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Decisiones bajo riesgo. Variaciones del valor esperado

Herramientas Matemáticas VI Modelos de Simulación 1

Variaciones del valor esperado En algunas situaciones, el tomador de decisiones tiene información adicional que pretende utilizar en la toma de decisión. Veremos dos variaciones del criterio del valor esperado usando nueva información.

Probabilidades a posteriori (de Bayes) La probabilidad bayesiana se calcula a partir de información adicional proveniente de diversas fuentes, como una muestra o un experimento. Esta información adicional sirve para mejorar las probabilidades de ocurrencia de los estados de naturaleza y así ayudar en la toma de decisión (Taha, 2004). Enunciaremos primero el teorema de Bayes, que se utiliza para obtener probabilidades a posteriori. Supongamos que tenemos 𝑚 sucesos, 𝑠1 , … , 𝑠𝑚 , mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos. Sea 𝑌 algún otro suceso. Denotamos por 𝑃(𝑠𝑖 ) y 𝑃(𝑌) las probabilidades de los sucesos 𝑠1 , … , 𝑠𝑚 , y de 𝑌 respectivamente. Sea 𝑃(𝑠𝑖 |𝑌) la probabilidad condicionada de que ocurra 𝑠𝑖 dado el suceso 𝑌, y sea 𝑃(𝑌|𝑠𝑖 ) la probablidad de 𝑌 dado 𝑠𝑖 . Entonces 𝑃(𝑌|𝑠𝑖 )𝑃(𝑠𝑖 ) 𝑃(𝑠𝑖 |𝑌) = , 𝑃(𝑌) 𝑃(𝑌|𝑠𝑖 )𝑃(𝑠𝑖 ) = 𝑚 . ∑𝑗=1 𝑃(𝑌|𝑠𝑗 )𝑃(𝑠𝑗 ) Consideremos el problema general en el que tenemos que tomar una decisión entre 𝑛 opciones 𝑎1 , … , 𝑎𝑛 y que tenemos 𝑚 estados de naturaleza 𝑠𝑖 con probabilidades 𝑝𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑚 . Denotamos 𝑋(𝑎𝑖 , 𝑠𝑗 ) el valor o resultado de la opción 𝑎𝑖 respecto del estado de naturaleza 𝑠𝑗 . Supongamos además que tenemos dos sucesos que afectan cada una de las posibles opciones, los sucesos 𝑌1 e 𝑌2 . Tenemos como información adicional las probabilidades de 𝑌1 e 𝑌2 dados los sucesos 𝑠𝑖 , es decir, conocemos las probabilidades 𝑃(𝑌𝑘 |𝑠𝑖 ). Luego, calculamos el valor esperado de cada acción considerando las probabilidades a posteriori, es decir, el valor esperado de la acción 𝑎𝑖 respecto del suceso 𝑌𝑘 denotado por 𝐸𝑉(𝑎𝑖 , 𝑌𝑘 ): 𝑚

𝐸𝑉(𝑎𝑖 , 𝑌𝑘 ) = ∑ 𝑋(𝑎𝑖 , 𝑠𝑗 )𝑃(𝑠𝑗 |𝑌𝑘 ). 𝑗=1

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La Figura 2 muestra un árbol de decisión en el caso de probabilidades a posteriori. Los sucesos 𝑌1 e 𝑌2 se agregan como nodos de estado de naturaleza y se los coloca al comienzo del diagrama. Figura 2: Árbol de decisión con información a posteriori

Fuente: elaboración propia.

Ejemplo Consideremos el ejemplo del productor que tratamos previamente. Tenemos 3 estados de naturaleza: mercado en alta 𝑠1 con probabilidad 𝑝(𝑠1 ) = 0,35, mercado sin cambios 𝑠2 con probabilidad 𝑝(𝑠2 ) = 0,25 y

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mercado en baja 𝑠3 con probabilidad 𝑝(𝑠3 ) = 0,40. Supongamos ahora que el productor tiene información adicional de un comerciante amigo sobre la estabilidad del mercado. La información es “favorable” (𝑌1 ) o “desfavorable” (𝑌2 ). Las probabilidades condicionadas están dadas en la Tabla 2.

Tabla 2: Probabilidades condicionadas

𝑃(𝑌𝑘 |𝑠𝑗 )

𝒀𝟏

𝒀𝟐

𝑠1

0,85

0,15

𝑠2

0,50

0,50

𝑠3

0,15

0,85

Fuente: elaboración propia.

Con base en la Tabla 2, las probabilidades de los sucesos 𝑌1 e 𝑌2 son: 𝑃(𝑌1 ) = 0,483; 𝑃(𝑌2 ) = 0,517. Las probabilidades condicionadas son: 𝑃(𝑠1 |𝑌1) = 0,616; 𝑃(𝑠2 |𝑌1) = 0,260; 𝑃(𝑠3 |𝑌1) = 0,124, 𝑃(𝑠1 |𝑌2 ) = 0,102; 𝑃(𝑠2 |𝑌2 ) = 0,242; 𝑃(𝑠3 |𝑌2 ) = 0,657. Luego, el valor esperado para el maíz y la soja son:  Condición favorable: 𝐸𝑉(𝑀, 𝑌1 ) = $82480, 𝐸𝑉(𝑆, 𝑌1 ) = $52800.  Condición desfavorable: 𝐸𝑉(𝑀, 𝑌2 ) = $ − 37260, 𝐸𝑉(𝑆, 𝑌2 ) = $ − 25070. Por lo tanto, en condiciones favorables, conviene sembrar maíz. Si las condiciones son desfavorables, la mejor decisión es no sembrar.

