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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Mecánica Cálculo Vectorial Lista de Ejercicios 19

la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 9 y los planos y = x ;

y = 3 x ; z = 0 en el primer octante. 3 Rpta: 8 02.

Docente: Ms.C. Ronald Juven Reyes Narvaez Tema : Integrales Triles COORDENADAS CILÍNDRICAS Si f : U  3 → es una función continua sobre U , entonces la transformación de la integral triple  f ( x; y; z) dV en coordenadas cilíndricas está dado U

por:

 f ( x; y; z) dV =  f (r cos ( ); r sen ( ); z) r dz dr d U

04. Mediante coordenadas esféricas. Calcule la integral

d ( x; y; z ) =r d (r ; ; z )

1) Calcule la integral

 ( x

2

  −2

Rpta:

está

E,

x2 + y2 ; z = 8. 4

2) Calcule el volumen de la parte del cilindro x 2 + y 2 = 6 x , comprendido entre el paraboloide x 2 + y 2 = 6 z , y el plano XY . Rpta: 81 / 4 u 3



x 2 + y 2 dx dydz .

Donde E , es el sólido limitado por: z = x 2 + y 2 , z = 1 Rpta:  / 6

2 x− x 2

2

  0

0



1 0

z x 2 + y 2 dz dy dx

S

x2 + y2 + z2

coordenadas

esféricas.

dV



05. Calcule

x + y2 + z2 2

U

, Donde U es el sólido

que está sobre el cono 3 z 2 = x 2 + y 2 y debajo de la 14  esfera 4 z = x 2 + y 2 + z 2 . Rpta: 3 06. Sea S el sólido ubicado en el primer octante comprendido entre las esferas con centro en el origen de radio 1 y 2 respectivamente y los planos y = 0; z = 0; y = 3x .

 z dV . Mediante Coordenadas Cilíndricas. E

b) Calcule 5 Rpta: 8

cartesianas

ENTRETENIMIENTO 1



3

 z dV . Mediante Coordenadas Esféricas. E

07. Considere la siguiente integral triple en coordenadas

Rpta: 8/9

Mediante dx dy dz

( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 dz dy dx

x2+y 2

 (2 − 2) 2 7

a) Calcule

E

4) Calcule



+ y ) dx dydz . Donde el

limitado por las superficies

3) Calcule la integral triple

0

8− x 2 − y 2

2

E

dominio

4− x 2

2

MISCELÁNEA

01.

03. Mediante coordenadas esféricas. Calcule el volumen de la región limitada por la superficie ( x 2 + y 2 + z 2 ) 2 = 27 x Rpta: 18  u 3

E

Donde J (r ; ; z ) =

z=

Mediante coordenadas esféricas. Calcule z 2 dx dy dz , Donde S es la región por arriba del  x2 + y2 + z2 S plano XY , y entre las esferas de radios respectivamente 2 y 4 centradas en el origen. 224  Rpta: 9

Calcule

, Donde S es el sólido limitado por

4− x 2

2

  0

0



16 − x 2 − y 2 0

x 2 + y 2 dz dy dx

a) Modele la integral dada a coordenadas cilíndricas y evalúe. b) Modele la integral dada a coordenadas esféricas y evalúe.