10
y y= F(x)
Sea incompatible. • Multiplicando mam por el MCM = 20: 4(x–p+1) + 5(x+q–2) = 2(p+q) x reduciendo se tiene : 9x – 4p + 5q – 6 = (2p+2q) x por transposición de términos: 2p 2q) x (6 4 p 5q) (9 0
0
(0;b)
•
9 2
Si a < 0 y
Si no acepta solución alguna, la igualdad debe ser ABSURDA. Por esto, se deben cumplir: 9 – 2p – 2q = 0 6 + 4p – 5q 0 9 = 2 (p + q) 6 + 4 (p+q) – 9q 0 pq
x
– b ;0 a
y= F(x)
(0;b)
() 6 + 4 (9/2) – 9q 0
– b ;0 a
24 9q
Reemplazando en (a):
ÁLGEBRA
q
En la regla de correspondencia : y = ax + b
8 3
p
x
11 6
56
5TO GRADO DE SECUNDARIA
ECUACIÓN LINEAL
Si y = 0, se obtiene ax + b = 0 (Ec. de 1er. grado) donde x = –b/a (Raíz de la ecuación); y estos valores b dan origen al par ordenado ;0 , que representa al a punto de intersección de la recta y = F(x) con el eje de abcisas.
3 x20 4 Esbozemos la gráfica de la función lineal: y F(x)
la abcisa del punto P es la solución de la ecuación dada: x 5
Ejemplo (3) Resolver gráficamente la ecuación: 2x = 0 Esbozemos la gráfica de y = F(x) = 2x tal como se • indica:
Ejemplo (1) Resolver gráficamente la ecuación:
•
135º
3 x2 4
P= (0;0)
Tg a = 2
(0;2)
63, 5º
P
Observamos que el punto P, coincide con el origen de coordenadas, y la abcisa de este, es la solución de la ecuación:
– 8 ;0 3 Tg
3 4
x0
37º
Observar que la abcisa del punto P, es la solución de la ecuación: x
Recuerda establecer correctamente las reglas de
8 3
compatibilidad e incompatibilidad de la ecuación
Ejemplo (2) Resolver gráficamente la ecuación: –x – 5 = 0 • Esbozando la gráfica de y = F(x) = –x – 5 resulta: P (-5;0)
a
(0;-5)
Tg a = –1
5TO GRADO DE SECUNDARIA
57
ÁLGEBRA
ECUACIÓN LINEAL
P
3.
rob lem a s d e c la se 8.
Hallar “x” en: 3
a x
3
a– x
3
Determinar “x” en: a a bb 1 – – 1 – 1 b x ax
5a
Rpta.: ..............................................................
4.
Calcular el valor de “x”. 3
ax b
3
3
ax b –
3
10. ¿Qué condiciones se debe establecer para que la ecuación algebráica: 3ax – 2b x – b 7 3 2 3 sea incompatible?
ax – b
a b ax – b
Rpta.: .............................................................. 6.
Si la siguiente ecuación: x3 nx 8 x –1 x 2 se reduce a una de primer grado en “x”; calcular: “n”
14. Calcule el valor de la expresión: 2 Q = 5x + x si se verifica la igualdad: 3x 1 3x 3x 1 – 3x
Rpta.: ..............................................................
ÁLGEBRA
2x
Rpta.: .............................................................. 58
5TO GRADO DE SECUNDARIA
ECUACIÓN LINEAL
Ta lle r N° 1.
14
f)
Hallar el valor de “x” en cada una de las siguientes ecuaciones: a)
c)
2 x–2 2 x4
x – 4 x2 – 8
2. b)
1
2–x 3–x 5–x 3 x–4 3 4 6 4 5
2x m n – x 3mx m – n – n m m ·n
Hallar “x” en: a)
ax b 2 a 2 – bx
b)
a x b x b – a 2b 2a – x
c)
m n n 1 x m x
2
d)
x–2 x–4 x–6 x 4 6 8 2
d)
a – x b – x 2 a – b – a b ab
e)
xa x–b – 2 b a
e)
m n – x m – n x – 2m – 2n m–n mn mn
5TO GRADO DE SECUNDARIA
59
ÁLGEBRA
ECUACIÓN LINEAL
f)
3.
14 x
3
3
b)
5.
Hallar “x” en: 3
4.
a b a b ax – 1 bx – 1 a b x – 1
x 1 –
3
x –1
x –1
5 3
Proporcionar el valor de “x” que verifica: 2
Rpta.: ..............................................................
Calcular el valor de “x”.
a)
3
2x a x – b 3ax a – b b a ab
14 – x 4
ax a –x
3
x 1
6.
a b ax – a–x
Si la ecuación: mx m – 2n 5x 3 – 2m de incógnita “x” es compatible e indeterminada, ¿cuál es el valor que asume “m+2n”?
Rpta.: ..............................................................
ÁLGEBRA
60
5TO GRADO DE SECUNDARIA
ECUACIÓN LINEAL
7.
Encontrar “x” en:
10. Dar el valor de “x” en:
x x – 4a x – x – 4a
1
a
x a
Rpta.: .............................................................. 8.
2
1 x b
1 x –a
1 x –b
Rpta.: ..............................................................
De la ecuación:
a – 4 x
11. Despejar “x” de la igualdad:
bx – 7 b 1 x a – 3 6
x 3 mx 2 nx p x 3 ax 2 bx p
¿qué se deduce, si esta admite infinitas soluciones?
x 2 mx n x 2 ax b
Rpta.: .............................................................. Rpta.: .............................................................. 9.
Resolver la ecuación en “x” sabiendo que ésta es de primer grado: n2 –4
x
n
2
x2 n – 1 1
Rpta.: .............................................................. 5TO GRADO DE SECUNDARIA
61
ÁLGEBRA
ica l ó t a L aC ÁLGEBRA - TEMA 15
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO ECUACIÓN CUADRÁTICA- PROPIDADES DE LAS RAÍCES
D
ax2 + bx + c = 0 ; a 0
esarrollo del tema
Se reemplazan directamente los valores de los parámetros “a”, “b” y “c”.
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO DEFINICIÓN: Denominada también ECUACIÓN CUADRÁTICA, es aquella ecuación polinomial de una incógnita de la forma general: ax2 + bx + c = 0 ; a 0
DISCUSIÓN DE LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA CON
RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO:
x
Pero, si el polinomio cuadrático se puede factorizar fácilmente, entonces se realiza este procedimiento, obteniéndose dos factores lineales; para luego igualar a cero cada uno de estos.
COEFICIENTES REALES: ax2 + bx + c = 0 La naturaleza de las raíces de la ecuación: ax2 + bx + c ;
a, b, c y a 0
viene caracterizada por el valor que asume el discriminante , es decir:
b b 2 4ac 2a
1er. Caso: que viene a ser la solución general de la ecuación cuadrática (1). Establecida por FRANCOISE VIETE en el siglo XVI.