Funciones de utilidad En algunas situaciones, el criterio del valor esperado no es el más adecuado a la hora de tomar una decisión. Veamos dos ejemplos en las cuales no se sigue este criterio. 1) Seguros de vida. Las personas suelen pagar un seguro de vida de modo de garantizar una ayuda económica a sus beneficiarios en caso de fallecimiento. Las compañías de seguros estiman la probabilidad de vida de esa persona, y con base en eso definen la tarifa. Esta tarifa cubre los gastos estimados en caso de falleciemiento del contratante, y además genera un cierto beneficio. Por lo tanto, el rendimiento esperado de la póliza es menor que su costo.

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2) Inversiones. Cuando se dispone de dinero para invertir en acciones de empresas, un curso de acción es calcular el valor esperado de cada inversión y colocar todo el dinero en la empresa que genera el mayor valor esperado. Sin embargo, mucho inversores deciden dividir sus inversiones en varias empresas para reducir posibles pérdidas. En ambas situaciones, la decisión no fue tomada siguiendo el criterio del valor esperado. El ambos casos, el tomador de decisiones consideró el riesgo de cada decisión. En el primer caso, la persona sabe que tiene un valor esperado negativo a cambio de tener la posibilidad de grandes rendimientos en caso de muerte. A este tipo de acciones se las denomina preferencia por el riesgo. El inversor, en cambio, tiene una acción denominada aversión al riesgo, es decir, perfiere que las posibilidades de pérdidas sean menores, aunque eso implique menos beneficios. En estas situaciones, el tomador de decisiones no considera solo el valor esperado de la acción, sino que también analiza la utilidad o conveniencia de tomar esa decisión. La determinicaión de la función utilidad de una acción es subjetiva y depende de cada tomador de decisiones. Supongamos que tenemos un problema de decisión bajo riesgo, y sean 𝐻 y 𝐿 los rendimientos esperados máximos y mínimos respectivamente. Queremos construir la función utilidad. El primer paso es asignar la utilidad 0 al rendimiento 𝐿 y el valor 100 al rendimiento 𝐻. El segundo es el fundamental y el más complejo. Sea 𝐼 cualquier rendimiento entre 𝐿 y 𝐻. Debemos hallar la probabilidad 𝑝 tal que el tomador de decisiones sea indiferente ante estas dos situaciones:  recibir el rendimiento 𝐼 con seguridad;  recibir el rendimiento 𝐻 con una probablidad 𝑝 y el rendimiento 𝐿 con una probabilidad de 1 − 𝑝. Es decir, se le pregunta al tomador de decisiones si prefiere el rendimiento 𝐼 garantizado o entrar en el juego de azar de recibir 𝐻 con una probablidad 𝑝, y 𝐿 con una probabilidad de 1 − 𝑝. El tercer paso es calcular la utilidad del rendimiento 𝐼 para la probabilidad de indiferencia. Esta utilidad está dada por 𝑈(𝐼) = 100𝑝. Se realiza este procedimiento de determinar la probalidad 𝑝 tal que las alternativas sean indiferentes para el tomador de decisiones varias veces hasta tener algunos puntos que permitan determinar una función (aproximada) mediante métodos de regresión o interpolación de puntos. Cuando un tomador de decisiones es indiferente al riesgo, la función utilidad es 𝑈(𝐼) = 100𝑝 con 0 ≤ 𝑝 ≤ 1. En este caso, no se tiene en

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cuenta el riesgo de las acciones, y la representación gráfica de la utilidad es una recta que une los puntos (𝐿, 0) y (𝐻, 100). Figura 3: Utilidad indiferente al riesgo

Fuente: elaboración propia.

Cuando el tomador de desiciones tiene aversión por el riesgo, el gráfico de la función utilidad está por encima de la función lineal anterior, lo que significa que la tasa de crecimiento de la utilidad es mayor con rendimientos más bajos (Figura 4). Por el contrario, cuando el tomador de decisiones prefiere asumir riesgos, la tasa de rendimiento es mayor que la utilidad, por lo que la curva que describe esta situación se encuentra por debajo de la función lineal de utilidad (Figura 5) (Carlson, Newbold, Thorne, 2008).

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Figura 4: Utilidad en situación de aversión al riesgo

Fuente: elaboración propia.

Figura 5: Utilidad con preferencia al riesgo

Fuente: elaboración propia.

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Referencias Carlson, W., Newbold, P., y Thorne, B. (2008). Estadística para administración y economía (6.ta ed.). Madrid: Pearson Educación. Taha, H. (2004). Investigación de operaciones. México: Pearson Educación.

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