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Instituto Politécnico Nacional ESCOM

Analisis Vectorial

1CV3 Sandoval Muñiz David Molina Reyes Jovan

12. Encuentre una ecuación para la recta que pasa por el punto (2, -5) y: a) Tiene pendiente -3 Empleamos la ecuación punto- pendiente: yDonde

= m(x -

)

m= -3, es la pendiente, y

=

= -5

Sustituyendo: y – (-5) = -3(x – 2) y + 5 = -3x + 6 y = -3x + 6 - 5 Por lo tanto, la ecuación de la recta buscada es: y-

= m(x -

)

y – (-5) = o (x – 2) y+5=0 Por lo tanto, la ecuación de la recta es: Y = -5 a) Es paralela al eje y: Una recta es paralela al eje y cuando su pendiente tiene la forma: m= y su ecuación es: x = x Por lo tanto, la ecuación de la recta es: x = 2 d)

es paralela a la recta

2x -4y = 3

Para que sea paralela a la recta 2x -4y = 3, sus pendientes deben deben ser iguales -4y = 3 -2x

Y = Así pues, la pendiente de la recta buscada es , entonces, al sustituir en la formula: y-

= m(x -

)

y + 5 = x -1 y = x -1 -5 y la ecuación de es: y = x -6 13. Encuentre una ecuación para el circulo que tiene centro en (-1, 4) y pasa por el punto (

-2).

Si el centro está en (-1, 4) y el circulo pasa por ( longitud entre

-2), entonces buscamos la

Ambos puntos, esta longitud corresponde al radio r: (

r:√ r: √( )

) (

(

)

) √

r: √

Así la longitud del radio es: r = √ Luego, luego la ecuación del círculo con centro en (h, k) y radio r, es: (

) +(

) =

r =√

Sustituyendo

( (

h = )

+

) +(

Así, la ecuación del círculo es:

k = 4 = (√

)) = 52

)

(

) +(

) = 52

Si desarrollamos los binomios al cuadrado, podemos representar la misma ecuación como: + 2x + 1 + +

- 8y + 16 = 52

+ 2x -8y = 52 - 17 + 2x – 8y = 35

14. Encuentre el centro y radio del circulo con ecuación

-6x + 10y + 9 = 0

La ecuación dada la llevaremos a la siguiente forma: (

) +(

) =

Entonces: -6x +10y + 9 = 0 Agrupando: (

6x) + (

+ 10y) = -9

Completando los trinomios cuadrados perfectos: (

- 6x + 9) -9 + (

+ 10y + 25) -5 = -9

Factorizando: (

) + ( )

) = 25 +

(

)

= ( )

De esta última ecuación deducimos que: h =

k=

y =5

y como el circulo tiene centro en (h, k) y su radio es r, concluimos que: el circulo tiene centro en (

-5) y su radio mide

5

15. Sean A ( 4) y B ( -12) puntos en el plano. a) Encuentre la pendiente de la recta que contiene A y B. La pendiente de una recta, conociendo dos de sus puntos, es: m = si (

= (

)

4) y (

m =

(

)

=

) = ( =

- 12), sustituimos:

; la pendiente es: m =

b ) Encuentre una ecuación de la recta que pasa por A y B. ¿Cuáles son los puntos de Intersección con los ejes? Para hallar la ecuación usamos la formula: y-

= m (x -

)

Usaremos el punto B (

- 12) y el valor de m, que ya conocemos.

Sustituyendo: y – (-12) =

(x – 5)

y + 12 =

+

y=

-

. . . .(1)

Al multiplicar por 3 la ecuación (1): 3y = -4x - 16 Y podemos expresar la ecuación de la recta como: 4x + 3y + 16 = 0 Luego, de la ecuación (1), deducimos que: La recta corta al eje Y en y =

;(

)

Finalmente, para hallar el punto de intersección con el eje X, sustituimos y = 0

En la ecuación (1): 0 =

=

X = -4 La recta corta al eje x en c)

x = 4; (

0)

Encuentre el punto medio del segmento AB. Buscamos el punto medio con la formula: Pm = ( Si

( Y (

)

