Decisiones bajo riesgo La toma de decisiones se hace tomando en cuenta las probabilidades. En este caso quien toma las d
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Decisiones bajo riesgo La toma de decisiones se hace tomando en cuenta las probabilidades. En este caso quien toma las decisiones puede estimar la probabilidad de cada uno de los estados de la naturaleza.
Decisiones bajo riesgo Para cada decisión se calcula el rendimiento esperado mediante la expresión:
VE (decisión) Σ Vi .Pi Donde: VE = es el valor esperado de la decisión Vi = es la utilidad de la decisión en el estado de naturaleza i Pi = es la probabilidad de ocurrencia del estado de la naturaleza i. El criterio es tomar la decisión que maximiza el rendimiento esperado.
Decisiones bajo riesgo Para cada decisión se calcula el rendimiento esperado mediante la expresión:
VE (decisión) Σ Vi .Pi Donde: VE = es el valor esperado de la decisión Vi = es la utilidad de la decisión en el estado de naturaleza i Pi = es la probabilidad de ocurrencia del estado de la naturaleza i. El criterio es tomar la decisión que maximiza el rendimiento esperado.
Ejemplo de Aplicación Suponga que para un negocio a futuro se puede presentar dos escenarios (fuerte o débil) y frente a estos se pueden tomar tres tipos de decisiones o estrategias (agresiva, básica y cautelosa). Las utilidades estimadas de las decisiones en cada escenario se muestran en la siguiente matriz de pagos: Decisiones
Estados de la naturaleza
Fuerte
Débil
Agresiva
30
-8
Básica
20
7
Cautelosa
5
15
Para este problema consideremos ahora las probabilidades de cada estado de la naturaleza como: Estados de la naturaleza Probabilidad
Fuerte
Débil
0,45
0,55
Ejemplo de Aplicación Calculando los valores esperados de cada una de las decisiones tendremos: Decisiones
Estados de la naturaleza
Valor esperado
Fuerte
Débil
Agresiva
30
-8
0,45 . (30) + 0,55 . (-8) = 9,10
Básica
20
7
0,45 . (20) + 0,55 . (7) = 12,85
Cautelosa
5
15
0,45 . (5) + 0,55 . (15) = 10,50
De acuerdo a este criterio, se elige la decisión básica
Valor esperado de la información perfecta El valor esperado de la información perfecta es el máximo valor que estaríamos dispuestos a pagar por tener la certeza de que escenario ocurrirá a futuro. Si nos dijeran lo que va a ocurrir y efectivamente ocurre, siempre tomaríamos la mejor decisión, y el valor con información perfecta sería: VE con IP = 0,45 . (30) + 0,55 . (15) = 21,75 En ausencia de información perfecta, la decisión adecuada es la básica y su valor esperado es 12,85, es decir: VE sin IP = 12,85 Por lo tanto, el valor de la información perfecta es: VEIP = VE con IP – VE sin IP = 8,9
Valor esperado de la información perfecta Para la próxima estación de cultivo, el granjero Jacinto tiene cuatro opciones: A1: Plantar maíz; A2: Plantar trigo; A3: Plantar soya; A4: Usar la tierra para pastoreo Los pagos asociados con las diferentes acciones están influidos por la cantidad de lluvia, que se presenta en uno de cuatro estados: S1: Lluvia fuerte; S2: Lluvia moderada: S3: Lluvia ligera; S4: Temporada de sequía
Valor esperado de la información perfecta Las utilidades estimadas se muestran en la siguiente matriz de pagos (en miles de soles):
a. b.
c.
S1
S2
S3
S4
A1
- 20
60
30
-5
A2
40
50
35
0
A3
- 50
100
45
- 10
A4
12
15
15
10
¿Cuál es la decisión recomendable bajo incertidumbre? Si las probabilidades de ocurrencia de lluvia S1, S2 y S3 fueran 0,1, 0,6 y 0,2 respectivamente, ¿Cuál sería la mejor decisión bajo el criterio de valor esperado? ¿Hasta cuánto estaría dispuesto a pagar el granjero por tener información más concreta de la cantidad de lluvia que caerá?
