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• Alfredo Morales

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REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION UNIVERSITARIA INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO “SANTIAGO MARIÑO”

TUTORA: VIOLETA JIMENES INTEGRANTES: LUIS MORALES CI: 20.688.188 ANTHONY MOLINA CI: 24.931.544 JEAN PEÑA CI: 25.705.176 JESUS GONZALES CI: 26.635.553 JORGE CAMPERO CI: 19.549.700

Introduccion el analisis de las vibraciones es un tema muy amplio al cual se han dedicado estudios completos, esta introduccion expone de forma resumida algunos aspectos teoricos de las vibraciones de los sistemas elasticos, que ayudaran a comprender los metodos de calculos de la accion de los mismos sobre las estructuras basados en sus efectos dinamicos. Todas las estructuras mecanicas son susceptibles de experimentar problemas de vibraciones (resonancia)   

 

Los esfuerzos dinamicos producidos por las vibraciones, ademas de ser alternativos (fatiga) Puede ser varias veces mayor que los esfuerzos estaticos Los problemas de vibracion se traducen generalmente en altos costos de operación y mantenimiento debido al desgaste prematuro y/o falla Un sistema bien diseñado puede vibrar en sus rango especifico sin producir mayores problemas Las mediciones de vibraciones pueden dar informacion sobre la condicion de los equipos y pueden ayudar a evitar o dianosticar una falla

Esquema 1. 2. 3. 4.

Vibraciones Sistemas conservativos. Vibraciones Amortiguadas Vibraciones Forzadas

1. Vibraciónes Movimiento vibratorio o vibracion es la variacion o cambio de configuracion de un sistema en relacion al tiempo en torno a una posicion de equilibrio estable, su caracteristica fundamental es que es periodico, siendo frecuente en movimiento armonico simple, por lo que este movimiento adquiere una singular importancia en los estudios vibratorio. Los sistemas mecanicos al ser sometidos a la accion de fuerzas variables con el tiempo, principalmente periodicas, responden variando sus estados de equilibrio y, como consecuencia, presentan cambios de configuracion que pertunban su normal funcionamiento, presentan molestias al personal que los maneja y acortan la vida util de los mecanismos. Actualmente, es estudio y analisis de las vibraciones mecanicas ha adquirido gran importancia en la supervicion de los sistemas mecanicos, sobre todo de elementos de tipo rotativo. Independientemente predictivo se basa, principalmente, en el estudio de las vibraciones mediante la instalacion de sensores que permiten detectar vibraciones fuera de rango. En general, se suponen vibraciones de pequeña amplitud porque fuera de ellas dejan de tener validez la mayoria de las hipotesis que se establecen para su estudio. Supongamos el sistema de la figura, formado por una masa principal m, un elemento recuperados elastico de constante k y un dispositivo amortiguador de constante c.

Se consideran las siguientes hipotesis: a) La masa tiene un guiado vertical, sin rozamiento, que permite unicamente desplazamientos verticales, e impide otros desplazamientos y giros b) El muelle tiene una masa despreciable frente a la masa principal del sistema y su fuerza recuperadora elastica es proporcional a su deformacion. c) El dispositivo amortiguador tiene sus masas moviles despreciables frente a la masa principal del sistema y esta basado en un rozamiento de tipo viscoso, con fuerza de rozamiento opuesto a la velocidad y proporcional a ella. d) El sistema se supone situado en el vacio

La ecuación del equilibrio dinámico permite establecer la ecuación diferencial del movimiento,

Siendo F la fuerza aplicada directamente al sistema, -mx” la fuerza de inercia, -cx’ la fuerza amortiguadora de tipo viscoso y -kx la fuerza elastica, con las condiciones m>0, c>0 y m>0.



Clasifición de las vibraciones.

Las vibraciones son libres cuando no existen fuerzas o aciones exteriones directamente aplicadas al sistema a lo largo del tiempo.Las vibraciones son forzadas cuando existen acciones o exitaciones directamente aplicadas al sistema a lo largo del tiempo, ademas de las fuerzas o momentos internos. Tanto las vibraciones libres como las vibraciones forzadas pueden subdividirse, dependiendo de la existencia o no de fuerzas resistentes que amortiguan el movimiento vibratorio en:  

Sin amortiguamiento. No existe resistencia pasiva al movimiento del sistema Con amortiguamiento. Existen resistencias pasivas al movimiento del sistema, es decir, fuerzas o momentos disipativos que amortiguan el movimiento vibracional.



