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Capítulo VII

Energía específica y momenta

PROBLEMAS PROPUESTOS (Capítulo VII) 1.

En un canal rectangular de 3 m de ancho circula un caudal de 7,5 m3/s. Calcular el tirante crítico, la velocidad y la energía correspondiente. Verificar que se cumplen las ecuaciones 7-25 y 7-26.

2.

Demostrar que un canal rectangular que conduce un gasto Q en condiciones críticas, debe tener un tirante igual a los 3/4 del ancho para que el perímetro sea mínimo.

3.

En un canal rectangular se tiene los siguientes datos

Q = 12 m 3/s ;

b =6m;

S = 0,315

n = 0,0125

Calcular a) el tirante normal b) la energía específica correspondiente al flujo uniforme c) el gasto máximo que podría ser transportado con la energía calculada en b Verificar que se cumple la ecuación 7-14. 4.

En un canal rectangular la energía especifica es 2,3 m. Hacer una tabla y graficar los diferentes valores que puede tomar el tirante en función del gasto. Hallar la altura de río y de torrente para

q = 4 m 3/s/m. ¿Cuál es el gasto máximo que puede ser conducido? 5.

Se tiene un canal rectangular de 8 m de ancho y rugosidad 65 de Strickler. ¿Cuál será la pendiente crítica, el tirante normal correspondiente y la energía específica mínima cuando el gasto sea de 6 m 3/s? Si este canal tuviera una pendiente mayor que la crítica ¿qué tipo de flujo se establecería en él? (¿Río o torrente?) ¿Por qué?

6.

En un canal rectangular el tirante es 0,75 m y la velocidad es de 1,15 m/s. Se deja caer una piedra en el canal. Calcular las velocidades de propagación, hacia aguas arriba y aguas abajo, de las ondas superficiales producidas.

7.

Demostrar que en un canal rectangular se cumple entre los tirantes alternos y1 e y 2 la siguiente relación

y1 F22 + 2 = y 2 F1 2 + 2

389

Hidráulica de tuberías y canales

8.

Arturo Rocha

Demostrar que en un canal rectangular de máxima eficiencia hidráulica la pendiente crítica es

24,69

n2 y

9.

1 3 c

=

f 4

( g = 9,8 m/s2)

Demostrar que en un canal rectangular en condiciones críticas son aplicables, en el sistema métrico, las siguientes ecuaciones 3

a) q = 3,13 y 2 max c

b)

2 c) Emin = 0, 7 3 qmax

d)

1

1

2 Vc = 3,13 yc2 = 2,56 Emin

yc = 0,467 3 q 2max

e) Vc = 2,14 3 q max 10. En un canal parabólico la velocidad crítica es de 3,95 m/s. El gasto es de 12 m 3/s. ¿Cuál es la ecuación de la parábola. Mostrar que se cumplen las ecuaciones 7-11, 7-38, 7-39 y 7-44. 11. Demostrar que en un canal de sección parabólica cuya ecuación es x 2 = 16 y , la energía específica mínima es 0,3611 Q1 2 . 12. Hallar el tirante crítico para el canal de la figura. El gasto es de 8 m 3/s. ¿Cuál es la energía que corresponde a las condiciones críticas? Demostrar que se cumplen las ecuaciones 7-14, 7-56 y 7-57.

yc 45º

60º 2,20 m

13. Un canal trapecial revestido en concreto tiene un coeficiente C de Chezy igual a 55 m 1/2/s y conduce un gasto de 10 m 3/s (talud 45º; ancho en el fondo 2,5 m). Calcular para qué pendiente se establecerá un movimiento uniforme con el mínimo contenido de energía. Si en estas condiciones de pendiente crítica se presenta un gasto menor que 10 m 3/s, ¿qué tipo de flujo se establecerá? 14. Un gasto de 28 m3/s escurre en un canal trapecial ( b = 3 m, z = 2, n = 0,017). Calcular la pendiente crítica y el tirante crítico. ¿Qué porcentaje de la energía mínima corresponde a la energía cinética? Demostrar que se cumple la condición dada por el ejemplo 7.1.

390

Capítulo VII

Energía específica y momenta

15. ¿Cuál debe ser la pendiente del canal mostrado en la figura para que se produzca un movimiento uniforme yc

con el mínimo contenido de energía para un gasto de 3,5 m 3/s, y sabiendo que la rugosidad del contorno corresponde a G = 0,46 en la fórmula de Bazin?.

