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CÁLCULO MULTIVARIADO

TAREA 4 INTEGRALES DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

OSWALDO NOE MARTINEZ ARAUJO 77170862

GRUPO 203057

TUTOR EDGAR ANDRES VILLABON

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA, UNAD INGENIERÍA ELECTRÓNICA VALLEDUPAR CESAR 2019

INTRODUCCIÓN

Muchas veces, cuando nos enseñan matemáticas en el colegio, no nos queda claro en qué vamos a aplicar esos conceptos o teorías en el día a día. El cálculo multivariable te enseña a analizar, mediante los números, cómo se afectan distintas variables mutuamente. Imaginando un experimento, es el que te permite calcular cuánto y cómo funcionan distintos eventos que suceden a la vez. A demás aprenderás sobre curvas de nivel. Entender su lógica te permite conocer el comportamiento de cualquier tipo de datos que se presente como un fenómeno continuo: temperatura, salarios, contaminación o cantidad de ventas. Cada línea va mostrando cómo va cambiando el valor en cada contexto. Al subir o bajar, las líneas aparecen más juntas. Este tipo de curvas permite un análisis multivariable, al demostrar cómo se comporta determinadas variables en distintos contextos, por ejemplo, geográficas. En esta Unidad 3 – estaremos realizando ejercicios de •

Integrales dobles y de volúmenes.

•

Integrales triples en diferentes coordenadas.

•

Integrales de línea.

•

Integrales de flujo.

•

Teoremas de integración.

Actividades a desarrollar A continuación, se definen los 5 grupos de ejercicios a desarrollar según las temáticas de la unidad:

Grupo de ejercicios 1 – Integrales Dobles. (Aplicaciones de las integrales dobles – Momento de Inercia)

Consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso: Zill, D. (2015). Matemáticas 3 Cálculo de Interamericana. (pp. 202-207); (pp.209-213).

varias

variables.

México:

McGraw-Hill

Momento de Inercia.

Si una partícula de masa m está a una distancia d de una recta fija, su momento de inercia respecto de la recta se define como: 𝑰 = 𝒎𝒅𝟐 = (𝒎𝒂𝒔𝒂)(𝒅𝒊𝒔𝒕𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂)𝟐 Se puede generalizar este concepto para obtener los momentos de inercia de una lámina de densidad variable respecto de los ejes 𝑥 y 𝑦. Estos segundos momentos se denotan por 𝑰𝒙 e 𝑰𝒚 y en cada caso el momento es el producto de una masa por el cuadrado de una distancia.

Donde (𝑦 2 ) es el cuadrado de la distancia al eje 𝑥 (𝑥 2 ) es el cuadrado de la distancia al eje 𝑦 𝜌(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 es la Masa A la suma de los momentos e se le llama el momento polar de inercia y se denota Por 𝑰𝟎 .

Evaluar la integral doble requerida para hallar el momento de inercia I, con respecto a la recta dada, de la lámina limitada o acotada por las gráficas de las siguientes ecuaciones. Realizar las gráficas en Geogebra:

e. 𝑦 = 42 − 𝑥 2 , 𝑦 = 0, donde 𝜌 = 𝑘, y la recta 𝑦 = 3

Calculamos 𝑰𝒙 reemplazando valores Si y = 0

→ 0 = 16 - 𝑥 2 → 𝑥 2 = 16

𝑥 = √16 = 4 x= ±4 4

16−𝑥 2

𝑰𝒙 = ∬(𝑦 − 3)2 𝜌(x,y)dA = 2 ∫0 ∫0 4 16−𝑥 2

𝑰𝒙 = 2𝑘 ∫ ∫ (𝑦 2 − 6𝑦 + 9)𝑑𝑦 𝑑𝑥 0

0

𝑘(𝑦 − 3)2 𝑑𝑦 𝑑𝑥

4

16−𝑥 2

𝑦2 𝑰𝒙 = 2𝑘 ∫ [ − 3𝑦 2 + 9𝑦) ] 3 0

𝑑𝑥

0 4

(16 − 𝑥 2 )3 𝑰𝒙 = 2𝑘 ∫ [ − 3(16 − 𝑥 2 )2 + 9(16 − 𝑥 2 ) ] 𝑑𝑥 3 0 4

(16 − 𝑥 2 )2 𝑰𝒙 = 2𝑘 ∫(16 − 𝑥 ) [ − 48+ 3𝑥 2 + 9 ] 𝑑𝑥 3 2

0 4

(256+32𝑥 2 + 𝑥 4 ) 𝑰𝒙 = 2𝑘 ∫(16 − 𝑥 ) [ + 3𝑥 2 − 39] 𝑑𝑥 3 2

0 4

𝑰𝒙 = 2𝑘 ∫(16 − 𝑥

2)