Si > 0, las raíces serán reales y diferentes. Por ejemplo:
DISCRIMINANTE O VARIANTE
Resolver: 3x2 – 5x + 1 = 0
Se denomina así a la cantidad subradical de la solución general : b 2 – 4ac, y se le simboliza por la letra griega mayúscula “”; es decir :
*
Cálculo del discriminante: = (–5)2 – 4(3)(1) = 13 donde : > 0 Luego, reemplazando en la solución general:
x
b 2 4ac
De aqui: x1
RAÍCES DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA De la solución general, se obtienen:
x1
b 2a
ó
x2
(5) 13 2(3) 5 13 6
ó
x2
5 13 6
Las raíces son reales y diferentes.
b 2a
2do. Caso: Si = 0, las raíces serán reales e iguales; esto es, una raíz real doble.
Para conocer los valores de estas raíces, a partir de la ecuación polinomial:
5TO GRADO DE SECUNDARIA
62
ÁLGEBRA
ECUACIÓN CUADRÁTICA
Por ejemplo: Resolver: 4x2 – 12x + 9 = 0 Análogamente: = (–12)2 – 4(4)(9) = 0 En la solución general:
x
(12) 0 2(4)
3 2
PROPIEDAD: Dada la ecuación cuadrática con coeficientes racionales: ax2 + bx + c = 0 ; a 0 Si su discriminante es un número cuadrado perfecto, las raíces de dicha ecuación siempre serán racionales. Si no es así, serán irracionales y conjugados.
Si < 0, las raíces serán imaginarias y conjugadas.
PROPIEDADES DE LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA (Teoremas de Viéte) Si x1 y x2 son raíces de la ecuación cuadrática: ax2 + bx + c = 0 ; a 0 entonces, se verifica las siguientes propiedades:
Por ejemplo:
T1. Suma de Raíces
De aquí: x1 x 2
3er. Caso:
2
Resolver: x – 2x + 2 = 0 De igual manera : = (–2)2 – 4(1)(2) = –4 donde: < 0, y en la solución general:
x
c a T3. Diferencia de Raíces
(2) 4 2(1)
De aquí: x1 = 1 + i
ó
b a T2. Producto de Raíces
x1 x 2
x1 • x 2
x2 = 1 – i
las cuales son imaginarias y conjugadas. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DISCUSIÓN DE LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA DE COEFICIENTES REALES.
a Las anteriores propiedades se verifican en una ecuación cuadrática con coeficientes de naturaleza arbitraria (reales o complejos).
x1 x2
En la ecuación cuadrática: ax2 + bx + c = 0; a 0 Sabemos que la naturaleza de sus raíces viene dada por el valor del discriminante “”. Según esto, geométricamente, se obtienen gráficamente lo siguiente:
PROPIEDADES AUXILIARES: T4. (x1 + x2)2 + (x1 – x2)2 = 2 (x12 + x22) T5. (x1 + x2)2 – (x1 – x2)2 = 4x1x2
CARACT. DEL COEFICIENTE DISCRIMINANTE PRINCIPAL
>0
a> 0
a< 0
REPRESENTAC. NATURALEZA GEOMÉTRICA DE LAS RAÍCES
x1
x1
x2
x2
=0 a> 0 x1= x2 x1= x2
0
Se obtiene: a< 0
ÁLGEBRA
x 2 Sx P 0 ()
(A esta ecuación se le denomina canónica, normalizada u ordinaria, debido a que su coeficiente principal es la unidad). 63
5TO GRADO DE SECUNDARIA
ECUACIÓN CUADRÁTICA
P 1.
rob lem a s d e c la se D)
Resolver las siguientes ecuaciones:
4 x – 1 2 – 3x 2 2 x
7 1 x 7 –1
A) 5x – 4 2 – 3x 5 2x – 1 20x x – 2 27
Rpta.: ................................................. 2.
Calcular la solución de: x 1 x – 1 2x
Rpta.: .................................................
B)
x4 x–4 5 x–4 x4
Rpta.: ........................................................ 3.
Resolver: 2
A) x – 6x + 2 = 0
Rpta.: ................................................. C)
5x – 8 7x – 4 x –1 x2
Rpta.: ................................................. 2
B) 2x – 5x – 1 = 0
Rpta.: ................................................. Rpta.: .................................................
5TO GRADO DE SECUNDARIA
64
ÁLGEBRA
ECUACIÓN CUADRÁTICA
2
C) 3x – 5x + 7 = 0
6.
Si x1 y x2 son las raíces de la ecuación de segundo grado:
x 2 – 4 K x 12 0
hallar el valor de “k” tal que: 1 1 3 x1 x 2 4
Rpta.: ................................................. 4.
Encuentre la suma y el producto de las raíces de: 2
A) x + 7x + 10 = 0 Rpta.: ........................................................ 7.
Formar la ecuación de segundo grado sabiendo que sus raíces es: x1 3 5
Rpta.: ................................................. 2
B) 5x – 3x – 2 = 0
Rpta.: ........................................................ 8.
Las raíces x1 y x2 de la ecuación: x2 – 7x + m = 0 satisfacen la relación: x1 2 x2 5
entonces, el valor de “m” es:
Rpta.: ................................................. 5.
Hallar “m” si las raíces de la ecuación son iguales: 2
(m+3)x – 12x + 9 = 0
Rpta.: ........................................................
Rpta.: ................................................. ÁLGEBRA
65
5TO GRADO DE SECUNDARIA
ECUACIÓN CUADRÁTICA
15
Ta lle r N° 1.
E)
Resolver las siguientes ecuaciones:
x 1 x – 2 8x – 1 3 5 15
A) x 1 2 x 2 2 x 3 2
Rpta.: .................................................
Rpta.: .................................................
Rpta.: .................................................
C) 1 –
3
F)
B) x – 2 3 – x – 3 3 37
x 14 7 13 4
Rpta.: .................................................
2x – 3 x – 2 x5 10
2.
Hallar “x” en: 4 x – 3 – x – 2 3x – 5
Rpta.: ........................................................ Rpta.: .................................................
3.
Resolver: 2
A) x + x – 3 = 0
D) x – x – 21 7 2
Rpta.: .................................................
5TO GRADO DE SECUNDARIA
Rpta.: ................................................. 66
ÁLGEBRA
ECUACIÓN CUADRÁTICA
2
B) x – 2x + 2 = 0
5.
Hallar “m” si las raíces de la ecuación son iguales: 2 A) (m+1)x – 2mx + (m–3) = 0
Rpta.: ................................................. Rpta.: .................................................
2
C) x – 2x + 13 = 0 2
B) x – m(2x–8) – 15 = 0
Rpta.: ................................................. 4.
Rpta.: .................................................
Encuentre la suma y el producto de las raíces de:
2
C) (m+1)x + m = 3 + 2mx
2
A) x – 6x – 7 = 0
Rpta.: ................................................. 2
B) 3x – 5x + 4 = 0
6.
Rpta.: ........................................................
Rpta.: .................................................
ÁLGEBRA
Rpta.: ................................................. Calcular “m”, si: x2 – mx + 48 = 0 y además: x1 = 3x2
67
5TO GRADO DE SECUNDARIA
ECUACIÓN CUADRÁTICA
7.
9.
