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• Bryan Ezequiel

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Índice de contenidos Marco Teórico ............................................................................................................................... 1 Reseña histórica de las vibraciones ....................................................................................... 1 Linealización de un resorte no lineal ..................................................................................... 3 Ejercicios ....................................................................................................................................... 5

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Índice de tablas y figuras Figura 1. Monocordio.................................................................................................................... 1 Figura 2. Sismógrafo chino ........................................................................................................... 1 Figura 3. Dispositivo de Coulomb para pruebas de vibración torsional ....................................... 2 Figura 4. Curva resorte no lineal ................................................................................................... 3 Figura 5. Curva Esfuerzo - Deformación unitaria ......................................................................... 4

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Marco Teórico Reseña histórica de las vibraciones En la antigüedad las vibraciones tomaron interés de los filósofos por como intervienen estas en la música y en los instrumentos musicales; desde entonces se han ido buscando las leyes que rigen a las vibraciones. Inicialmente fueron estudiadas a un nivel no científico por diversas civilizaciones para poder crear más instrumentos musicales. El primero en estudiar el sonido musical con bases científicas fue Pitágoras, quien hizo muchos experimentos para analizar el comportamiento del sonido. Uno de sus experimentos más reconocidos es el del monocordio (Figura 1), el cual es una cuerda tensada en 3 puentes mediante un peso; donde dos de estos puentes son fijos y uno móvil. En este experimento Pitágoras observó un principio que en la música clásica occidental es muy común; una cuerda con la misma tensión pero menor longitud tienen un mayor tono, que como podemos ver en la actualidad es el principio de funcionamiento de los instrumentos de cuerda en general.

Figura 1. Monocordio

Después de Pitágoras por parte de Aristóteles, Aristógenes y Euclides fueron publicados obras y tratados sobre el estudio de la música y la armonía sin tomar en cuenta sus principios físicos. En el año 132 se registra el primer sismógrafo (Figura 2), hecho en China el cual mediante un mecanismo de un péndulo dentro de una especie de vasija podía mostrar la dirección en la que había ocurrido el sismo.

Figura 2. Sismógrafo chino

En 1638 Galileo Galilei publicó su obra llamada Diálogo sobre dos nuevas ciencias, donde analizó los cuerpos vibratorios, describió la dependencia la frecuencia de la vibración con la longitud de un péndulo, y el fenómeno de la resonancia. 1

El siguiente en dar su aporte fue Robert Hooke, quien realizo experimentos para relacionar el tono y la frecuencia de vibración de una cuerda. Mientras tanto Joseph Sauveur y John Wallis de manera independiente, observaron las formas de modo y descubrieron que una cuerda vibrante en ciertos puntos no tenían movimiento, a esto se lo llamo nodo; y que había un movimiento violento en los puntos intermedios de los nosdos a los cuales los llamaron bucles. La obra de Sir Isaac Newton Principios matemáticos de filosofía natural, describe la ley de gravitación universal y las leyes de movimiento. La segunda ley de Newton se utiliza en vibraciones para derivar las ecuaciones de movimiento de un cuerpo que vibra. En 1713 Brook Taylor encuentra la solución dinámica del problema de una cuerda vibratoria, y presento su teorema sobre las series infinitas. Con las derivadas parciales de Bernoulli, Alembert y Euler se perfeccionó esta deducción hecha por Taylor; lo cual sirvió para comprobar el principio de superposición, que es tan utilizado en la actualidad. Este principio sirvió para mostrar que cualquier función arbitraria se podía expresar en función de senos y cosenos; lo cual Fourier se encargó de comprobar. Joshep Lagrange, realizó un estudio donde dividió una cuerda en una infinidad de partículas de masas idénticas y equidistantes, y estableció la existencia de varias frecuencias independientes iguales a la cantidad de partículas de masa. Quien se encargó de hacer estudios teóricos y experimentales sobre oscilaciones torsionales de un cilindro suspendido en un cable (Figura 3), fue Coulomb; donde planteo que el par de torsión resistente es proporcional al ángulo de torsión.

