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Instituto Raúl Scalabrini Ortiz

Matemática 4º Año

Funciones cuadráticas A la función polinómica de segundo grado f(x) = ax2 + bx + c siendo a, b, c números reales y a ≠ 0, se la denomina función cuadrática. Los términos de la función reciben los siguientes nombres: y = ax2 + bx + c Término cuadrático

Término independiente Término lineal

La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola. Se presentan diferentes casos según el valor que tomen a, b y c. 1)

y = ax2 en donde b = 0 y c = 0

y = x2

y=

1 2 x 2

y = - 2 x2

a > 0 ⇒ La parábola “va” hacia arriba. a < 0 ⇒ La parábola “va” hacia abajo. 0 < |a| < 1 ⇒ La parábola se abre. |a| > 1 ⇒ La parábola se cierra. Prof. Ana Rivas

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y = x2 + c en donde a = 1 b = 0

y = x2 +2

y = x2

y = x2 - 3

c > 0 ⇒ La gráfica se desplaza hacia arriba. c < 0 ⇒ La gráfica se desplaza hacia abajo. 3) y = a x2 + bx

en donde c = 0

Si a y b tienen el mismo

y =

1 2 x + 2x 2

signo, la gráfica se desplaza hacia la izquierda.

y =-

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1 2 x - 2x 2

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Matemática 4º Año y= −

1 2 x + 2x 2

Si a y b tienen distinto signo, la gráfica se desplaza hacia la derecha.

y=

1 2 x − 2x 2

Resolve los ejercicios 1 y 2 Y después hace la actividad con el graficador

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Gráfica de la parábola Para realizar el gráfico de una parábola, f(x) = ax2 + bx + c se deben calcular los elementos de la misma y luego representarla: 1) Raíces de la parábola 2) Vértice de la parábola 3) Eje de simetría 4) Ordenada al origen Vértice

Ordenada al origen

Punto Simétrico

Raíz X1

Raíz X2

Eje de Simetría

1) Raíces de la parábola: Son los puntos de intersección de la gráfica con el eje x, vale decir que f(x) = 0.

− b ± b2 − 4ac x1,2 = 2a 2) Vértice de la parábola:

xv =

x1 + x2 2

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o

xv =

−b 2a

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yv = f (xv )

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4ac − b2 yv = 4a

o

Las coordenadas del vértices son:

V = (xv ; yv ) 3) Eje de Simetría: Es la recta que tiene por ecuación:

x = xv 4) Ordenada al origen: Es el punto de intersección de la gráfica con el eje y, vale decir que

f (0) = c La parábola tiene un y sólo un punto de intersección con el eje Y. Las coordenadas de ese punto son: ( 0 , c )

Ejemplo: Dada la siguiente función f(x) = x2 + 2x – 3 calcular los elementos de la misma: a=1

b=2

c=-3

Raíces:

x1,2 =

− 2 ± 4 − 4.1.(−3) − 2 ± 4 + 12 − 2 ± 16 − 2 ± 4 = = = 2.1 2 2 2

x1 =

−2+4 =1 2

x2 =

−2−4 = −3 2

Vértice:

xv =

−2 = −1 2.1

Resolver el ejercicio 3

yv = (- 1)2 + 2 . (- 1) – 3 = - 4 V = (- 1; - 4) Eje de simetría: x=-1 Ordenada al origen: ( 0; - 3) Punto simétrico:

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( - 2; - 3)

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Posiciones relativas respecto del eje de las abscisas Las raíces de una parábola, y = ax2 + bx + c se calculan mediante la fórmula:

x1,2 =

− b ± b2 − 4ac 2a

Al radicando b2 – 4.a.c se lo llama discriminante, ya que el valor del mismo sirve para discriminar la naturaleza de las raíces y se lo simboliza con la letra griega ∆ ( delta)

∆ = b2 – 4.a.c Si ∆> 0 ⇒ Raíces reales distintas Si ∆= 0 ⇒ Raíces reales iguales Si ∆< 0 ⇒ Raíces no reales

∆> 0 la grafica tiene dos puntos de intersección con el eje x. x1

x2

∆= 0 La gráfica tiene 1 punto de intersección con el eje x x1 ≡x2

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∆< 0 La gráfica no tiene puntos de intersección con el eje x

Ejemplo: Calcular el discriminante e indicar cuantas raíces tiene: a) y = x2 + 2 x – 3

∆ = 22 – 4. 1. (- 3) = 16

dos raíces distintas

b) y = x2 + 2 x + 1

∆ = 22 – 4. 1. 1 = 0

una raíz coincidente

c) y = x2 + 2 x + 2

∆ = 22 – 4. 2. 1 = - 4

no tiene raíces

Ejercicio: Completar con > , x1 ⇒ f(x2) > f(x1) Una función continua es creciente en un cierto intervalo de su dominio cuando al aumentar los valores de la variable independiente (x), aumentan los valores de la variable dependiente(y).

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f(x) es decreciente si: x2 > x1 ⇒ f(x2)< f(x1)

Una función continua es decreciente en un cierto intervalo de su dominio cuando al aumentar los valores de la variable independiente (x), disminuyen los valores de la variable dependiente(y)

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En general, dada la función f(x) = ax2 + bx + c , se verifica que: Si a > 0, la función:

•

Alcanza un mínimo en el vértice de la parábola.

•

Decrece en el intervalo (- ∞; xv).

•

Crece en el intervalo (xv ;+∞).

Si a < 0, la función:

•

Alcanza un máximo en el vértice de la parábola.

•

Crece en el intervalo (- ∞; xv).

•

Decrece en el intervalo (xv ;+∞).

Resolver los ejercicios del 10 al 12

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Intersección de parábolas, parábolas y rectas: Resolver analíticamente un sistema de ecuaciones significa encontrar los valores de las incógnitas que verifican simultáneamente las ecuaciones del sistema. Resolver gráficamente un sistema de ecuaciones significa encontrar los puntos de intersección de ambas gráficas. En los casos en que el sistema está formado al menos por una ecuación de segundo grado, se puede reconocer cuantas soluciones tiene el mismo analizando el discriminante de la ecuación cuadrática que surge al resolver el sistema por el método de igualación o sustitución.

∆>0

∆=0

∆< 0

Dos puntos de

Un punto de

Ningún punto de

Intersección

Intersección

Intersección

La recta es secante a

La recta es tangente

la parábola

a la parábola

Sistema formado por una recta y una parábola y = mx + d y = ax2 +bx +c La recta es exterior a la parábola Sistema formado por dos parábolas y = ax2 +bx +c y = dx2 +ex +f

Ejemplo: a) y=2x+1 y = – x2 – x + 5

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2 x + 1 = – x2 – x + 5 – x2 – 3x + 4 = 0 ⇒ x1 = - 4 ∧ x2 = 1 ⇒ La recta es secante a la parábola en los puntos (- 4; - 7) y (1;3). b) y = 3 x2 + 2x + 1 y = x2 + x - 4 3 x2 + 2x + 1 = x2 + x - 4 2 x2 + x + 5 = 0 ⇒ No tiene raíces reales. Las parábolas no se cortan.

Resolver los ejercicios del 13 al 15

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