Transmisión de vibraciones.

Cuando un sistema vibra según la ecuacion: mx” + cx’ + kx = F, la fuerza transmitida, pasado el primer periodo transitorio, es

𝐹 = 𝐹 − 𝑚𝑥" = 𝑘𝑥 + 𝑐𝑥′ se trata de una fuerza armonica de frecuencia igual a la frecuencia de la fuerza aplicada w, de amplitud fo y desface O1, siendo

𝐹 = 𝐹0 𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑡 − 𝑂1 )

Donde:

Se denomina coeficiente de transmisibilidad a la relacion entre las amplitudes maxima de la fuerza aplicada y transmitida, cuya expresion en forma adimensional es:

Es conveniente que el coeficiente de transmisibilidad sea bajo, preferiblemente menor 𝜔 que la unidad, por lo que 𝜋 1 = 𝜔𝑛



Ejemplos de vibraciones.

La Vibración es el movimiento de forma repetitiva que afecta a un cuerpo rígido o un estado material alrededor de una posición de equilibrio. En algunos objetos está es parte para un funcionamiento adecuado de los mismos, siendo deber del ingeniero crear y regular cualquier inconveniente que se pueda presentar en su actividad. Algunos ejemplos de vibración mecánica son: Oscilación horizontal de un cuerpo unido a un resorte

Oscilación vertical de una varilla

Oscilación de la lenteja de un pendulo suspendida por un hilo inextendible de peso despreciable

2. Sistemas conservativos. Un sistema conservativos es un sistema mecanico en que la energia mecanica se conserva. La mayoria de los ejemplos de sistemas conservativos la conservavion de la energia se sigue del hecho de que las interacciones entre las diferentes particulas vienen descritas por fuerzas conservativas. En consecuencia en dichos sistemas la energia mecanica es una integral del movimiento y por tanto una cantidad conservada. Fuerzas conservativas: Una fuerza es conservativa cuando el trabajo de dichas fuerza es igual a la diferencia entre los valores inicial y final de una funcion que solo depende de las coordenadas. A dichas funcion se le denomina energia potencial.

𝐵

∫𝐴 𝐹 ∙ 𝑑𝑟 = 𝐸𝑝𝐴 − 𝐸𝑝𝐵

con

𝐸𝑃 = 𝐸𝑃 (𝑥, 𝑦. 𝑧)

Caracteristicas:  El trabajo de una fuerza conservativa no depende del camino seguido para ir del punto A al punto B.  El trabajo de una fuerza conservativa a lo largo de un camino cerado es cero. El peso es una fuerza conservativa: Al calcular el trabajo de la fuerza peso F=mg j cuando el cuerpo se desplaza desde la posicion A cuya ordenada es yA hasta la posicion B cuya ordenada es yB.

𝐵

𝐵

𝐵

∫ 𝐹 ∙ 𝑑𝑟 = ∫ − 𝑚𝑔𝑗 ∙ (𝑑𝑥𝑖 + 𝑑𝑦𝑗) = ∫ − 𝑚𝑔 ∙ 𝑑𝑦 = 𝑚𝑔𝑦𝐴 − 𝑚𝑔𝑦𝐵 𝐴

𝐴

𝐴

La energia potencial Ep correspondiente a la fuerza conservativa pero tiene la forma funcional: Ep = mgy + c Donde c es una constante aditiva que nos permite establecer el nivel cero de la energia potencial. Cuando un muelle se deforma x, ejerce una fuerza sobre la particula proporcional a la deformacion x y de signo contraria a esta:

El nivel cero de energia potencial se establece del siguiente modo: cuando la deformacion es cero x=0, el valor de la energia potencial se toma cero, E=0 de modo que la constante aditiva vale C=0

𝐹 = −𝑘𝑥

𝐸𝑝 =

1 𝑘𝑥 2 2

Fuerza no conservativas: Una fuerza es no conservativa si se produce un cambio en la energia mecanica. Por ejemplo, si alguien mueve un objeto sobre una superficie horizontal y lo regresa a la misma posicion y al mismo estado de movimiento, pero encuentra que fue necesario realizar una cantidad de trabajo neta sobre el objeto, entonces algo debe haber disipado esa energia transferida al objeto. Esa fuerza disipativa se conoce como friccion entre la superficie y el objeto. La friccion es una fuerza disipativa o no conservativa. Por contraste, si el odjeto se levanta, se requiere trabajo, pero la energia se recupera cuando el objeto desciende. La fuerza gravitacional es una fuerza no disipativa o conservativa.