En la ecuación: 3x2 – 2x – 5 = 0 hallar:
Formar la ecuación de segundo grado sabiendo que sus raíces es: 1+i
A) x12 x 22
Rpta.: ................................................. B)
x13 x 32
Rpta.: ........................................................ 10. Hallar el término independiente de la ecuación de segundo grado, cuyas raíces son la suma y el producto de las raíces de: x2 + x + 5 = 0 Rpta.: ................................................. C) x13 – x 32
Rpta.: ........................................................
Rpta.: ................................................. 8.
.
¿Para qué valor de “n” el discriminante de la ecuación: x2 – 8x + n = 0, es igual a 20?
Rpta.: ........................................................
5TO GRADO DE SECUNDARIA
68
ÁLGEBRA
ECUACIÓN CUADRÁTICA
P
rob le m a s p rop ue stos
7.
Resuelva:
NIVEL I 1.
xa xb xc 1 1 1 2 bc ac ab a b c
Resolver: 5(2x–1) – 4(5x–2) = 19 – 2(x+12)
2.
A) 0
B)
1
D) 3
E)
4
C)
A) 0
B)
1
D) a+b+c
E)
a +b +c
8.
3.
1
D) 2
E)
–2
C)
x 2 8x 15 x 4 x 2 10x 24 x 5
–1
A) 1200
B)
988
D) 996
E)
900
C)
9.
3/2
D) 1/4
E)
5/3
C)
1/2
B)
123 D) 23
E)
121 11
C)
Resuelva: x 1 x 2 x 1 x 2
Resuelva:
A) 2
A) 0
B)
1
D) 4
E)
5
Resolver:
B)
140
D) 1
E)
0
C)
A)
1 b 1
B)
1 a 1
D)
b b 1
E)
a+b
126
1.
8x 34 x 187 5x 51 3x 17 85 119 34 68
181
D) 144
E)
128
ÁLGEBRA
C)
C)
a b 1
Encuentre el conjunto solución de la ecuación cuadrática: 2x2 + 5x + 3 = 0.
A) { 12 ; 3}
B)
3
NIVEL II
Resolver:
A) 187
C)
x 1 x a b x 1 x a b
23
A) 182
3
10. Resuelva:
4
x x 18 2x 9 18 9 36 9
6.
B)
199
x 1 x 3 x 3 x 4 2 3 4 5
5.
A) 9/2
2
Resuelva: 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 1991 2 3 4 12
4.
2
Resolver la ecuación:
7(2x–5) – (4x–11) = 9(x–6) + 29 B)
2
abc
2
Resuelva la ecuación:
A) 0
2
C)
204
B) { 12 ; 3}
C) {–1; 13 }
D) { 12 ; –3} E) { 12 ; –3} 2.
69
¿Cuál es el conjunto solución de la ecuación cuadrática: 2x2 – 9x + 7 = 0)?
5TO GRADO DE SECUNDARIA
ECUACIÓN CUADRÁTICA
A) {– 72 ; 1} B) {; –1} D) {; 1}
NIVEL III
C) {7; }
E) {}
Si el conjunto solución de la ecuación: ax2 + bx + c = 0 es: {0;}, ¿cuál de las siguientes alternativas es exactamente cierta? 3.
A) b = 0 B) = 0 C) c = 0 D) D > 0 y b = 0 E) a¹ 0, b=0 y c = 0 4.
5.
6.
8.
A) B) C) D) E)
B) – x2+ x + 9 = 0
B) 1/4
D) 1/3
E) 1/6
D) 3
E) 5
x2–58x+443=0 x2–58x+31=0 x2–58x+441=0 2x2–85x+41=0 2x2–58x+44=0
A) x2–5x+1=0 C) x2+10x+12=0 E) x2+10x+20=0
C) 1/8
Si (–2) es una raíz de: x + ax + b = 0 y a + b = 5, entonces «a» es igual a: B) –1
C) 3
x1 5 3
2
A) – 3
B) 2 E) 5
3. Forme la ecuación de 2º grado sabiendo que sus raíces es
La ecuación cuadrática: ax2 – (2a – 1)x + a + 1 = 0 tiene sus dos raíces iguales. Encuentre el valor de a. A) 1/2
A) 1 D) 4
2. Calcule la ecuación de 2º grado cuyas raíces sean los cuadrados de las raíces de la ecuación x2–4x–21=0
Cuál de las siguientes ecuaciones cuadráticas no tiene solución en los números reales? A) x2 – x – 3 = 0 C) x2 –7x + 1 = 0 D) x2 + 11x + 3 = 0 E) 2x2 + 3x+ 15 = 0
1. Calcule n. Si las raíces de la ecuación 3nx2–2nx=–6 son recíprocas.
4. Forme la ecuación de 2º grado. Si sus raíces son 3 veces las inversas al cuadrado de las raíces de x2+x+6=0. A) 36x2+x+9=0 C) 12x2+11x+3=0 E) 12x2+11x+1=0
C) 1
B) x2+5x–22=0 D) x2–10x+22=0
B) 36x2+2x+1=0 D) 12x2–11x+3=0
Dar el valor de (m+n) si el resto que se obtiene al extraer la raíz cuadrada de: 6
5
A) D)
1 4
4
3
2
x -6x +13x -18x +22x +mx+n; es idéntico a: -x+5 B) E)
2 5
C)
3
9. Calcular «m» si la raíz de: 3 18 15 6 3 40x -4x +12x +x -mx +9; es exacta
A)
6
B)
5
D)
8
E)
10
5TO GRADO DE SECUNDARIA
C)
7
70
ÁLGEBRA
ica l ó t a L aC ÁLGEBRA - TEMA 16
ECUACIONES POLINOMIALES TEOREMA DE CARDANO VIETTE
D
esarrollo del tema
Sabemos que una ecuación polinomial de grado “n” podemos representarla así: P(x) = a0xn+a1xn-1+a2xn-2+.....+an-1x+an = 0 ; a00 Pero debido al manejo frecuente de esta ecuación, adoptaremos la siguiente notación:
Pn (x) 0 ; a 0 0 donde el subíndice “n” nos indica el grado de la ecuación polinomial. Además, los coeficientes: a0, a1, a2, ..... , an-1, an los representaremos así: ai, donde i = 0, 1, 2, ....., (n-1), n RELACIONES ENTRE LOS COEFICIENTES Y LAS RAÍCES DE UNA ECUACIÓN POLINOMIAL
EJEMPLOS EXPLICATIVOS: 1. Sea la ecuación de 3er. grado: x3 – 7x2 + 5x – 4 = 0 cuyas raíces son x1, x2 y x3; se cumplen: S1 = x1 + x2 + x3 = 7 S2 = x1x2 + x1x3 + x2x3 = 5 S3 = x1x2x3 = 4 2. Dada la ecuación de 4to. grado: x4 – 3x3 + 8x2 – 5x + 2 = 0 de raíces x1, x2, x3 y x4; se verifican : S1 = x1 + x2 + x3 + x4 = 3 S2 = x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4 = 8 S3 = x1x2x3 + x1x2x4 + x1x3x4 + x2x3x4 = 5 S4 = x1x2x3x4 = 2 3.