Figura 3. Dispositivo de Coulomb para pruebas de vibración torsional

Para la vibración en placas, Napoleón Bonaparte puso dinero la primera persona que presente un modelo matemático, al ser impresionado por la presentación de Chlandi quien puso arena en una placa, y mostró la variación de las formas que tomaba la arena al ser expuesta a una vibración determinada. Después de tres intentos quien presentó dicho modelo fue Sophie Germain, aunque su modelo no dejo satisfechos del todo a los jueces del concurso, donde con el tiempo se encontró que las condiciones iniciales del problema estaban mal tomados. Este error fue corregido por Kirchhoff, quien dio las correctas condiciones iniciales para la vibración en placa.

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Stodol, De Laval, Timoshenko y Mindlin, son algunos de los contribuyentes modernos más notables de las vibraciones. Stodola presentó un estudio acerca de vibraciones en vigas, placas y membranas; con lo cual desarrolló un método para analizar vigas vibratorias que se lo puede aplicar a las aspas de las turbinas, donde se dio cuenta que todos los propulsores principales producen problemas de vibración; De laval presentó la solución a vibración de un disco rotatorio desbalanceado; Timodhenko presentó la teoría mejorada de la vibración en vigas; y Mindlin presentó un teorema parecido pero aplicable a placas gruesas, donde incluyó los efectos de la deformación por inercia y cortantes rotatorios. Poincaré y Lyapunov empezaron el estudio de vibraciones en sistemas no lineales, donde Poincaré desarrolló el método de perturbación, relcionando la solución aproximada de mecánica celestiales no lineales. La presencia de sismos, vientos, ruido producido por cohetes puso el interés en el estudio de vibraciones aleatorias; la función de correlación de Taylor permitió el estudio de esta teoría. En la actualidad mediante la tecnología se ha podido analizar las vibraciones mediante simulaciones que utilizan elementos finitos para dar soluciones numéricas a los distintos problemas de vibraciones que se presentan en ingeniería.

Linealización de un resorte no lineal Los resortes que se utilizan en la práctica, en su mayoría son no lineales, en especial cuando son sometidos a deformaciones grandes; estos resortes se rigen por la siguiente ecuación: 𝐹 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 3 La constante “a” de la ecuación está relacionada con la parte lineal del resorte; mientras la constante “b” nos muestra si es un resorte suave (b0); el comportamiento de un resorte no lineal se observa en la figura 4.

Los resortes no lineales, respetan su linealidad hasta alcanzar un punto de cedencia, en la cual el resorte excede al rango en que la fuerza aplicada al resorte es lineal a su deformación (Figura 5)

Figura 4. Curva resorte no lineal

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Figura 5. Curva Esfuerzo - Deformación unitaria

En el caso de que la deformación del resorte sea pequeña, se puede asumir que el resorte es lineal; pero en el caso de deformaciones más grandes y de modelamientos más reales se debe aplicar una linealización. Para linealizar vamos a considerar una fuerza aplicada 𝐹 la cual produce una deformación 𝑥′; y una fuerza incremental Δ𝐹 que produce una deformación adicional Δx. Para la linealización aplicamos la serie de Taylora la fuerza resultante con respecto a la posición de equilibrio estático 𝑥′. 𝐹 + Δ𝐹 = 𝐹(𝑥 ′ + Δ𝑥) = 𝐹(𝑥 ′ ) +

𝑑𝐹 1 𝑑2 𝐹 |𝑥 ′ (Δx) + ∗ 2 |𝑥 ′ (Δ𝑥)2 + ⋯ 𝑑𝑥 2! 𝑑𝑥

Para valores pequeños de Δ𝑥, se ignoran las derivadas de mayor orden, con lo que obtenemos

𝐹 + Δ𝐹 = 𝐹(𝑥 ′ ) +

𝑑𝐹 | ′ (Δx) 𝑑𝑥 𝑥

Si 𝐹 = 𝐹(𝑥 ′ ), se puede expresar

Δ𝐹 = 𝑘Δ𝑥 La constante k se puede expresar como 𝑘=

𝑑𝐹 | ′ 𝑑𝑥 𝑥

Linealización de un amortiguador no lineal La linealización en un elemento amortiguador se lo realiza igualmente aplicando la serie de Taylor a la fuerza ocasionada, pero esta vez alrededor de una velocidad de operación (v’), que es la que se relaciona con la constante de amortiguamiento en un amortiguador lineal, con lo que se obtiene. 𝑐=