Valor esperado de la información perfecta a. De acuerdo a los criterios bajo incertidumbre se escogerán las alternativas indicadas a continuación: S1
S2
S3
S4
Maximin
A1
- 20
60
30
-5
- 20
A2
40
50
35
0
0
A3
- 50
100
45
- 10
- 50
A4
12
15
15
10
10
De acuerdo al criterio Maximin, la alternativa adecuada es A4: usar tierra para pastoreo
Valor esperado de la información perfecta a. De acuerdo a los criterios bajo incertidumbre se escogerán las alternativas indicadas a continuación: S1
S2
S3
S4
Maximax
A1
- 20
60
30
-5
60
A2
40
50
35
0
50
A3
- 50
100
45
- 10
100
A4
12
15
15
10
15
De acuerdo al criterio Maximax, la alternativa adecuada es A3: usar tierra para plantar soya
Valor esperado de la información perfecta a.
Para el criterio Mínimax primero elaboramos la matriz de arrepentimiento: S1
A1
S2
S3
40-(-20) = 60 100 – 60 = 40
S4
Minimax
45 – 30 = 15
10- (-5) = 15
60
A2
40-40 = 0
100 – 50 =50
45 – 35 = 10
10 – 0 = 10
50
A3
40-(-50) = 90
100 - 100= 0
45 – 45 = 0
10 - (-10) = 20
90
40-12 = 28 100 – 15 = 85
45 – 15 = 30
10 – 10 = 0
85
45
10
A4
Máximo
40
100
De acuerdo al criterio Minimax, la alternativa adecuada es A2: plantar trigo
Valor esperado de la información perfecta b. Con los valores de probabilidad calculamos la utilidad esperada para cada alternativa S1
S2
S3
S4
Valor esperado
A1
- 20
60
30
-5
39,5
A2
40
50
35
0
41,0
A3
- 50
100
45
- 10
63.0
A4
12
15
15
10
14,2
Probabilidad
0.1
0.6
0.2
0.1
De acuerdo al criterio del valor esperado, la alternativa adecuada es A3: plantar soya.
Valor esperado de la información perfecta c. Con los valores de probabilidad calculamos la utilidad esperada para cada alternativa S1
S2
S3
S4
Valor esperado
A1
- 20
60
30
-5
39,5
A2
40
50
35
0
41,0
A3
- 50
100
45
- 10
63.0
A4
12
15
15
10
14,2
Probabilidad
0.1
0.6
0.2
0.1
40*0.1 = 4 100*0.6 =60
45*0.2 = 9
10*0.1 =1
74
Lo que estaría dispuesto a pagar será el valor de la información perfecta. VIP = 74 – 63 = 11 Lo que estaría dispuesto a pagar sería S/. 11 000..