) = (-7, 4) ) = (5 - 12), entonces:: Pm = (

) =(

) = (-1, -4)

El punto medio es: Pm (-1, -4) d)

Encuentre la longitud del segmento AB Calculamos la longitud de A(-7, 4) a B(5, -12) con: d =√

(

)

d =√

= √( = √

)

(

)

= 20

Así pues la distancia de ̅̅̅̅ es: 20ª e)

Encuentre una ecuación de la perpendicular que biseca a AB: Sabemos que la perpendicular pasa por Pm(-1, -4)

Si dos rectas son perpendiculares, el producto de sus pendientes es: -1: = -1 Y sabemos que la pendiente de AB es .

, entonces la pendiente de la perpendicular es

16. Calcular (3i+2j+k) ◦ (i+2j-k) (3i+2j+k)◦ (i+2j-k)=3+4-1=6 Resultado es =6

17. Hallar el ángulo entre 7j+19k y -2i-j (aproximando al grado más cercano) Producto punto ◦v

v cosθ

Por lo tanto ⃗

Cosθ

|| ̅||||̅||

Sustituyendo θ arcos

( ̂ √

̂) ( }

)

=99

√

el ángulo es de 99

18. ¿Es ||8i-12k

6j+k -|(8i-12k) (6j+k) igual a cero?

No es igual a cero porque la primera expresión no tiene sentido porque los dos elementos que se multiplican en producto punto son escalares y el producto punto es exclusivo de vectores 4. Calcular ||⃗ || ||⃗ || y ⃗ ⃗ para los vectores dados de ⃗

⃗ ||

||

√

||⃗ ||

√

⃗ ⃗

(

)(

√

)

√

19. Normalizar los siguientes vectores: ⃗⃗ ̂

⃗

⃗

√

||⃗ ||

⃗

(

√

√

√

√

) √

√

Hallar la proyección de ⃗

⃗

U sobre v ⃗⃗⃗⃗ ⃗

⃗

||⃗ ||

⃗

Sustituyendo (

=

)(

)

√

(

)

= Calcular el determinante A= Det= (2(3)(1)+3(-1)(2))-(3(3)(0)+1(4)(-1)) =4 Calcular ⃗ ⃗ donde ⃗ ⃗ ⃗

⃗

(

( ( )

) ( ( ))

=-3i+i+5k

( ( )

) (

))

(

( )

( ))

Calcular ⃗ (⃗ ⃗ (⃗

) (

)

) ( ( )( )

= ( )(

⃗

⃗

)X( (

)( )

(

)] )( )

( )( )

( )( )

) =0

Hallara el área del paralelogramo que tiene por lado los vectores ⃗ y su área es ||⃗ ⃗ ||

⃗

Si ⃗ ⃗ La norma es ||⃗ ⃗ ||

√

Por lo tao el ares del paralelogramo es A √35

¿Cuál es el volumen del paralelepípedo con lados 2i+j-k, 5i-3k y i-2j+k? Haciendo el triple producto escalar (2i+j-k) [(5i-3k)X( i-2j+k)]=

=(0+10-3)-(12+5)=7-17=-10

3l volumen es |-10|=10 Describe todos los vectores unitarios ortogonales a los vectores -5i+9j-4k,

7i+8j+9k,

⃗

Como el vector cero es el origen basta con encontrar un vector que es ortogonal tanto al vector 5i+9j-4k como al vector 7i+8j+9k Esto se encuentra multiplicando los vectores en producto cruz

(5i+9j-4k) X (7i+8j+9k) =

= (81+32)i-(-45+25)j+(-45-63)k

=113i+17j-103k Utilizamos la norma ̂

√

Los vectores ortogonales son

√

√

Encontrar una ecuación del plano que es perpendicular a ⃗

√

(

) y pasa por (1, 0,0)

La ecuación de un plano en el espacio se puede calcular si conocemos: a) un punto en el plano b) un vector normal al plano Ecuación del plano: A(x-x,)+B(y-y,)+C(z-z,) = 0 El vector normal es: ⃗ El plano contiene el punto P (1,0, 0) Entonces la ecuación del plano es: 1(x-1)+1(y-0)+1(z-0) = 0 x-1+y+z=0 La ecuación del plano es: x+y+z=1