(𝑥 4 − 23𝑥 2 + 139) 𝑑𝑥 3

2)

(𝑥 4 − 23𝑥 2 + 139) 𝑑𝑥 3

0 4

𝑰𝒙 = 2𝑘 ∫(16 − 𝑥 0 4

(16𝑥 4 − 368𝑥 2 + 2224 − 𝑥 6 + 23𝑥 4 − 139𝑥 2 ) 𝑰𝒙 = 2𝑘 ∫ 𝑑𝑥 3 0 4

𝑰𝒙 =

2𝑘 ∫(−𝑥 6 + 39𝑥 4 − 507𝑥 2 + 2224) 𝑑𝑥 3 0

4

2𝑘 −𝑥 7 39𝑥 5 𝑰𝒙 = + − 169𝑥 3 + 1112] [ 3 7 5 0 2𝑘 −(4)7 39(4)5 𝑰𝒙 = + − 169(4)3 + 1112(4)] [ 3 7 5 2𝑘 −16384 39936 𝑰𝒙 = + − 10816 + 4448] [ 3 7 5 𝑰𝒙 =

2𝑘 −81920+279552−229248 3

[

35

] =

2𝑘 −31616

𝑰𝒙 =

3

[

35

] =

−63232 𝑘 105

−63232 105

𝑘

Grupo de ejercicios 2 – Integrales Triples. (Aplicaciones para hallar el valor promedio) Consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso: García, H. (2014). Cálculo de varias variables. México: Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 110-119). Utilice integrales triples para calcular el valor promedio de 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) sobre la región dada:

e. 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑥 2 − 3𝑦 2 + 2𝑧 2 sobre el cubo en el primer octante acotado por los planos coordenados y los planos 𝑥 = 2, 𝑦 = 2 y 𝑧 = 2. El valor promedio se calcula de la siguiente forma

Vmedio =

1 volumen

∭ 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧) 𝑑𝑣 =

1 𝑉

∭ 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧) 𝑑𝑣

Primero calculamos el volumen del cubo para 𝑥 = 2, 𝑦 = 2 y 𝑧 = 2. V=𝑥.𝑦. 𝑧 = 2*2*2 =8 V=8 Ahora calculamos la integral ∭ 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 2

2

2

∫ ∫ ∫ [(2𝑥 2 − 3𝑦 2 + 2𝑧 2 )𝑑𝑧 ] 𝑑𝑥 𝑑𝑦 0

0

0

2

2

2

2𝑧 3 = ∫ ∫ [(2𝑥 𝑧 − 3𝑦 𝑧 + )] 𝑑 𝑑 3 0 𝑥 𝑦 0 0 2

2

2

2

= ∫ ∫ [(4𝑥 2 − 6𝑦 2 + 0

0

16 ) 𝑑𝑦 ] 𝑑𝑥 3

2 16 = ∫ [(4𝑥 𝑦 − 2𝑦 + 𝑦)] 𝑑𝑥 3 0 0 2

2

3

2

= ∫ (8𝑥 2 − 16 + 0

= [

8𝑥 3 3

− 16𝑥 +

32 3

32 ) 𝑑𝑥 3

2

]

0

=

64 3

− 32 +

64 3

∭ 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧) 𝑑𝑉 =

128 3

−

∭ 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧) 𝑑𝑉 =

Vmedio =

Vmedio =

1 𝑉

4 3

1

∭ 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧) 𝑑𝑣 = 8 ∗

32 3

=

4 3

96 3

=

32 3

32 3

Grupo de ejercicios 3 – Integrales de Línea. (Aplicaciones de las integrales de línea – Trabajo y campos de Fuerza) Consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso: Zill, D. (2015). Matemáticas 3 Cálculo de varias variables. México: McGraw-Hill Interamericana. (pp. 242-246). Calcule el trabajo total realizado al mover una partícula a lo largo del arco C si el movimiento lo ocasiona el campo de fuerza F. Suponga que el campo que el arco se mide en metros y la fuerza en Newton. e. 𝐹(𝑥, 𝑦) = −𝑥 2 𝑦𝒊 + 2𝑦𝒋 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐶: el segmento de recta desde el punto (𝑎, 0) hasta el punto (0, 𝑎).

