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Ejercicios Propuestos. Tarea No. 2.

∂2z ∂f ∂ 2 z ∂f ∂ 2 z 1. Encontrar las derivadas parciales , , , y de los siguientes ejercicios: ∂y∂x ∂x ∂x 2 ∂y ∂y 2

a.

z = x5 y4 + ye2x

b.

c.

d.

e.

f.

g.

f(x, y, z) = xysen(z) − xzsen(y)

h.

i.

f(x, y, z) = arctg (xyz)

j.

k.

l.

m. w = x2eylnz

n.

o.

p.

q.

r.

s.

t.

2. Evaluar fx y fy en el punto que se indica. a.

, (7, -1)

b.

, (2, -2)

c.

, (0, -2)

d.

, (0, -5)

f.

, (-8, -1)

e.

, (-3, 2)

g.

, (5, -6)

h.

, (-5, -9)

i.

, (-2, 5)

j.

, (6, -8) , (-5, -4)

k.

, (-4, -7)

l.

m.

, (-5, -3)

n.

o.

, (0, -1)

p.

q.

, (5, -4)

r.

s.

, (2, -4)

t.

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, (-7, -3) , (-2, 5) , (5, -2) , (2, -6)

1

3. Encuentre el diferencial total de cada una de las funciones dadas en el inciso 1. 4. Utilice diferenciales para calcular de forma aproximada las siguientes expresiones. a.

2.012 + 1.98 2 + 1.05 2

b. (1.02)3.03

c. (3.3) 2 + 2.(2.1) 3 e. arctan(1.01 / -1.98) g. 1.013 + 0.983 – 3.(1.01)( 0.98) 3(2.9) i. (2.9) 2 + (4.01) 2

d. ln(2.9/4.01) f. arcsen(-0.98) / arccos (0.45) h. 2.(0.98).(1.01)(0.98) 3(1.01) j. (1.01) 2 + (−0.98) 2

5. Dibujar la curva de intersección de la superficie y del plano dado. Encontrar la pendiente de la curva en el punto que se especifica y las ecuaciones paramétricas de la recta.

Superficie a. b. c. d. e. f. g. h. i.

z = 49 − x 2 − y 2 z = x2 + 4y2 z = 9x2 - y2 z = 9x2 - y2 z = x2 + y4+ ex y x3 + y3 = 3xyz z = sen(x) + sen(y) + sen(x + y) x2 + 2y2 + 2z2 = 14 z3 + (x + y)z 2+ x2 + y2 = 13

6. Calcular las derivadas parciales

Plano

Punto

x=2 y=1 y=3 x=1 y=0 x=1 y=0 x=2 y=2

(2, 3, 6) (2, 1, 8) (1, 3, 0) (1, 3, 0) (1, 0, 2). (1, 2, 3/2). (0, 0, 0). (2, 1, −2). (2, 2, 1).

∂f , f / u y f / v de las funciones: ∂t

(a) f(x, y) = x2 y3 con x = e2t; y = t2 (b) f(x, y) = e−x2 − y2 con x = t; y = t1/2. (c) f(x, y, z) = sen(xyz) con x = t; y = t2; z = t3 (d) z = x.sen(y) con x = sen(t); y = t2. (e) z = xsen(y) con x = t2 + 2; y = 2 Lnt (f) f(x, y) = x2y3 con x = u2 + v2; y = uv (g) f(x, y) = x2 sen(xy) + y2 cos(xy) con x = u2v; y = uv2 (h) f(x, y, z) = xz + xy + yz con x = uv; y = u2; z = v2

7. Calcule las derivadas direccionales de las funciones dadas en el punto dado en la dirección dada.

Función

Punto

Dirección

a. f(x, y) = x2eylny b. f(x, y) = 3x2 – 2y2

P (- ¾, 0) A (-1/2, 0)

De R(- ¾, 0) a S(0, 1) De Q(0, 1) a P(- ¾, 0)

c. f(x, y) = x3 – 3xy + 4y2

B (1, 2)

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=

π

6 2

π

d. f(x, y) = y lnx + xy2

C (1, 2)

e. f(x, y) = 20 + xy

F (1, 2)

3 u = (3 / 5)i + (4 / 5)j

B (-3, 5)

Vector que forma 60º con X.