Si un libro se mueve en una linea recta entre dos puntos A y B, la perdida de energia mecanica debido a la friccion es mayor (en valor absoluto) que –fd. Por ejemplo, la perdida de energia mecanica por la friccion a lo largo de la trayectoria semicircular es igual a-f (“d/2), donde d es el diametro del circulo.

WAB = mg x WBA = -mg x El trabajo total a lo largo el camino cerrado A-B-A, WABA es cero.

La fuerza de rozamiento es una fuerza no conservativa: Cuando la particula se mueve de A hacia B, o de B hacia A la fuerza de rozamiento es opuesto al movimiento, el trabajo es negativo por que la fuerza es de signo contrario al desplazamiento: WAB = -Fr x WBA = -Fr x El trabajo total a lo largo del camino cerrado A-B-A, WABA es distinto de cero

Sistema mecánico en el que la energía mecánica se conserva. Siendo la conservación de la energía por el hecho de que las interacciones entre las diferentes partículas vienen descritas por fuerzas conservativas

3. Vibraciones Amortiguadas En esta la amplitud de la oscilación disminuye con el tiempo y la energía del oscilador también disminuye, debido al trabajo de la fuerza Fr de razonamiento viscoso opuesta a la velocidad. En un oscilador amortiguado, el movimiento de la masa se ralentiza por la acción de un émbolo sumergido en un líquido. La pérdida de energía mecánica por unidad de tiempo puede variarse modificando el tamaño del émbolo o la viscosidad del líquido. Si el amortiguamiento es grande, g puede ser mayor que w0, y w puede llegar a ser cero (oscilaciones críticas) o imaginario (oscilaciones sobre amortiguadas). En ambos casos, no hay movimientos y se aproxima gradualmente a la posición de equilibrio. La energía que pierde la partícula que experimenta una oscilación amortiguada es absorbida por el medio que la rodea. En todos los movimientos oscilantes reales, se disipa energía mecánica debido a algún tipo de fricción o rozamiento, de forma que dejado libremente a si mismo, un muelle o péndulo finalmente deja de oscilar. Este movimiento se denomina amortiguado y se caracteriza por que tanto la amplitud como la energía mecánica disminuye con el tiempo. La ecuación diferencial que describe el movimiento es mx” + cx’ + Kx = 0; la ecuación Se presentan tres posibles casos.



Amortiguamiento Subcrítico

Posee amortiguamientos muy inferiores al crítico. Disminuye sus oscilaciones a medida que disminuye el tiempo. Siendo su fórmula: esta solución es aproximadamente armónica, es decir, existe una cierta periodicidad en el movimiento con intervalos temporales medidos por el pseudoperiodo T’, que se puede expresar en función del periodo T correspondiente a la vibración no amortiguada a través de la relación

Elevando al cuadrado la expresion de la frecuencia de la vibracion amortiguada, se tiene

relacion que permite la determinacion del coeficiente de amortiguamiento para unas frecuencias dadas a priori o medidas experimentalmente. Denominado factor de amortiguacion F= la ecuacion de una elipse F2 + Ω2 = 1

𝑐 𝑐.

Ω

Y factor de frecuencia Ω= Ω se obtiene

En las vibraciones amortiguadas, por ser un movimiento aperiodico no se cumplen el principio de conservacion de la energia mecanica, pero si el de la energia total, de forma que la suma de la energia cinetica, el potencial elastico y la energia disipada de forma de calor, debido a la existencia de amortiguamiento, se mantiene constante,

los dos primeros términos disminuyen con el tiempo y la energía disipada tiende a alcanzar el valor máxima, es decir, existe transformación de energía mecánica en calorífica.



