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TALLER DE ESTATICA

LAURA MILENA MANCIPE CASTRO CARLOS MANUEL TORRES GUZMAN

PRESENTADO A: RICARDO URIBE CORREA

UNIVERSIDAD SANTO TOMÁS FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL ESTATICA BOGOTÁ D, C

4.1 El mástil sobre un camión de 4300 Kg se usa para descargar de la plataforma, el grupo de tablillas de 1600 Kg que se muestra en la figura. Determine la reacción en las llantas: a) traseras B y b) delanteras C.

Ilustración 1-Diagrama Cuerpo Libre

Fuerzas:

FA=1600 Kg

N =15.69 KN ( 9.81s m )= 15696 1000

FG=4300 Kg

2

N =42.18 KN ( 9.81s m )= 42183 1000 2

Sumatoria de fuerzas:

∑ Fy=RB+ RC−FA−FG=0 Momento:

+ ∑ MC=( FG × 0.5 m )+ ( FA × l )−(RB × ( 4.3 m+0.4 m+ 0.5 m ) )=0 l=( cos (15 ° )∗6 ) +0.4 m+0.5 m=6.7 m + ∑ MC=( 42.18 KN ×0.5 m ) + ( 15.69 KN ×6.7 m ) −(RB × ( 5.2 m ) )=0

RB=

( 42.18 KN × 0.5 m )+ ( 15.69 KN × 6.7 m ) 24.271 KN = =12.13 KN 5.2 m 2

∑ Fy=RB+ RC−FA −FG=0 RC=FA+ FG −RB=15.69 KN + 42.18 KN −24.27 KN =

33.6 KN =16.8 KN 2

Respuestas

Reaccion en lasllantas traseras=12.13 KN

Reaccion en lasllantas delanteras=16.8 KN

4.2 Dos niños están parados sobre un trampolín de 65kg de masa. Si se sabe que las masas de los niños en C y D, son respectivamente, 28Kg y 40 kg, determine: a) la reacción en A y b) la reacción en B.

Fuerzas:

Ilustración 2-Diagrama de cuerpo libre

FG=65 Kg

637.54 N = =0.637 KN ( 9.81m ) 1000 s 2

FC=28 Kg

N =0.274 KN ( 9.81s m )= 274.68 1000

FD=40 Kg

N =0.392 KN ( 9.81s m )= 392.4 1000

2

2

Sumatoria de fuerzas:

∑ Fx=RAx=0

∑ Fy=RAy+ RBy−FG−FC −FD=0 Momento:

+ ∑ MA=( RBy ×1.2 m )−( FG × 1.68 m )−( FC ×2.28 m )−(FD ×3.28 m)=0

RBy=

( 0.637 KN × 1.68 m )+ ( 0.274 KN × 2.28m ) +(0.392 KN ×3.28 m) =2.49 KN 1.2 m

∑ Fy=RAy+ RBy−FG−FC −FD=0 RAy=−RBy+ FG + FC+ FD

RAy=−2.49 KN +0.637 KN + 0.274 KN +0.392 KN =−1.182 KN Respuestas

Reaccion en A=1.182 KN

Reaccion en B=2.49 KN

4.3 Dos cajas, cada una con un peso 250lb, se colocan en la parte trasera de una camioneta de 3000lb, como se muestra en la figura. Determine las reacciones de las llantas: a) Traseras A y b) delanteras B.

Ilustración 3-Diagrama Cuerpo Libre Sumatoria de fuerzas:

∑ Fy=RAy+ RBy−FG−FC −FD=0 Momento:

+ ∑ MB=( FG ×3.9 ft ) + ( FD ×6.5 ft ) + ( FC × 12.1 m ) −(RAy × 9.8 ft )=0 RAy=

( 3000 lbf ×3.9 ft )+ ( 250lbf × 6.5 ft ) + ( 250 lbf ×12.1 m ) 1668 lb = =834 lbf 9.8 ft 2

∑ Fy=RAy+ RBy−FG−FC −FD=0 RBy=FG + FC + FD−RAy=3000 lbf +250 lbf + 250lbf −1668 lbf =

Respuestas

Reaccion en lasllantas traseras=834 lbf

Reaccion en lasllantas delanteras=916 lbf

1832 lb =916 lbf 2

4.4 Resuelva el problema 4.3, suponga que se mueve la caja D y que la posición de la caja C permanece intacta.

Ilustración 4-Diagrama de cuerpo libre Sumatoria de fuerzas:

∑ Fy=RAy+ RBy−FG−FC =0

Momento:

+ ∑ MB=( FG ×3.9 ft ) + ( FC× 12.1 m ) −(RAy × 9.8 ft )=0 RAy=

( 3000 lbf ×3.9 ft )+ ( 250lbf × 12.1 m ) 1502.55lb = =751.27 lbf 9.8 ft 2

∑ Fy=RAy+ RBy−FG−FC=0 RBy=FG + FC + FD−RAy=3000 lbf +250 lbf −1502.55 lbf =

Respuestas

Reaccion en lasllantas traseras=751lbf

Reaccion en lasllantas delanteras=873 lbf

1747.45 lb =873.72lbf 2

4.34 Sin tomas en cuenta la fricción y el radio de la polea, determine: a) la tensión en el cable ABD y b) la reacción en C.