D (-1, 3)

De V(-1, 3) hasta W(1, -2)

G (1, 2)

u = cos( /3)i + sen( /3)j

A (1, -2) B (1, -2) C (1, -2)

en dirección de x = 0. en dirección de y = 0. en dirección de y = 3x – 5.

f. f(x, y) =

x3

y2

3 2 g. f(x, y) = 3x2 – 2y2 h. f(x, y) = 4 - x2 –

y2

4 i. f(x, y) = arctan(x2 + y2 ) j. f(x, y) = arctan(x2 + y2 ) k. f(x, y) = arctan(x2 + y2 )

=

8. Encuentre el plano tangente y la recta normal a la superficie dada en el punto dado.

Superficie

Punto

(a) f(x, y) = x 3 y ; (27, 1021) 2 xy (2, 9) (b) f(x, y) = x e ; (x - y) (c) z = e (1, 1, 1) (2, 1, −2). (d) x2 + 2y2 + 2z2 = 14 (f) z3 + (x + y)z 2+ x2 + y2 = 13 (2, 2, 1). (g) ¿En qué puntos de las siguientes superficies el plano tangente es horizontal? (g.i) z = xy. (g.iii) z = 3xy − x3 − y3 2 2 (1, 2, 3) (h) f(x, y) = x + y ; (i) f(x, y) = sen(xy); (1, , 0) (6, 3, 2) f ( x, y ) = 49 − x 2 − y 2 x (k) f(x, y) = (3, -4, 3/5). x2 + y2 (l) z = x2 +2 y2 y el plano tangente es paralelo al plano x +2y – z = 10. (m) f(x, y) = x2 + y2; (3, 4, 25) (n) f(x; y) = xy, (e, e) xy (1; 1; 1) (o) f(x; y) = e + yx, (p) z2 – 2x2 – 2y2 – 12 = 0 (1, - 1, 4). (q) f(x, y) = x2 + xy + y2; (-1, 1) 2 2 (r) f(x, y, z) = zln(x + y ); (1, 1, 1) (s) f(x, y, z) = exy + z2; (0, 2, 3) 2 5 (t) f(x, y) = x2/3 + 3y2/4; (1, ) 3 (j)

(u) (v) (w) (x)

f ( x, y ) = x 2 − y ; z2 - x2 - y2 = 0 z - ln( x2 + y2) x2 + 2xy - y2 + z2 = 7

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(1, 0) (3, 4, -5) (1, 0, 0) (1, -1, 3)

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9. El capitán Ralph tiene dificultades cerca del lado soleado de Mercurio. La temperatura del casco de la nave, cuando él está en la posición (x; y; z), viene dada por 2 2 2 T ( x; y; z ) = e − x − 2 y − 3 z , donde x, y y z vienen dados en metros. Actualmente está en el punto (1; 1; 1).

a) ¿En qué dirección deberá avanzar para disminuir más rápidamente la temperatura? b) Si la nave viaja a e8 m/s, ¿con qué rapidez decrecerá la temperatura si avanza en esa dirección? c) Desafortunadamente el metal del casco se cuarteará si se enfría a una tasa mayor que 14e 2 grados por segundo. Describir el conjunto de direcciones posibles en que puede avanzar para bajar la temperatura a una tasa no mayor que ésa. 10. Hallar el valor de la constante c tal que en todo punto de intersección de las dos superficies esféricas (x - c)2 + y2 + z2 = 3 (*) x 2 + (y - 1)2 + z2 = 1 (**) los planos tangentes correspondientes sean perpendiculares uno al otro. 11. Suponer que una montaña tiene forma de un paraboloide elíptico z = c - ax2 - by2 , donde a, b y c son constantes positivas, x y y son las coordenadas este-oeste y norte-sur, y z es la altitud sobre el nivel del mar (x, y y z están medidas en metros). En el punto (1; 1), ¿en qué dirección aumenta más rápido la altitud? Si se suelta una canica en (1; 1), ¿en qué dirección comenzará a rodar? 12. Se ensaya a la tracción un monocristal de un metaloide de forma prismática rectangular con una base cuadrada de 2 cm. de lado y una altura de 15 cm. Debido a la anisotropía (distinto comportamiento según las direcciones) del material, se ha observado que uno de los lados de la base se deforma dos veces más rápido que el otro. Si en un momento dado se determina que por efecto de la tracción la longitud de la pieza aumenta a una tasa de 1 mm. /s, hallar la tasa de variación de ambos lados de la base. 13. Un depósito prismático tiene por dimensiones 5, 10 y 6 metros. Sabiendo que las paredes tienen un espesor común de 10 centímetros, calcular el volumen ocupado por éstas: a) mediante el incremento total y b) mediante la diferencial de la función, c) comparar ambos resultados. 14. Un recinto tiene forma de triángulo rectángulo. Se han medido los dos catetos resultando los siguientes valores con sus correspondientes errores máximos x = 22.52 m. Encontrar el valor de la hipotenusa con su respectivo error máximo.