Análisis de sensibilidad Los valores de probabilidades de los diferentes estados de la naturaleza que se utilizaron para calcular los valores esperados, muchas veces son solo referenciales y están sujetos a variaciones. Por tanto, dependiendo de la magnitud de las variaciones las decisiones podrían cambiar. El análisis de decisiones muestra los rangos en los que puede variar la probabilidad sin que cambien las decisiones. Decisiones
Estados de la naturaleza Fuerte
Débil
Agresiva
30
-8
Básica
20
7
Cautelosa
5
15
Sigamos con el ejemplo de los dos escenarios (fuerte y débil) y calculemos el valor esperado con una probabilidad p para el estado de naturaleza Fuerte y (1-p) para el Débil. El valor esperado de la decisión Agresiva es: VE agresiva = p . (30) + (1-p) . (-8) = 38 p - 8
Análisis de sensibilidad El valor esperado varía de acuerdo al valor de p, es decir, la expresión corresponde a la ecuación de una recta, donde p varía desde 0 hasta 1. Si graficamos la expresión tendremos: Rendimiento esperado
Rendimiento esperado
30
30
25
A
25
20
20
15
15
10
10
5
5
0
0
-5
-5 -8
-10
P(F) = 0
-10
P(F) = 1
Si el mismo proceso calculo lo aplicamos a las otras decisiones tendremos las siguientes expresiones: VE básica = p . (20) + (1-p) . (7) = 13 p + 7 VE cautelosa = p. (5) + (1 - p) . (15) = -10 p + 15
Análisis de sensibilidad Si graficamos estas expresiones junto con la anterior tendremos el siguiente gráfico: Rendimiento Rendimiento esperado
esperado
30
30
25
A
20 15
25 20
C
B
15
10
10
5
5
0
0 0,348
0,6
-5
-5
-10
-10
P(F) = 0
P(F) = 1
Observando el gráfico con cuidado podemos ver que hay rangos de p en los que una determinada decisión tiene el mayor valor esperado. Para valores de p entre 0 y 0,385 la decisión con mayor valor esperado es la Cautelosa. Luego si p tiene un valor entre 0,348 y 0,6 la decisión adecuada es la Básica Finalmente para valores de p mayores a 0,6 la decisión correcta es la Agresiva.
Problema Ejemplo A continuación se muestra la distribución de ventas de cintas para impresoras para la tienda Mega Print S.A.: Cantidad comprada por los clientes
Número de días que ocurrieron
200 unidades
15
250 unidades
30
400 unidades
50
600 unidades
25
Mega Print S.A. compra estas cintas a $6 cada una y las vende a $10. Elabore una matriz de pagos que muestre las retribuciones, donde las alternativas de decisión son la cantidad de cintas a comprar. Recomiende una decisión a base a los datos mostrados. ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar, para tener la información de la posible demanda futura?
Problema Ejemplo A continuación se muestra la matriz de pagos: La función utilidad tendrá la siguiente forma: Si la Demanda >=Compra Utilidad = 10*Compra – 4*Compra Si la Demanda < Compra Utilidad = 10*Demanda – 4*Compra Demanda Compra
200
250
400
600
200
1200
1200
1200
1200
250
1000
1500
1500
1500
400
400
900
2400
2400
600
-400
100
1600
3600
Probabilidad
15/120
30/120
50/120
25/120
Problema Ejemplo Para calcular el arrepentimiento esperado calcularemos la tabla de arrepentimiento y usaremos las probabilidades para calcular el esperado del arrepentimiento que coincide en valor con Valor de la Información Perfecta (VIP) Demanda
Compra
200
250
400
600
200
1200 -1200 =
1500 – 1200 =
2400 – 1200 =
3600 – 1200 =
0
300
1200
2400
250
1200 -1000 =
1500 – 1500=
2400 – 1500 =
3600 – 1500 =
200
0
900
2100
400
1200 – 400 =
1500 – 900 =
2400 – 2400 =
3600 -2400 =
800
600
0
1200
600
1200-(-400)=
1500 – 100 =
2400 – 1600 =
3600 – 3600 =
1600
1400
800
0
Máximo
1200
1500
2400
3600
Probabilidad
15/120
30/120
50/120
25/120
Arrepentimiento ponderado
1075 837.5 500
883.33
Problema Ejemplo Para ahorrar en gastos, Irene y Sebastián acordaron compartir el automóvil para ir y regresar del trabajo. Irene prefiere ir por la Avenida que es mas larga pero mas estable y Sebastián prefiere la Autopista que es mas rápida, pero acordó con Irene que tomaría la Avenida si la Autopista tenia embotellamiento de transito. La siguiente tabla de resultados proporciona la estimación de tiempos en minutos para el viaje de ida o de regreso. Alternativas de Decisión
Estados de la Naturaleza
Autopista abierta
Autopista embotellada
Avenida
30
30
Autopista
25
45
a) Con base a su experiencia en problemas de tránsito, Irene y Sebastián acordaron una probabilidad de 0.15 de que la autopista este embotellada ¿Cuál es el tiempo de viaje esperado? b) ¿Cuál es la alternativa más recomendable si se utiliza el criterio de arrepentimiento esperado? c) Utilice un plano cartesiano para calcular los rangos de variación de la probabilidad de que la autopista este embotellada, para que cada alternativa de decisión sea optima. d) Según los resultados anteriormente obtenidos, ¿Cuánto es el valor mas pequeño para p (autopista embotellada) para que Irene y Sebastián decidan ir por la Avenida? e) Aplique cada uno e los criterios de decisión tratados en clase, en e caso de Irene y Sebastián no tengan nada de información de las probabilidades de los estados de la naturaleza.