TEOREMA DE CARDANO - VIÉTE.Se tiene la ecuación polinomial de grado “n” en su forma canónica, normalizada u ordinaria: Pn(x) = xn–S1xn–1+S2xn–2–S3xn–3+.....+(–1)nSn=0 cuyas raíces son x1, x2, x3, ...., xn-1, xn donde algunas de ellas pueden ser iguales (raíces múltiples). Entre los coeficientes de dicha ecuación y sus raíces, se establecen la siguientes relaciones: • Suma de Raíces S1 = x1 + x2 + x3 + ..... + xn •
Suma de los productos binarios de las raíces S2 = x1x2 + x1x3 + ..... + xn-1xn
•
Suma de los productos ternarios de las raíces S3 = x1x2x3 + x1x2x4 + ..... + xn-2xn-1xn
•
Producto de raíces Sn = x1x2x3 ..... xn-1xn
5TO GRADO DE SECUNDARIA
71
Se tiene la ecuación cúbica no canónica: 2x3 – 5x2 + 6x – 7 = 0 de raíces x1, x2 y x3 llevándolo a su forma canónica, se tiene:
5 2 7 x 3x 0 2 2 por el teorema mencionado, se cumplen: S1 = x1 + x2 + x3 = 5/2 S2 = x1x2 + x1x3 + x2x3 = 3 S3 = x1x2x3 = 7/2 x3
4.
Se tiene la ecuación de grado superior: x100 – 17x99 + 40 = 0 que acepta 100 raíces. Extendiendolo para aplicarle el Teorema: x100 – 17x99 + 0x98 + 0x97 + ..... + 0x + 40 = 0 Se verifican las relaciones : S1 = x1 + x2 + x3 + ..... + x100 = 17 S2 = S3 = S4 = ...... = S99 = 0 S100 = x1x2x3 ..... x100 = 40
ÁLGEBRA
ECUACIÓN POLINOMIAL
FORMACIÓN DE UNA ECUACIÓN POLINOMIAL A PARTIR DE SUS RAÍCES Precisamente la ecuación polinomial canónica:
x n S1 x n 1 S 2 x n 2 S 3 x n 3 (1)n S n 0 Es la fórmula práctica que nos permite construir una ecuación de grado arbitrario a partir de sus raíces. Ejemplo: Formar la ecuación de 3er. grado cuyas raíces son:
3 y 1 2 Calculando separadamente S1, S2 y S3, así: 2 ,
3 3 S1 (2) (1) 2 2 5 3 3 S 2 (2) (2) (1) (1) 2 2 2
3 S 3 (2) (1) 3 2
TEOREMA 3.PARIDAD DE LAS RAÍCES IMAGINARIAS Si una ecuación polinomial Pn(x) = 0, con coeficientes reales, admite la raíz imaginaria (a+bi), entonces su conjugada (a – bi) también es raíz de dicha ecuación. COROLARIO (1).Todas las raíces imaginarias de una ecuación polinomial, con coeficientes reales, se presentan por PARES, las cuales son dos a dos números imaginarios y conjugados. Por ello, el número de raíces imaginarias de este tipo de ecuaciones es par. COROLARIO (2) .Una ecuación polinomial Pn(x) = 0, con coeficientes reales y de grado impar, tiene por lo menos una raíz real. TEOREMA 4 .TETRARIDAD DE LAS RAÍCES IMAGINARIAS Si una ecuación polinomial Pn(x) = 0, con coeficientes ra-
cionales, admite la raíz imaginaria
Reemplazando en la fórmula de construcción: x3 – S 1x2 + S 2x - S 3 = 0 Se tendrá:
3 5 x x 2 x (3) 0 2 2 3
Eliminando denominadores, la ecuación será: 2x3 + 3x2 – 5x – 6 = 0 NATURALEZA DE LAS RAÍCES DE UNA ECUACIÓN POLINOMIAL Pn(x) = 0
a b i , donde “a”
y “b” son números racionales positivos no cuadrados per-
fectos, entonces su conjugado
a b i , su opuesto
a b i y el conjugado de su opuesto
a bi ,
también son raíces de dicha ecuación. TEOREMA 5 .PARIDAD DE LA RAÍCES IRRACIONALES Si una ecuación polinomial Pn(x) = 0, con coeficientes ra-
a b , donde “a” y
cionales, admite la raíz irracional
“b” son racionales y “b” positivo no cuadrado perfecto; TEOREMA 1.Un polinomio Pn(z) de coeficientes reales y de variable compleja (es decir, la variable z toma valores complejos de la forma a + bi), verifica la siguiente relación:
Pn (z) Pn ( z ) donde : z a b i , es el complejo conjugado de “z”.
de dicha ecuación. TEOREMA 6 .TETRARIDAD DE LAS RAÍCES IRRACIONALES Si una ecuación polinomial Pn(x) = 0, con coeficientes racionales, admite la raíz irracional
TEOREMA 2.Un polinomio Pn(R) de coeficientes racionales y de variable real (es decir, la variables R toma valores reales de la forma a b ), verifica la siguiente relación:
Pn (R) Pn R
entonces su irracional conjugado a b , también es raíz
a b , donde “a” y
“b” son racionales positivos no cuadrados perfectos; entonces, su irracional conjugado
a b
su opuesto
a b y el conjugado de su opuesto a b , tam-
bién son raíces de dicha ecuación.
donde : R a b , es el irracional conjugado de R.
ÁLGEBRA
72
5TO GRADO DE SECUNDARIA
ECUACIÓN POLINOMIAL
P
1.
rob lem a s d e c la se 5.
Resuelva y halle C.S. de:
En la ecuación polinomial: x 4 – 2x 2 3x – 2 0
x 3 – 2x 2 – 43x 35 0
halle el cociente de la suma de los productos ternarios de las raíces y la suma de los productos binarios de las mismas.
Rpta.: ........................................................ 2.
Resuelva y halle el C.S. de: 2x 4 – x 3 – 6x 2 – x 2 0
Rpta.: ........................................................ 6.
En la ecuación: 2x 4 – 4x 3 3x 2 5x 4 0
r1, r2, r3 Ù r4 son las raíces.
Rpta.: ........................................................ 3.
Determine: N
Halle los valores de “x” en:
1 1 1 1 r1 r2 r3 r4
x 4 – x 3 – 3x 2 – 4x 2
Rpta.: ........................................................ 7.
Rpta.: ........................................................
3 – 2 es una raíz de la ecuación polinomial: 3x 3 – 15x 2 mx n 0
4.
calcule el valor de “n”
Si: x=–3 es una raíz de:
m – 2 x 3 3 m – 1 x 2 4m – 1 x 2m 0 calcule “m”.
Rpta.: ........................................................
5TO GRADO DE SECUNDARIA
Rpta.: ........................................................ 73
ÁLGEBRA
ECUACIÓN POLINOMIAL
Ta lle r N° 1.
16
5.
La ecuación: 3x 3 – 13x 2 13x – 3 0
tiene las raíces: x1, x2 Ù x3
Resuelva y halle el C.S. de:
Calcule:
x 3 10x 2 31x 30 0
E
x1 · x 2 · x 3 x1 x 2 x 3
Rpta.: ........................................................ Rpta.: ........................................................ 2.
