• Author / Uploaded
• Felix Martinez

• Categories
• Información
• Inferencia bayesiana
• Toma de decisiones
• Probabilidad
• Ciencia

Citation preview

TOMA DE DECISIONES BAJO RIESGO Una decisión contra la naturaleza en la cual se conoce la distribución de probabilidad de los estados de la naturaleza. La frase “decisión contra la naturaleza”, se refiere a una situación donde el resultado de una decisión individual depende de la acción de otro agente (naturaleza), sobre el cual no se tiene control. Por ejemplo, si la decisión consiste en llevar o no paraguas, el resultado (mojarse o no) dependerá del estado subsiguiente de la naturaleza. En los modelos de la teoría de decisiones bajo riesgo, la pieza fundamental de información es la tabla de pago. Las decisiones alternativas están enumeradas en un lado de la tabla, y los posibles estados de la naturaleza están indicados en la parte superior. El cuerpo de la tabla son los pagos para todas las combinaciones posibles de decisiones y estados de la naturaleza. En la parte inferior, se ubican a las probabilidades a priori, estas se estiman en función de la experiencia o intuición de quien toma la decisión. ALTERNATIVAS 1 2 : m PROBABILIDADES A PRIORI

1 Pago 11 Pago 21 : Pago m1 P1

ESTADO DE LA NATURALEZA 2 … Pago 12 … Pago 22 … : : Pago m1 … P2 …

n Pago 1n Pago 2n : Pago mn Pn

El proceso de decisión es como sigue: 1. Quien toma la decisión, selecciona una de las alternativas. Suponga que elige la alternativa 1. 2. Una vez tomada la decisión, ocurre un estado de la naturaleza que queda fuera de su control. Suponga que ocurre el estado 2. 3. El resultado puede ser determinado ahora a partir de la tabla de pago. Dado que se seleccionó la alternativa 1 y ocurrió el estado de la naturaleza 2, el resultado es el pago12. Para el análisis de estos modelos de decisión, se empleará el enfoque Bayesiano de decisión, el cual se divide en dos casos:  

Sin experimentación. Con experimentación. Sin experimentación

Si no existe experimentación (datos adicionales), se selecciona aquella acción que maximiza (minimiza) la ganancia (pérdida) esperada, calculándose ésta con la distribución a priori de los estados de la naturaleza.

Página 1 de 7

Valor esperado de la información perfecta La experimentación proporciona más información, para la toma de decisiones en el marco del riesgo. Sin embargo, ésta tiene un costo y surge la pregunta: ¿Hasta qué punto es conveniente pagar por más información derivada de la experimentación? El valor esperado de la información perfecta (VIEP) nos indica la cantidad máxima que estaríamos dispuestos a pagar por tener un mejor conocimiento sobre el estado de la naturaleza que ocurrirá. VEIP = Pago esperado con información perfecta – Pago esperado sin experimentación Pago esperado con información perfecta = ∑ (Probabilidad del estado de la naturaleza multiplicada por el pago más alto del estado correspondiente). Pago esperado sin experimentación = Mayor pago esperado, según la Teoría Bayesiana sin experimentación. Si el costo de la experimentación es mayor al VEIP, entonces el experimento no debe realizarse. En caso contrario, si el VEIP es mayor al costo de la experimentación, entonces se debe evaluar la posibilidad de realizar el experimento. Con experimentación La evaluación sobre la realización de la experimentación constituye un modelo de decisión secuencial, donde la decisión inicial depende de decisiones subsecuentes y eventos inciertos. Para realizar este análisis secuencial, se utiliza el método gráfico denominado árbol de decisión. El cual requiere de los siguientes datos: tabla de pago, probabilidades a priori, probabilidades condicionales, probabilidades marginales, el costo del experimento y las probabilidades a posteriori. Estas últimas, se determinan mediante el teorema de Bayes. Los arboles de decisión contemplan dos etapas: a) Diseño. b) Solución. El diseño se hace cronológicamente de izquierda a derecha, la solución en sentido contrario. Los nodos de decisión se representan con un cuadrado y los nodos de probabilidad se representan con un círculo.

Página 2 de 7

EJEMPLO TOMA DE DECISIONES BAJO RIESGO 1)La búsqueda de ejecutivos para Western Bank realizada por la empresa Hunters. Está por dar frutos. El puesto que debe llenar es clave, vicepresidente de procesamiento de información, porque esta persona tendrá la responsabilidad de desarrollar un sistema de información administrativo con tecnología de punta que enlazará todas las sucursales de Western. Sin embargo, Hunters cree haber encontrado a la persona correcta, Pedro Pérez, que tiene excelentes referencias de un puesto similar para un banco mediano de Nueva York. Después de una ronda de entrevistas, el presidente de Western cree que Pedro tiene una probabilidad de 0.7 de diseñar un buen sistema. Si tiene éxito, la compañía tendrá una ganancia de $ 2 millones (netos después del salario de Pedro, capacitación, reclutamiento y gastos). Si no tiene éxito, la compañía tendrá una pérdida de $ 400 000. Por $ 20 000 adicionales, Hunters proporcionará una investigación detallada (que incluye la verificación de antecedentes, pruebas académicas y psicológicas, etcétera) que precisará su potencial para el éxito. Se ha encontrado que este proceso es confiable en 90%, es decir, el candidato que diseñe un buen sistema pasará la prueba con probabilidad 0.9, y el que no tendría éxito en diseñar el sistema fracasará en la prueba con probabilidad 0.9. La administración de Western necesita decidir si contrata a Pedro y si Hunters debe realizar la investigación detallada antes de tomar decisión. Tabla de pagos (ganancias) (Expresada en dólares) Estados de la naturaleza Alternativa 1. Contratar 2. No contratar

