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• Erick Villa

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Guía de prá ti a de álgebra y geometría

−−→ BC = C − B = (2, −1) −→ AC = C − A = (8, 2) − → −−→ D = BC ⊥ = (1, 2) Luego, un ve tor unitario que esté en la dire

ión de

→ − →E = 3

Además:



√8 , √2 2 17 2 17



=



√12 , √3 17 2 17

− → (1, 2) · → D = q comp− E





√12 , √3 17 17

144 17

+

9 17



=

√18 17 √ √153 17

−→ AC

− → µ =

−→

√1 68

(8, 2)

tiene omo punto terminal

(4, 4),

es

−1

→ AC

AC

=

18 18 6 =√ = √ =√ 153 3 17 17

−− 9 → (6, 3)  (2, −1) − → AB = =√ comp− BC k(2, −1)k 5 − −− → → 9 6 54 → D = √ · √ − → AB · comp− comp− =√ E BC 5 17 85

∴

3.9. Ejer i ios propuestos 1. Dados los puntos

A = (1, −5), B = (−4, 2), C = (−2, −7), D = (3, −1):

− − → −−→ r AB + sCD = (0, 0). −→ −−→ b ) Halla el punto P que satisfa e AC = P D −−→ − → → −→ → v + CA

) Si − v = (2 − 3x, 4x + 2) y BD − i = −

a)

2. Sean

Halla

rys

tal que:

− → → − a = (3, −1), b = (1, −1)

Halla el punto ini ial.

y

→ − − → → v = 3− a − b.

Si

. Halla el valor de

− → v

x.

A = (−1, 2x − 3) , B = (3x + 5, −4), C = (2y − 1, 5), D = (1 − y, y + 3) − −→ − − → → −−→ → − − → ve tores v = AB y w = CD . Cal ula x + y si se unple que v + w = (−1, −4) → − → − a = (2, 1), b = (−1, 3).

3. Dados los puntos y los 4. Sean

a) b)

Halla algebrái amente y grá amente el ve tor Una e ha que representa al ve tor

→ −c = − → → b + 2− a.

−c tiene →

su punto ini ial en

−c tiene →

su punto terminal en

P0

es su punto terminal?

)

Una e ha que representa al ve tor punto ini ial?

5. Halla los números

r

y

s

tal que:

160

en

(3, −2).

(4, 1).

¾Cuál

¾Cuál es su

Ve tores en

R2

a ) r(3, 2) + s(6, 4) = 0; b ) r(5, 1) + s(3, 5) = (5, 5)

) r(8, −2) + s(−12, 3) = 0 6. Dado el punto

S = (1, −2),

determina la abs isa del punto M sabiendo que su ordenada

es igual a 4 y que la norma del ve tor

−−→ MS

es

10.

7. Halla la dire

ión de los siguientes ve tores:

a) b)

)

√ − → u = (1, 3) → − v = (−1, −1) √ → − w = (4 3, 4)

8. Cal ula el valor de

x,

de modo que el produ to es alar de

− → a = (3, 5)

y

− → b = (x, 2)

sea

igual a 7.

→ − − → a y b dos ve tores de R2 → − → − → a · ( b + j) = 3. Halla − a.

9. Sean

− → a

es unitario y se umple que

− → − → a · b = 9/4

y

− → s = (4 − k, 1 + 3k) es 5 .

−

→ − → − → −

→ → − − → → − − → − → → − 2 Si a , b y c son ve tores de R tales que a + b + c = 0 , k a k = 3, b = 1, k c k = 4, → − → − → − − → − → − →

al ula el valor de a · b + b · c + c · a .

10. Cal ula el valor de 11.

. Si

12. Desde el punto punto Rpta.:

C

k

sabiendo que el módulo del ve tor

A = (−4, 1)

se ha trazado un segmento al punto

B = (5, −3).

¾Hasta qué

es ne esario prolongarlo en la misma dire

ión para que se duplique su longitud?

C = (14, −7).

13. ¾Cuáles de los siguientes ve tores son ortogonales? Grafí alos.

a ) (2, −1), (2, 4) b ) (−4. − 5), (4, 5)

) (2, 0), (0, −2)

→ − → − − → → → → a = (3, x−1), b = (2x+1, 3) y − c = (1, 1) , si el ve tor (− a+b)⊥− c. Determina el valor de x.

−

√ − → − → − → −

→ → − − → → − − → − → → 55 Sean los ve tores a , b y c tales que a = b + c ; k a k = 10 ; b = 2 5 , b  c = 2 → − halla k c k.

14. Dados los ve tores

15.

Rpta.: 5.

− → → v = (a, −3p), − w = (2p, −b). → − → − y además v // w .