Encontrar una ecuación del plano que es perpendicular a ⃗ El vector normal al plano es ⃗ 1(x-1)+2(y-1)+3(z-1) = 0

(

(

) y pasa por (1,1,1)

) y plano pasa por p(1,1,1)

x-1+2y-2+3z-3 = 0 la ecuación es: x+2y+3z=6

Encontrar la ecuación del plano que es perpendicular a la recta l(t)=(5,0,2)t +(3,-1,1) y pasa por (5,-1,0) Como es perpendicular a la recta entonces un vector paralelo a la recta será normal al plano Ecuaciones paramétricas del a recta { Donde el vector ⃗ (5,0,2) es paralelo a la recta l por lo tanto es normal al plano y además contiene el punto (5,-1,0) 5(x-5)+0(y-0)+2(z-0) = 0 5x-25+2z = 0 La ecuación es: 5x+2z = -25

Encontrar la ecuación del plano que es perpendicular ala recta l(t)y pasa por el punto p De la recta l(t) = (-1,-2,3)t+(0,7,1) entonces el vector será ⃗

(

) y el punto será p(2,4,-1)

-1(x-2)-2(y-4)+3(z+1) = 0 La ecuación será: x+2y-3z = 13

Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos (1,2,0), (0,1,-2) y (4,0,1) Formamos los vectores: ⃗

(0,1,-2)- (1,2,0) = (-1,-1,-2)

⃗

(

)-(4,0,1) = (3,-2,1)

Hacemos producto cruz de los nuevos vectores ⃗⃗ ⃗ Y como pasa por p(1,2,0) -5(x-1)-5(y-2)+-5(z-0) = 0 La ecuación es: x+y-z =3

Demostrar que dos planos paralelo o bien son idénticos o bies tiene intersección vacía. b)¿Cómo se interceptan dos planos que no son paralelos? Sea p( ) y p´( ) dos puntos que se encuentran en los planos p y p’ respectivamente y sea ⃗ un vector normal a esos planos. Entonces las ecuaciones de los planos son: (

A(x- )

)

(

)

y

Si D

(

)

A’(x-

)

(

)

D’ ambas ecuaciones son el mismo plano es decir son paralelos son idénticos

Si D D’ es un sistema inconsistente por lo tanto no se interceptan b) dos planos no paralelos se interceptan en una línea recta

Calcular la distancia del plano 12x+13y+5z+2 = 0al punto (1,1,-5) Empleando la formula D=

|

| √

Sustituyendo: D=

|

( ) √

( )

(

)

|

=

| | √

√

El trabajo W realizado al mover un objeto de (0,0) a (7,2) sujeto auna fuerza constante ⃗ es W = ⃗ donde es el vector con inicio (7,2) y con final (0,0) las unidades son metros y kilos a) supongamos que la fuerza ⃗ = 10

. hallar W en términos de .

Sea W = ⃗ El objeto se mueve de (0,0) a (7,2) en sentido contrario por lo tanto ) (-7.-2)

W = -(10 cos W = 70cosθ+20senθ

El volumen de un tetraedro con aristas ⃗ ⃗

esta dado por V= ⃗ (⃗

)

a) exprese el volumen como un determinante ) ⃗

(

sea ⃗

(

= (

)

(

)

)

b) evaluar V cuando ⃗

⃗

V= [

] = [( )( )— )( )

(

)

Hallar un vector unitario que tenga la propiedad que sea ortogonal al plano x-6y+z=12 Por inspección sabemos que el vector ⃗⃗ = i-6j+k es normal (ortogonal) al plano Normalizando ⃗⃗ : n

⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ || | |

=

√

=

√

(

)

Hallar un vector unitario que se paralelo a los planos 8x+y+z=1 y x-y-z=0

Los planos dados tienen vectores normales ⃗⃗⃗⃗ =8i+j+k y ⃗⃗⃗⃗ = i-j-k respectivamente Al multiplicar ⃗⃗⃗⃗ X⃗⃗⃗⃗ obtenemos un vector paralelo a ⃗⃗⃗⃗ y ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ X⃗⃗⃗⃗ =

