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INDICE 1.

Objetivos .............................................................................................................................. 2

2.

Desarrollo del tema ............................................................................................................. 2

2.1.

Reseña Histórica de las vibraciones ............................................................................... 2

2.2.

Linealización de un resorte no lineal ............................................................................. 3 2.2.1

2.3.

Linealización de un amortiguador no lineal ................................................................. 5 2.3.1.

3.

Ejercicios .............................................................................................................. 4

Ejercicios .............................................................................................................. 5

Bibliografía .......................................................................................................................... 7

1. Objetivos 

Investigar la evolución del estudio de las vibraciones y sus múltiples aplicaciones en la ingeniería.



Investigar el procedimiento de linealización de un resorte no lineal y amortiguador no lineal utilizando ejercicios para su mejor comprensión.

2. Desarrollo del tema 2.1. Reseña Histórica de las vibraciones A lo largo de la historia muchos investigadores han ido aportando sus hallazgos en el complejo campo de las vibraciones, el origen del estudio de las vibraciones no es claro, pero varios textos afirman que inicia junto con la invención de los primeros instrumentos musicales en el año 4000 a.C. Las vibraciones están presentes en varios sistemas estructurales y mecánicos, el estudio formal de la vibración inicia en 1584 con el trabajo de Galileo en el estudio del movimiento oscilatorio, donde se relaciona la frecuencia de oscilación de un péndulo y la longitud. Luego, Newton con su aporte de las leyes del movimiento de un cuerpo permite analizar la dinámica vibratoria de una cuerda obteniendo así una ecuación que rija tal movimiento. Han sido muchos los aportes del análisis matemático de las vibraciones como Bernoulli o Fourier, este último permitió con sus series expresar funciones armónicas en funciones periódicas. Actualmente, el campo de la vibración tiene mucha acogida pues sus aplicaciones contemplan díselo de máquinas, turbinas, etc., Para el caso de estructuras la vibración es un factor importante pues fenómenos naturales como los sismos producen pérdidas enormes que podrían ser evitadas con un buen modelamiento vibratorio que incluya todas las variables antes de construir.

Ilustración 1. a) sistema mecánico. b) Estructura de varios pisos. c) sistema vehicular.

2.2.Linealización de un resorte no lineal Un resorte es uno de los elementos del sistema vibratorio, para su estudio inicial se empieza con el estudio de resortes lineales, es decir que sus deflexiones no son grandes. Sin embargo, con fines prácticas la mayoría son no lineales pues sus deflexiones son grandes y su relación fuerza – deflexión viene expresada como: 𝐹 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 3

(1)

Donde: a >0 y representa su constante de la parte lineal. b= indica la constante de la parte no lineal. Si b < 0 el resorte es suave, si b >0 el resorte es duro y si b=0 se obtendría un lineal.

Ilustración 2. Gráfica Fuerza - deflexión de un resorte

En esta grafica se observa claramente cuando un resorte es no lineal dependiendo del valor que tome b en la ecuación 1. Para el análisis generalmente se supone deflexiones, aún si en realidad se tratara de un resorte no lineal. En este caso se utiliza un proceso de linealización. Inicialmente, se aplica una fuerza F estática que actúa sobre el resorte, la cual provoca una deformación inicial x. Si se incrementa la fuerza ΔF se obtiene también un ∆𝑥, que mediante serie de Taylor con respecto a la posición de equilibrio se tiene: 𝐹 + ∆𝐹 = 𝐹(𝑥 + ∆𝑥) 2

= 𝐹(𝑥) +

𝑑𝐹 1𝑑 𝐹 2 ∆𝑥 + ∆𝑥 + ⋯ 𝑑𝑥 2! 𝑑𝑥 2

(2)

Para valores muy pequeños de ∆𝑥 las derivadas de orden mayor se desprecian y sabiendo que F = F(x) se tiene: ∆𝐹 = 𝐹(𝑥) ∆𝐹 = 𝑘(∆𝑥)

(3)

Donde, k es la constante de resorte linealizado.

Ilustración 3. Linealización de un resorte no lineal.

2.2.1 Ejercicios Enunciado 1 𝐹 = 500𝑥 + 2𝑥 3 describe la característica de fuerza-deflexión de un resorte, donde la fuerza F esta en Newton y la deflexión x en mm. Encuentre la constante de linealización en x=10mm. Desarrollo 𝑥0 = 500𝑥 𝐹 = 𝐹 |𝑥0 +

𝑑𝐹 | (𝑥 − 𝑥0 ) 𝑑𝑥

𝑒𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑥 = 10 = (500𝑥 + 2𝑥 3 ) + (500 + 6𝑥 2 )(𝑥 − 10) = 1100𝑥 − 4000 Enunciado 2

2.3.Linealización de un amortiguador no lineal Este proceso de linealización es similar al de un resorte no lineal, para este caso: 𝐹 + ∆𝐹 = 𝐹(𝑣 + ∆𝑣) = 𝐹(𝑣) +