Amortiguamiento Crítico

Este corresponde a la tendencia más rápida hacia la situación de equilibrio cuando no sobrepasa esa posición. Si se disminuye un poco el amortiguamiento el sistema se acerca más rápidamente a la posición de equilibrio, pero sobrepasando la posición oscila en torno a ese punto (tomando valores positivos y negativos.) Para amortiguamiento crítico (ξ=1), resulta el caso en que s=-ω (raíz doble), con lo que la solución del problema tiene la forma: x(t) = (c1 + c2t)e- ωt solución que no tiene carácter oscilatorio y no presenta mayor interés para la dinámica de máquinas. La raíz de la ecuación característica es doble e igual a r = − La solución, amortiguada pero no armónica, es de la forma

𝐶 𝑐𝑟 2𝑚

El sistema vuelve a la posición de equilibrio en el tiempo más breve posible sin oscilación. El amortiguamiento crítico tiene una importancia especial porque separa los movimientos aperiódicos (no oscilatorios) de los oscilatorios amortiguados. Es decir, el calor crítico es la menos cantidad de amortiguamiento para que el sistema no oscile. En muchas aplicaciones prácticas se utiliza un amortiguamiento crítico, o próximo al crítico, para evitar vibraciones y conseguir que el sistema alcance el equilibrio rápidamente. 

Amortiguamiento Supercrítico

Las raíces r1 y r2 son reales y distintas. La solución de esta ecuación, amortiguada pero no armónica, es de la forma 𝒙 = 𝑪𝟏 𝒆𝒓𝟏𝒕 + 𝑪𝟐 𝒆𝒓𝟐𝒕 , donde C1 y C2 son las constantes de integración. El sistema no oscila, simplemente vuelve a la posición de equilibrio, cuanto mayor es el amortiguamiento, más tiempo tarda el sistema en alcanzar la posición de equilibrio.

4. Vibraciones Forzadas Para mantener un sistema oscilando, se necesita proporcionar de diferentes formas energia al sistema, siendo una manera de suministrar energia impulsar el soporte hacia arriba y hacia abajo, tambien se puede hacer referencia a que son energias externas afectando las vibraciones de un sistema. Si estos son ejecutados con un movimiento armonico simple, de pequeña amplitud y frecuencia W, el sistema comenzara a oscilar y alcanzara el estado estacionario. Basandose entonces en F = F0 cos wt Existen diferentes tipos de vibraciones forzadas, entre estas resaltan las siguientes:  Vibraciones Forzadas sin amortiguamiento: Son aquella vibraciones en las cuales no existe ningun tipo de amortiguamiento pero son producidas por fuerzas externas. Fuerza armonica de exitacion:  Consideremos una particula de masa m unida a un resorte ideal de reidez k y a la cual se aplica una fuerza externa 𝑭 = 𝑭𝒐 𝑺𝒆𝒏(𝝎𝒕) tal como se muestra en la imagen. Donde 𝐹0 es la amplitud de la vibracion armonica y 𝜔 es la frecuencia de la vibracion externa.

 Aplicando la segunda ley de Newtonse tiene

∑ 𝐹𝑥 = 𝑚𝑎𝑥 𝐹0 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 = 𝑚𝑥̈ 𝑚𝑥 + 𝑘𝑥̈ = 𝐹0 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 (1) ∗ 

La ecuación diferencial de segundo orden no homogéna con coeficientes constantes. Su solucion esta compuesta por: i) una solucion complementaria; y ii) una solución particular.  La solución complemetaria se determina haciendo igual a cero el segundo termino de la ecuación y resolviendo la ecucaión homogénea, es decir

̈ 0 (2) 𝑚𝑥 + 𝑘𝑥 = 

La solución de esta ecuación es de la forma

𝑥 = 𝑥𝑚 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑛 𝑡 + 𝜑) (3) 

Como el movimiento es periódico la solución particular es de la forma

𝑥𝑝 = 𝐵𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 (4) 

Determinando dos veces esta ecuacion y remplazando en la ecuacion (1)

se tiene

−𝐵𝑚𝜔2 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 + 𝑘(𝑏𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡) = 𝐹0 𝑠𝑒𝑛𝜔



Despenjando el valor de la constante B resulta

𝐹0 ⁄𝑚 𝐹0 ⁄𝑚 𝐵= = 𝜔 𝑘 2 1 − ( )2 −𝜔 𝜔𝑛 𝑚 

(5)