=(-1+1)i-(-8-1)j+(-8-1)k = 9j-9k

Donde ⃗⃗⃗⃗ es paralelo a los planos dados Normalizando n

=

√

=

√

√

√

Hallar un vector unitario que forme un ángulo de 30

con i y ángulos iguales con j y k

Sean los ángulos formados por el vector los ejes x, y, z, respectivamente se definen como los cosenos directores como: ⃗⃗⃗⃗ || ||

||⃗⃗⃗⃗||

cos

||⃗ ||

Pero || || = 1 y el ángulo entre donde x= cos 30° =

√

Sustituyendo

en ||⃗ ||

Y=

y como

pero || || = 1

√

el vector unitario es :

entonces: √

û =

√

√

√

k

Hallar los componentes y la magnitud del vector ⃗ , y un vector unitario en la dirección de ⃗ del punto inicial (3,2,0) , al punto final (4,1,6) Los componentes de ⃗ estan dados ⃗

(

)

(

)

(

)

Magnitud: || ⃗ ||

=√

√

Vector unitario en dirección de ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ || ||

=

√

A continuación se indican los puntos iniciales y finales de un vector ⃗ Punto inicial (-1,2,3),

punto final (3,3,4)

a) Encontrar los componentes del vector Componentes; ⃗

(

)

b) Escribir el vector usando notación del vector unitario escalar ⃗

Dado el vector ⃗ y su punto inicial, encontrar el punto final ⃗

(

)

punto inicial: (0,6,2) ;

Los componentes del vector están dados como (punto final )-(punto inicial) Si (x,y,z) es el punto final entonces (3,-5,6) = (x,y,z)-(0,6,2) = (3, -5,6)=(x-0, y-6, z-2) Entonces: X=3

y=1

z=8

Punto final(3,1,8) Usar vectores para determinar si los puntos son colineales a) (0,-2,-5), (3,4,4), (2,2,1) Los puntos son colineales si se encuentran en una misma recta Del os vectores anteriores obtenemos los vectores ⃗ ( ) ( ) ( ) ⃗ ( ) ( ) ( ) Verificamos ahora si ⃗ y ⃗ son múltiplos = El valor constate indica que ⃗

y ⃗

son múltiplos escalares y por lo tanto son

colineales

Usar vectores para demostrar que los puntos son vértices de un paralelogramo (2,9,1), (3,11,4), (0,10,2), (1,12,5 Un paralelogramo tiene dos lados paralelos y dos diagonales se interceptan, es decir , sus vértices pueden unirse entre si por 6 vectores Serán: ⃗

(

)-(3,11,4) = (-1,-2,-3)

⃗ =(

)-(0,10,2) = (2,-1,-1)

⃗ =(

)-(1,12,5) = (1,-3,-4)

⃗

(3,11,4)-(0,10,2) = (3,1,2)

⃗

(3,11,4)-(1,12,5) = (2,-1,-1)

⃗ = (3,11,4)-(1,12,5) = (-1,-2,-3) Se puede ver q ⃗ || ⃗ y que ⃗ ||⃗ y por definición de paralelogramos, los vectores ⃗ y ⃗ no son paralelos por lo tanto se interceptan Determinar si los valores de c satisfacen la ecuación Sea ⃗ = i+2j+3k

y ⃗

||c⃗ || Por definición el producto entre un vector y un escalar: c⃗ = c(2i+2j-k) = 2ci+2cj-ck || ⃗ ||

Magnitud

√( )

( )

(

)

√

Despejando: C=

Diagonal de un cubo. Hallar los componentes del vector unitario ⃗ en la dirección de la diagonal del cubo Sean (x,y,z) los componentes de ⃗ Por definición de cubos sabemos que x = y = z y la diagonal se calcula mediante d= √

y como son iguales entonces √

=√

Pero d = ||⃗ || 1= √ Despejando X=

√

Y como son iguales entonces v

(

√

√

√

)