𝑑𝐹 1 𝑑2𝐹 ∆𝑣 + ∆𝑣 + ⋯ 𝑑𝑣 2! 𝑑𝑣 2

(4)

Para valores muy pequeños de ∆𝑣 las derivadas de orden mayor se desprecian y sabiendo que F = F(v) se tiene: ∆𝐹 = 𝐹(𝑣) ∆𝐹 = 𝑐(∆𝑣) 𝑐=

𝑑𝐹 𝑑𝑣

(5)

𝑣

Donde, c es la constante de amortiguamiento linealizada. 2.3.1. Ejercicios Enunciado 2 Considere dos amortiguadores no lineales con la misma relación fuerzavelocidad dad por 𝐹 = 1000𝑣 + 400𝑣 2 + 20𝑣 3 con F en Newton y 𝑣 en m/s. Encuentre la constante de amortiguamiento linealizada de los amortiguadores a una velocidad de operación de 10 m/s. Desarrollo 𝐹 = 1000𝑣 + 400𝑣 2 + 20𝑣 3 𝑣 = 10 𝑐=

𝑑𝐹 𝑑𝑣

𝑐=

𝑚 𝑠 𝑣

𝑑𝐹 𝑑𝑣

𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝐹 𝑐 = 1000 + 800𝑣 + 60𝑣 2 𝑐 = 1000 + 800(10) + 60(10)2 𝑐 = 15000

𝑁𝑠 𝑚

Enunciado 3 Si los amortiguadores linealizados del enunciado 2 están conectados en serie, determine la constante de amortiguamiento equivalente resultante. Desarrollo 1 1 1 2 = + 2= 𝑐𝑒𝑞 𝑐1 𝑐 𝑐 𝑐𝑒𝑞 = 𝑐𝑒𝑞 =

𝑐 2

1500 2

𝑐𝑒𝑞 = 7500

𝑁𝑠 𝑚

Enunciado 4 La relación fuerza –velocidad de un amortiguador no lineal está dada por 𝐹 = 𝑎𝑥̇ + 𝑏𝑥̇ 2 Donde a y b son constantes. Encuentre la constante de resorte linealizada equivalente cuando la velocidad relativa es de 5 m/s con a= 5 Desarrollo 𝐹 = 𝑎𝑥̇ + 𝑏𝑥̇ 2 𝐹 = 5𝑥̇ + 0,2𝑥̇ 2 𝐹(𝑥̇ ) ≈ 𝐹(𝑥0̇ ) + 𝑥0̇ = 5

𝑑𝐹 (𝑥̇ − 𝑥0̇ ) 𝑑𝑥̇

𝑚 𝑠

𝐹(𝑥0̇ ) = 5(5) + 0,2(25) 𝐹(𝑥0̇ ) = 30 𝑁 𝑑𝐹 = (5 − 0,4𝑥̇ ) 𝑑𝑥̇ 𝑑𝐹 =7 𝑑𝑥̇ 𝐹(𝑥̇ ) = 30 + 7(𝑥̇ − 5) 𝐹(𝑥̇ ) = 7𝑥̇ − 5 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝑐𝑒𝑞 = 7

𝑁𝑠 𝑚

𝑁𝑠 𝑚

𝑁𝑠2

y b = 0,2 𝑚2

Enunciado 5 La relación fuerza- velocidad de un amortiguador no lineal está dada por 𝐹 = 500𝑣 + 100𝑣 2 + 50𝑣 3 con F en Newton y 𝑣 en m/s. Encuentre la constante de amortiguamiento linealizada de los amortiguadores a una velocidad de operación de 5 m/s. Si se utiliza la constante de amortiguamiento linealizada resultante a una velocidad de operación de 10 m/s, determine el error implicado. Desarrollo 𝐹 = 500𝑣 + 100𝑣 2 + 50𝑣 3 𝑣=5 𝑐=

𝑚 𝑠

𝑑𝐹 𝑑𝑣

𝑣

𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝐹 𝑐 = 500 + 200𝑣 + 150𝑣 2 𝑐 = 500 + 200(5) + 150(5)2 𝑐 = 5250

𝑁𝑠 𝑚

𝐹 = 𝑐𝑣 𝐹 = 5250(10) 𝐹 = 52500 𝑁 𝑆𝑖 𝑣 = 10 𝑚/𝑠 𝐹 = 500(10) + 100(10)2 + 50(10)3 𝐹 = 65000𝑁 𝐶á𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 65000 − 52500 = 12500 𝑁 12500 100% = 19,23% 65000

3. Bibliografía 1. RAO, S. S. (2012). VIBRACIONES MECÁNICAS, PEARSON, MEXICO, MEXICO, 5TA. EDICION, CAP. 1

2. SHABANA, A. A. (1995). THEORY OF VIBRATION, SPRINGER, NEW YORK, USA, 2DA. EDICION, CAP. 1 3. KELLY, G. S. (2012). MECHANICAL VIBRATIONS: THEORY AND APPLICATIONS, CENGAGE LEARNING, STAMFORD, USA, S1. EDITION, CAP. 1