Resuelva y halle el conjunto solución de:
6.
x 3 – 4x 2 4x 5
Si: r1, r2 Ù r3 son las raíces de la ecuación: 6x 3 – 11x 2 – 3x 2 0
determine: 1 1 1 r1 r2 r3
Rpta.: ........................................................ 3.
Rpta.: ........................................................ 7.
Halle los valores de “x” en:
Resolver la ecuación: 2x 3 – 10x 2 mx n 0
2x 4 – 4x 3 3x 2 5x 4 0
Si una de sus raíces es: 2 3 (determine sus otras raíces).
Rpta.: ........................................................ 4.
Si: x=–2 es una raíz de: 8.
3x 3 2m – 1 x 2 mx 3 0
Rpta.: ........................................................ 1+i es una raíz de la ecuación: x 3 10x 2 – ax b 0
calcule el valor de “m”
Halle el valor de “a”. (Nota: i –1 )
Rpta.: ........................................................ Rpta.: ........................................................ ÁLGEBRA
74
5TO GRADO DE SECUNDARIA
ECUACIÓN POLINOMIAL
P
rob le m a s p rop ue stos NIVEL II
NIVEL I
Calcular “a” y “b” si la ecuación : x3 + ax2 + bx + 6 = 0 tiene como raíces 2 y 3 A) a = -2 B) a = 3 C) a = –4 b=1 b=2 b=1 D) a = -3 E) a = 4 b=1 b = –1
1.
2.
Las raíces de la ecuación : x4 – ax3 + bx2 - cx + 24 = 0 son los cuatro primeros naturales diferentes de cero. El valor de (a+b+c) es : A) 90 B) 92 C) 95 D) 94 E) 100
2.
El resolver la ecuación de coeficientes racional : 3x3 + ax2 + bx + 18 = 0 se encontró una raíz x1 3 1 Calcular : x12 + x22 + x32 A) 14 B) 6 C) 8 D) 17 E) 16
3.
Indicar la suma de dos de sus raíces de : x4 + (a+b)x3 + (ab–1)x2 – (a+b)x – ab = 0 A) a B) –b C) b – a D) a+b E) 0 Calcular el valor de (ab) en la ecuación : 2x3 + 3x2 + ax + b = 0 si sus raíces son -2 y 1. A) 10 B) 2 C) 3 D) 6 E) 8 Resolver : 2x3 – 7x2 + 7x – 2 = 0 A) 1 y 2 B) 1, –1/2, 2 C) 1, 1/2, 2 D) 2 y 1/2 E) 1/2 y 1
3.
Si a, b Ù c son las raíces de la ecuación:
1.
4.
5.
6.
7.
A) 0 C) –1 E) 2
B) 1 D) 4
5x 3 4 x – 3 0
calcule: E A) 1
4.
Determinar la suma de las raíces que resulten al resolver : 3x3 – 13x2 + 13x – 3 = 0 A) 1/3 B) 1 C) 2/3 D) 4 E) 4 1/3 El producto de las raíces del polinomio : P(x) = 2x4 + 3x3 – 9x2 – 8x + 12 es : A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
5TO GRADO DE SECUNDARIA
Resolver la ecuación : P(x) = (x2+x+1)2 – x2 – x – 7 = 0 indicando luego la suma de soluciones reales.
75
5 9
E)
8 9
–
D) –
11 13 7 8
Resolver la ecuación : (x+a)5 – (x – a)5 = 9x4 + 25x2a3 – 2a5 y dar la suma de todas sus raíces. A) a C) – 2a E) 0
5.
a 3 b3 c3
B)
C) – –
a 2 b2 c2
B) 2a D) – a
En la ecuación : x3 – (a+b+1)x2 + (ab+2a–1)x – (a–b+a –1) = 0 dos de sus raíces suman a-1. Calcular el valor de la otra raíz; b ¹ 1 A) a+1 B) a–1 C) b+2 D) a–2 E) 3b
ÁLGEBRA
ECUACIÓN POLINOMIAL
6.
En la ecuación: x 3 ax 2 bc c 0
5 es raíz de multiplicidad 2 y –2 es raíz simple. Calcule (a+b+c). A) 35 C) 51 E) 72 7.
3. Si a, b, p y q son raíces de una ecuación bicuadrada, tales que: a+b=p+q=0 2 4 abpq (ab pq) 1 h h3
B) 47 D) 60
Sabiendo que una de estas raíces asume como valor: k 1 h
Sean “m” y “n” números enteros
indicar el valor de: k 3 k 2
Si: x 3 2 2 es un factor del polinomio: mx3 – 11x2 – nx + 1. Calcular (m2+n2+1) y el producto de las raíces. A) 11 y 2 C) 21 y 2 E) 2 y 3 8.
B) 21 y –1/2 D) 11 y –1/2
k 1 ; hk N h
Rpta.: ....................................... 4. Resolver la ecuación recíproca: ax4 + (b – 3)x3 – 10x2 + (5 – a)x + b + 6 = 0 Indicando como respuesta una de sus raíces. Rpta.: .......................................
Resolver : (x–5) (x–7) (x+4) (x+6) = 504 Dar como respuesta las raíces positivas. A) 8 y 3 C) 8, 2 E) 8, 3 y 2
B) 7 y 2 D) 7, 3
NIVEL III 1. Teniendo en cuenta que la ecuación: 4 2 (a+b–c)(a–b)x + (b+c–a)(b–c)x +(c+a–b)(c–a)=0 admite por raíces a 1 e i, de acuerdo a esto, calcular el valor de: E
(a 2b )(b 2 c)(c 2a) (a b c)(ab bc ca)
Rpta.: ....................................... 2. Dos raíces de la ecuación bicuadrada: (x 2 nx m )(x 2 m x n) 8 x 9
son p y q. Sabiendo que p q . Calcular el valor de: p2 E 2 3p 1
1
q2 2 2q 1
1
Rpta.: .......................................
ÁLGEBRA
76
5TO GRADO DE SECUNDARIA
ica l ó t a L aC ÁLGEBRA - TEMA 17
MATRICES Y DETERMINANTES
D
4 (x + 1) – 7 (x – 2) = (5x) (3) – (2x) (6)
esarrollo del tema
4x + 4 – 7x + 14 = 15x – 12x –3x + 18 = 3x 18 = 6x x = 3
MATRIZ Es un arreglo rectangular de elementos distribuídos en filas y columnas. Dichos elementos están encerrados por corchetes, paréntesis o doble barra. Tales como:
10 13 18 6 8 5
a)
c)
3 i 2i 5 10i 4i
b)
f(a b) f(a) f(a b) f(b)
DETERMINANTE DE TERCER ORDEN
A
a o a1 a 2 b1 b 2 c1
d)
a 2 b2
c1 c2
a3
b3
c3
A. REGLA DE SARRUS POR COLUMNAS
(-) (-) (-) a 1 b1 c1 a1 b1 A a 2 b2 c2 a2 b2 a 3 b3 c3 a3 b3
DETERMINANTE DE SEGUNDO ORDEN
A=
b1 b2
Para desarrollarlo, tomamos como referencia a sus dos diagonales con sus respectivos signos. De lo anterior, existen dos maneras de desarrollar esta expresión. veamos:
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA
a 1 b1
a1 a2
DIAGONAL SECUNDARIA
(+) (+) (+)
DIAGONAL PRINCIPAL
det( A) a1b2c3 b1c2a3 c1a2b3 a3b2c1 b3c 2a1 -c 3a2b1 Se determina restando los productos de los elementos de la diagonal principal y de la diagonal secundaria. Así: det(A) a 1 • b 2 a 2 • b1
Ejemplo: (1) Sabiendo que:
Ejemplo: (1)
Desarrollar:
m 1
m2 m 1
1 x
2 3 y z 0
m 1
m2 m 1
4
5
m 1 m 2 –m 1 – m–1
m
2
m 1
Calcular el valor de:
E
m 3 1 – m 3 –1 2 * Ejemplos: (2) Resolver la ecuación:
x 1 7 x2 4
5TO GRADO DE SECUNDARIA
5x
6
2x
3
6
77
y z x
Por sarrus:
1 x
2 3 1 y z x
2 y 0
4
5 6
5
4
ÁLGEBRA
MATRICES Y DETERMINANTES
6y 8 z 15x 12y 5 z 12x 0 6 y 3z 3x 0 x z 2y
y 1 0, 5 z x 2
B.
