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• Augusto Zelada Rodriguez

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CAPÍTULO 3 • ANÁLISIS DE DECISIONES

TABLA 3.8 Decisión minimax de Thompson usando la pérdida de oportunidad

ESTADO DE NATURALEZA MERCADO DESFAVORABLE ($)

MÁXIMO DE LA FILA($)

0

180,000

180,000

Construir una planta pequeña

100,000

20,000

100,000 Minimax

No hacer nada

200,000

0

200,000

ALTERNATIVA

MERCADO FAVORABLE ($)

Construir una planta grande

3.5

Toma de decisiones con riesgo La toma de decisiones con riesgo es una situación de decisión donde pueden ocurrir varios estados de naturaleza posibles y se conocen las probabilidades de que sucedan. En esta sección consideramos uno de los métodos más populares para la toma de decisiones con riesgo: seleccionar la alternativa con el mayor valor monetario esperado (o simplemente valor esperado). También se utilizan las probabilidades con la tabla de la pérdida de oportunidad para minimizar la pérdida de oportunidad esperada.

Valor monetario esperado

El VME es la suma ponderada de los pagos posibles para cada alternativa.

Dada una tabla de decisiones con valores condicionales (pagos) que son valores monetarios y las probabilidades evaluadas para todos los estados de naturaleza, es posible determinar el valor monetario esperado (VME) para cada alternativa. El valor esperado o valor medio es el valor promedio a largo plazo de esa decisión. El VME para una alternativa es tan solo la suma de los pagos posibles de la alternativa, cada uno ponderado por la probabilidad de que ese pago ocurra. Esto también se expresa simplemente como el valor esperado de X o E(X), que se estudió en la sección 2.9 del capítulo 2.

VME1alternativo2 = ©XiP1Xi2

(3-1)

donde:

Xi = pago para el estado de naturaleza i P1Xi2 = probabilidad de lograr el pago Xi (es decir, probabilidad del estado de naturaleza i) © = símbolo de sumatoria Si esta suma se expande, se convierte en VME

(alternativo)

⫽ (pago en el primer estado de naturaleza) ⫻ (probabilidad del primer estado de naturaleza) ⫹ (pago en el segundo estado de naturaleza) ⫻ (probabilidad del segundo estado de naturaleza) ⫹ ... ⫹ (pago en el último estado de naturaleza) ⫻ (probabilidad del último estado de naturaleza) Se elige entonces la alternativa con el máximo VME. Suponga que John Thompson piensa ahora que la probabilidad de un mercado favorable es exactamente la misma que la probabilidad de un mercado desfavorable: es decir, cada estado de naturaleza tiene una probabilidad de 0.50. ¿Qué alternativa daría el mayor valor monetario esperado? Para determinarla, John expande la tabla de decisiones, como se indica en la tabla 3.9. Sus cálculos son los siguientes: VME (planta grande) = 1$200,000210.502 + 1 - $180,000210.502 = $10,000

VME (planta pequeña) = 1$100,000210.502 + 1 - $20,000210.502 = $40,000

VME (no hacer nada) = 1$0210.502 + 1$0210.502 = $0 El valor esperado más grande ($40,000) es el resultado de la segunda alternativa, “construir una planta pequeña”. Así, Thompson debería proceder con el proyecto y hacer una planta pequeña para

3.5

TABLA 3.9 Tabla de decisiones con probabilidades y VME para Thompson Lumber

77

TOMA DE DECISIONES CON RIESGO

ESTADO DE NATURALEZA MERCADO FAVORABLE ($)

MERCADO DESFAVORABLE ($)

VME ($)

Construir una planta grande

200,000

–180,000

10,000

Construir una planta pequeña

100,000

–20,000

40,000

No hacer nada

0

0

0

Probabilidades

0.50

0.50

ALTERNATIVA

fabricar las casetas de almacenamiento. Los VME para la planta grande y no hacer nada son de $10,000 y $0, respectivamente. Cuando se emplea el criterio del valor monetario esperado en problemas de minimización, los cálculos son los mismos, pero se selecciona la alternativa con el menor VME.

Valor esperado de la información perfecta

El VEIP coloca una cota superior sobre cuánto hay que pagar por la información.

Scientific Marketing, Inc., una empresa que propone ayudar a John a tomar decisiones sobre si construir una planta para fabricar las casetas de almacenamiento, se acercó a John Thompson. Scientific Marketing asegura que su análisis técnico indicará a John con certidumbre si el mercado es favorable para su producto propuesto. En otras palabras, cambiará su entorno de una toma de decisiones con riesgo en uno de toma de decisiones con certidumbre. Esta información ayudaría a evitar que John cometa un error muy costoso. Scientific Marketing cobrará a Thompson $65,000 por la información. ¿Qué recomendaría usted a John? ¿Debería contratar a la empresa para hacer el estudio de mercado? Incluso si la información del estudio fuera perfectamente exacta, ¿valdría $65,000? ¿Cuánto valdría? Aunque es difícil contestar algunas de estas preguntas, determinar el valor de tal información perfecta sería muy útil. Obtener una cota superior sobre lo que debería estar dispuesto a gastar en información como la que vende Scientific Marketing. En esta sección se investigan dos términos relacionados: el valor esperado de la información perfecta (VEIP) y el valor esperado con información perfecta (VECIP). Las técnicas ayudarían a John a tomar su decisión acerca de contratar a la empresa de investigación de mercados. El valor esperado con información perfecta es el rendimiento promedio o esperado, a largo plazo, si tenemos información perfecta antes de tomar una decisión. Para calcular este valor, elegimos la mejor alternativa para cada estado de naturaleza y multiplicamos su pago por la probabilidad de ocurrencia de ese estado de naturaleza. VECIP ⫽ ⌺(mejor pago en el estado de naturaleza i) (probabilidad del estado de naturaleza i)