Ilustración 5-Diagrama de cuerpo libre Ángulos

36∈¿ 15∈ ¿¿

tan ( ∅ )=¿ 36∈¿ 15∈ ¿¿ ¿=22.61° ∅=tan −1 ¿ 20∈¿ 15∈ ¿¿

tan ( β )=¿ 20∈¿ 15∈ ¿¿ ¿=36.86° β=tan −1 ¿

Sumatoria de fuerzas:

∑ Fx=TCos ( 22.61° ) +TCos ( 36.86° ) −RCx=0

∑ Fy=TSin ( 22.61 ° )+ TSin ( 36.86° ) −RCy−30 lbf =0 Momento:

30 lbf ×28∈¿ ¿ TSin ( 36.86° ) ×20∈¿ ¿ TSin ( 22.61° ) ×36∈¿=0 MC=¿ +∑ ¿ 30 lbf ×28∈¿ ¿ sin ( 36.86 ° ) × 20∈¿ ¿ sin ( 22.61° ) ×36∈¿ ¿ ¿ ¿ T =¿

∑ Fx=TCos ( 22.61° ) +TCos ( 36.86° ) −RCx=0 RCx=TCos ( 22.61° ) +TCos ( 36.86 ° )=56.02lbf

∑ Fy=TSin ( 22.61 ° )+ TSin ( 36.86° ) −RCy−30 lbf =0 Rcy=TSin ( 22.61° ) +TSin ( 36.86 ° )−30 lbf =2.00 lb Respuestas

La tension en el cable ABD es=32.51 lbf

Reacion en Cy=2.00 lbf Reacion en Cx=56.02lbf 4.35 Sin tomar en cuenta la fricción, determine la tensión en el cable ABD y la reacción en C cuando

∅=60 °

Ilustración 6-Diagrama de cuerpo libre

Ilustración 7-Pitagoras Ilustración 8-Descomposicion de ángulos

L=2 aCos(60 °) x=2 aSen(60 ° )

Sumatoria de fuerzas:

∑ Fx=RCx−TCos( 30° )=0 ∑ Fy=T + TSen ( 30 ° )−P=0 Momento:

TCos ( 30 ° ) × ( 2 aSen ( 60 ° ) )−( P ×a )−(T ×a)=0 ¿ TSen ( 30° ) × ( a+2 aCos ( 60° ) ) + ¿ ¿ MC=¿ +∑ ¿ 3 ¿ ( T × a ) + T × a −( P × a )−( T × a )=0 2

(

¿

)

( 52 aT )−( P ×a )−( T × a)=0

5 ¿ aT −Ta=Pa 2 5 ¿ T −T =P 2 2 T= P 3

∑ Fx=RCx−TCos( 30° )=0 2 RCx=TCos ( 30 ° )= PCos ( 30 ° )=0.577 P 3

4.36 Sin tomar en cuenta la friccion, determine la tension en el cable ABD y la reaccion en C cuando

∅=30 ° .

T =2 aCos(30 °) x=2 aSen(30 ° ) Ilustración 9-Pitágoras Sumatoria de fuerzas:

∑ Fx=RCx−TCos( 60° )=0 ∑ Fy=T + TSen ( 60 ° )−P=0 Momento:

TCos ( 60 ° ) × ( 2 aSen ( 30 ° ) )−( P ×a )−(T ×a)=0 ¿ TSen ( 60° ) × ( a+2 aCos ( 30° ) ) + ¿ ¿ MC=¿ +1 ∑ ¿

a+a √ 3 T

√3 ×(¿)+ T 1 × a −( P ×a )−( T × a )=0

(

2

)

2

¿¿

¿

( 3+2√ 3 aT )+( aT2 )− ( P × a)−( T × a) =0

¿

( 2+2√ 3 ) aT =Pa

T=

2 P 2+ √3

∑ Fx=RCx−TCos( 30° )=0 RCx=TCos ( 60 ° )=

2 P cos ( 60° )=2−√ 3 P 2+ √ 3

4.37 Determine la reacción en cada cable y la reacción en D.

Ilustración 10. Diagrama de cuerpo libre

Calculo de ángulos: −1

α =tan

8 =21.8 ° 20

β=tan−1

8 =38.65° 10

+ ∑ MD=120 ( 30 )−T 1 cos ( 21.8 ) ( 8 ) +T 2 cos ( 38.65 )=0 ¿ 3600−T 1 ( 7.42788 ) +T 2 ( 6.24 )=0 Σ fy=−120−T 2 sen ( 38.65 ) +Tisen(21.8)=0

T 1=

120+T 2 sen (38.65) sen( 21.8)

3600+T 2(6.24 )−7.427

3600+T 2 ( 6.24 ) −

(

120+T 2 sen (38.65 ) =0 sen ( 21.8 )

)

891.36−T 2( 4.63) =0 0.37

3600+T 2 ( 6.24 ) −2400−(12.46)T 2=0 (−6.22)T 2=−3600+2400

T 2=192.9 Lb

T 1=

120+( 192.9)sen (38.65) =646 Lb sen (21.8)

Σ fx=cos ( 21.8 ) T 1+ cos ( 38.65 ) T 2−Dx=0 Dx=750 Lb 4.38 La barra ABCD esta doblada en forma de un arco circular de 8 mm de radio y descansa sobre una superficie sin fricción en A y D. Si se sabe que el collarín en B se puede mover libremente sobre la barra, y que

∅=45° ,

determine: a) la tensión de la cuerda OB y b) las reacciones en A y D.

Ilustración 11. Diagrama de cuerpo libre Descomposición de fuerzas:

Cx=25 cos ( 60 ° ) Tx=TCos ( 45 ° ) RAx=RACos ( 45° ) RDx=RDCos(45 °)

Cy=25 Sen ( 60 ° ) Ty=TSen ( 45 ° ) RAy=RASen ( 45 ° ) RDy =RDSen( 45° ) Sumatoria de fuerzas:

∑ Fy=RAy+ RDy −Ty−Cy=0 ∑ Fx=RDx−RAx−Cx+Tx=0 Momento:

+ ∑ MO=( RD ×r )−( RA ×r )=0 RD=RA

∑ Fx=−Cx+Tx=0 ∑ Fy=2 RAy−Ty−Cy=0 ∑ Fx=−Cx+Tx=0 ∑ Fy=2 RAy−Ty−Cy=0 Tx=Cx=25 cos ( 60 ° )=12.5 N 2 RAy=Ty+Cy

T=

17.68 Sen ( 45° )+25 Sen ( 60° ) 12.5 =17.68 N RAy= =17.04 N 2 cos( 45)

RA=

17.04 =24.10 N Sen(45)

Respuestas

Tension de la cuerdaOB=17.68 N Reaccion en A=Reaccion en D=24.10 N Nota: Al calcular el momento en el punto O, La fuerza de la tensión y la fuerza externa de 25N son radiales a ese punto, es decir, que esas dos fuerzas pasan por el eje y al calcular el momento no se toman en cuenta.

4.39 La barra ABCD esta doblada en forma de un arco circular de 80mm de radio y descansa sobre superficie son fricción en A Y D. Si se sabe que el collarín en B se puede mover libremente sobre la barra, determine: a) el valor de

∅

para el cual la tensión en la cuerda OB es mínima, b) el valor

correspondiente de la tensión y c) las reacciones en A y en D.

Ilustración 12. Diagrama de cuerpo libre. Para poder encontrar el ángulo, hay que procurar que la magnitud de la tensión sea mínima y que además de eso el sistema quede en equilibrio, es

decir, que la sumatoria de fuerzas tanto en x como en y sea igual a cero. En este ejercicio se cumple que las reacciones en A y D son iguales, ya que la única fuerza que cambia es la tensión. Descomposición de fuerzas:

Cx=25 cos ( 60 ° ) Tx=TCos ( ∅ ) RAx=RACos ( 45 ° ) RDx =RDCos( 45 °)

Cy=25 Sen ( 60 ° ) Ty=TSen ( ∅ ) RAy=RASen ( 45 ° ) RDy =RDSen (45° ) Sumatoria de fuerzas:

∑ Fy=2 RAy−Ty−Cy=0 ∑ Fx=−Cx+Tx=0 Tx=Cx=25 cos ( 60 ° )=12.5 N Para que la tensión sea mínima, el ángulo tiende a 0 es decir que

Tx=T .

Por lo tanto La tensión actúa horizontalmente, es decir, que la tensión no tiene componentes en y.

∑ Fy=2 RAy−Cy=0 RAy=

RA=

Cy 25 Sen ( 60° ) = =10.82 N 2 2

10.82 N =15.3 N sin( 45)

Respuesta

Valor del angulo para que la tension sea minima=cos−1

=0 ° ( 12.5 12.5 )

Valor correspondiente de la tension=12.5 N Reaccion en A=Reaccion en D=15.3 N

EJERCICIOS PROPUESTOS.

1 La siguiente estructura se utiliza para obtener 2 cargas, los cables 2,4 tienen una inclinación 60 ° respecto a la horizontal y el 3 de 30 ° , si la carga de la izquierda (mg1) es 10 KN determine la magnitud de la carga de la derecha (mg2) sabiendo que el sistema se encuentra en equilibrio estático

Iustración 9. Diagrama de cuerpo

NUDO 1

T2 T3 10 = = sen 30 ° sen 30 ° sen 30 ° T 2=20 sen 120 °

T 2=17.32 kN

T3 10 = sen 30 ° sen 30 ° T 3=20 sen 30 °

T 3=10 kN

Ilustración 10. Método triangulo de fuerzas NUDO 2

T 4=17.32 kN

W =20 sen 90 °

T 4=20 sen 60 ° T 4=17.32 kN

Ilustración 10. Método triangulo de fuerzas.

W T4 10 = = sen 90° sen 60° sen 30° W =20 KN

2. Se tienen 2 resortes idénticos con longitudes naturales de 250 mm y constante k=1200 N/m. a) sabiendo que los resortes están conectados en serie dibujar el diagrama de cuerpo de cuerpo libre de A y B. b) b. determine las masas de los bloques

Representación gráfica del ejercicio

Bloque B

x2 x 2=280 mm−250 mm x 2=30 mm=0.03mm Ilustración 12.

∑fy=k x 2−m B g=0

k

Diagrama de cuerpo

mB

mB =

libre.

k x2 g

N 1200 ) ( 0.03 m ) ( m m = B

9.81

mB =3.66 Kg

Bloque A

x 1=300 mm−250 mm=50 mm k x1 1=¿ 0.05 m x¿

m A= k

K ( x 1−x 2 ) g

x2 N m m A=¿ ( 0.05−0.03 ) ¿ ma g 9.81 1200

m A=2.44 Kg Ilustración 13. Diagrama de cuerpo libre.

3 La longitud del resorte AB sin estirar que es de 660 mm y su constante K=1000N/m.

Calcular la masa del bloque suspendido.

Ilustración 14. Representación gráfica.

β=tan−1

=30.25 ° ( 350 600 )

α =tan−1

=41.18 ° ( 350 400 )

Fr=K ∂ ∂=Lf −Li

∂=( √ 6002+ 3502 )−660 ∂=34.62mm

(

Fr= 1000

N ( 34.62mm ) m

)

1000 N ( 34.62 mm ) ( 1000 mm )

Fr=

Fr=34.62

N

NUDO A

∑ fx=Fr cos ( β ) −Fc cos ( α )=0

Fc=

Fr cos ( β ) cos ( λ )

Fc=

(34.62 N )(cos ( 30.25 ° )) =39.73 N cos ( 41.18 )

∑fy=Fr sen ( β ) + Fc sen ( α )−mg=0

Fc=39.73 N 36.62 sen ( 30.25 ° ) +39.73 sen ( 41.18 ° )−mg=0 m=

17.44+26.16 =4.42 N 9.81

4 Un bloque de 10 KN se encuentra suspendido y sostenido por tres cuerdas, la cuerda 1 y la cuerda dos están sujetas cada una a un apoyo, estos están nivelados y separados por 7 metros, calcule la tensión de las tres cuerdas, sabiendo que el sistema se encuentra en reposo.

Ilustración 15. Representación gráfica.

∑fy=T 3 ( 10 kN )=0 T 3=10 kN

α =tan−1

( 44 )=45 °

β=tan−1

( 43 )=53.14 °

∑ f x =T 2 cos ( 53.13 ° )−T 1 cos ( 45 ° )=0 T 2=

T 1 cos ( 45° ) cos (53.13 ° )

∑ f y =T 2 sin ( 53.13° ) +T 1 sin ( 45 ° )−10=0 T 1cos ( 45 ° ) sin ( 53.13° ) +T 1 sin ( 45 ° )−10=0 cos ( 53.13° ) T 1=6.06 kN

T 2 sin ( 53.13° ) + ( 6.06 ) sin ( 45 ° )−10=0 T 2=7.14 kN

5 Una masa de 10 KN se sostiene mediante tres cables, cada uno con diferente tensión. ¿encuentre la tensión en cada uno de estos?

Ilustración 15. Representación gráfica.

α =arctan

=45° ( 1.5 1.5 )

β=arctan

Para W ∑ fy=tc−10=0

tC=10 KN

Para el nudo D

∑fx=tBcos (56.31 ) −tAcos ( 45 )=0 ∑ fy=tBsen (56.31 ) +tAsen ( 45 )=0

Solución del sistema de ecuaciones 0.55 tB−0.71 tA=0

0.83 tB+ 0.71tA =0

( 1.51 )=56.31 °

1.38 tB=10

tB=7.24 KN tA=

−0.55 tB =5.61 KN −0.71