45º 3,00 m

Si por una razón u otra el contorno fuera más rugoso de lo señalado, indicar que tipo de flujo se presentaría con la pendiente crítica calculada. 16. Se tiene un canal trapecial cuyo ancho en la base es de 4 m. El talud es de 45º. La longitud del canal entre los puntos A y B es de 1 000 m. La cota del punto A es 864,30 m y la cota del punto B es 863,70 m. El gasto es de 10 m 3/s. Considerar que el coeficiente n de Kutter es 0,020. Calcular a) el tirante normal b) el tirante crítico c) la pendiente crítica d) la pendiente crítica para un tirante normal de 1 m y el gasto correspondiente (Las cotas están medidas sobre la superficie libre). 17. En un canal trapecial los taludes tienen una inclinación z = 4/3. El canal es de concreto ( n = 0,015). La pendiente es 0,004. Si el canal está trabajando en condiciones de máxima eficiencia hidráulica, hallar a) el caudal, de forma tal que la energía específica sea mínima y el valor de dicha energía b) la energía específica cuando el gasto sea de 15 m 3/s 18. Un canal trapecial revestido en concreto ( C = 60 m 1/2/s) conduce un gasto de 8 m 3/s a) establecer si este flujo es un río o un torrente b) ¿Cuál debería ser la pendiente para que conduciendo el mismo gasto, éste sea crítico? (Talud 60º ; tirante 0,80 m; ancho en el fondo 3 m) 19. Demostrar que los resultados del ejemplo 7.6 son compatibles con la ecuación 7-60. 20. Un canal trapecial tiene un ancho en el fondo de 2,80 m. El talud es de 45º. El gasto es de 8 m 3/s. Determinar si el flujo es torrencial o tranquilo. El tirante es 1,80 m.

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Hidráulica de tuberías y canales

Arturo Rocha

21. Calcular la altura de río y de torrente que podrían producirse en el canal cuya sección aparece en la figura, para un gasto de 6,5 m 3/s y una energía específica de 3,14 m. Calcular también para cada uno de los dos regímenes, el número de Froude y el correspondiente valor de dE dy en la curva E − y . Dibujar la curva E − y y verificar todos los valores calculados, así como las condiciones críticas.

1

0,25

1,00 m

22. ¿Cuál debe ser el ancho en la base de un canal trapecial cuyo talud es 2 para que un gasto de 30 m 3/s dé un tirante crítico normal de 1,25 m? 23. Demostrar que el tirante crítico en un sección triangular es 0, 2

(ec. 7-52)

 2  Q  yc =     g z 

0, 4

24. En un canal triangular el tirante es de 0,40 m. La velocidad es de 2,50 m/s. ¿Cuál es la energía específica? ¿Cuáles son el tirante y la velocidad cuando con la misma energía el gasto es máximo? ¿Cuál debe ser al ángulo en el vértice para que este gasto máximo sea de 321,8 l/s?. 25. Demostrar que la velocidad crítica en un canal triangular de 90º ( z = 1) es

Vc = 1,8883Q0 , 2

para que con una pendiente de 0,0022 se establezca un flujo crítico normal?

392

1:2

yc

1: 1

1 1:

26. Para el canal mostrado en la figura ¿Cuál es el tirante crítico para un gasto de 12 364 l/s? ¿Cuál debe ser el coeficiente n de Kutter

90º

1,50 m

Capítulo VII

Energía específica y momenta

27. En un canal de sección circular de 3 m de diámetro fluye un gasto de 15 m 3/s, con un tirante de 1,20 m. Hallar el tirante alterno, el número de Froude correspondiente a cada uno de los regímenes, el tirante crítico, la velocidad crítica y la energía mínima para que escurra el gasto mencionado. Verificar que se cumple las ecuaciones 7-66 y 7-67. Como comprobación hacer el cálculo con la Figura 7.10. 28. Un acueducto de sección cuadrada, una de cuyas diagonales es vertical, lleva un gasto de 6 m 3/s con un mínimo contenido de energía. ¿Cuánto debe medir el lado L del cuadrado para que el tirante sea el 75 % del tirante máximo? ¿Cuál es la energía? 29. Demostrar que a energía constante, para un mismo gasto, hay dos regímenes posibles: río y torrente. Entre los tirantes respectivos debe cumplirse que