REGLA DE LA ESTRELLA (Sarrus simplificado) En el determinante mostrado:
a1 A a2
b1 b2
c1 c2
a3
b3
c3
Representemos sus elementos por medio de puntos. Separemos en dos grupos, los productos ternarios de dichos elementos, tal como se muestra:
PROCEDIMIENTO GENERAL: 1. A cada uno de los elementos del determinante le asociamos el cuadro de signos establecido, empezando siempre con el signo positivo, y los demás de manera alternada. 2.
Se elige una fila o columna, de preferencia, la que tenga mayor número de ceros, la cual se denominará fila o columna referencia.
3.
Cada elemento de la fila o columna referencia asociado a su signo, se multiplica por su menor complementario.
Ejemplo explicativo: Desarrollemos el determinante de la matríz A, por la regla de LAPLACE de los menores complementarios:
a1 A = a2 a3
(+)
(-)
A a1b2c3 b1c2a3 c1a2b3 a3b2c1 b3c 2a1 c 3a2b1
D. REGLA DE LAPLACE O DE LOS MENORES COMPLEMENTARIOS Menor complementario:
A a 1
b2
c2
b3
c3
a3
b1 b2
------ c1 c2
----- b 3
------ c 3
El menor complementario
a2
b2
a3
a3
El menor complementario del elemento b 3 , será:
a1 a2
c1 c2
+ – 4 2
+ 0
0
5
-1
–3 7
0
c2
a3
c3
c1
a2
b2
a3
b3
+ – +
Tomando menores complementarios a lo largo de la tercera columna, por ser la que tiene mayor número de ceros. Veamos:
A 0 CUADRO DE SIGNOS DE LOS ELEMENTOS TOMADOS COMO REFERENCIA
a2
Ejemplo numérico: Calcular:
A=
del elemento C 1 , será:
b1
El determinante de orden 3, se ha reducido a una suma de determinantes de orden 2.
Dado el determinante :
-----
c1 c2 c3
tomando como referencia la primera fila del mismo, se tiene:
Al desarrollar el determinante, se obtiene:
a1 A a2
b1 b2 b3
0 5 4 2 4 (1) 0 3 7 3 7 0
2 5
Es decir:
A () (-) () A (-) () (-)
4 2 4 7 – –3 2 3 7
A 28 6 34
() (-) ()
ÁLGEBRA
78
5TO GRADO DE SECUNDARIA
MATRICES Y DETERMINANTES
P
1.
rob lem a s d e c la se
A)
2xy
y2
1 1
2 0 –1 3 2
y2
x2
2xy
2
x
y
2
x
1
2
Rpta.: ........................................................
Rpta.: ........................................................ Hallar “x” en:
5.
x 5 –2 –4 4 2 6 –3
3.
Calcular “x”, si se verifica:
x2 2xy
2.
4.
Calcular el valor de cada determinante:
Determinar “x” a partir de: 3 7
2 5 3 x 9
4
2 3
Rpta.: ........................................................ A qué es igual: 1 x
1 y
1 z
x2
y2
z2
Rpta.: ........................................................
Rpta.: ........................................................
5TO GRADO DE SECUNDARIA
79
ÁLGEBRA
MATRICES Y DETERMINANTES
17
Ta lle r N° 1.
3.
1 1 1 1x
Calcular el valor de cada determinante: A)
–1 3 2 –5 1 –1 2
2
1
a–b –2
1y
Rpta.: ........................................................
b a b ab
4.
Rpta.: ........................................................
Hallar el valor de “x” en: 2 –4 2 x
–1 –2 5
1
2
3
Calcular “m”, si: 2 3 0 m 12
Rpta.: ................................................. 2.
1
1 1
3
Rpta.: ................................................. B)
Calcular:
5.
Calcular el determinante de la siguiente matriz: 3 2 1 A 1 1 1 2 1 1
Rpta.: ........................................................
ÁLGEBRA
Rpta.: ........................................................ 80
5TO GRADO DE SECUNDARIA
MATRICES Y DETERMINANTES
P
rob le m a s p rop ue stos NIVEL II
NIVEL I 1.
I.
5
2
7
3
III.
a 1 1 –1 a a –1
1
II.
A) VVV C) VFV E) FFF 2.
m2
mn
mn
n2
sen x cos x 1 ; xy sen y cos y 2 3
A) 30º D) 53º 2.
B) 27º E) 60º
Si “x” cumple la igualdad:
Resolver:
1 3 1
–2 1 x –2 2
–1
2
x
2
halle “y” de la siguiente igualdad:
–1
B) –3 D) –2
x 1 1 2 1 x x y x 2
A) 1 D) –2
Resolver:
A) 5 C) 3 E) 1
3.
B) 5 D) 20
4.
C) –1
1 1
1 1m
1 1
1
1
1m
A) m C) m+n E) m·n
Hallar “x” en:
A) 1 C) 10 E) 25
B) 0 E) –3
Calcular:
B) 4 D) 2
x 5 –2 –4 4 2 6 –3
B) n D) m–n
Hallar la solución de la ecuación: x –1 x x x2 x
5.
C) 45º
2 3 1 2 x –1 1 x – 2
m 1 –3 8 m 1 2
4.
Calcular “x” si se cumple lo siguiente:
0
B) FVF D) VVF
A) 3 C) 2 E) 1
3.
1.
Marcar verdadero (V) o falso (F).
x
x x
0
x3
Calcular: Q
A) m D) m–n
mn
2n
2m
mn
–
m–n
–2n
2m
m–n
B) n E) 2m
5TO GRADO DE SECUNDARIA
A) 6 C) 4 E) 2
C) m+n
81
B) 5 D) 3
ÁLGEBRA
MATRICES Y DETERMINANTES
NIVEL III 1.
Hallar el determinante: x 2 1 0 1 1 0 1 3 2
A) 1 D) –1 2.
Si:
B) 2
a b c d
C) 3 E) –2
0 ab b
a ab
Calcular: c d d c c d
UNTELS
A) 0 D) –1
3.