Trabajo. Un objeto es jalado 10 pies por el suelo usando una fuerza de 85 Calcular el trabajo realizado La trayectoria W realizado al mover el objeto esta dado por W=⃗ ||⃗ ||=85

|| ||

W= (85)(10)cos(69°) W= 425 libras /pie

Trabajo. Un carro se remolca usando una fuerza de 1600 néwtones. La cadena que se usa para jalar el carro forma un ángulo de 25° con la horizontal. Encontrar el trabajo que se realiza al remolcar el carro 2 kilómetros W=⃗ W = (1600)(2km)cos(25°) W = 2900.16Nm

Encontrar el ángulo entre la diagonal de un cubo y una de sus aristas Si ||⃗ ||

Donde

θ

||⃗ ||

s la diagonal del cubo

Por definición de cubos

cosθ

||⃗ ||

√

√

54°44’’

;

= a entonces escribimos

Usar vectores para demostrar que las diagonales de un rombo son perpendiculares

Sea un rombo cuyos lados son los vectores ⃗ ||⃗⃗ ||

⃗ por definición

|| ⃗ ||

Como las diagonales están definidas por ⃗ formando un ángulo θ

⃗

y ⃗

⃗

estas se cortan

producto punto: (⃗

⃗ ) ( ⃗⃗ – ⃗ )

(

)

)

(

)

(v1+u1,v2+u2,) (v1-u1,v2-u2) –

= )

=(

)

||⃗ ||

Y Por lo tanto: (⃗⃗ (⃗

(

⃗ ) ( ⃗ – ⃗ ) = || ⃗ ||

⃗ ) ( ⃗⃗ – ⃗ ) = || ⃗ ||

Calculara ⃗ (⃗ ⃗⃗⃗ ) ⃗

= (1,0,0)

⃗

= (0,1,0)

⃗⃗⃗

= (0,0,1) ⃗⃗ (⃗ ⃗⃗⃗ ) = [

||⃗ ||

y

]=1

||⃗⃗ || = 0

||⃗ ||

(

)

Usar el triple producto escalar para encontrar el volumen del paralelepípedo que tiene como aristas adyacentes ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗

(

)

(

⃗ ⃗⃗⃗

) (

) u (vxw)

[

]= (-24-72)-(-24) = -72 = 72

Volumen. Encontrar el volumen del paralelepípedo que tiene los vértices dados (0,0,0), (3,0,0), (0,5,1), (2,0,5),(3,5,1),(5,0,5),(2,5,6),(2,5,6) Tomando como referencia el vértice (0,0,0) las aristas adyacentes son (3,0,0)(0,5,1) y (2,0,5) Haciendo triple producto vectorial (3,0,0) [(0,5,1) x (2,0,5)] = [

]

Hallar cada uno de los múltiplos escalares de ⃗ y representar su grafica ⃗ =(1,2,2) a)

⃗ , b) – ⃗ , c)

a) 2 ⃗ = (2,4,4) ( b) – ⃗

⃗ , d) 0 ⃗ )

ncontrar el dado que ⃗ = (1,2,3) , ⃗ =(2,2,-1) y ⃗⃗⃗ =(4,0,-4), = 2⃗ +4⃗ -⃗⃗⃗⃗ =2(1,2,3)+4(2,2,-1) -(4,0,-4) =(2,4,6)+(8,8,-4)+ (-4,0,4) =(6,12,6)

Finalmente = =(6,12,6) Determina cuales de los vectores son paralelos a . =(3,2,-5) a) (-6,-4,10) b) (2, , - ) c) (6,4,10) d)

(1,-4,2)

Para el vector a) , =-2 ;

=-2 ;

=- - -= - , entonces a) es paralelo a .