yT FR2  8  = 1 + 1 + yR 4  FR2 

o bien,

y R FT2  8  = 1 + 1 + yT 4  FT2 

FR y FT son los números de Froude para río y torrente. ¿Qué ocurre cuando FR = FT =1? 30. Un canal rectangular pasa de una sección de 1,20 m de ancho a otra de 1,80 m de ancho, por medio de una transición suave en las paredes del canal. El fondo no sufre ninguna alteración. El gasto es de 2,1 m 3/s. El tirante en la segunda sección es de 1,15 m. Hallar el tirante en la primera sección, considerando que aguas arriba hay un régimen subcrítico. Dibujar el perfil de la superficie libre. 31. En un canal rectangular de flujo torrencial cuyo tirante es de 0,40 m y la velocidad es 2,75 m/s se desea saber cual debe ser la sobreelevación de una grada de fondo para que se produzca un régimen crítico. 32. Un canal rectangular muy ancho conduce un gasto de 4 m3/s/m. Calcular cual es la máxima sobreelevación que puede tener una grada de fondo para no afectar las condiciones de aguas arriba. El tirante normal es 2,50 m. 33. Por un canal rectangular de 5 m de ancho escurre un caudal de 10 m3/s. En el canal se produce un resalto hidráulico. Si el número de Froude antes del resalto es 10 veces mayor que el que hay después del resalto, hallar a) el tirante crítico b) el tirante antes del resalto c) el tirante después del resalto d) la fuerza específica (momenta) e) la energía disipada en el resalto f) la potencia del resalto en HP

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Hidráulica de tuberías y canales

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34. En un canal rectangular de 2 m de ancho se produce un salto hidráulico en el cual la disipación de energía corresponde a una potencia de 31,2 HP. El tirante inicial es 0,60 m. Hallar el tirante después del salto y el gasto. 35. En un canal rectangular de 5 m de ancho se produce un salto hidráulico que disipa el 40 % de la energía. Si el gasto es de 20 m 3/s, hallar los tirantes antes y después del salto. 36. Demostrar (detalladamente, fundamentando cada paso) que en un canal rectangular en el que se produce un salto hidráulico, cuyos tirantes conjugados son y1 e y 2 , se cumple que

1 + 8F12 − 3 y 2 − y1 = E1 F1 2 + 2 siendo E1 y F1 la energía específica y el número de Froude antes del salto. 37. En un canal rectangular cuyo tirante normal es de 1,50 m se coloca una compuerta que deja en el fondo una abertura de 0,50 m. El coeficiente de contracción del tirante en la compuerta es de 0,6. Calcular la fuerza que soporta la compuerta por unidad de ancho del canal. No considerar la fricción. 38. En un canal rectangular de 0,75 m de ancho se ha colocado una compuerta plana vertical que descarga por el fondo una vena líquida cuya altura es de 0,25 m y que luego forma un resalto. Aguas arriba de la compuerta la altura del agua es de 0,10 m. Calcular a) c) e) f)

el caudal b) la fuerza sobre la compuerta la altura conjugada del resalto d) la energía disipada la pendiente que debería tener el canal aguas abajo del salto ( n = 0,015) la altura y la eficiencia del salto

No considerar la fricción. 39. Dibujar para un canal rectangular las siguientes curvas a) E − y

para q = 5 m 3/s/m

b) F .E. − y

para q = 5 m 3/s/m

c) q − y

para E = 4 m

Calcular los mínimos o máximos en cada caso. Considerar en el intervalo 0 ≤ y ≤ 2,80 m, valores de ∆y = 0,50 m. 40. Demostrar que en un canal rectangular la Fuerza Específica (Momenta) es