B) 1
Señalar el valor de verdad de cada caso. I.
II.
III.
IV.
3 0 1 2 0 3 0 1 0 2
2 3 1 2 3 1 4 1 2 2 1 3 2 1 3
4 1 2
5 10 15 1 2 3 40 50 60 400 4 5 6 8
8
8
1 1 1
6 7 8 6 7 8 8 9 10 2 2 2 11 12 14
A) VVVF D) VVFF 4.
C) 2 E) –2
3 3 4
B) VFVV
C) VFFV E) VVVV
Calcular el determinante de la matriz: 31 32 33 A 34 35 36 37 38 39
SAN MARCOS
A) 0 D) 24411
B) 1
ÁLGEBRA
C) 2 E) 28824
82
5TO GRADO DE SECUNDARIA
ica l ó t a L aC ÁLGEBRA - TEMA 18
SISTEMA DE ECUACIONES
D
esarrollo del tema
2.
Son aquellos que NO aceptan elemento alguno en su conjunto solución; o en todo caso, su conjunto solución S, es el vacío .
CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES De acuerdo al número de elementos de su conjunto solución S. Estos pueden ser: 1.
SISTEMAS INCOMPATIBLES
Ejemplo: En el sistema racional: 4x
SISTEMAS COMPATIBLES Son aquellos que aceptan por lo menos un elemento en su conjunto solución. Debido a esto, se subdividen en:
5 5 12 4 y
2x-y = 6 El conjunto solución, es el vacio. Es decir: S=
a.
Determinados Si admiten un número FINITO de elementos en su conjunto solución. Ejemplo: Dado el sistema: x2 y2 5 2x 3y 1
Su conjunto solución admite dos elementos, el cual es:
22 19 S (2;1), - ; - 13 13 b.
Indeterminados Si admiten un número INFINITO de elementos en su conjunto solución.
ANÁLISIS DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Para resolver un sistema lineal, se utilizan varios procedimientos, tales como: – El criterio de la sustitución – El criterio de la igualación – El criterio de la reducción – El criterio de las gráficas También; procedimientos mucho más prácticos: – Regla de Bezout, de los coeficientes indeterminados. – Regla de Cramer, de los determinantes. – El criterio analítico de las matrices. ESTUDIO DEL SISTEMA LINEAL DE 2 INCÓGNITAS REGLA DE CRAMER Los valores de las incógnitas “x” e “y” del sistema lineal adjunto:
Ejemplo: El sistema mostrado: 3x – 4y – 9z = 2 x+2y – 3z= 4 Admite un conjunto solución de infinitos elementos, el cual es:
a 1 x b 1 y c1 a 2x b 2 y c2 Se obtienen a partir de:
S (2;1;0), (5;1;1), (–1;1;–1),......
5TO GRADO DE SECUNDARIA
Para la segunda forma de clasificar a los sistemas, establezcamos primero la siguiente definición:
83
ÁLGEBRA
SISTEMA DE ECUACIONES
2.
x y e y S S Donde los determinantes se definen así:
x
S
x
y
a1 a2
Condición: S 0; x 0; y 0 Se deduce que:
b1 a 1 b 2 a 2 b1 b2
c1
b1
c2
b2
a1
c1
a2
c2
a 1 b 1 c1 a 2 b2 c2
c1 b 2 c 2 b1
3.
a 1 c 2 a 2 c1
Se deduce que: a 1 b 1 c1 a 2 b2 c2
ANÁLISIS DE SISTEMAS SOBREDETERMINA-DOS DE 2 INCÓGNITAS Dado el sistema lineal : ax+by = C mx+ny= p rx+sy = t
Calculemos por separado los determinantes:
X
2
5
7
3
(2) (-3) - (7) (5) -41
16
5
15
3
(16) (-3) - (15) (5) -123 y definamos el determinante del sistema ampliado H , del siguiente modo:
2 16 y (2) (15) - (7) (16) -82 7 15
a H m
Por Cramer se tiene:
r
x 123 x 3 S 41
y
SISTEMA INCOMPATIBLE Si el sistema lineal NO admite solución alguna. Condición: s 0; x 0; y 0
Ejemplo explicativo Resolver el sistema lineal: 2x+5y= 16 7x-3y = 15
S
SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO Si el sistema lineal admite INFINITAS soluciones.
b c n p s
t
Al discutir el sistema, se presentan dos casos:
y 82 2 S 41
1.
Por lo tanto, el conjunto solución será:
S
Si el sistema lineal es COMPATIBLE Condición: H 0
(3;2) 2.
PROPIEDADES DE PROPORCIONALIDAD Y
Si el sistema lineal es INCOMPATIBLE Condición: H 0
ANÁLISIS GRÁFICO DE LOS SISTEMAS LINEALES DE 2 INCÓGNITAS 1º
SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO Si el sistema lineal admite SOLUCIÓN ÚNICA. Condición: s 0 Se deduce que:.
a1 b 1 a2 b2 opuesto
a b
y el conjugado de su
a b , también son raíces de dicha ecua-
ción.
ÁLGEBRA
El mismo criterio se aplicará al sistema lineal sobredeterminado de 3 incógnitas: ax+by+cz = d mx+ny+pz= q rx+sy+tz= u fx+gy+hz=k SISTEMA LINEAL HOMOGÉNEO DE 2 INCÓGNITAS El sistema lineal: ax + by = 0 mx + ny = 0 Se denomina homogéneo, debido a que los términos independientes de las ecuaciones son iguales a cero.
84
5TO GRADO DE SECUNDARIA
SISTEMA DE ECUACIONES
Este sistema siempre es COMPATIBLE, ya que admite por lo menos la solución trivial o impropia x=0 e y=0. De esto último, se deducen dos casos a estudiar: 1.
SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO El sistema homogéneo admite solución única, el cual, es la solución trivial: x=0 e y=0. Condición: S 0 Se deduce que:
a b m n 2.
SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO El sistema homogéneo admite INFINITAS soluciones a parte de la trivial. Condición: S = 0 Se deduce que:
a1 s a 2 a3
d1 d2
c1 c2
a3
d3
c3
rx + sy + tz = 0 El cual siempre es compatible, ya que admite por lo menos la solución trivial: x=0;
y= 0
;
;
b1 b2 b3
c1 c2 c3
a1 z a 2
b1 b2
d1 d2
a3
b3
d3
Mostrando por separado los determinantes y lándolos por la regla de la estrella: 3 s 4
2 1
1 2
5
3 1 2
5
3
3 14 y 4 12
1 2
1 10
3
3 z 4 1
42 40 60 10 140 72 84
108 28 40 12 60 168 56
2 14 1 12 30 24 280 14 180 80 28 5
10
z=0 Por Cramer, se tiene:
ESTUDIO DEL SISTEMA LINEAL DE 3 INCÓGNITAS
x
Regla de Cramer Los valores de las incógnitas “x”, “y” y “z” del sistema lineal adjunto:
a 3x b3 y c3z d 3
x 84 3 s 28
y
y 56 2 s 28
z
z 28 1 s 28
a 1 x b 1 y c1 z d 1 a 2x b 2y c 2z d 2
Luego, el conjunto solución será: S
(3;2;1)
Se obtienen a partir de :
x
x ; s
y
y ; s
z
z s
Donde los determinantes , se definen así:
5TO GRADO DE SECUNDARIA
85
calcu-
9 4 20 1-30 24 28
2 1
10
ax + by + cz= 0
d1 x d 2 d3
;
Ejemplo explicativo: Resolver el sistema lineal: 3x+2y+z = 14 4x-y+2z= 12 x+5y-3z= 10
14 x 12
mx + ny + pz = 0
c1 c2 c3
a1 y a 2
1
a b m n
b1 b2 b3
ÁLGEBRA
SISTEMA DE ECUACIONES
P
1.
rob lem a s d e c la se
Al resolver el sistema: 7x + 4y = 13 ....... (I) 5x + 2y = 19 ....... (II)
Dar como respuesta: x 2 y 2 . 5.