∅𝐹. 𝑑𝑟 = ∬ 𝑟𝑜𝑡 𝐹. 𝑑𝑠 𝑟𝑜𝑡 𝐹 = → . 𝐹 = ( ∇

𝜕

,

𝜕

𝜕𝑥 𝜕𝑦

) . (−𝑥 2 𝑦𝑖̂ + 2𝑦𝑗̂)

𝑟𝑜𝑡 𝐹 = → . 𝐹 = −2𝑥𝑦 + 2 ∇

0

𝑎

𝑎

0

−2𝑥𝑦 2 ∅𝐹. 𝑑𝑟 = ∫ ∫ (−2𝑥𝑦 + 2)𝑑𝑦𝑑𝑥 = ∫ [ + 2𝑦] 𝑑𝑥 2 𝑎 0 𝑎 0 0

0

=∫ 𝑎

= −[

[(−𝑥𝑎2

−𝑥 2 2 + 2𝑎)]𝑑𝑥 = [ 𝑎 + 2𝑎𝑥] 2 𝑎

−𝑎2 2 𝑎4 𝑎2 𝑎 + 2𝑎𝑎] = + 2𝑎2 = 𝑎2 [ + 2] 2 2 2 ∅𝐹. 𝑑𝑟 = 𝑎2 [

𝑎2 + 2] 2

Grupo de ejercicios 4 – Integrales de Flujo (Aplicaciones a las integrales de superficie – Carga Eléctrica) Consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso: García, H. (2014). Cálculo de varias variables. México: Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 126-127). En los siguientes ejercicios utilizar la Ley de Gauss para hallar la carga total en el interior de la superficie dada:

e. Sea 𝐸 = −2𝑥𝑦𝒊 + 4𝑥𝑧𝒋 + 3𝑦𝑧𝒌 un campo electrostático. Usar la Ley de Gauss para hallar la carga total que hay en el interior de la superficie cerrada formada por el hemisferio 𝑧 = √2 − 𝑥 2 − 𝑦 2 y su base circular en el plano 𝑥𝑦.

∯→ 𝑑𝑠 = ∭→ → 𝑑𝑣 𝑓

→→ = ( 𝛻 𝑓

𝜕

,

𝜕

𝜕

,

𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

𝛻 𝑓

) (−2𝑥𝑦 , 4𝑥𝑧 , 3𝑦𝑧 ) = −2𝑦 + 0 + 3𝑦 = 𝑦

∯→ 𝑑𝑠 = ∭𝑦 𝑑𝑣 Pasamos a coordenadas esféricos 𝑓

𝑥 = 𝑟 cos Ɵ sin ɸ ; y = 𝑟 sin Ɵ sin ɸ ; 𝑧 = 𝑟 cos ɸ 1

∫ 𝑟 sin Ɵ sin ɸ (𝑟 2 sin ɸ)𝑑ɸ 𝑑Ɵ 𝑑𝑟

∭𝑦 𝑑𝑣 = ∫ ∫ 0

𝜋 2

2𝜋 0

1

0

2𝜋

∭𝑦 𝑑𝑣 = ∫ ∫ 𝑟 3 sin Ɵ sin ɸ (𝑟 2 sin ɸ)𝑑ɸ 𝑑Ɵ 𝑑𝑟 0

0 1

2𝜋

=∫ ∫ 0

0

𝜋

⁄2 1 1 3 𝑟 sin Ɵ [ ɸ − sin 2ɸ] 𝑑Ɵ𝑑𝑟 2 2 0

1

2𝜋

=∫ ∫ 0

=∫

1𝜋

0

4

𝜋

0

1𝜋 2𝜋 𝜋 𝑟3 sin Ɵ ( ) 𝑑Ɵ𝑑𝑟 = ∫ 𝑟3 [∫ sin Ɵ 𝑑 Ɵ] 𝑑𝑟 4 0 4 0 2𝜋

𝑟3 [∫ sin Ɵ 𝑑Ɵ + ∫ sin Ɵ 𝑑Ɵ] 𝑑𝑟 = ∫ 0 1

=∫ 0

𝜋

1𝜋

0 1

4

𝑟3 [[− cos Ɵ]𝜋0 + [− cos Ɵ]2𝜋 𝜋 ] 𝑑𝑟

𝜋 3 𝜋 𝜋 𝑟 [(1 + 1) + (1 + 1)]𝑑𝑟 = ∫ 𝜋𝑟 3 𝑑𝑟 = [𝑟 4 ]10 = [(1)4 − 04 ] 4 4 4 0 =

𝜋 4

∭→ .→ 𝑑𝑣 = ∇

𝐹

𝜋 4

Grupo de ejercicios 5 – Teoremas de Integración (Aplicación de los Teoremas de Integración – Movimiento de un líquido) Consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso: García, H. (2014). Cálculo de varias variables. México: Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 128-131). En los siguientes ejercicios el movimiento de un líquido en un recipiente cilíndrico de radio 1, se define mediante el campo de velocidad 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧). Hallar