q2 1 2 + y gy 2 394

Capítulo VIII

Movimiento gradualmente variado

CAPITULO

VIII

MOVIMIENTO GRADUALMENTE VARIADO

8.1

Introducción

El movimiento gradualmente variado (M. G. V.) es un flujo permanente cuya profundidad (calado o tirante) varía suavemente a lo largo del eje de un canal. En consecuencia, la velocidad varía de una sección a otra. A diferencia de lo que ocurre en el movimiento uniforme, en el que las pendientes del fondo, de la superficie libre y de la línea de energía son iguales, en el movimiento gradualmente variado estas tres pendientes son diferentes. El movimiento uniforme se da pocas veces en la naturaleza. No ocurre ni aun en los canales hechos por el hombre, en los que el flujo sólo se aproxima al movimiento uniforme. Lo real es que a lo largo de una conducción abierta (canal) hay cambios de pendiente, sección, rugosidad y alineamiento que determinan la aparición de un movimiento, que siendo permanente no es uniforme. Es variado. En este capítulo examinaremos el caso particular del movimiento gradualmente variado. La teoría del movimiento gradualmente variado empezó a desarrollarse en 1828 con los estudios de Belanger y recién está completándose. Siguiendo a Ven Te Chow se presenta a continuación los aspectos generales del movimiento gradualmente variado (M. G. V.). La hipótesis general para el estudio del movimiento gradualmente variado es la siguiente

La pérdida de carga en una sección es la misma que correspondería a un flujo uniforme que tuviese la misma velocidad y radio hidráulico que la sección mencionada. La aceptación de esta hipótesis implica que las fórmulas del flujo uniforme (Manning, Chezy,

395

Hidráulica de tuberías y canales

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etc.) pueden usarse para calcular la pendiente de la línea de energía en una sección de un movimiento gradualmente variado. Además de la hipótesis general es necesario hacer otras. Las principales son las siguientes i)

La distribución de presiones en cada sección transversal es hidrostática. Esto implica un flujo paralelo. Para que esta hipótesis no se aleje de la realidad se requiere que la variación del tirante sea efectivamente gradual (suave) y, en consecuencia, la curvatura debe ser pequeña. Cuando el radio de curvatura de la superficie libre es pequeño, menor que el tirante, ya el movimiento no es gradualmente variado, sino rápidamente variado. Cuando las líneas de corriente tienen curvatura, la distribución de presiones se diferencia de la del movimiento uniforme y debería ser como aparece en la Figura 8.1. M M

P'

P

N N Flujo convexo

P

P'

Flujo cóncavo

M

P N Flujo uniforme

Figura 8.1 Distribución de presiones en diferentes tipos de flujo

En cambio, en un movimiento uniforme la distribución de presiones es hidrostática, tal como se aprecia en la Figura 8.1. Este tipo de flujo se llama paralelo. Las líneas de corriente no tienen curvatura y, por lo tanto, no hay componentes de la aceleración normales a la dirección de la corriente. Los flujos convexos y cóncavos son curvilíneos. Hay una aceleración normal a la dirección de la corriente. Si el flujo fuera paralelo la distribución de presiones correspondería a la línea MP. En cambio, en el flujo convexo la fuerza centrífuga actúa en sentido contrario a la gravedad y la presión resultante es menor que la correspondiente al flujo uniforme. En el flujo cóncavo ocurre lo contrario, tal como puede verse en la Figura 8.1.

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Capítulo VIII ii)

Movimiento gradualmente variado

El canal es prismático. Esto significa que el canal tiene una sección transversal geométrica definida (rectángulo, trapecio, triángulo, etc.) y que su alineamiento es recto. Un río no es un ‘‘canal prismático’’.

iii)

El coeficiente de rugosidad es constante a lo largo del escurrimiento e independiente del tirante.

iv)

La distribución de velocidades es invariable, lo que significa que el coeficiente de Coriolis es constante, es el mismo, en todas las secciones transversales a pesar de que la velocidad media varía.

v)

La pendiente del canal es pequeña, de modo que a)

La profundidad es la misma, sea que se considere una vertical o la normal al fondo del canal.

b)

No se considera aire incorporado. Cuando la pendiente es grande, la alta velocidad da lugar a que el agua atrape aire, incorporándolo al escurrimiento y produciéndose, eventualmente, un aumento del tirante. Este fenómeno se presenta generalmente para velocidades mayores de 6 m/s.

En una canal de pendiente grande se tendría la siguiente expresión de la presión en un punto de la corriente.

y y cos2 θ

y cosθ

θ

Figura 8.2 Presión en un punto de la corriente.

Cuando la pendiente se supone pequeña desaparecen los problemas de aire incorporado y, además, la profundidad a considerarse es la misma, ya sea que se mida vertical o normalmente al fondo. vi)

El factor de sección

Z y el factor de capacidad K , que se definen a continuación, son

funciones exponenciales del tirante.

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