(3-2)

Si expandimos esto, se convierte en VECIP⫽ (mejor pago en el primer estado de naturaleza) ⫻ (probabilidad del primer estado de naturaleza) ⫹ (mejor pago en el segundo estado de naturaleza) ⫻ (probabilidad del segundo estado de naturaleza) ⫹ ... ⫹ (mejor pago en el último estado de naturaleza) ⫻ (probabilidad del último estado de naturaleza) El valor esperado de la información perfecta, VEIP, es el valor esperado con información perfecta, menos el valor esperado sin información perfecta (es decir, el VME mejor o máximo). Entonces, el VEIP es la mejora en el VME que resulta al tener información perfecta. VEIP ⫽ VECIP – el mejor VME El VEIP es el valor esperado con información perfecta menos el máximo VME.

(3-3)

Remitiéndonos a la tabla 3.9, Thompson puede calcular el máximo que pagaría por información, es decir, el valor esperado de la información perfecta o VEIP. El proceso consta de tres etapas. Primero, se encuentra la mejor retribución en cada estado de naturaleza. Si la información perfecta indica que el mercado será favorable, construirá la planta grande y la ganancia será de $200,000. Si la información perfecta indica que el mercado será desfavorable, se elige la alternativa “no hacer nada”, y la ganancia será de $0. Estos valores se muestran en la fila “con información perfecta” de la tabla 3.10. Segundo, se calcula el valor esperado con información perfecta. Luego, usando este resultado, se calcula el VEIP.

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CAPÍTULO 3 • ANÁLISIS DE DECISIONES

TABLA 3.10 Tabla de decisiones con información perfecta

ESTADO DE NATURALEZA MERCADO FAVORABLE ($)

MERCADO DESFAVORABLE ($)

VME ($)

Construir una planta grande

200,000

–180,000

10,000

Construir una planta pequeña

100,000

–20,000

40,000

0

0

0

200,000

0

100,000 VECIP

0.50

0.50

ALTERNATIVA

No hacer nada Con información perfecta Probabilidades

El valor esperado con información perfecta es: VECIP = 1$200,000210.502 + 1$0210.502 = $100,000 Por ello, si tuviéramos información perfecta, el pago promediaría $100,000. El VME máximo sin información adicional es de $40,000 (de la tabla 3.9). Por lo tanto, el incremento en el VME es: VEIP ⫽ VECIP – VME máximo

= $100,000 - $40,000 = $60,000 Así, lo más que Thompson estaría dispuesto a pagar por información perfecta son $60,000. Desde luego, esto se basa de nuevo en la suposición de que la probabilidad de cada estado de naturaleza es de 0.50. Este VEIP también nos indica que lo más que pagaríamos por cualquier información (perfecta o imperfecta) son $60,000. En una sección posterior veremos cómo dar un valor a la información imperfecta o a la información de una muestra. Para encontrar el VEIP en problemas de minimización, el enfoque es similar. Se encuentra el mejor pago en cada estado de naturaleza, pero ahora es el menor pago de ese estado de naturaleza, en vez del mayor. El VECIP se calcula con estos valores más bajos y se compara con el mejor (menor) VME sin información perfecta. El VEIP es la mejora que resulta, y es el mejor VME – VECIP.

Pérdida de oportunidad esperada La POE es el costo de no elegir la mejor solución.

Un enfoque alternativo para maximizar el VME es minimizar la pérdida de oportunidad esperada (POE). Primero se construye una tabla de pérdida de oportunidad. Luego, se calcula la POE para cada alternativa, multiplicando la pérdida de oportunidad por la probabilidad y sumando los resultados. En la tabla 3.7 se presenta la pérdida de oportunidad para el ejemplo de Thompson Lumber. Si usamos estas pérdidas de oportunidad, calculamos el POE de cada alternativa multiplicando por la probabilidad de cada estado de naturaleza por el valor adecuado de la pérdida de oportunidad, y sumamos los resultados:

POE1construir una planta grande2 = 10.521$02 + 10.521$180,0002 = $90,000 POE1construir una planta pequeña2 = 10.521$100,0002 + 10.521$20,0002 = $60,000 POE1no hacer nada2 = 10.521$200,0002 + 10.521$02 = $100,000

La POE siempre dará como resultado la misma decisión que el máximo VME.

La tabla 3.11 da estos resultados. Usando la POE mínima como criterio de decisión, la segunda alternativa “construir una planta pequeña” sería la mejor decisión. Es importante observar que la mínima POE siempre dará como resultado la misma decisión que el VME máximo y que el VEIP siempre será igual que la mínima POE. Si nos referimos al caso Thompson, usamos la tabla de pagos para calcular el VEIP en $60,000. Observe que este es la POE mínima que acabamos de calcular.

3.5

TABLA 3.11 Tabla de la POE para Thompson Lumber

TOMA DE DECISIONES CON RIESGO

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ESTADO DE NATURALEZA MERCADO FAVORABLE ($)

MERCADO DESFAVORABLE ($)

POE

0

180,000

90,000

Construir una planta pequeña

100,000

20,000

60,000

No hacer nada

200,000

0

100,000

Probabilidades

0.50

0.50

ALTERNATIVA Construir una planta grande

Análisis de sensibilidad

El análisis de sensibilidad investiga la forma en que cambiaría nuestra decisión si los datos de entrada fueran diferentes.

En las secciones anteriores determinamos que la mejor decisión (con probabilidades conocidas) para Thompson Lumber era construir la planta pequeña, con un valor esperado de $40,000. Esta conclusión depende de los valores de las consecuencias económicas y de dos valores de probabilidad para un mercado favorable y desfavorable. El análisis de sensibilidad investiga de qué modo cambiaría nuestra decisión dado un cambio en los datos del problema. En esta sección, investigamos la influencia que tendría un cambio en los valores de probabilidad sobre la decisión que enfrenta Thompson Lumber. Primero, definimos la siguiente variable: P ⫽ probabilidad de un mercado favorable Como únicamente hay dos estados de naturaleza, la probabilidad de un mercado desfavorable debe ser 1 ⫺ P. Podemos ahora expresar los VME en términos de P, como se indica en las siguientes ecuaciones. Una gráfica de estos valores del VME se ilustra en la figura 3.1. VME (planta grande) = $200,000P - $180,00011 - P2

= $200,000P - $180,000 + 180,000P = $380,000P - $180,000 VME (planta pequeña) = $100,000P - $20,00011 - P2

= $100,000P - $20,000 + 20,000P = $120,000P - $20,000 VME (no hacer nada) = $0P + $011 - P2 = $0 Como se observa en la figura 3.1, la mejor decisión es no hacer nada mientras P esté entre 0 y la probabilidad asociada con el punto 1, donde el VME por no hacer nada es igual al VME de la planta pequeña. Cuando P está entre las probabilidades de los puntos 1 y 2, la mejor decisión es construir la planta pequeña. El punto 2 es donde el VME para la planta pequeña es igual al VME para la planta

FIGURA 3.1 Análisis de sensibilidad

Valores del VME $300,000

$200,000

$100,000

VME (planta pequeña)

Punto 1

0 .167 ⫺$100,000 ⫺$200,000

VME (planta grande)

Punto 2

.615 Valores de P

1

VME (no hacer nada)

80

CAPÍTULO 3 • ANÁLISIS DE DECISIONES

grande. Cuando P es mayor que la probabilidad para el punto 2, la mejor decisión es construir la planta grande. Desde luego, esto es lo que se esperaría cuando P aumente. El valor de P en los puntos 1 y 2 se calcula como sigue: Punto 1: VME (no hacer nada) ⫽ VME (planta pequeña) 0 = $120,000P - $20,000 P =

20,000 = 0.167 120,000

Punto 2: VME (planta pequeña) ⫽ VME (planta grande) $120,000P - $20,000 = $380,000P - $180,000 260,000P = 160,000 P =

160,000 = 0.615 260,000

Los resultados de este análisis de sensibilidad se presentan en la siguiente tabla: MEJOR ALTERNATIVA

RANGO DE VALORES DE P

No hacer nada

Menor que 0.167

Construir una planta pequeña

0.167 a 0.615

Construir una planta grande

Mayor que 0.615

Uso de Excel QM para resolver problemas de teoría de decisiones Excel QM sirve para resolver una variedad de problemas de la teoría de las decisiones estudiados en este capítulo. Los programas 3.1A y 3.1B muestran el uso de Excel QM para resolver el caso Thompson Lumber. El programa 3.1A proporciona las fórmulas necesarias para calcular VME, maximin, maximax y otras medidas. El programa 3.1B son los resultados de estas fórmulas.

PROGRAMA 3.1A Datos de entrada para el problema de Thompson Lumber usando Excel QM Calcule el VME (EMV en inglés) para cada alternativa usando la función SUMPRODUCT, el peor caso usando la función MIN y el mejor caso con la función MAX.

Para calcular el VEIP (EVPI en inglés), encuentre el mejor resultado para cada escenario. Encuentre el mejor resultado para cada medida usando la función MAX Use SUMPRODUCT para calcular el producto de los mejores resultados por las probabilidades y encuentre la diferencia entre este y el mejor valor esperado que lleve al VEIP.