0.02 m, y = 15.33

0.02

15. Un cilindro elíptico de material elástico, cuya sección transversal tiene radio mayor 4 mm y radio menor 3 mm, mide 15 cm de longitud en momentos en que se lo empieza a estirar. Debido a la anisotropía (comportamiento variable según la dirección) del material,

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el radio mayor se deforma dos veces más rápido que el menor. Si inicialmente la longitud aumenta a razón de 5 mm/s, ¿a qué tasa disminuirán el radio mayor y menor de la sección transversal? AYUDA: el volumen de un cilindro elíptico es πabh, donde a, b y h son los radios mayor y menor y la altura. 16. Un escarabajo vuela sobre una circunferencia de 3 m de radio, moviéndose en el sentido de las agujas del reloj y recorriéndola en 4 seg. (vuela rápido!). • Escribir la fórmula para la trayectoria c: R → R² que describe la posición del escarabajo en el plano x-y. (Tomar como centro de la circunferencia el origen, y suponer que en t = 0 el escarabajo se encuentra en el punto (3, 0)) • Si la temperatura en (x, y) está dada por T(x, y) = exy + x cos y, determinar mediante la regla de la cadena con qué rapidez siente el escarabajo que varía la temperatura cuando t = 1 seg. • Si el escarabajo abandona la circunferencia en t = 2.5 seg y vuela en la dirección de la tangente sin variar su velocidad, dónde se encuentra 4 segundos más tarde? 17. Una montaña tiene ecuación: f ( x; y ) = 100 − x 2 + y 2 − 100 , 0 ≤ f(x; y) ≤ 100, donde las medidas están en metros. Supongamos que el eje x coincide con la dirección oeste-este, con sentido de crecimiento hacia el este. Si estamos en el punto de la montaña de coordenadas x = y = 12, ¿cuál será la tasa de variación de la altura si nos movemos en dirección noroeste? ¿En qué direcciones deberíamos avanzar para que la altura aumente y disminuya más rápidamente? ¿Y cuáles serían sus tasas de variación en ese caso? 18. A efectos de modelizar el proceso de desgaste de las pirámides egipcias, se construye un modelo en miniatura de las mismas, con un lado de la base de 6 cm y una altura de 4 cm. Luego de someterlo a rigurosas condiciones ambientales, se comprueba que el lado de la base disminuyó en 0,1 cm, y la altura disminuyó en 0,2 cm. Mediante una expresión lineal, aproximar cuál fue la disminución del área lateral de la pirámide.

h y

x

19. Al calentar un cilindro circular recto sólido, su radio, r, y su altura, h, aumentan. Sabemos que en el instante en el que r=10 cm y h=100 cm, r está creciendo a razón de 0,2 cm/h y h a razón de 0,5 cm/h. ¿Cuál es la velocidad de crecimiento de la superficie del cilindro en ese instante? 20. La parte de un árbol que por lo general se corta para madera es el tronco, un sólido con forma aproximada de cilindro circular recto. Si el radio del tronco de cierto árbol crece media pulgada al año y la altura aumenta 8 pulgadas al año, ¿con qué velocidad aumenta el volumen cuando el radio es de 20 pulgadas y la altura de 400 pulgadas? 21. La presión, el volumen y la temperatura de un mol de un gas ideal están relacionados por la ecuación PV = 8.31 T, donde P se mide en kilopascales, V en litros y T en grados Ing. MSc. José R. Fuentes

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kelvins. Utilice diferenciales para hallar el cambio aproximado en la presión si el volumen aumenta de 12 L a 12.3 L y la temperatura se reduce de 310 K a 305 K. 22. El período T de un péndulo de longitud L viene dado por T = 2 L/ g, donde g es la aceleración de la gravedad. Un péndulo se traslada desde un lugar en la zona del Canal, donde g = 32,09 pies / s2, a otro de Groenlandia donde g = 32,24 pies / s2. A causa del cambio de temperatura, la longitud del péndulo cambia de 2,5 a 2,48 pies respectivamente. Estimar el cambio del período. 23. Los lados de un triángulo son de 3m y 5m y el ángulo que forman es de 60º. Si las longitudes se pueden medir con una precisión del 1% y el ángulo con el 2%, hallar los errores máximo absoluto y relativo al calcular el área y el lado opuesto del triángulo.

Guía de Ejercicios.

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