Reemplazando (5) en (4)

𝐹0 ⁄𝐾 𝑥𝑝 = 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 (6) 𝜔 1 − ( )2 𝜔𝑛 

La solucion general será

𝑥 = 𝑥𝑐 + 𝑥𝑝 = 𝐴𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑛 𝑡 + 𝜑) +



𝐹0 ⁄𝐾 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 𝜔 1 − ( )2 𝜔𝑛

(7)

De la ecuacion (7) se observa que la oscilacion total esta compuesta por dos tipos de movimiento. Una vibracion libre de frecuencia 𝝎𝒏 figura a, y una vibracion forzada causada por la fuerza exterior figura b. De esto se observa que la vibración libre se extingue quedando la vibración permanente o particular como lo muestra la figura c.

Factor de Amplificacion En la ecuacion (6) se observa que la amplitud de la vibracion particular depende de la razon entre las frecuencias forzada y natural. Se define como factor de amplicficacion al cociente entre la amplitud de la vibración estable y la deflexión estática.

𝑀𝐹

(𝑥𝑝 )𝑚𝑎𝑥 1 = 𝜔 𝐹0 ⁄𝑘 1 − ( )2 𝜔𝑛

De esta ecuacion puede observarse que aparece la resonancia cuando las dos frecuencias son aproximadamente iguales esto es 𝝎⁄𝝎𝒏 = 𝟏. El fenómeno de resonancias no es deseable en las vibraciones de elementos estructurales porque producen esfuerzos internas que pueden producir el colapso de la estructura Desplazamiento excitador periódico  Las vibraciones forzadas también pueden surgir a partir de la exitacion periódica de la cimentación de un sistema. El modelo indicado de la figura, representa la vibración periódica de un bloque que es originada por el movimiento armónico 𝛿 =

𝛿0 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡.

 Vibraciones Forzadas con amortiguamiento: Aquellas vibraciones rpoducidas por fuerzas externas y en el cual existe amortiguamiento por ejemplo viscoso. Vibraciones forzadas con amortiguamiento viscoso

 Para determinar las ecuaciones que la gobiernan a este movimiento consideremos un sistema masa, resorte y amortiguador sometido a una fuerza periódica 𝑃 = 𝑃0 𝑠𝑒𝑛Ω, tal como se muestra e la figura.

 La ecuacion diferencial (1)* es una ecuacion diferencial lineal, de segundo orden, no homogénea y con coeficientes constantes. Su solución se obtiene sumando una solución complementaria y una solución particular. La solución complementaria particular es una funcion cualquiera que satisface la ecuaciondiferencial. Por lo tanto, la solucion total se escribe

𝑥 (𝑡) = 𝑥𝑐 (𝑡) + 𝑥𝑝 (𝑡)

(2)

 La solucion complementaria depende del coeficiente de amortiguamiento. Asi si el movimiento es subamortiguado.

𝑥 = 𝑥0 𝑒 −𝛼𝑡 𝑆𝑒𝑛 (𝜔𝑑 𝑡 + ∅) (3)

 La solucion complementaria estudiada anteriormente, se extingue rapidamente segun el valor del coeficiente de amortiguamiento. Por el contrario la solucion particular o permanente o de estado estacionaria es el que se mantiene, siendo esta de carácter armónico y viene expresada por

𝑥𝑝 = 𝑥𝑚 𝑠𝑒𝑛 (Ω𝑡 − 𝜑) 

(4)

Derivando esta ecuación se obtiene

𝑥̇ 𝑝 = Ω𝑥𝑚 cos(Ω𝑡 − 𝜑)

(5)

𝑥̈ 𝑝 = −Ω2 𝑥𝑚 𝑠𝑒𝑛(Ω𝑡 − 𝜑) (6)

Bibliografía

Libro: Ingenieria Mecanica: Dinamica

por William Riley y Leroy Sturges

http://www.educarchile.cl/ech/pro/app/detalle?ID=133067 https://www.scribd.com/doc/99151528/VIBRACIONES-FORZADAS-OPTA-2010

http://fisica2ficunasam.zonalibre.org/CAPITULO%20II%20VIBRACIONES %20%20%20MECANICAS%2029%20de%20mayo%202008.pdf http://www.academia.edu/11058760/vibraciones_forzadas