Donde S es la superficie superior del recipiente cilíndrico: e. 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑧𝒊 − 𝑦𝒋 + 3𝑥𝒌 ⃗ .F ⃗ Primero calculamos el rotacional rot F = ∇

rot F = |

î

ĵ

k̂

∂

∂

∂

∂x

∂y

∂z

2z

−y 3x

∂

∂

∂

∂

∂

| = î | ∂y ∂z | -ĵ | ∂x ∂z | + k̂ | ∂x −y 3x 2z 2z 3x

∂ ∂y |

−y

̂ (0 − 0) = 0î − 1ĵ + 0k̂ rot F = î (0 − 0) − ĵ (3 − 2) + k rot F =( 0, -1, 0 ) Ahora sabemos que el vector normal a la cual cera del cilindro del radio = 1 es N = ( 0, 0, 1 ) y sustituimos en la integral

∬(rotF)NdS = ∬( 0, −1, 0 )( 0, 0, 1 )ds s

s

∬(rotF)NdS = ∬ 0 ds = 0 s

s

∬(rotF)NdS = 0 s

Los ejercicios deben ser presentados utilizando el editor de ecuaciones de Word y deben ser publicados en el foro.

Nombre del estudiante.

Rol a desempeñar.

Grupo de ejercicios a desarrollar.

Juan Carlos Maestre Mejía

Revisor

El estudiante desarrolla el ejercicio a en todos los 5 ejercicios

Alven Jesus Mendoza Cerpa

Entregas

El estudiante desarrolla el ejercicio b en todos los 5 ejercicios

Hernando Nier

Compilador

El estudiante desarrolla el ejercicio c en todos los 5 ejercicios El estudiante desarrolla el ejercicio d en todos los 5 ejercicios

Oswaldo Noe Martinez Araujo Alertas

El estudiante desarrolla el ejercicio e en todos los 5 ejercicios

Tabla links videos explicativos. Nombre Estudiante

Ejercicios sustentados

Link video explicativo

Oswaldo Noe Martinez Araujo

Ejercicio 5 e

https://youtu.be/pP_vYXF2nek

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS



Zill, D. (2015). Matemáticas 3 Cálculo de varias variables. México: McGraw-Hill Interamericana. (pp. 202-207); (pp. 209-213). Recuperado de http://www.ebooks724.com.bibliotecavirtual.unad.edu.co/?il=2270&pg=221

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García, H. (2014). Cálculo de varias variables. México: Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 110-119). Recuperado de https://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2538/lib/unadsp/reader.action?ppg=135&docID=3 227732&tm=1541622801109

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Zill, D. (2015). Matemáticas 3 Cálculo de varias variables. México: McGraw-Hill Interamericana. (pp. 242-246). Recuperado de: http://www.ebooks724.com.bibliotecavirtual.unad.edu.co/?il=2270&pg=261

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García, H. (2014). Cálculo de varias variables. México: Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 126-127). Recuperado de: https://ebookcentral-proquestcom.bibliotecavirtual.unad.edu.co/lib/unadsp/reader.action?docID=3227732&ppg=137

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García, H. (2014). Cálculo de varias variables. México: Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 128-131). Recuperado de https://ebookcentral-proquestcom.bibliotecavirtual.unad.edu.co/lib/unadsp/reader.action?docID=3227732&ppg=139

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Barrera Cardozo, J. (02, 12, 2016). Integrales Múltiples. [Archivo de video]. Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/9291

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García, I. & Maza, S. (2013). Curso de introducción al cálculo para grados en ingeniería. Lérida, ES: Edicions de la Universitat de Lleida. (pp. 161-168). Recuperado de https://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2538/lib/unadsp/reader.action?ppg=171&docID=3 212795&tm=1541623326430

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Bonnet, J. (2003). Cálculo infinitesimal: esquemas teóricos para estudiantes de ingeniería y ciencia experimentales. Alicante: Digitalia. (pp. 106-108). Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co/login?url=http://search.ebscohost.com/login.aspx?d irect=true&db=nlebk&AN=318092&lang=es&site=eds-live&ebv=EB&ppid=pp_106



https://platzi.com/blog/-aprender-calculo-multivariable/