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𝑑𝐹 | ′ 𝑑𝑣 𝑥

Ejercicios 1. Un instrumento electrónico, que pesa 200 lb, está soportado por un apoyo de montaje de caucho cuya relación fuerza-deflexión está dada por 𝐹(𝑥) = 800𝑥 + 40𝑥 3 donde la fuerza (F) y la deflexión (x) están en libras y pulgadas, respectivamente. Determine La constante de resorte lineal equivalente del apoyo de montaje en su posición de equilibrio estática. Determinamos el punto de operación 200 = 800𝑥 + 40𝑥 3 𝑥 = 0.25[𝑙𝑏/𝑝𝑢𝑙] 𝑘=

𝑑𝐹 | ′ 𝑑𝑥 𝑥

Derivamos la Fuerza 𝐹′(𝑥) = 800 + 120𝑥 2

Evaluamos la función en x=0.25 𝐹′(𝑥) = 800 + 120(0.25)2 𝑘 = 807.5 [𝑙𝑏/𝑝𝑢𝑙]

2. La relación fuerza-deflexión de un resorte helicoidal de acero utilizado en un motor se encuentra experimentalmente como, 𝐹(𝑥) = 200𝑥 + 50𝑥 2 + 10𝑥 3 donde la fuerza (F) y la deflexión (x) se miden en libras y pulgadas, respectivamente. Si el resorte experimenta una deflexión permanente de 0.5 pulg durante la operación del motor, determine la constante de resorte lineal equivalente del resorte a su deflexión permanente. 𝑑𝐹 𝑘= | ′ 𝑑𝑥 𝑥 Derivamos la Fuerza 𝐹′(𝑥) = 200 + 100𝑥 + 30𝑥 2 Evaluamos la función en x=0.5 𝐹′(𝑥) = 200 + 50(0.5)2 + 10(0.5)3 𝑘 = 253.75 [𝑙𝑏/𝑝𝑢𝑙] 3. La relación fuerza-deflexión de un resorte helicoidal se define como, 𝐹(𝑥) = 253𝑥 + 30𝑥 3 .Si el resorte experimenta una deflexión permanente de 0.24 pulg, determine la constante de resorte lineal equivalente del resorte a su deflexión permanente. 𝑘=

𝑑𝐹 | ′ 𝑑𝑥 𝑥

Derivamos la Fuerza 𝐹′(𝑥) = 253 + 90𝑥 2 5

Evaluamos la función en x=0.24 𝐹′(𝑥) = 253 + 90(0.5)2

𝑘 = 275.5 [𝑙𝑏/𝑝𝑢𝑙] 4. La relación fuerza-velocidad de un amortiguador hidráulico se obtiene experimentalmente y se define como, 𝐹(𝑣) = 125𝑣 + 15𝑣 2 + 30𝑣 3 .Si el punto de operación del resorte es en v= 1 m/s determine la constante de amortiguador lineal equivalente.

𝑐=

𝑑𝐹 | ′ 𝑑𝑣 𝑣

Derivamos la Fuerza 𝐹 ′ (𝑣) = 125 + 30𝑣 + 90𝑣 2

Evaluamos la función en v=1 𝐹 ′ (𝑣) = 125 + 30 + 90 𝑐 = 245 [𝑁𝑠/𝑚] 5. Un amortiguador hidráulico se utiliza en un motor y su relación Fuerza – Velocidad se encuentra experimentalmente como, 𝐹(𝑣) = 237𝑣 + 21𝑥 3 . Si el amortiguador experimenta una velocidad permanente de 0.8 m/s durante la operación del motor, determine la constante de amortiguador lineal equivalente. 𝑐=

𝑑𝐹 | ′ 𝑑𝑣 𝑣

Derivamos la Fuerza 𝐹 ′ (𝑣) = 237 + 63𝑣 2

Evaluamos la función en v=0.8 𝐹 ′ (𝑣) = 237 + 63(0.8)2 𝑐 = 277.320[𝑁𝑠/𝑚]

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