Rpta:......................................................... Calcular (x + y) en: xa yb a b b b b
....... (I)
xa ya ab ...... (II) b a a
2.
Rpta:......................................................... Resolver el sistema 5x – 2y = 11 ........ (I) 3y + x = 9 ........ (II)
6.
3.
Rpta:......................................................... Resuelva: x 3 y 4
Rpta:......................................................... Calcular “m” si el sistema: x + my = 1 ....................... (I) mx – 3my = 2m + 3 ............. (II) es incompatible:
................. (I)
5x – 4y = 3 ........... (II)
7. 4.
Rpta:......................................................... Al resolver el sistema: xy xy 5 8 6
Rpta:......................................................... Calcular (a + b) sabiendo que los sistemas. 3x ay 7 (I) 4 x by 2
ax 3y 8 (II) bx 4 y 7
son equivalentes.
..... (I)
xy xy 10 ......(II) 4 3
calcular x 3 y 3 .
Rpta:.........................................................
ÁLGEBRA
86
5TO GRADO DE SECUNDARIA
SISTEMA DE ECUACIONES
Ta lle r N° 1.
18
5.
Hallar “x” al resolver el sistema: x y b .... (I) a b a x – y .............(II)
Resolver el sistema: x + y = 7 ......... (I) x – y = 3 ......... (II)
Rpta:......................................................... 2.
Indicar x 2 y 2 al resolver:
6.
7x – 4y = 5 ........ (I) 9x + 8y = 13 ........ (II)
Rpta:......................................................... Al resolver el sistema: (a + b)x – (a – b)y = 4ab ..............(I) (a b)x (a b)y 2a 2 2b 2 ...........(II)
Calcular (x + y)
3.
Rpta:......................................................... Al resolver el sistema x – 3y = 1 ........ (I) 3x y2 4
........ (II)
7.
Dar como respuesta x 2 y 2 .
4.
Rpta:......................................................... Evaluar “n” si el sistema 3x + (n – 1) y = 12 ................ (I) (n + 6)x + 6y = n ................ (II) es inconsistente:
Rpta:......................................................... Al resolver: xy xy .......... (I) 5 3
x y2 2
8. .......... (II)
Calcular x 2 y 2 .
Rpta:.........................................................
5TO GRADO DE SECUNDARIA
Rpta:......................................................... Calcular (xyz) del sistema 2x + 3y + z = 1 ....................... (I) 6x – 2y + z = – 14 .................... (II) 3x + y – z = 1 ......................... (III)
Rpta:......................................................... 87
ÁLGEBRA
SISTEMA DE ECUACIONES
P
rob le m a s p rop ue stos
NIVEL I 1.
4.
4 x 1 3y 1 14 ........... (I)
Calcular “x” en el sistema 6x – 5y = – 9 ......... (I) 4x + 3y = 13 ......... (II)
2.
A) 1 B) 2 D) 4 E) 5 Obtener “y” en el sistema
C)
6x 1 5y 1 2
A) 5 D) – 1
5.
3 –3
C)
7x – 3y = 9 ........ (II) B) 2 C) E) 5
3
1.
1/2 7/4
C)
3/2
Calcular (x + y) al resolver el sistema: x y 4 .......... (I) 3 2 3 x 1 0 .......... (II) y 2
2.
3.
0,5
Del sistema mostrado; calcular (xy)z .
Obtener el valor de «x+y» luego de resolver:
x 2y b 2 En el sistema: 2x y b 1 ¿Cuál es el valor de «b», de modo que se tenga x=3y ? A) 8 D) 1/2 B) 5/2 E) 2 C) 2/5 2.
NIVEL II 1.
C)
2 3 2 x 3 y 3 3 x 2 y 17 3 3 2 x 3 y 3 3 x 2 y 18 A) 12 D) 72/5 B) 73/5 E) 64/5 C) 13
7x – 4y = 5 ......... (I) 9x + 8y = 13......... (II) B) E)
– 0,25 – 0,5
NIVEL III
Calcular (x + y) en el sistema:
A) 3/4 D) 5/2
B) E)
............ (II)
3x – 2y + 4z = 11 ................ (I) 2x + y – z = – 1 ................. (II) x + 2y + 5z = 9 ................. (III) A) 1 B) 4 C) 9 D) 36 E) 144
1
Hallar “x” en el sistema: x + 6y = 27 ........ (I) A) 1 D) 4
4.
B) E)
A) 0,25 D) 0,125
3
3x – 2y = 4 ......... (I) 4x – 3 = 5y .........(II)
3.
Calcular “x” en el sistema:
A) 1 B) 2 C) D) 4 E) 5 Calcular “m” si el sistema 3x + (m + 1)y = 12 ......... (I) (m+6)x + 6y = m ......... (II) es incompatible. A) 1 B) 3 C) D) – 3 E) 5
3. 3
A)1 D)4
–1
Calcular (x – y) en el sistema: 5x – 2y = – 10 .............. (I) 5x + 8y = – 60 .............. (II) A) 1 B) 2 C) 3 D) – 1 E) – 2
ÁLGEBRA
El número de pares (x, y) de enteros que satisfacen la ecuación: x + y + xy = 120 es: B)2 E)6
C)3
x y 1, 6a 2 4.. En el sistema: 1 0x 1 0y 8a el valor de x es «m» veces el valor de y. Calcule el valor de «m» A) 5 D) 16/9 B) 4/3 E) 25/9 C) 5/3
88
5TO GRADO DE SECUNDARIA
a c i l ó t a C a L GEOMETRÍA – TEMA 10
POLÍGONOS
D
CLASES DE POLÍGONOS
esarrollo del tema
1. POLÍGONO PLANO : Cuando todos sus puntos se hallan en un mismo plano.
POLÍGONOS
Ejemplo : ABCD.
DEFINICIÓN.2. POLÍGONO ALABEADO :
-
Es la línea poligonal, cerrada.
-
Es la figura formada por tres o más segmentos que se cortan 2 a 2.
Cuando no todos sus puntos se hallan en un mismo plano. Ejemplo : Cuadrilátero ABCD.
ELEMENTOS DEL POLÍGONO :
M
B 2 2
B
A N
C
3 3
1
C P 4
A 1
D
D 4 Q
3. POLÍGONO CONVEXO :
5 E
Cuando todos sus ángulos son convexos.
5
(0º