Para el vector b): =0.6,

=

= =0.6,

= 0.6

por lo tanto b) es paralelo a

Para el vector c) :

=2 ; =2 ;

=-2

Para el vector d) :

≠-2 ; por lo que c) no es paralelo

≠-2 por lo que d) no es paralela

= ;

Los vectores paralelos son:

a) (-6,-4,10) y

b) (2, ,-

)

Determina cuales de los vectores son paralelos a punto final (-2,3,5).

a) -6i+8j+4k

si tiene el punto inicial (1,-1,3) y el

b) 4j+2k

El vector es: (-2,3,5)-(1,-1,3)=(-3,4,2) Para el vector a) =2, =2, =2

y como 2=2=2 es paralelo

Para b) =0, =1, pero 0 1

por lo que b) no es paralelo

Entonces a) -6i + 8j + 4k es paralelo a por que es un múltiplo escalar de este vector

Hallar en los siguientes ejercicios ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ () ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( )=

i + 3tj Simplemente derivamos componente por componente y asi obtenemos que

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( )= 3 i +3j Hallar la derivada de

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( )=(

)

Derivando ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( )=(-2

)

Hallar la derivada de ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( )= 6t i -7 Derivando tenemos que ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( )= 6i -14 t j + 3

Hallar la derivada de ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( )= a

i+a

t+k

Derivamos a

=a

(

=3a

)

Del mismo modo a

t= a

(

=3a

)

La derivada de 1 es 0 para la componente k por lo que la derivada queda como ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( )= (-3a

)

)j

(3a

Hallar la derivada de ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( )=

i +4j +5t k

Derivando tenemos k=

= uv´+vu´= ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( )= -

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( )=(t sent , t cost , t) Al derivar tenemos que t sent= uv´+vu´= t cost +sent (1)

i + 5 (t+1)

+

t cos t= uv´+vu´= -tsent +cost(1) Por lo que la derivada es ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( )=( t cost +sent , tsent +cost , 1)

En los siguientes ejercicios encontrar ( ) , b) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( )y a) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) * ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ()

c)

Hallar lo mencionado para el vector ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( )=

i+

j

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ( )= 3

i +t j

;

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ()

6t i + j

;

( ) * ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) = (3 , t)(6t,1)= 18 +t ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ El siguiente vector que analizamos es ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( )= 4cost i + 4sentj ( )= -4sent i +4cost a) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( )= -4cost i – 4sent b) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) * ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( )=(-4sent, 4cost)( -4cost, 4sent)= 16sentcost -16sentcost c) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) * ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( )=0 d) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Usar las propiedades de las derivadas para encontrar ( ) b) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ () a) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( )] b) f)

[

( )= ti + 3t j +

||⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( )=||

k,

( ) * ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( )] c) [⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ]

⃗ (t)=4t i +

j+

k

d)

( ) - ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( )] [3 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

e)

( )X [⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

( )= i +3 j +2t k ( )= 2k ( ) * ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ] = ( ) * ⃗ ´(t)+ ⃗ (t) ( ) [⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) * ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ] = (t,3t, )(4,2t,3 )+ (4t, , )(1,3,,2t) [⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) * ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ] = 5 + 9 +8t [⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

a) b) c)

( ) - ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ]= 3ti + 9t j + 3 k - 4ti -2tj -3 k [3 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

d)

( ) - ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ]= -i + (9-2t) j + (6t-3 )k [3 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) X ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ] = ( ) X ⃗ ´(t)+ ⃗ (t)X ( ) [⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

e)

( ) X ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ] = 8 i + (-4 +12 ) j + (3 -24t)k [⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ f)

[

||⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( )=||

=√( )

[

||⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( )=||

=√

( )

( ) =√

Hallar a) i) ii) ( )=

a)

( ) * ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( )] y ( ) X ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ] en dos diferentes formas [⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ b) [⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Hallar primero el producto y luego derivar Aplicar las propiedades de la derivada j+

k

⃗ (t)=

( ) * ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ] primero el producto [⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (t, 2 ,

)*(0,0, )= k

Ahora derivamos ( ) * ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ]= 7 [⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Ii ahora primero derivamos ( ) * ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ] = ( ) * ⃗ ´(t)+ ⃗ (t) ( ) [⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) * ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ]= 7 [⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

obtenemos el mismo resultado

( ) X ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( )] [⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

b)

Primero ocupamos el producto y luego derivamos ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) X ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ()

|

( ) X ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ]= 12 [⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

i -5

= 2

i-

j + 0k

j

Aplicando primero la derivada ( ) X ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ]= ( ) * X ⃗ ´(t)+ ⃗ (t)X ( ) [⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( ) X ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ]= [⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