Problema Ejemplo a) Con base a su experiencia en problemas de tránsito, Irene y Sebastián acordaron una probabilidad de 0.15 de que la autopista este embotellada ¿Cuál es el tiempo de viaje esperado? Recuerde en este caso trata de minimizar tiempo Alternativas
Estados de la Naturaleza
Valor esperado
Autopista abierta
Autopista embotellada
Avenida
30
30
30*0.85+30*0.15 = 30
Autopista
25
45
25*0.85+45*0.15= 28
Probabilidad
0.85
0.15
Nos da como resultado que debemos tomar la autopista. El tiempo de viaje esperado es de 28 min. tomando la autopista.
Problema Ejemplo b) ¿Cuál es la alternativa más recomendable si se utiliza el criterio de arrepentimiento esperado? Recuerde en este caso trata de minimizar tiempo Alternativas
Estados de la Naturaleza
Arrepentimiento esperado
Autopista abierta
Autopista embotellada
Avenida
30 – 25 = 5
30 – 30 = 0
0.85*5.0+0.15*0 = 4.25
Autopista
25 – 25= 0
45 – 30 = 15
0.85*0 + 0.15*15 = 2.25
Mínimo
25
30
Probabilidad
0.85
0.15
Nos da como resultado que debemos tomar la autopista. Se interpreta este resultado como el máximo tiempo que Sebastián e Irene estarían dispuestos a retrazarse es 2.25 minutos.
Problema Ejemplo c) Utilice un plano cartesiano para calcular los rangos de variación de la probabilidad de que la autopista este embotellada, para que cada alternativa de decisión sea optima. Sea p la probabilidad de que la autopista este embotellada, entonces: VE_Av = 30(1-p) +30p = 30 VE_Au = 25(1-p) +45p = 25 + 20p Si Hacemos VE_Av = VE_Au entonces p=0.25 Se tomara: para p en el intervalo [0.0 , 0.25] se decide ir por la autopista. para p en el intervalo [0.25 , 0.1] se decide ir por la avenida.
Valores esperados
Valores esperados segun p (autopista embotellada) 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0
Ve_Av VE_Au
0..0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
Probabilidad de embotellamiento
0.9
1
Problema Ejemplo e) Aplique cada uno e los criterios de decisión tratados en clase, en e caso de Irene y Sebastián no tengan nada de información de las probabilidades de los estados de la naturaleza. Recuerde en este caso trata de minimizar tiempo.
Alternativas
Estados de la Naturaleza
Optimista Minimin
Pesimista Minimax
Hurwicz α = 0.6
Laplace
Autopista abierta
Autopista embotellada
Avenida
30
30
30
30
30
30
Autopista
25
45
25
45
33
35
25
30
30
30
Autopista
Avenida
Avenida
Avenida
Optimo Probabilidad
0.85
0.15
Problema Ejemplo e) Aplique cada uno e los criterios de decisión tratados en clase, en e caso de Irene y Sebastián no tengan nada de información de las probabilidades de los estados de la naturaleza. Recuerde en este caso trata de minimizar tiempo. Alternativas
Estados de la Naturaleza
Arrepentimiento minimax
Autopista abierta
Autopista embotellada
Avenida
30 – 25 = 5
30 – 30 = 15
5
Autopista
25 – 25= 5
45 – 30 = 0
15
Mínimo
25
30
Avenida