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1.1.- Definición de un vector en R2, R3(Interpretación geométrica), y su generalización en Rn. Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son: Origen O también denominado punto de aplicación . Es el punto exacto sobre el que actúa el vector. Módulo Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo. Dirección Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene. Sentido Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.Hay que tener muy en cuenta el sistema de referencia de los vectores, que estará formado por un origen y tres ejes perpendiculares. Este sistema de referencia permite fijar la posición de un punto cualquiera con exactitud. Definición de un vector en R2, R3(Interpretación geométrica), y su generalización en Rn. • Espacios vectoriales • Espacios Euclidiano La idea de usar parejas de números para localizar puntos en el plano y temas para localizar puntos en el espacio tridimensional se concibió con claridad a mediados del siglo XVII. A fines del siglo XIX se empezaron a dar cuenta que no era necesario quedarse con ternas (a1, a2, a3, a4) ya que se podía considerar como puntos en el espacio tetradimensional y los de 5 como pentadimensional, etc. Es posible extender muchas ideas más allá del espacio tridimensional, trabajando con propiedades analistas o numéricas de puntos y vectores en lugar de propiedades geométricas. (a1, a2, …an) = conjunto de todas las n-ada ordenadas y se conoce como espacio n-dimensional y se denota por Rn. Todo espacio vectorial V tiene al menos dos sub-espacios, el propio V es sub-espacio y el conjunto 0 que solo consta del 0 en V es otro sub-espacio, denominado sub-espacio 0.

Se puede demostrar geométricamente que los únicos sub- espacios de R’=R’,{0} R3 = R3, R2, R1, {0}

1.1 Definición de un vector en R2, R3 y su Interpretación geométrica. Definición de un vector en R2, R3 y su interpretación geométrica Un objeto en las matemáticas que posea magnitud así como dirección es la definición perfecta de un vector. Los elementos pertenecientes a Rn representan el vector. Diferentes valores de n representan diferentes vectores con diferente comportamiento. Por ejemplo, cuando n = 1, esto es, R1 = R representa una escala o un punto en el vector. R2 representa un vector de la forma (x1, x2), R3 representa un vector de la forma (x1, x2, x3). Existen dos propiedades importantes de los vectores R2: 1). Suma de los vectores R2: Si p y q son dos vectores de la forma R2 entonces p + q = (p1, p2) + (Q1, Q2) = (p1 + q1, p2 + q2). 2). Producto Escalar: Considere B ? R y un vector P en R2, en este caso el producto escalar es de la forma B (p1, p2) = (B p1, B p2). Vamos a considerar la interpretación geométrica de la Sumatoria de los vectores R2: De la figura se puede concluir que si p = (p1, p2) y q = (q1, q2), entonces mediante la reasignación de la representación de p y q, la suma resulta ser (p1, p2) + (q1, q2) = (p1 + q1, p2 + q2). Esta regla se conoce como:“Suma del Paralelogramo”. Estos vectores R2 también pueden ser divididos en dos componentes los cuales son perpendiculares entre sí. Estos componentes son generados con respecto al sistema de coordenadas el cual pueden ser de múltiples dimensiones. El vector componente está relacionado con el componente escalar b, de forma que: = Vx i^ = Vy j^ Similar al vector R2, R3 también posee las propiedades: 1. Suma de vectores R3: Si p y q son dos vectores de la forma R3 entonces p + q = (p1, p2, p3) + (q1, q2, q3) = (p1 + q1, p2 + q2, q3 + p3). 2. Producto Escalar: Considere B ? R y el vector P en R3, en este caso el producto escalar es de la forma B (p1, p2, p3) = (Bp1, Bp2, Bp3). Otra propiedad importante de los vectores R2 y R3 es conocida como superposición. Esta es la combinación de la suma vectorial y la multiplicación escalar. De acuerdo con esta, si existen dos vectores A y B y los escalares a y b, entonces la superposición puede ser representada como: aA + bB Uno puede encontrar el vector variable señalizado con un signo negativo. Este signo negativo indica

dirección opuesta y no una magnitud negativa. Por lo tanto, un caso específico de la propiedad de la superposición es cuando a = 1 y b = −1. En este caso, obtenemos (1)A + (−1) B = aA - bB Por lo tanto, se conoce como sustracción. Estas propiedades de superposición y sustracción también pueden ser aplicadas a los vectores de R3. Veamos un ejemplo de R3. Considere el vector R3 y un vectorR3 La suma y la resta de los vectores son bastante fáciles, por tanto observando la multiplicación de estos dos vectores, obtenemos

REPRESENTACIÓN DE LAS OPERACIONES EN R2 Y R3. DIRECCION DE LOS VECTORES. Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son: Definición: la dirección de un vector u=(a,b) es el ángulo medio en radianes que forma el vector con el eje positivo de las x. El ángulo se puede medir haciendo tanθ=b/a; pero es importante localizar el vector puesto que θ=tan1b/a da valores entre -π/2 y π/2 mientras que el ángulo buscado estará entre 0 y 2π

Ejemplo 1: encontrar la direccion del vector (-√3,1) tanθ=-1/√3=-π/6; sin embargo el vector esta en segundo cuadrante; por lo tanto el angulo θ sera de π-π/6=5π/6.

ΡΕΠΡΕΣΕΝΤΑΧΙΝ ΓΕΟΜ⊃ΤΡΙΧΑ ∆ΕΛ ΠΡΟ∆ΥΧΤΟ ΠΟΡ ΕΣΧΑΛΑΡ Λα µυλτιπλιχαχι⌠ν δε υν ϖεχτορ πορ υν εσχαλαρ κυ

Σι κ>0 ελ ϖεχτορ χονσερϖα συ διρεχχι⌠ν; σι κ