16. Dados los ve tores

− → → v +− w = (8, −4)

Rpta.:

a, b

y

p

tales que

a = 6, b = 1, p = 1.

17. Dados los siguientes ve tores: a)

Halla los valores de

→ −

− a + b .

→

− → a = −2i − 4j

b) El ángulo entre los ve tores: Rpta.: a)

√ 53

, b)

− → b

y

− → 3c .

θ = cos−1 0, 6 ≈ 0, 93 rad.

161

;

− → b = 4i − 3j

y

−c = −2j , →

determina:

Guía de prá ti a de álgebra y geometría

− → u = (3, k) al ula k → − → − a) u sea ortogonal a v = (4, 2). √ → − b) El módulo de u sea igual a 32. √ Rpta.: a) k = −6, b) k = ± 23.

18. Dado el ve tor

de modo que:

19. Indi a, para ada proposi ión, si es verdadera o falsa justi ando la respuesta:

a) b)

) d) e) f)

Todo ve tor no nulo puede ser onvertido a unitario. Dos ve tores unitarios son iguales.

→ − → a son ortogonales. a y −− → − → − ve tores a y b son paralelos, si y

Los ve tores Dos

− → a

Los ve tores

y

→ −− a

solo si

→ − − → a · b⊥=0

son paralelos.

Si el ángulo entre dos ve tores

− → a

y

− → b

es obtuso, enton es el oseno del ángulo es

menor que ero.

g)

Dos ve tores unitarios son paralelos.

→ − → − → − Cal ula el módulo de b a y b se forma un ángulo deπ3 radianes.   → − → − → → → − a k = 5. modo que a − b y además k− a + b sea perpendi ular al ve tor 2−

−

→ 2,5+√31,25 Rpta.: b = . 2

20. Entre los ve tores

de

→ x ( onsidere x > 0) tal que − a = (−2x − 1, x) sea paralelo a − → − → b = (−x − 2, 2x − 1), luego determina las oordenadas del ve tor → y que satisfa e − a − → − → − → − → − b = 3 (2 a − y ) + 2 b .

21. En uentra el valor de

22. Los ve tores

→ − − → a y b

°

tienen igual longitud y forman un ángulo de 60 . Si la longitud de la

diferen ia de los ve tores es una unidad mayor que la longitud de uno de ellos, halla la norma del ve tor 23. Si la longitud de

− → b.

− → v

es

√

2,

al ula el ángulo entre los ve tores 24. Sean dos ve tores

−

→

b = 4,

→ − − → a y b

− → u

y

que forman un ángulo de

y la longitud de

→ − − → a y b forman un ángulo  → − − → − − → 3→ a −2b a +2 b .

de

→ → k− u −− v k = 3,

→ k− a k = 3; − → → − a − b .

π 4 y tienen longitudes

halla el oseno del ángulo formado por los ve tores

25. Los ve tores Cal ula

→ → k− u +− vk=5 → − v.

la longitud de

− → → − a + b

π 3 radianes y se sabe que

y

−

→ → k− a k = 3 ; b = 4.

 → → − → → → → p − i − q = p y q dos ve tores de R2 . Si − q es unitario y umple que − q − p = 12 y − → − → − → − 1, halla q y kpk si el oseno del ángulo formado por los ve tores p y q es 45 .

26. Sean

°

→ − → p = (x + 1, 1 − x) y − q = (1 + x, −x). Halla el ángulo formado
→ − → − → − → − → ⊥ q − p y ( p + i ), también al ula la norma del ve tor − por los ve tores r , donde

√ → −

−

→ → − → − → − → − → − ⊥ ⊥ ⊥

q ( p − j ) + r + p = 47, además r · p = −3.

27. Sean los ve tores paralelos

162

Ve tores en

R2

28. Determina la longitud de la proye

ión del ve tor que se forma de la suma de los ve tores

− → u

unitarios y

− → v

y

− → v

respe to al ve tor

tiene la dire

ión opuesta de

ortogonal al ve tor

(−3, 4).

→ − → − c , si − u tiene la misma dire

ión que → a = (8, −3) − → → c es b = (−3, 0). Además se sabe que el ve tor −

− → − → a = (−3, −2), b = (−4, 2): − → → → − →− a) Dibuja a y b omo también: proy− a. b → → →− →− a y comp− a. b) Cal ula: proy−

29. Sean dados los ve tores

b

30. Cal ula:

b

 → − − → → → → →− →− →− − → a + b a proy− , proy− , proy− a a proy c i j b

si:

→ − − → → − − a = (3, 1), b = (2, 3), i = (1, 0), j = (0, 1) a) → → − − − b) → a = (1, 2), b = (3, 1), → c = (5, 4)

− → → → u = (12, 5) tal que − u = r(3, −2) + s(2, 3), onsidera el ve tor − v = (r, s). → − − → π − → Cal ula la longitud de proy w v si se sabe que w es un ve tor unitario que forma 3 → − radianes on el ve tor u en sentido antihorario.