Éxito

Fracaso

2.000.000

-400.000

0

0

0.7

0.3

Probabilidades a priori

SOLUCIÓN Sin experimentación Aplicando el criterio de Bayes, para el caso sin experimentación, obtenemos: E [pago (contratar)] = 0.7 (2.000.000) + 0.3 (-400.000) = 1.280.000 E [pago (No contratar)] = 0.7 (0) + 0.3 (0) = 0

Se debería seleccionar la alternativa Contratar Página 3 de 7

Valor esperado de la información perfecta Para decidir sobre la conveniencia económica de la experimentación, se utiliza el valor esperado de la información perfecta (VEIP), el cual indica el límite superior a pagar para mejorar el conocimiento sobre el estado de la naturaleza que ocurrirá. VEIP = Pago esperado con información perfecta – Pago esperado sin experimentación Pago esperado con información perfecta = ∑ (Probabilidad del estado de la naturaleza multiplicada por el pago más alto del estado correspondiente). Pago esperado con información perfecta = 0.7 (2.000.000) + 0.3 (0) = 1.400.000 + 0 = 1.400.000 Pago esperado sin experimentación = Mayor pago esperado, según el criterio de Bayes sin experimentación. Pago esperado sin experimentación = $ 1.280.000 VEIP = 1.400.000 – 1.280.000 = $ 120.000 Como el VEIP > costo del experimento (verificación de antecedentes, pruebas académicas y psicológicas, etcétera), entonces se debe evaluar la posibilidad de realizar la prueba adicional.

Con experimentación La evaluación sobre la realización de la experimentación constituye un modelo de decisión secuencial, donde la decisión inicial depende de decisiones subsecuentes y eventos inciertos. Para realizar este análisis secuencial, se utiliza el método gráfico denominado árbol de decisión, el cual requiere de los siguientes datos: Probabilidades a priori, probabilidades marginales, las probabilidades a posteriori, el costo de la experimentación y los pagos. Las probabilidades a posteriori, se determinan mediante el teorema de Bayes y se pueden simplificar los cálculos con los siguientes pasos: Primer paso. Las probabilidades condicionales se pueden resumir como sigue: Los resultados de la prueba adicional aplicada por Hunters se clasifican en: PF = Prueba Favorable PD = Prueba Desfavorable

PD

Página 4 de 7

PF

Éxito

0.1

0.9

Fracaso

0.9

0.1

Segundo paso. Calcular las probabilidades conjuntas. Dadas las probabilidades a priori P (estado = éxito) = 0.7 y P (estado = fracaso) = 0.3, las probabilidades conjuntas se calculan multiplicando la primera y segunda filas de la tabla del primer paso por 0.7 y 0.3, respectivamente. Así, se obtiene. PD

PF

Éxito

0.07

0.63

Fracaso

0.27

0.03

La suma de todos los elementos de la tabla es igual a 1.

Tercer paso. Calcular las probabilidades marginales. Estas probabilidades se calculan a partir de la tabla del segundo paso, sumando las columnas respectivas, lo cual produce.

PD

PF

0.34

0.66

P (PD) = 0.34 P (PF) = 0.66

Cuarto Paso. Determinar las probabilidades a posteriori. Estas probabilidades se calculan dividiendo cada columna de la tabla del segundo paso, entre el elemento de la columna correspondiente de la tabla del tercer paso, con lo que se obtiene (redondeando a tres dígitos):

PD

Página 5 de 7

PF

Éxito

0,206

0,955

Fracaso

0,794

0,045

P (Éxito| PD) = 0,206 P (Fracaso| PD) = 0,794 P (Éxito| PF) = 0,955 P (Fracaso| PF) = 0,045

Ahora se dispone de toda la información para construir el árbol de decisión. Pago

Contratar

Desfavorable (0.34) 0

b Realizar la prueba -20000 a

c

Favorable (0.66)

0 0 No contratar

Contratar

0

d

Contratar

e

1980000 -420000 -20000

g

0 0 No contratar

0 No realizar la prueba

f

Éxito (0.206) 2000000 -400000 Fracaso (0.794)

Éxito(0.955) 1980000 2000000 -400000 -420000 Fracaso(0.045) -20000

Éxito(0.7)

h

0 0 No contratar

2000000 2000000 -400000 - 400000 Fracaso (0.3)

0

Los nodos de decisión se representan con un cuadrado y los nodos de probabilidad se representan con un círculo.

Página 6 de 7

Análisis

Una vez construido el árbol de decisión, con sus datos, se puede analizar el problema con el siguiente procedimiento. 1. Inicie en el lado derecho del árbol de decisión y muévase a la izquierda una columna a la vez. 2. Para cada nodo de probabilidad, calcule su pago esperado. 3. Para cada nodo de decisión, compare los pagos esperados de sus ramas y seleccione la alternativa cuya rama tenga el mayor pago esperado. En cada caso, registre la elección en el árbol de decisión con una doble raya como barrera en las ramas rechazadas. Pago Éxito (0.206) 74400 2000000 74400

Desfavorable 1260816 (0.34) 0

c

Contratar

f

0 0 No contratar

-400000 Fracaso (0.794)

1980000 -420000 -20000

Éxito(0.955) 1980000 1872000 2000000 b Realizar la g -400000 -420000 Contratar prueba 0 Fracaso(0.045) 1872000 0 1280000 -20000 Favorable 0 -20000 d a (0.66) No contratar Éxito(0.7) 1280000 2000000 2000000 0 h -400000 Contratar No realizar - 400000 1280000 Fracaso (0.3) 0 la prueba 0 0 e No contratar

Al seguir las trayectorias abiertas de izquierda a derecha se llega a la siguiente política óptima (decisión secuencial). No se debe realizar la prueba adicional y se debe contratar a Pedro Pérez.

Página 7 de 7