+

( ) X ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ]= 12 [⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Y obtenemos

resolvemos i -5

Resolver las integrales

∫( ∫( ∫

j )dt )

tan t +

dt

esta integral se resuelve por sustitución trigonométrica ∫

dt = arctan t +

Entonces ∫(

j )dt = (tan t +

) i + ( arctan t +

En los siguientes ejercicios evaluar las integrales definidas ∫ (

)

entonces integramos cada componente ∫ (

)

∫

∫

j -∫

)j

∫ (

)

4[ ( ) – ( ) ] i + [ ( ) -( ) ] j – k

∫ (

)

4i+ j–k

∫ (

)

(

)

Integramos componente a componente ∫

= -a( sen

) =-a i

∫

= -a( cos

) = - aj

∫

[ - 0 ]=

Por lo que la integral queda como ∫ (

)

(

)

∫ (

j -t k )dt

= -a i-aj

k

Integramos cada componente ∫

[

∫

[ - )=( -1) j

∫

+

=[ (2 +

]= 2 i

) – (0 + )=(3 -1) k

Finalmente ∫ (

j -t k )dt = 2 i + ( -1) j + (3 -1) k

Hallar el vector ( ) ( )= 4

i+3

j

( )=2i

Para hallar ( ) integramos ( ) ∫

= (2

+

) ;

∫

= (3

+

)

De lo cual tomando condiciones iniciales calculamos ()

2

i + ( 3 -3)j

( ) sabiendo que

Hallar

y finalmente tenemos

( )= -32 j

Primero integramos ( )=

( )= -32 j

–(32t+

( )

600√ i + 600j

para obtener

( )=0

()

)

Calculando ( ) ( )=

i +

j tomando la condición inicial

( )

600√ i + 600j

Si reemplazamos los valores de las constantes tenemos ( )= 600√ i –(32t + 600) j

Para hallar ()

( ) Integramos

∫

- ∫(

√

) resolviendo y utilizando la condición inicial ( )=0

Tenemos que concluir que 600√ t i + (-16 +600t) j r’(t)

( )

t

Integramos ‘(t) para hallar r(t) ∫

(

)

Integramos componente a componente ) ∫( U=Du=-2tdt ∫

(

sustituyendo )=- ∫

Pero como u=-

=-

entonces

=[[∫

=[ (

[∫

]j )

De tal manera que ()

[

( )

]

Evaluando ( ) ( )

(

)

(

)

Y por condiciones iniciales ( ) Igualando componentes -

1+C2=-1

C1=1

C3=1

C2=-2

Finalmente sustituyendo los valores de las constantes en ( ) obtenemos ()

Hallar

*

+

si a) f(x,y) = xy Calculando (

)

=y

Calculando (

)

=x

b) f(x,y) = xcosxcoy Calculando (

Calculando

)

(

)

= -xcosxseny

Evaluar de las derivadas parciales Z=√

,

de las funciones dadas en los puntos inidicados:

)

; (0,0), (

Calculamos las derivadas parciales: (√

) √

(√

)

=

√

Evaluando en los puntos dados: (

)

(

)

√

)

√

(

) (

Hallar la ecuación del plano tangente ala superficie z=

en (3, 1,10)

Ecuación del plano en forma general F(x,y,z) = -z+

=0

Se emplea la formula Fx(

)(

)

(

)(

)

Entonces Fx(x, y, z) = 2x Fy(x,y,z) = 3

Fx ( (

)=6 )

(

)(

)

(

Fz(x,y,z) = -1

)

Sustituyendo 6(x-3)+3(y-1)-1(z-10) = 0 6x+3y-z-11=0

Dada la función calcular respectivamente el plano tangente a su grafica en el punto indicado Punto (0,0) Z=f(

f(x.y) = xy ) +[

(

)](x- ) +[ (

)(

Sustituyendo: Z = 0+0(x-0)+0(y-0) = 0

Hallar

utilizando la regla de la cadena apropiada

W= X= 2t,

y= 3t La regla de la cadena: + ( )

( )

Sustituyendo x y y ( )

( )