−

−

→

→

→ − → − → − → − − → →a− Sean los ve tores a y b tales que k a k = 3 ; b = 2 y b − a = 5, halla comp− b → − → comp− a b.

31. Sea el ve tor

32.

Rpta.: -1.

− → a → − → − a − b.

33. Sean los ve tores longitud de

y

− → b

tales que

−

→ → k− a k = 12; b = 8

y

→ →− a = −6. comp− b

− → → v un ve tor ortogonal al b = (−4, 2). Sea − → − → − proye

ión del ve tor c = (k, 5), 0 > k respe to al ve tor v → − 3π ángulo de eleva ión de c es de 4 . √ Rpta.: 5 (1, 2).

34. Dado el ve tor

ve tor

− → b.

Halla la

Determina la

si además se sabe que el

→ u que va del A = (1, 1), B = (7, 9) y C = (6, −11) y los ve tores − → − punto A al punto B y el ve tor v que va de A a C , al ula el ángulo entre los ve tores → − − → → − − → → − − → → → proy− v ( u + v ) + proy− u ( u + v ) y el ve tor u + v .

− →

→ → − − → → − →− Sean los ve tores a y b tales que: k a k = 5 ; b = 12 y además comp− a = 12. Halla b

35. Sean los puntos

36.

la longitud de la suma de di hos ve tores. Rpta.:

→ −

√

− a + b = 457 ≈ 21, 38.

→

→ − → → → m > 0. Dados los ve tores − a +− ck= a = (−1 − m, m + 1), b = (m − 3, 1) y k− √ → − → − → − → − → − → − → 18, halla la proy− a ( a − c ), donde a b y el ángulo que forman los ve tores a + c → − y a es 45 .

37. Considera

°

→ − b = (−4, k + 1), son − → → − → − paralelos. Determina la norma de la proye

ión del ve tor a − 3 d respe to al ve tor a → − ◦ sabiendo que k > 0 y además la dire

ión del ve tor d es 37 y tiene omo magnitud 4

38. El ve tor

− → a = (k + 3, 8k)

y el ve tor

−c , →

unidades.

163

que es el ortogonal de

Guía de prá ti a de álgebra y geometría

→ − u uya longitud es 3 unidades tiene la misma dire

ión y sentido que el → − → − → − ve tor b = (−4, 2)y además v es un ve tor ortogonal al ve tor u . Determina la proye → − → −

ión del ve tor c = (k, 5), k > 0 sobre el ve tor v , si el ángulo de eleva ión del ve tor → − c es 37 .

39. El ve tor

º

− → → → → → u,− w ve tores en R2 tales que − w es el opuesto a − v . Si − w tiene el mismo sentido que
→ − → − → − − → → − → − 1 1 − → ⊥ el ve tor a = 3 , 4 y la norma de v es 5. Halla el ve tor b = 2 w + v y Comp c b → − → − → − si c = 3 i − 4 j .

40. Sean

→ − → − → → P roy− c a = (x + 1, x) y P roy− c ⊥ a = (2x, −x − 3), tal que los ve tores → → → a =− c + 2− c ⊥ . Determina (3 − x, 4 + x) y (2, 5) son paralelos. También se umple que − → − → − −−→ ( c + a ) la norma de P roy− (x,x)

41. Se tiene que

− → → → − → − 2 tales que − R es el opuesto de a . Si b tiene sentido opuesto b ve tores en b
→ − → − → − 1 1 → al ve tor c = Halla el ve tor P roy− w z si se sabe que 16 , − 12 y la norma de a es 15. √ → − → − → → z = 6 b + 5− a y− w es un ve tor uya norma es 6 5 y además está en la misma dire

ión → − y opuesto que v = (−4, 2).

42. Sean

− → a

Rpta.:

y

→ − → P roy− w z = (−12, 6).

3.10. La re ta en el plano eu lidiano El onjunto

R2

se representa geométri amente mediante un plano llamado plano real.

El plano real onsta de dos re tas perpendi ulares entre sí, llamados ejes de oordenadas, y su punto de interse

ión

O

se llama origen de oordenadas. Las uatro regiones en los que

los ejes de oordenadas dividen al plano se llaman uadrantes, y se enumeran I, II, III, y IV.

3.11. El plano eu lidiano Se llama plano eu lidiano al espa io ve torial

1. A todo elemento

(x, y)

de

R2

R2 ,

se le llama punto de

Grá o del plano eu lidiano:

164

donde.

R2 .