)

Del siguiente ejercicio hallar

utilizando la regla de la cadena apropiada y convertir w

en función de t antes de derivar W= xy

x= Empleando la regla de la cadena + Donde:

+

=y( )

(

)

Por lo tanto y Sustituyendo los valores de x y y es: (

)( )

( )(

)

Convirtiendo w en función de t antes de derivar : W= xy

x=

W= ( )(

)

Derivando ahora si (

Hallar

y

)

utilizando la regla de la cadena apropiada

W=xyz

x=s+t

( )

y=s-t

z=s

Sustituyendo los valores de x y z; =2

Calculando

Hallar

por derivación implícita

Derivando ambos miembros

2x-[x +y]+2y -1+ 2x-x -y+2y -1+ -x +2y + (

=0 =0

= -2x+y+1 )

Mostrar que la función es homogénea F(x,y)=

√

Evaluando f(tx,ty): F(tx,ty) =

( )( ) √( )

( )

√

√

Por lo tanto F(x,y) = F(tx,ty) la función si es homogénea

Hallar la derivada direccional de la función en p en dirección de ⃗ F(x,y)= 3x-4xy+9y Como ⃗

p(1,2)

⃗

unitario empleamos (

)

(

)

Donde cosθ ( (

)

(

)

(

)

)

Por lo tanto (

)

G(x,y)= √

p(3,4)

Normalizando ⃗ v (

|| ||

)

√

(

)

(

)

⃗

) = (

Gx (

)^-1/2(2x)

= 3/5

Evaluar la integral definida ∫ ( ∫ (

)

)

,

=4i+1/2j-k

25.- w = Haciendo la transformación queda: (

(

( (

45.- (

)

)(

(

)(

)

)

(

)

( (

( (

)

(

( )

)(

)))

(

(

)))

(

(

)(

)(

)

)

)

)

⁄

No es una función homogénea ya que no se puede encontrar una constante t

Lista 3: 3.- (

)

(

)

(

√

(

) √

) ( (

√

)

)

(

11.- (

)

(

)

(

√

)

(

( ))

)

(

) (

)

(

19.-

(

)

(

)

( ( )( )

( )( )

)

)

( |

( )

|

( )( ))

√

( )(

( )

)

( )

√ √

27.- (

)

√

( |

|

√

)

(

)

(

)

(

√(

)

) (

)

(

√ 35.-

) √

√

P(0,5) (

)

(

)

√

Y su valor máximo es la magnitud de su derivada direccional | Lista 1 tercer parcial 2.- ∫ ∫√ (

)

De la primera integral tenemos que:

Procedemos a hacer la segunda integral:

6.- ∫ ∫ ( √

)

10.- ∫ ∫

14.- ∫ ∫

(

)

|

√

5.- Invertir el orde integración

Definite integral:

Indefinite integrals:

Definite integral:

1.-Hallar la parametrizacion suave a trozos de la trayectoria: 1)

Dado esto tenemos ( ) ‖ ( )‖

√

Indefinite integral: integral:

11.- Hallar la parametrizacion de la trayectoria C y evaluar

√

Definite

C segmento de recta de (0,0) a (1,1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ‖ ( )‖

Indefinite integral: integral:

√

√

Definite

21.- Hallar la masa la masa total de dos vueltas completas de un resorte de desidad p y que tiene forma de hélice circular. ( ) (

)

(

)

⃗⃗ ( ) ‖ ( )‖

√(

)

(

)

√

( ) ( ) ( )

((

Indefinite integrals:

)

(

)

))

(

)

(

)

Definite integral:

15.- Utiliza el teorema de Green para evaluar la integral de línea∯ Derivative:

Derivative:

Input interpretation:

Result:

Teniendo Indefinite integrals:

23.- Utilizar el teorema de Green para calcular el trabajo realizado por la fuerza F sobre una partícula que se mueve, en sentido contrario de las manecillas del reloj, por la trayectoria cerrada C. (

)

(

⁄

)

(

√ ) ( Integral de contorno

Derivative:

)(

) (

)

Derivative:

Input interpretation:

Definite integral:

Visual representation of the integral: