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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE CÓMPUTO

Análisis Vectorial Lista de problemas Edrian Fernando Rebollo Gutiérrez 1CV2

Problema 1: Demostrar que la distancia entre los puntos a = (5, 4, 2) y b = (0, 3, 1) es 3√3 𝐷𝑎𝑏 = √(0 − 5)2 + (3 − 4)2 + (1 − 2)2 𝐷𝑎𝑏 = √25 + 1 + 1 𝐷𝑎𝑏 = √27 𝐷𝑎𝑏 = √(32 )(3) 𝐷𝑎𝑏 = 3√3

Problema 2 Show that the distance of the point (a  b, a  b, c) from the origin is

A  (a  b, a  b, c) O  (0,0,0)

 v  (a  b) 2  (a  b) 2  c 2

 v  a 2  2ab  b 2  a 2  2ab  b 2  c 2  v  a 2  2ab  b 2  a 2  2ab  b 2  c 2  v  2a 2  2b 2  c 2

Problema 3 Find the distance between (i) The points (1,-1,0) and (1,2,4). Ii)The points (3,-1,2) and (-1,5,-1).

A=

a(1,-1,0) y b(1,2,4)

2a 2  2b 2  c 2 .

A=

ab ((1-1), (2-(-1)), (4-0))

A=

(0,3,4)

|→| = √(0)2 + (3)2 + (4)2 𝐴

|→| = √0 + 9 + 16 𝐴

|→| = √25 𝐴

|→| = 5 𝐴

B= c(3,-1,2) y d(-1,5-1) B= cd (((-1)-3), (2-(-1)), (-1-2)) B= (-4,6,-3) |→| = √(−4)2 + (6)2 + (−3)2 𝐵

|→| = √16 + 36 + 9 𝐵

|→| = √61 𝐵

Problema 7 Encontrar la longitud del perímetro del triángulo cuyos vértices se encuentran en los puntos (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). 𝑃1 = (1,0,0)

𝑎⃗ = 𝑃1 𝑃2 = 𝑃2 − 𝑃1 = (−1,1,0)

𝑃2 = (0,1,0)

𝑐⃗ = 𝑃2 𝑃3 = 𝑃3 − 𝑃2 = (0, −1, 1)

𝑃3 = (0,0,1)

𝑏⃗⃗ = 𝑃3 𝑃1 = 𝑃1 − 𝑃3 = (1, 0, −1) |𝑎⃗| = √(−1)2 + (1)2 = √2 |𝑏⃗⃗| = √(1)2 + (−1)2 = √2

𝑝 = |𝑎| + |𝑏| + |𝑐 | = 2√2

|𝑐⃗| = √(−1)2 + (1)2 = √2

Problema 8 Show tha the direction cosines of the line joining the origin to the point (1, -4, 3) are: 1/√26, -4/√26, 3/√26. Solution: P = (1, -4, 3) O = (0, 0, 0) Â = (1, -4, 3)

cosΘ = (Â1,2,3 / ||Â||)

||Â|| = √((1)² (-4)² (3)²) = √26

cosα = (a1 / ||Â||) = 1/√26 cosβ = (a2 / ||Â||) = -4/√26 cosɣ = (a3 / ||Â||) = 3/√26

Problema 9 Encontrar los cosenos directores de la línea que parte del origen al punto (6,2,5). → 𝑎

= (6,2,5) 2

|→| = √62 + 22 + 52 = √65 𝑎

Cosα =

a1 |→| a

=

6 √65

Cosβ =

a2 |→| a

=

2 √65

Cosδ =

a3 |→| a

=

5 √65

Problema 10 A line makes angles of 60° with both the x-axis and y-axis and is inclined at an obtuse angle to the z-axis. Show that its directions cosines are

1 2

1 2

, ,

√2 2

and write down the angle

it makes with the z-axis

𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛽 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛾 = 1

1 2

1 2

( )2 + ( )2 + 𝑐𝑜𝑠2 𝛾 = 1 1 4

1 4

𝑐𝑜𝑠 2 𝛾 = 1 − ( + ) 𝑐𝑜𝑠 2 𝛾 =

1 2 1 2

√𝑐𝑜𝑠2 𝛾 = √ = 1 √2

√2 √2

1 √2

cos 𝛾 = ( ) ( ) =

√2 2

Problema 12 Find the direction ratios for the line which makes an angle of 45° with the 𝑥-axis and an angle of 45° with the 𝑦-axis, and lies in the positive octant. Solution: cos 2 𝛼 + cos 2 𝛽 = 1 cos 2 𝛼 + (1 − sin2 𝛽) = 1 cos 2 𝛼 − sin2 𝛽 = 0 cos 2 𝛼 = sin2 𝛽 2 2 = 4 4 2 2 2 2 𝑑 = ±√( ) + ( ) 4 4 1 𝑑=± √2

Problema 13. Hallar las razones de dirección de la recta que forma ángulos de 45° con el eje x y el eje y, y está situada en el octante positivo.

l = cos(45°) =

3 √2

n = cos(45°) =

3 √2

d = √𝑙2 + 𝑛2 = 1 l=

𝑙 𝑑

n=

𝑛 𝑑

Si se cumple por lo tanto los ángulos dados si son conjuntos posibles de cosenos directores correspondientes.

Problema 14 Show that the angle between the lines whose direction cosines are ½√2, ½√2, 0 and 1/3√3, 1/3√3, 1/3√3 is cos-1 1/3√6. Solución: 𝜃 = cos −1 1

1

1

1

(2√2∗3√3)+(2√2∗3√3)+(0∗3√3)

-1

θ = cos

1

𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ ‖𝑎⃗‖‖𝑏⃗⃗‖

1

1

1

1

1

(√(2√2)2 +(2 √2)2 +02 )(√(3√3)2 +(3 √3)2 +(3 √3)2 )

θ = cos-1 θ = cos-1

2 √6 6

(√1) (√1) 1 3

√6

Problema 15 Find the angle between any two diagonals of a cube. [Hint. Choose axes suitably, with origin at the center of the cube]. Solution. 𝑇ℎ𝑒 𝑎𝑐𝑢𝑡𝑒 𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 𝜃 𝑏𝑒𝑡𝑤𝑒𝑒𝑛 𝑡𝑤𝑜 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑠 𝑢 𝑎𝑛𝑑 𝑣 𝑖𝑠 𝑔𝑖𝑣𝑒𝑛 𝑏𝑦: 𝑐𝑜𝑠𝜃 = Place the cube in the first octant with one vertex at the origin.

|𝑢 ∙ 𝑣| |𝑢||𝑣|

One diagonal is from origin (0,0,0) to (1,1,1) : 𝑢 = (𝑖 + 𝑗 + 𝑘) Another diagonal is from origin (1,0,0) to (0,1,1) : 𝑣 = (𝑖 − 𝑗 − 𝑘) Therefore: 𝑐𝑜𝑠𝜃 =

|(𝑖+𝑗+𝑘)∙(𝑖−𝑗−𝑘)| √12 + 12 +12 √12 + (−1)2 +(−1)2

=

|1−1−1| √3 √3

𝜃 = cos −1

=

1 √3

1 √3

Problema 16 Si a y b son tales que a=b, use el diagrama para interpretar geométricamente la relación. (a+b)(a-b)=a2-b2=0

PO=(a,a,0)-(0,0,a)=(a,a,-a)=a RS=(0,a,a)-(a,0,0)=(-a,a,a)=b

cosθ (a,a-a) (-a,a,a) a=1

𝑎∙𝑏 |𝑎| ∙ |𝑏|

cosθ =

1 √3√3

=

1 9

a.b= -1+1-1=1 θ = cos −1

1 3

|𝑎| = √3 |𝑏| = √3

Problema 18 Los pies de las perpendiculares desde el punto (4,-4,0) a las rectas que pasan por el origen y cuyos cosenos directores son

√2 √2 , ,0 2 2

1 2 2 3 3 3

y , , están representados por n y n’ hallar las

longitudes de On y On’ donde O es el origen y explica porque una de estas es 0 𝑛 = (√2, √2, 0)𝑦 𝑛′ = (1,2,2) 𝐷(𝑝, 𝑛) = 𝐷(𝑝, 𝑛) =

|(√2)(4) + (√2)(−4) + (0)(0)| √4

|(1)(4) + (2)(−4) + (2)(0)| √12

+ 22

+ 22

Una de las 2 es 0 porque la recta pasa sobre ese punto

Problema 19 |A|=√ (12+32+42) |A|=√ (26) |B|=√ (22+-12+02) |B|=√ (5)

=

=

0 =0 2

|4 − 8 + 0| 4 = 3 3

Problema 20 Show that the vectors a=(0,-3,3), b=(0,-5,5) have the same direction. What is the radio a/b? −3 3 = −5 5 5 5 𝑎 = (0, −3,3) = (0, −5,5) 3 3 5 𝑎=𝑏 3 The ratio

−15 = 15

Problema 22 Find two unit vectors which are perpendicular to each of the vectors a  (0,0,1), b  (01,1) . Are there any more unit vectors which are perpendicular to both a and b?

a  (0,0,1) b  (0,1,1)

iˆ ˆj kˆ   a  b  0 0 1  iˆ  0 ˆj  0kˆ  iˆ 0 1 1

 c  iˆ  u

 iˆ (1) 2



 iˆ  iˆ 1

Problema 23 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| : |𝑃𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3:2. Demostrar que Un punto P sobre una recta AB es tal que |𝐴𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ±3𝑃𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2𝐴𝑃

Solución ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |: |𝑃𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 3: 2 |𝐴𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 3 𝐴𝑃 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝐵 2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝑃𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2𝐴𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝑃𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2𝐴𝑃 ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ − 𝑃⃗⃗) 2(𝑃 − 𝐴) = 3(𝐵 ⃗⃗ − 3𝑃⃗⃗ 2𝑃⃗⃗ − 2𝐴⃗ = 3𝐵 ⃗⃗ − 2𝐴⃗ 2𝑃⃗⃗ − 3𝑃⃗⃗ = 3𝐵 ⃗⃗ ⃗⃗ 5𝑃 = 3𝐵 − 2𝐴⃗ ⃗⃗ − 2𝐴⃗ 3𝐵 𝑃⃗⃗ = 5 Suponiendo que 𝐴 ⃗ = (𝑖1, 𝑗1, 𝑘1) 𝑦 𝐵 ⃗ = (𝑖2, 𝑗2, 𝑘2) 𝑖2 𝑖1 3 ( 𝑗2 ) + 2 ( 𝑗1 ) 3(𝑖2) + 2(𝑖1) 𝑘2 𝑘1 = ( 3(𝑗2) + 2(𝑗1) ) 𝑃⃗⃗ = 5 3(𝑘2) + 2(𝑘1)

Problema 24 Demostrar que cualquier vector a a=|a|a Donde a es una unidad de vector en la misma dirección que a 𝑣=

𝑣 |𝑣|

𝑎⃗=|a|a  |a|=1

Problema 26 Relative to axes Oxyz, points A,B are such that OA = (1,1,1) , AB = (0,-1,3)

What is the position vector of : i) B relative to O ii) O relative to B O = (1,1,1) A = (2,2,2) B = (2,1,-1) → = ((2 − 1), (1 − 1), (−1 − 1)) 𝑂𝐵

→ = (1,0, −2) 𝑂𝐵

→ = ((1 − 2), (1 − 1), (1 + 1)) 𝐵𝑂

→ = (−1,0,2) 𝐵𝑂

Problema 27 Sobre un plano horizontal un observador camina 1 milla N, seguida de una milla E, una milla S, y una milla W. Explica vectorialmente porque él se encuentra de nuevo en el punto de partida. Al realizar la suma de vectores con el método de polígono, se deduce que

resultante es 0.

Problema 29 De la propiedad AC≤AB+BC de un triangulo ABC, pruebe que: |a+b| ≤ a+b Para que casos particulares es verdad que: |a+b|=a+b?

|a+b| ≤ a+b |a+b|2≤(|a|+|b|)2 (a+b)·(a+b)≤|a|2+2|a||b|+|b|2 |a|2+2|a||b|+|b|2≤|a|2+2|a||b|+|b|2 (|a|+|b|)2≤(|a|+|b|)2 |a+b|=a+b Si: b=(-a) o si 𝑎 = 𝑏 =→ 0

Problema 30 Prove that |𝑎⃗ − 𝑏⃗⃗| ≤ 𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗ 𝑎⃗ − 𝑏⃗⃗ = (𝑎1 − 𝑏1, 𝑎2 − 𝑏2, 𝑎3 − 𝑏3)

𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗ = (𝑎1 + 𝑏1, 𝑎2 + 𝑏2, 𝑎3 + 𝑏3)

(𝑎1 − 𝑏1, 𝑎2 − 𝑏2, 𝑎3 − 𝑏3) ≤ (𝑎1 + 𝑏1, 𝑎2 + 𝑏2, 𝑎3 + 𝑏3)

Problema 32 A unit vector 𝑎 in the positive quadrant of the 𝑥𝑦-plane makes an angle of 45° with each of the axes 𝑂𝑥 and 𝑂𝑦. Show that 𝑎 = (𝑖 + 𝑗)/√2 Solution: 𝑎 = (1,1) (𝑖 + 𝑗) (𝑖 + 𝑗) |𝑢̂| = = √2 √12 + 12

Problema 33. Un vector a en el cuadrante positivo del plano xy forma un ángulo de 45° con cada uno de los ejes OX y OY . Demostrar que: A= (i + j)/√2

Cos 45° =

⃗⃗ 𝑎⃗⃗𝑏 ⃗⃗ | |𝑎⃗⃗||𝑏

|𝑎⃗||𝑏⃗⃗| Cos 45° = 𝑎⃗𝑏⃗⃗ √2 2

(i+j)=0

√2 2

(i+j)

√2 √2

𝑖+𝑗 √2

Problema 34 The position vectors of points A and B relative to the origin 0 of axes 0xyz are i – j + 2k and 5i + j + 6k respectively. Show that AB=6. Solución: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 = (5 − 1), (1 − (−1)), (6 − 2) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 4, 2, 4 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗‖ = √42 + 22 + 42 ‖𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = √36 = 6 ‖𝐴𝐵

Problema 35 If a and b are vectors as given in the table below verify that the scalar products are as shown. Which of the three pairs of vectors area perpendicular?

a

b

i. (1,-1,0) (3,4,5) -1 ii. (4,1,-3) (-1,3,-7) 20 iii. (3,1,4) (2,-2,-1) Solution.

a,b

0

𝐼𝑓 𝑎 ∙ 𝑏 = 0 , 𝑤ℎ𝑒𝑛 𝑎, 𝑏 𝑎𝑟𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑠, 𝑡ℎ𝑒𝑛 𝑡ℎ𝑒𝑠𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑠 𝑎𝑟𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟𝑠. 𝑖) (𝑖 − 𝑗) ∙ (3𝑖 + 4𝑗 + 5𝑘) = (3)(1) + (−1)(4) + (0)(5) = 3 − 4 = −1 𝑖𝑖) (4𝑖 + 𝑗 − 3𝑘) ∙ (−𝑖 + 3𝑗 − 7𝑘) = (4)(−1) + (1)(3) + (−3)(−7) = −4 + 3 + 21 = 20 𝑖𝑖𝑖) (3𝑖 + 𝑗 + 4𝑘) ∙ (2𝑖 − 2𝑗 − 𝑘) = (3)(2) + (1)(−2) + (4)(−1) = 6 − 2 − 4 = 0 Finally the pair iii are vectors perpendiculars for the definition.

Problema 36 Usando la formula a.b=abcosø , encuentra el angulo entre los vectores a=(0,-1,1), b=(3,4,5) 𝜃 = cos

𝑎∙𝑏 |𝑎||𝑏|

ø= 0(3)-1(4)+1(5) √ (02+(-1)2+(1)2 ) √ (32+(4)2+(5)2) ø=1/10

Problema 37 Using the formula 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ = ‖𝑎⃗‖‖𝑏⃗⃗‖ cos 𝜃, find the angle between the vectors 𝑎⃗ = 0, −1,1, 𝑏⃗⃗ = 3,4,5. Is 𝑎⃗ = 0, −1,1 𝑏⃗⃗ = 3,4,5 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ = 0, −4,5

Therefore

𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ = ‖𝑎⃗‖‖𝑏⃗⃗‖ cos 𝜃 cos 𝜃 =

cos 𝜃 =

𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ ‖𝑎⃗‖‖𝑏⃗⃗‖

0−4+5 √02 + 12 + 12 √32 + 42 + 52 cos 𝜃 =

1 √2√50

cos 𝜃 =

1 √100

cos 𝜃 =

1 10

𝜃 = cos −1

1 10

𝜃 = 84° 26′

Problema 38 Demostrar que los vectores i+j+k ,𝜆2 𝑖 − 2𝜆𝑗 + 𝑘 son perpendiculares si y solo si 𝜆 = 1 2 vectores son perpendiculares si su producto punto es =0 por lo tanto: (𝑎1)(𝑏1) + (𝑎2)(𝑏2) + (𝑎3)(𝑏3) = 0 Como el vector a se mantiene fijo , es decir no cambia con el escalar. Entonces 𝑏1 + 𝑏2 + 𝑏3 = 0 Como b3(k) no multiplica a ningún escalar es decir siempre se mantiene fijo siendo uno entonces: sustituyendo los escalares y el valor de b3 queda: 𝜆2 − 2𝜆 + 1 = 0 Resolviendo la ecuación cuadrática: 𝑥=

2 ± √22 − 4 2

𝑥=

2 ± √4 − 4 2

𝑥=

2±0 2

La única solución es 𝑥 = 1 en cualquier otro caso los vectores no son perpendiculares

Problema 39 Encuentra la componente de I en la dirección de i+j+2k i=1

Problema 40 Resolve the vector 3i+4j in the direction of the vectors 4i-3j, 4i+3j, and k. 𝑎⃗ = 3𝑖 + 4𝑗 𝑏⃗⃗ = 4𝑖 − 3𝑗 𝑐⃗ = 4𝑖 + 3𝑗 𝑖 𝑗 𝑎⃗ 𝑥 ⃗⃗⃗ 𝑏 = |3 4 4 −3 𝑖 𝑎⃗ 𝑥 ⃗⃗⃗𝑐 = |3 4 𝑖 𝑗 𝑎⃗ 𝑥 𝑘 = |3 4 0 0

𝑘 0| = −25𝑘 0

𝑗 𝑘 4 0| = 7𝑘 3 0 𝑘 0| = 4𝑖 + 3𝑗 1

Problema 41: Si a y b son vectores, usa el diagrama para interpretar la relación.

P5 1. Tenemos:

P6

P4 a a-b

P1

-b

a+b P2

o

b

P3

2.

Lo podemos transformar, para poder entender

P5

P6

P4

mejor la geometría que

a

estamos analizando.

a-b P1

-b

a+b P2

o

b

P3

3. Los puntos son P1=(-b, 0), P2=(0, 0), P3=(b, 0), P4=(b. a), P5=(0, a), P6=(a, -b) 4. Calculamos la distancia entre los puntos P2 y P5 que serán la altura del rectángulo derecho. 𝐷𝑃2𝑃5 = √(0 − 0)2 + (𝑎 − 0)2 𝐷𝑃2𝑃5 = √𝑎2 = 𝑎 5. Lo mismo para su base, usando los puntos P3 y P4 𝐷𝑃3𝑃4 = √(𝑏 − 0)2 + (0 − 0)2 𝐷𝑃3𝑃4 = √𝑏 2 = 𝑏 6. Obtenemos el área del rectángulo derecho. 𝐴1 = (𝑎)(𝑏) = 𝑎𝑏 7. Obtenemos la base del rectángulo izquierdo, usamos los puntos P1 y P6 𝐷𝑃1𝑃6 = √(0 − 𝑏)2 + (0 − 0)2 𝐷𝑃1𝑃6 = √𝑏 2 = 𝑏 8. Obtenemos la segunda área (rectángulo izquierdo). 𝐴2 = (𝑎)(𝑏) = 𝑎𝑏 9. Al hacer la resta de las bases tenemos que: 𝐴1 − 𝐴2 = 𝑎𝑏 − 𝑎𝑏 = 0 10. Efectivamente, el resultado es 0.

Problema 42 Show that, if vectors a and b are as given in the first two columns of the table below, a x b is as given in the third column. a i) ii) iii)

(3,7,2) (1,-3,0) (8,8,-1)

b (1,3,1) (-2,5,0) (5,5,2)

i)

a  (3,7,2) b  (1,3,1)

iˆ ˆj kˆ a  b  3 7 2  iˆ  ˆj  kˆ  (1,1,1) 1 3 1

ii)

a  (1,3,0) b  (2,5,0)

ˆj kˆ iˆ a  b  1  3 0  0iˆ  0 ˆj  kˆ  (0,0,1) 2 5 0 iii)

a  (8,8,1) b  (5,5,2)

iˆ ˆj kˆ a  b  8 8  1  21iˆ  21 ˆj  0kˆ  (21,21,0) 5 5 2

axb (1,-1,2) (0,0,-1) (21,-21,0)

Problema 44 Mediante la adopción de componentes, probar que la ley de distributividad por los productos de los vectores: 𝑎 𝑥 (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 𝑥 𝑏 + 𝑎 𝑥 𝑐

a=(a1,a2,a3) b=(b1,b2,b3) c=(c1,c2,c3) b+c= (𝑏1 + 𝑐1) + (𝑏2 + 𝑐2) + (𝑏3 + 𝑐3) 𝑗̂ 𝑖̂ 𝑘̂ 𝑏1 + 𝑐1 𝑏2 + 𝑐2 𝑏3 + 𝑐3 𝑎 𝑥 (𝑏 + 𝑐) = 𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎 𝑥 (𝑏 + 𝑐) = ((𝑎3𝑏2 + 𝑎3𝑐2) − (𝑎2𝑏3 + 𝑎2𝑐3))𝑖̂ − ((𝑎3𝑏1 + 𝑎3𝑐1) − (𝑎1𝑏3 + 𝑎1𝑐3))𝑗̂ + ((𝑎2𝑏1 + 𝑎2𝑐1) − (𝑎1𝑏2 + 𝑎1𝑐2))𝑘̂ 𝑖̂ 𝑗̂ 𝑘̂ 𝑎 𝑥 𝑏 = 𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑏1 𝑏2 𝑏3 𝑎 𝑥 𝑏 = ((𝑎2𝑏3) − (𝑎3𝑏2))𝑖̂ − ((𝑎1𝑏3) − (𝑎3𝑏1))𝑗̂ + ((𝑎1𝑏2) − (𝑎2𝑏1))𝑘̂

𝑖̂ 𝑗̂ 𝑘̂ 𝑎 𝑥 𝑐 = 𝑎1 𝑎2 𝑎3 = 𝑐1 𝑐2 𝑐3 𝑎 𝑥 𝑐 = ((𝑎2𝑐3) − (𝑎3𝑐2))𝑖̂ − ((𝑎1𝑐3) − (𝑎3𝑐1))𝑗̂ + ((𝑎1𝑐2) − (𝑎2𝑐1))𝑘̂ 𝑎 𝑥 𝑏 + 𝑎 𝑥 𝑐 = (((𝑎2𝑏3) − (𝑎3𝑏2)) + ((𝑎2𝑐3) − (𝑎3𝑐2)))𝑖̂ − (((𝑎1𝑏3) − (𝑎3𝑏1)) + ((𝑎1𝑐3) − (𝑎3𝑐1)))𝑗̂ + (((𝑎1𝑏2) − (𝑎2𝑏1)) + ((𝑎1𝑐2) − (𝑎2𝑐1)))𝑘̂

Problema 46 if 𝑎𝑥𝑏 = 𝑎 − 𝑏 Prove that 𝑎=𝑏 𝑖) (3,72) (1,3,1) 𝑖𝑖) (1, −3,0) (−2,5,0) 𝑖𝑖𝑖) (8,8, −1) (5,5,2) 𝑖 𝑗 𝑘 𝑖) 𝑎𝑥𝑏 = |3 7 2| = 𝑖((7)(1) − (2)(3)) = 1, −𝑗 = ((3)(1) − (2)(1)) = 1, 1 3 1 ((3)(3) − (7)(1)) = 2

𝑘=

𝑎𝑥𝑏 = (1,1,2) 𝑖 𝑗 𝑘 𝑖𝑖) 𝑎𝑥𝑏 = | 1 −3 0| = 𝑖((−3)(0) − (0)(5)) = 0, −𝑗 = ((1)(0) − (0)(−2)) = 0, 𝑘 = −2 5 0 (−3)(−2)) ((1)(5) − = −1 𝑎𝑥𝑏 = (0,0, −1) 𝑖 𝑗 𝑖𝑖𝑖) 𝑎𝑥𝑏 = |8 8 5 5 (8)(5)) = 0

𝑘 −1| = 𝑖((8)(2) − (−1)(5)) = 21 , −𝑗((8)(2) − (−1)(5)) = 21, 𝑘((8)(5) − 2 𝑎𝑥𝑏 = (21,21,0) 𝑖) (1,1,2) 𝑖𝑖) (0,0, −1) 𝑖𝑖𝑖) (21,21,0)

𝑖) 𝑎 − 𝑏 = (3,7,2) − (1,3,1) = [ (3 + (−1)), (7 + (−3)), (2 + (−1)) ] = (2,4,1) 𝑖𝑖) 𝑎 − 𝑏 = (1, −3,0) − (−2,5,0) = [ (1 + (−(−2))) , (−3 + (−5)), (0 + (−0)) ] = (3, −8,0) 𝑖𝑖𝑖) 𝑎 − 𝑏 = (8,8, −1) − (5,5,2) = [ (8 + (−5)), (8 + (−5)), (−1 + (−2)) ] = (3,3, −3)

𝑎𝑥𝑏 ≠ 𝑎 − 𝑏 𝑖) (1, −1,2) ≠ (2,4,1) 𝑖𝑖) (0,0, −1) ≠ (3, −8,0) 𝑖𝑖𝑖) (21, −21,0) ≠ (3,3, −3)

La igualdad no se cumple por lo tanto no se puede probar que a=b

Problema 47 Encuentra la mejor fórmula general para el vector U satisfaciendo la ecuación: 𝑢 ⃗⃗ × (2, 1, −1) = (1, 0, 0) × (2, 1, −1) (𝑎, 𝑏, 𝑐) × (2,1, −1) = (1,0,0) × (2,1, −1) 𝑖 [𝑎 2

𝑗 𝑘 𝑖 𝑏 𝑐 ] = [1 2 1 −1

𝑗 𝑘 0 0] 1 −1

(−𝑏 − 𝑐)𝑖 − (−𝑎 − 2𝑐)𝑗 + (𝑎 − 2𝑏) = 𝑗 + 𝑘 𝑎 = 1 − 2𝑏

𝑏 = −𝑐

𝑐 = −𝑏

Problema 48 Find a, b if: ( ai + bj + k ) X ( 2i + 2j + 3k ) = i – j

( ai + bj + k ) X ( 2i + 2j + 3k ) = i a 2

j b 2

= 3bi + 2j + 2ak - 2i - 3aj – 2bk = (3b – 2)i + (2 – 3a)j + (2a- 2b)k

k 1 3

(3b – 2)i + (2 – 3a)j + (2a- 2b)k = i – j (3b – 2)i = i 3b – 2 = 1 b=1

(2 – 3a)j = – j 2 – 3a = -1 a=1

(2a- 2b)k = 0 2a – 2b = 0 2(1) – 2(1) = 0 0=0

Problema 49 Por medio de la construcción de un ejemplo, demuestre que si existe a, b, c tal que: a x (b x c)≠ (a x b) x c → 𝑎

= (1,3,5)

→ 𝑏

→ 𝑐

= (1,3,5)

= (1,3,5)

a x (b x c)≠ (a x b) x c î (î + 3ĵ + 5k̂) x |2 1

ĵ k̂ î ĵ 4 6| ≠ |1 3 6 3 2 4

î ĵ k̂ î |−2 4 −2| ≠ | 1 1 6 3 −24

k̂ 5| 𝑥 (î + 6ĵ + 3k̂) 6 ĵ 3 0

k̂ 5| 8

(24î + 128ĵ + 72k̂) ≠ (24î + 4ĵ + 8k̂)

Problema 50 If the non zero vectors

𝑎⃗, 𝑏⃗⃗ 𝑦 𝑐⃗ are not coplanar, show that any other vector A may be

expressed uniquely in the form (where λ , μ , δ arescalars ): 𝐴= 𝜆𝑎+ 𝜇𝑏+ 𝛿𝑐 A =(A1 ,A2,A3)

a=(a1,a2,a3)

b=(1,b2,b3)

c=(c1,c2,c3)

𝐴1 = 𝜆 𝑎1 + 𝜇 𝑏1 + 𝛿 𝑐1 𝐴2 = 𝜆 𝑎2 + 𝜇 𝑏2 + 𝛿 𝑐2 𝐴3 = 𝜆 𝑎3 + 𝜇 𝑏3 + 𝛿 𝑐3 Entonces: 𝑎1 𝑎2 𝑎3 |𝑏1 𝑏2 𝑏3| ≠ 0 𝑐1 𝑐2 𝑐3



𝑎⃗ ∙ ( 𝑏⃗⃗ 𝑥 𝑐⃗ ) ≠ 0

Problema 51 Por escribir componentes, o de otro modo, demostrar que A.(B X C)=(A X B).C El produ cto mi xto de lo s vectores a, b y c es ig ual al produ cto esca lar d el primer ve ctor por el pro ducto ve ctorial de los otro s do s . Esto sign ifi ca que el p rodu cto de l os vectores “b xc” te dará por resul tado otro vector que será multi pli cado por “a” en este caso es una es calar Sería el mi smo re sultado si se o btuviera el pro ducto de “axb” y multipl icar lo po r “c” que sería un e scalar El produ cto mi xto también se pued e utilizar para ca lcu lar tanto el áre a de un paralelo gramo co mo el v olume n de un parale lepíped o en don de c ada vector a, b y c ser ía una ari sta de l as figu ras (axb) sería el área del para lelog ra mo y (axb).c seria el volu men del paralelepí pedo

Problema 52 If (𝑥, 𝑦, 𝑧) is any point on the plane through the points (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1),(𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 ) and the origin, show that 𝑥 |𝑥1 𝑥2

𝑦 𝑦1 𝑦2

𝑧 𝑧1 | = 0. 𝑧2

Solution: We have this condition: 𝑎. (𝑏 × 𝑐) ≠ 0 giving by “The 𝑎, 𝑏 and 𝑐 vectors shouldn’t be zero vectors for this condition is met”. Then: 𝑎 = (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) 𝑏 = (𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 ) 𝑐 = (0,0,0) As c is the zero vector, the condition is not fulfilled and because that the matrix is 0.

Problema 53 Si (x,y,z) es algún punto en el plano entonces los puntos (x1, y1 , z1) , (x2 , y2 , z2) probar que

𝑥 𝑦 |𝑥1 𝑦1 𝑥2 𝑦2

𝑥 𝑥1 | 𝑥2

𝑧 𝑧1| = 0 𝑧2

𝑦 𝑧 𝑦1 𝑧1| = 𝑦1𝑧2 − 𝑦2𝑧1 − 𝑥1𝑧2 + 𝑥2𝑧1 + 𝑥1𝑦2 − 𝑥2𝑦1 𝑦2 𝑧2 = yiz2 – y2z1 + x1 (y2 – z2) + x2 (z1 – y1) Si y1 , y2 , z1 , z2 = 1 Entonces Yiz2 – y2zi + x1 (0) + x2 (0)

1–1+0+0 =0

Problema 54 Show that (𝑎 + 𝑏 + 𝑐) ∙ (𝑏 × 𝑐) = 𝑎 ∙ (𝑏 × 𝑐) Solución: (𝑎 + 𝑏 + 𝑐) ∙ (𝑏 × 𝑐) = 𝑎 ∙ (𝑏 × 𝑐) 𝑎 ∙ (𝑏 × 𝑐) + 𝑏 ∙ (𝑏 × 𝑐) + 𝑐 ∙ (𝑏 × 𝑐) = 𝑎 ∙ (𝑏 × 𝑐) Como: 𝑖 (𝑏 × 𝑐) = |𝑏1 𝑐1

𝑗 𝑏2 𝑐2

𝑘 𝑏3 | 𝑐3

y 𝑎1 𝑎 ∙ (𝑏 × 𝑐) = |𝑏1 𝑐1

𝑎2 𝑏2 𝑐2

𝑎3 𝑏3 | 𝑐3

𝑏1 𝑏 ∙ (𝑏 × 𝑐) = |𝑏1 𝑐1

𝑏2 𝑏2 𝑐2

𝑏3 𝑏3 | 𝑐3

𝑐1 𝑐 ∙ (𝑏 × 𝑐) = |𝑏1 𝑐1

𝑐2 𝑏2 𝑐2

𝑐3 𝑏3 | 𝑐3

Se tiene:

De las propiedades de las matrices, se tiene que cuando 2 filas (columnas) son iguales, el determinante es 0, entonces: 𝑏 ∙ (𝑏 × 𝑐) = 0 y 𝑐 ∙ (𝑏 × 𝑐) = 0 De: 𝑎 ∙ (𝑏 × 𝑐) + 𝑏 ∙ (𝑏 × 𝑐) + 𝑐 ∙ (𝑏 × 𝑐) = 𝑎 ∙ (𝑏 × 𝑐)

Se tiene que: 𝑎 ∙ (𝑏 × 𝑐) + 0 + 0 = 𝑎 ∙ (𝑏 × 𝑐) 𝑎 ∙ (𝑏 × 𝑐) = 𝑎 ∙ (𝑏 × 𝑐)

Problema 57 Mostrar que si existen escalares 𝑚 y 𝑛, no ambos cero, tales que 𝑚𝐴 + 𝑚𝐵 = 0, entonces 𝐴 y 𝐵 son paralelos.

Problema 58 si A y B son vectores no paralelos tales que C=(m+n-1)A+ (m+n)B , D=(m-n)A+(2m-n+1)B hallar m y n tales que C=3D 𝑚 + 𝑛 − 1 = 3𝑚 − 3𝑛 ; 𝑚 + 𝑛 = 6𝑚 − 3𝑛 + 3 Despejando se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones: 2𝑚 − 4𝑛 = −1 5𝑚 − 4𝑛 = −3 Resolviendo 5(2𝑚 − 4𝑛 = −1) −2(5𝑚 − 4𝑛 = −3) 10𝑚 − 20𝑛 = −5 −10𝑚 + 8𝑛 = 6 12𝑛 = −1

𝑛=− 2𝑚 − 4(−

1 12

1 ) = −1 12

2𝑚 = −

4 3

4 𝑚= 3 2 −

𝑚=−

2 3

Problema 59 -Demostrar que |A+B|2=|A|2+|B|2 si A y B son Si A·B= |A||B|cosα cos90°=0 Por lo tanto A·B=0 Si A·B=0 cuando A y B son ortogonales |A·A|+|2A·B|+| B·B| 2| A·B|=0 Entonces |A|2+|B|2

Problema 60 Entre los vectores de las bases de dos sistemas de coordenadas, 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 y 𝑏1 , 𝑏2 𝑏3 existen las relaciones 𝑎1 = 2b1 + 3b2 – b3, a2= b1 – 2b2 + 2b3, a3= -2b1 + b2 -2b3

Problema 61. Si → y → son vectores unitarios, demostrar que: 𝑎

𝑏

2

2

|→ 𝑥 →| = 1 − (→ .→) 𝑎

𝑏

𝑎

𝑏

1. Sabemos que |𝑎 𝑥 𝑏| = 𝑎𝑏 sin ∅ 2. Por lo tanto: |𝑎 𝑥 𝑏|2 = 𝑎2 𝑏 2 sin2 ∅

3. Pero, también sabemos que: sin2 ∅ + cos 2 ∅ = 1 sin2 ∅ = 1 − cos 2 ∅ 4. Sustituyendo tenemos que: 𝑎2 𝑏 2 (1 − cos 2 ∅) 5. Multiplicando tenemos que : 𝑎2 𝑏 2 − 𝑎2 𝑏 2 cos 2 ∅ 6. Previamente sabemos que: 𝑎. 𝑏 = 𝑎𝑏 cos ∅ 𝑎. 𝑎 = 𝑎2 cos 1 = |𝑎2 | = 1 7. El ángulo de un vector es: cos ∅ =

𝑎. 𝑏 𝑎𝑏

8. Sustituyendo tenemos que: 1 − 𝑎2 𝑏 2 9. Así llegamos al resultado:

(𝑎. 𝑏)2 𝑎2 𝑏 2

2

2

|→ 𝑥 →| = 1 − (→ .→) 𝑎

𝑏

𝑎

𝑏

Problema 62 Demostrar que ( A  B)  ( A  B)  A2  B 2 y dar una interpretación geometrica

( A  B)  ( A  B)  A2  B 2 ( A  A)  ( B  A)  ( B  B)  ( B  A)  A2  ( A  B)  B 2  ( A  B)

 A2  B 2

Problema 63 Si a y b son vectores unitarios y θ es el ángulo entre ellos, demostrar que 1 1 |𝑎 − 𝑏| = |𝑠𝑒𝑛 𝜃| 2 2 Sugerencia |𝑎⃗ − 𝑏⃗⃗|2 = (𝑎⃗ − 𝑏⃗⃗) ∙ (𝑎⃗ − 𝑏⃗⃗) Solución 1 1 2 |𝑎⃗ − 𝑏⃗⃗|2 = | sin 𝜃| 4 2 1 1 2 ⃗⃗ ⃗⃗ (𝑎⃗ − 𝑏) ∙ (𝑎⃗ − 𝑏) = | sin 𝜃| 4 2 1 1 2 (𝑎⃗ ∙ 𝑎⃗ − 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ − 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ + 𝑏⃗⃗ ∙ 𝑏⃗⃗) = | sin 𝜃| 4 2 1 1 2 (𝑎⃗ ∙ 𝑎⃗ − 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ − 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ + 𝑏⃗⃗ ∙ 𝑏⃗⃗) = | sin 𝜃| 4 2 1 1 2 (1 − 2 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ + 1) = | sin 𝜃| 4 2 1 1 2 ⃗⃗ (2 − 2 |𝑎⃗| ∙ |𝑏| cos 𝜃) = | sin 𝜃| 4 2 2 1 2 (1 − cos 𝜃) = | sin 𝜃| 4 2 1 1 2 (1 − cos 𝜃) = | sin 𝜃| 2 2 1 2 1 2 1 1 | 𝑠𝑖𝑛 𝜃| → | 𝑠𝑖𝑛 𝜃| = 1 − 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = (1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃) 2 2 2 2

1 1 (1 − cos 𝜃) = (1 − cos 𝜃) 2 2

Problema 66 Demostrar que (𝑎 − 𝑏)𝑥(𝑏 − 𝑐) + (𝑏 − 𝑑)𝑥(𝑐 − 𝑎) + (𝑐 − 𝑑)𝑥(𝑎 − 𝑏) = 2(𝑎𝑥𝑏 + 𝑏𝑥𝑐 + 𝑐𝑥𝑎)

[(𝑎𝑥𝑏) − (𝑎𝑥𝑐) + (−𝑑𝑥𝑏) − (−𝑑𝑥𝑐) ] + [ (𝑏𝑥𝑐) − (𝑏𝑥𝑎) + (−𝑑𝑥𝑐) − (−𝑑𝑥𝑎) ] + [ (𝑐𝑥𝑎) − (𝑐𝑥𝑏) + (−𝑑𝑥𝑎) − (−𝑑𝑥𝑏)] (𝑎𝑥𝑏) − (𝑏𝑥𝑎) − (𝑎𝑥𝑐) + (𝑐𝑥𝑎) + (−𝑑𝑥𝑏) − (−𝑑𝑥𝑐) − (−𝑑𝑥𝑐) + (−𝑑𝑥𝑐) + (𝑏𝑥𝑐) − (𝑐𝑥𝑏) − (−𝑑𝑥𝑎) + (−𝑏𝑥𝑎) (𝑎𝑥𝑏) − (𝑏𝑥𝑎) − (𝑎𝑥𝑐) + (𝑐𝑥𝑎) + (𝑏𝑥𝑐) − (𝑐𝑥𝑏) (𝑎𝑥𝑏) + (𝑎𝑥𝑏) + (𝑐𝑥𝑎) + (𝑐𝑥𝑎) + (𝑏𝑥𝑐) + (𝑏𝑥𝑐) 2(𝑎𝑥𝑏 + 𝑐𝑥𝑎 + 𝑏𝑥𝑐)

Problema 67 De acuerdo a la ley de senos. Sea ABC un triángulo

Entonces ab senC= bc SenA= ca SenC o bien

Problema 68 Si A X B = A X C ¿Puede concluirse que B = C?

sin 𝐴 𝑎

=

sin 𝐵 𝑏

=

sin 𝐶 𝑐

Solución: AXB=AXC;A≠0 (A X B) - (A X C) = 0 A X (B - C) = 0

Si: A || (B – C) A≠0 B≠C

En el producto vectorial la ley de cancelación no es aplicable, no se puede concluir B = C.

Problema 70 >> si

⃗⃗ , 𝐶⃗ , 𝐷 ⃗⃗ son coplanares, mostrar que: 𝐴⃗, 𝐵

⃗⃗ ) 𝑥 (𝐶⃗ 𝑥 𝐷 ⃗⃗ ) = 0 ( 𝐴⃗ 𝑥 𝐵 ⃗⃗ ) = ⃗⃗ ( 𝐴⃗ 𝑥 𝐵 0 por ser que A y B son multiples escalares uno del otro, por ser coplanares ⃗⃗ ) = ⃗⃗ ( 𝐶⃗ 𝑥 𝐷 0 por ser que C y D son multiples escalares uno del otro, por ser coplanares) ⃗⃗ ) 𝑥 (𝐶⃗ 𝑥 𝐷 ⃗⃗ ) = (0 ⃗⃗ 𝑥 ⃗0⃗ ) = ⃗0⃗ ( ( 𝐴⃗ 𝑥 𝐵

Problema 71 Si A,B,C,D son coplanares, mostrar que (A X B) X (C X D)=0 Es cierto el reciproco? ⃗⃗ x B ⃗⃗ ) x (C ⃗⃗ x D ⃗⃗⃗) = 0 (A

El producto cruz de los productos cruz de AB y CD son igual a 0 ⃗⃗ ) = ⃗⃗ ( ⃗A⃗ x B 0 por ser que A y B son multiples escalares uno del otro, por ser coplanares Como AXB son igual a 0 ⃗⃗ ) = ⃗0⃗ por ser que C y D son multiples escalares uno del otro, por ser coplanares) ( ⃗C⃗ x ⃗D Y BXC son igual a 0 ⃗⃗ x B ⃗⃗ ) x (C ⃗⃗ x D ⃗⃗⃗) = (0 ⃗⃗ x 0 ⃗⃗ ) = 0 ⃗⃗ ((A Si sacas el producto cruz de (0x0) el resultado será 0, es decir que son coplanares.

Problema 72 Demostrar que una condición necesaria y suficiente para que 𝐴 × (𝐵 × 𝐶) = (𝐴 × 𝐵) × 𝐶 es (𝐴 × 𝐶) × 𝐵 = 0 Solución: 𝐴 × (𝐵 × 𝐶) + 𝐵 × (𝐴 × 𝐶) + 𝐶 × (𝐴 × 𝐵) = 0 //Identidad de Jacobi Despejando 𝐴 × (𝐵 × 𝐶) 𝐴 × (𝐵 × 𝐶) = −𝐵 × (𝐴 × 𝐶) − 𝐶 × (𝐴 × 𝐵) 𝐴 × (𝐵 × 𝐶) = ((𝐵. 𝐶)𝐴 − (𝐵. 𝐴)𝐶) + ((𝐶. 𝐴)𝐵 − (𝐶. 𝐵)𝐴) 𝐴 × (𝐵 × 𝐶) = ((𝐶. 𝐵)𝐴 − (𝐶. 𝐴)𝐵) + ((𝐵. 𝐴)𝐶 − (𝐵. 𝐶)𝐴) 𝐴 × (𝐵 × 𝐶) = 𝐶 × (𝐴 × 𝐵) + 𝐵 × (𝐴 × 𝐶) 𝐴 × (𝐵 × 𝐶) = 𝐶 × (𝐴 × 𝐵)

Problema 73 Demostrar que si A , B , C no son coplanares y A X (B X C) = (A X B) X C = 0 , entonces A , B , C son mutuamente perpendiculares.

Para que los vectores sean coplanares , se tiene que el Triple Producto Escalar es igual a 0. Por lo tanto procederemos a hacer el triple producto escalar de los vectores A , B , C.

𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎1 𝑎2 |𝑏1 𝑏2 𝑏3| 𝑏1 𝑏2 𝑐1 𝑐2 𝑐3 𝑐1 𝑐2 a1b2c3 + a2b3c1 + a3b1c2 – a3b2c1 – a1b3c2 – a2b1c3 ≠ 0 Por lo tanto A , B , C

NO son coplanares.

Tenemos que A X (B X C) = ( B ( AC )) – ( C ( AB )) AC = a1c1 + a2c2 + a3c3 AB = a1b1 + a2b2 + a3b3 B(AC) = a1b1c1 + a2b2c2 + a3b3c3 C(AB) = a1b1c1 + a2b2c2 + a3b3c3 B(AC) – C(AB) = a1b1c1 + a2b2c2 + a3b3c3 - a1b1c1 - a2b2c2 - a3b3c3 A X (B X C) = 0 Y (A X B) X C = 0 También gracias a una propiedad de los vectores.

Problema 75 Demostrar que A,B,C son linealmente dependientes si y solamente si [ABC] = 0. Interpretar geométricamente la dependencia y la independencia lineal. 𝐴 = 𝑎1 𝑖 + 𝑎2 𝑗 + 𝑎3 𝑘 𝐵 = 𝑏1 𝑖 + 𝑏2 𝑗 + 𝑏3 𝑘 𝐶 = 𝑐1 𝑖 + 𝑐2 𝑗 + 𝑐3 𝑘 Dos vectores libres del espacio son linealmente dependientes si sus componentes son proporcionales. 𝑣 = 𝑝𝑢 (𝑎, 𝑏, 𝑐) = (𝑝𝑎, 𝑝𝑏, 𝑝𝑐) 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑝 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑣1 𝑣2 𝑣3 = = =𝑝 𝑢1 𝑢2 𝑢3

𝑎1 𝑏1 𝑐1

𝑎2 𝑏2 𝑐2

𝑎3 𝑏3 = 0 𝑐3

Los vectores son linealmente dependientes si el determinante de la matriz que forman es nulo, es decir que el rango de la matriz es menor que 3.

Problema 77 ⃗⃗ = [1,8, −4]. Hallar (a) |𝐴⃗| y |𝐵 ⃗⃗|, (b) |𝐴⃗ − 𝐵 ⃗⃗|, (c)𝐴⃗ ∙ 𝐵 ⃗⃗ , (d) cosenos Sean 𝐴⃗ = [2, −3,6] y 𝐵 ⃗⃗ , y (f) 𝐴⃗ × 𝐵 ⃗⃗ directores del 𝐴⃗, (e) ángulo entre 𝐴⃗ y 𝐵

𝐴⃗ = (2, −3,6)

⃗⃗ = (1,8, −4) 𝐵

(a) ⃗⃗⃗⃗ | = √22 + 32 + 62 |𝐴 ⃗⃗⃗⃗| = √4 + 9 + 36 |𝐴 ⃗⃗⃗⃗ |𝐴| = √49 ⃗⃗⃗⃗ |𝐴| = 7

⃗⃗⃗⃗⃗ = √12 + 82 + 42 |𝐵| ⃗⃗⃗⃗⃗ = √1 + 64 + 16 |𝐵| ⃗⃗⃗⃗⃗ = √81 |𝐵| ⃗⃗⃗⃗⃗ = 9 |𝐵|

(b) ⃗⃗ | = (2, −3,6) + (−1, −8,4) |𝐴⃗ − 𝐵 ⃗⃗ | = (1, −11,10) |𝐴⃗ − 𝐵 ⃗⃗ | = √12 + 112 + 102 |𝐴⃗ − 𝐵 ⃗⃗ | = √1 + 121 + 100 |𝐴⃗ − 𝐵 ⃗⃗| = √222 |𝐴⃗ − 𝐵 (c) ⃗⃗ = (2, −24, −24) 𝐴⃗ ∙ 𝐵 ⃗⃗ = −46 𝐴⃗ ∙ 𝐵 (d) cos 𝛼 =

𝑥 2 = 7 |𝐴⃗|

cos 𝛽 =

𝑦 3 =− ⃗⃗ | 7 |𝐵

cos 𝛾 =

𝑥 6 = 7 |𝐴⃗|

(e) 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ = ‖𝑎⃗‖‖𝑏⃗⃗‖ cos 𝜃 cos 𝜃 =

cos 𝜃 =

𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ ‖𝑎⃗‖‖𝑏⃗⃗‖

2 − 24 − 24 √22 + 32 + 62 √12 + 82 + 42

cos 𝜃 =

−46 √4 + 9 + 36 √1 + 64 + 16 cos 𝜃 =

−46 √49 √81

cos 𝜃 =

−46 √3969

cos 𝜃 = −

46 63

𝜃 = cos −1 −

46 63

𝜃 = 136° 89′ (f) ⃗⃗ = 2 𝐴⃗ × 𝐵 1

−3 6 8 −4

⃗⃗ = (12 − 48)𝑖̂ − (−8 − 6)𝑗̂ + (16 + 3)𝑘̂ 𝐴⃗ × 𝐵 ⃗⃗ = −36𝑖̂ + 14𝑗̂ + 19𝑘̂ 𝐴⃗ × 𝐵

Problema 82 Hallar un vector unitario paralelo al plano xy y perpendicular al vector (4,-3,-1)

( x, y,0)  (4,3,1)  4 x  3 y  0

x2  y2  1 4x  3y  0

2

( x 2  y 2 )  12

x2  y2  1

x  y 1 2

2

3 ( y)2  y 2  1 4 9 y 2 (  1)  1 16 25 2 y 1 16 16 y2  25 4 y 5

x

3 34 3 y   4 45 5

3 4   3 4   , ,0  ó   , ,0  5 5   5 5 

Problema 83 Hallar el área del triángulo que tiene por vértices (3,2,2), (1,-1,6)y (-2,1,4) calculando la magnitud del vector producto Solución 𝐴⃗ = (3, 2, 2) ⃗⃗ = (1, -1, 6) 𝐵 𝐶⃗ = (-2, 1, 4) 𝑚 ⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 = (1 − 3, −1 − 5, 6 − 2) = (−2,6,4) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−2 − 3, 1 − 5, 4 − 2) = (−5, −4, 2) 𝑛⃗⃗ = 𝐴𝐶 12 + 16 = 28 −2 6 4 𝑚 ⃗⃗⃗ 𝑥 𝑛⃗⃗ = ( ) = −(4 + 20) = −16 −5 −4 2 8 + 30 = 38 ̂ 𝑚 ⃗⃗⃗ 𝑥 𝑛⃗⃗ = 28𝑖̂ − 16𝑗̂ + 38𝑘 |𝑚 ⃗⃗⃗ 𝑥 𝑛⃗⃗| = √282 + (−16)2 + 382 |𝑚 ⃗⃗⃗ 𝑥 𝑛⃗⃗| = √756 = 6√21

𝐴2 =

|𝑚 ⃗⃗⃗ 𝑥 𝑛⃗⃗| 6√21 = 2 2

Problema 84 Si A=[1,2,1], B=[2,0,-1] y C=[1,-1,2], verificar que 𝐴 𝑥 (𝐵𝑥𝐶) = (𝐴 • C)𝐵 − (𝐴 • B)𝐶 y (𝐴 𝑥 𝐵)𝑥𝐶 = (𝐴 • C)𝐵 − (𝐵 • C)𝐴

𝑖̂ 𝑗̂ 𝑘̂ 𝐵𝑥𝐶 = 2 0 −1 = −𝑖 − 5𝑗 − 2𝑘 1 −1 2

𝑖̂ 𝑗̂ 𝑘̂ 1 2 1 = 9𝑖 − 𝑗 − 3𝑘 𝐴𝑥(𝐵𝑥𝐶) = −1 −5 −2

𝐴 • 𝐶 = (1, −2,2) 𝑖̂ 𝑗̂ 𝑘̂ (𝐴 • 𝐶)𝐵 = 1 −2 2 = 2𝑖 + 5𝑗 + 4𝑘 2 0 −1 𝐴 • 𝐵 = (2,0, −1) 𝑖̂ 𝑗̂ 𝑘̂ 2 0 −1 = 𝑖 − 5𝑗 − 2𝑘 (𝐴 • 𝐵)𝐶 = 1 −1 2 (𝐴 • C)𝐵 − (𝐴 • B)𝐶=(2,5,4) − (1, −5, −2) (𝐴 • C)𝐵 − (𝐴 • B)𝐶 = (1,0,2)

(𝐴 𝑥 𝐵)𝑥𝐶 = (𝐴 • C)𝐵 − (𝐵 • C)𝐴 𝑖̂ 𝑗̂ 𝑘̂ 1 𝐴𝑥𝐵 = 2 1 = −2𝑖 + 3𝑗 − 4𝑘 2 0 −1

𝑖̂ 𝑗̂ 𝑘̂ −2 3 −4 = 10𝑖 − 0𝑗 − 𝑘 (𝐴 𝑥 𝐵)𝑥𝐶 = 1 −1 2

𝐴 • 𝐶 = (1, −2,2) 𝑖̂ 𝑗̂ 𝑘̂ (𝐴 • 𝐶)𝐵 = 1 −2 2 = 2𝑖 + 5𝑗 + 4𝑘 2 0 −1 𝐵 • 𝐶 = (2,0, −2) (𝐵 • 𝐶)𝐴 = (2,0, −2) (𝐴 • C)𝐵 − (𝐵 • C)𝐴 = (0,5,2)

Problema 86 Hallar el valor de m que haga coplanares los vectores A=(1,1,-1) B=(2,-1,1) y C(m,-1,m) →. (→ 𝑥 →) 𝐴

𝐵

𝐶

𝑖 𝑗 𝑘 → 𝑥 →= | 2 −1 1 | = 𝑖((−1)(𝑚) − (1)(−1)) = −𝑚 + 1, −𝑗 = ((2)(𝑚) − (1)(𝑚)) = 𝐵 𝐶 𝑚 −1 𝑚 2𝑚 − 𝑚, 𝑘 = ((2)(−1) − (−1)(𝑚)) = −2 + 𝑚

(→ 𝑥 →) = ((−𝑚 + 1)𝑖, −𝑗(2𝑚 + 𝑚), (−2 + 𝑚)) 𝐴

𝐵

((1)(−𝑚 + 1), (1)(−2𝑚 + 𝑚), (−2 + 𝑚)) −𝑚 + 1 − 2𝑚 + 𝑚 + 2 − 𝑚 −3𝑚 + 3 = 0 −3𝑚 = −3 𝑚=

−3 −3

𝑚=1 𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑚 = 1 −(1) + 1 − 2(1) + (1) + 2 − (1) 0−1+1 = 0 0=0 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑝𝑙𝑎𝑛𝑎𝑟

Problema 87 Determinar si los siguientes vectores son linealmente independientes. a) (1,1,0),(0,1,1),(1,0,1) 𝛼(1,1,0) + 𝛽(0,1,1) + 𝛾(1,0,1) = (0,0,0) (𝛼, 𝛼, 0) + (0, 𝛽, 𝛽) + (𝛾, 0, 𝛾) = (0,0,0) (𝛼 + 𝛾), (𝛼 + 𝛽), (𝛽 + 𝛾) = (0,0,0) 𝛼+𝛾 =0 𝛼+𝛽 = 0 𝛽+𝛾=0 𝛼 = 𝛽 = 𝛾 = 0 Linealmente independiente b) (1,-6,2),(0,2,7),(-2,12,-4) 𝛼(1, −6,2) + 𝛽(0,2,7) + 𝛾(−2,12, −4) = (0,0,0) (𝛼, −6𝛼, 2𝛼) + (0,2𝛽, 7𝛽) + (−2𝛾, 12𝛾, −4𝛾) = (0,0,0) (𝛼 − 2𝛾), (−6𝛼 + 2𝛽 + 12𝛾), (2𝛼, 7𝛽 − 4𝛾) = (0,0,0) 𝛼 − 2𝛾 = 0 𝛼 = 2𝛾 −6𝛼 + 2𝛽 + 12𝛾 = 0 𝛽=0 2𝛼, 7𝛽 − 4𝛾 = 0

1

𝛾= 𝛼 2

Por lo tanto son linealmente dependientes.

Problema 88 Calcular los determinantes

a) 2

-1

0

4

3

2

3

0

1

|a| = (2)(3)(1)+(-1)(2)(3)+(0)(4)(0)-(3)(3)(0)-(-1)(4)(1)-(2)(2)(0) = 4

b) 1 1 9

4 9 16

9 16 25

|b| = (1)(9)(25)+(4)(16)(9)+(9)(1)(16)-(9)(9)(9)-(4)(1)(25)-(1)(16)(16) = -8

c) 36

18

17

45

24

20

3

5

-2

|c| = (36)(24)(-2)+(18)(20)(3)+(17)(45)(5)-(17)(24)(3)-(18)(45)(-2)-(36)(20)(5) = -27

d) 2 7 17

3 11 19

5 13 23

|d| = (2)(11)(23)+(3)(13)(16)+(5)(7)(19)-(5)(11)(17)-(3)(7)(23)-(2)(13)(19) = -78

Problema 89 Calcular a x b, donde a=î − 2ĵ + k̂ , b=2î + ĵ + k̂. î ĵ |𝑎 𝑥 𝑏| = |1 −2 2 1

k̂ 1| = (−2 − 1)î − (1 − 2)ĵ + (1 + 4)k̂ = −3î + ĵ + 5k̂ 1

Problema 90 >> Calcular 𝑎⃗ ∙ ( 𝑏⃗⃗ 𝑥 𝑐⃗ ) donde 𝑎⃗ = 𝑖 − 2𝑗 + 𝑘 ; 𝑏⃗⃗ = 2𝑖 + 𝑗 + 𝑘 ; 𝑐⃗ = 3𝑖 − 𝑗 + 2𝑘 𝑖 𝑏⃗⃗ 𝑥 𝑐⃗ = [2 3

𝑗 𝑘 1 1] −1 2

𝑏⃗⃗ 𝑥 𝑐⃗ = [(1)(2) − (1)(−1)]𝑖 − [(2)(2) − (1)(3)]𝑗 + [(2)(−1) − (1)(3)]𝑘 𝑏⃗⃗ 𝑥 𝑐⃗ = 3𝑖 − 𝑗 − 5𝑘 𝑎⃗ ∙ ( 𝑏⃗⃗ 𝑥 𝑐⃗ ) = [(1)(3) + (−2)(−1) + (1)(−5)] 𝑎⃗ ∙ ( 𝑏⃗⃗ 𝑥 𝑐⃗ ) = [3 + 2 − 5] = 0

Problema 91 Hallar el área del paralelogramo que tiene por lados los vectores A=i-2j+k, B=2i+j+k a=i-2j+k = (1,-2,1) b=2i+j+k = (2,1,1) A=á x´b= i j k 1 −2 1 2 1 1 =i(-2-1)-j(1-2)+k(1+4) =i(-3)-j(-1)+k(5) =-3i+j+5k =(-3,1,5)=√((−3)2 + (1)2 + (5)2 = √9 + 1 + 25= √35 = A = 5.9 u2

Problema 92 Un triángulo tiene vértices (0,0,0),(1,1,1) y (0,-2,3). Hallar su área. Solución:

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (1 − 0,1 − 0,1 − 0) 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (1,1,1) 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (0 − 0, −2 − 0,3 − 0) 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (0, −2,3) 𝐴𝐶

𝑖̂ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = |1 𝐴𝐵 × 𝐴𝐶 0

𝑗̂ 𝑘̂ 1 1| = 𝑖̂(1(3) − 1(−2)) − 𝑗̂(1(3) − 1(0)) + 𝑘̂ (1(−2) − 1(0)) −2 3 ⃗⃗ = 5𝑖̂ − 3𝑗̂ − 2𝑘̂ 𝑉 ⃗⃗ | = √52 + (−3)2 + (−2)2 = √38 |𝑉 𝐴=

√38 ≈ 3.0822𝑢2 2

Problema 93 ¿Cuál es el volumen del paralelepípedo con lados 2i + j – k , 5i – 3k y i -2j + k?

0 -3 + 10 +1 -12 -5 = Volúmen 9

2 1 |5 0 1 −2

−1 2 1 −3| 5 0 1 1 −2

Problema 94 ¿Cuál es el volumen del paralelepípedo con lados i, 3j – k, y 4i + 2j - k? 𝑢 ⃗⃗ = (1, 0, 0) 𝑣⃗ = (0, 3, −1) 𝑤 ⃗⃗⃗ = (4, 2, −1) 1 0 0 𝑉 = |[𝑢 ⃗⃗, 𝑣⃗, 𝑤 ⃗⃗⃗)| = |0 3 −1| = |1 ((3 ∗ (−1)) − (2 ∗ (−1))) − 0 + 0| ⃗⃗, 𝑣⃗, 𝑤 ⃗⃗⃗]| = |𝑑𝑒𝑡(𝑢 4 2 −1 = |1(−1)| = 1𝑢3

Problema 97 Describir todos los vectores unitarios ortogonales a los vectores dados ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−5𝑖̂, 9𝑗̂, −4𝑘̂) 𝑉1

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (7𝑖̂, 8𝑗̂, 9𝑘̂) 𝑉2

−5 9 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉1 × ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉2 = 7 8

−4 9

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ × 𝑉2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (81 + 32)𝑖̂ − (−28 + 45)𝑗̂ + (63 + 40)𝑘̂ 𝑉1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ × 𝑉2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 113𝑖̂ + 73𝑗̂ + 103𝑘̂ 𝑉1

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |𝑉1 × ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉2| = √1132 + 732 + 1032 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |𝑉1 × ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉2| = √12769 + 5329 + 10609 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = √28707 |𝑉1 × 𝑉2

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉1 × ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉2 113𝑖̂ + 73𝑗̂ + 103𝑘̂ 113𝑖̂ + 73𝑗̂ + 103𝑘̂ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| √28707 √28707 |𝑉1 × 𝑉2

Problema 98 a=(2i-4j-3k), b=(-4i+8j-6k) 2 𝑎⃗𝑥𝑏⃗⃗ = | 4

−4 3 | = (24 − 24)𝑖 − (−12 − 12)𝑗 + (16 + 16)𝑘 8 −6 𝑎⃗𝑥𝑏⃗⃗ = 24𝑗 + 32𝑘

Haciendo unitario: √242 + 322 = 40 Soluciones: 24

1)

40

𝑗+

32 40

𝑘 2)−

24 40

𝑗−

32 40

𝑘

Problema 99 u=i-2j+k v=2i-j+2k u+v=(1+2)i+(-2-1)j+(1+2)k =3i-3j+3k

u·v=(1·2+(-2) · (-1)+(1·2) =6

|u|=√ (12+-22+(1)2) =√ (6)

|v|=(22+-12+(2)2) =3

uxv=

i

j

k

1

-2

1

2

-1

2

=(-4+1)i-(2-2)j+(-1+4)k=3i+3k

Problema 100 Repetir el Ejercicio 13 para u = 3i + j – k, v = -6i – 2j -2k 𝑢 ⃗⃗ + 𝑣⃗ = (−3𝑖, −1𝑗, −3𝑘) 𝑖 𝑗 𝑢 ⃗⃗ 𝑥 ⃗⃗⃗𝑣⃗ = | 3 1 −6 −2

𝑘 −1| = 𝑖 + 12𝑘 −2

‖𝑢 ⃗⃗ ‖ = √32 + 12 + −12 = √𝟗 + 𝟏 + 𝟏 = √𝟏𝟏 ‖𝒗 ⃗⃗‖ = √−𝟔𝟐 + −𝟐𝟐 + −𝟐𝟐 = √𝟑𝟔 + 𝟒 + 𝟒 = √𝟒𝟒 ⃗⃗ ∙ 𝒗 ⃗⃗ = (𝟑𝒊 + 𝒋 − 𝒌) ∙ (−𝟔𝒊 − 𝟐𝒋 − 𝟐𝒌) 𝒖 = 𝟑𝒊(−𝟔𝒊 − 𝟐𝒋 − 𝟐𝒌) + 𝒋(−𝟔𝒊 − 𝟐𝒋 − 𝟐𝒌) − 𝒌(−𝟔𝒊 − 𝟐𝒋 − 𝟐𝒌) −𝟏𝟖𝒊𝒊 − 𝟔𝒊𝒋 − 𝟔𝒊𝒌 + 𝟔𝒊𝒋 − 𝟐𝒋𝒋 − 𝟐𝒋𝒌 + 𝟔𝒊𝒌 + 𝟐𝒋𝒌 + 𝟐𝒌𝒌 = −𝟔𝒊 + 𝟔𝒋 − 𝟏𝟐𝒌

Problema 101: Sean A = (2, -3, 6) y B= (1, 8, -4). Hallar a)|A| y |B|, b) |A-B|, c) A.B a) |𝑨| = √𝟐𝟐 + (−𝟑)𝟐 + 𝟔𝟐 = √𝟒𝟗 = 𝟕 |𝑩| = √𝟏𝟐 + (𝟖)2 + (−𝟒)𝟐 = √𝟖𝟏 = 𝟗

𝟐

b) |𝑨 − 𝑩| = √(𝟏 − 𝟐)𝟐 + (𝟖 − (−𝟑)) + (−𝟒 − 𝟔)𝟐 = √𝟐𝟐𝟐 c) A.B = (2*1) + (-3*8) + (6*-4) = -46

Problema 102 Encontrar una ecuación del plano que: a) Es perpendicular a v=(1,1,1) y pasa por (1,0,0) b) Es perpendicular a v=(1,2,3) y pasa por (1,1,1) c) Es perpendicular a la recta L(t)=(5,0,2)t + (3,-1,1) y pasa por (5,-1,0) d) Es perpendicular a la recta L(t)=(-1,-2,3)t + (0,7,1) y pasa por (2,4,-1) a)

A( x  xo )  B( y. y o )  C ( z  z o )  0 P  (1,0,0)  n  (1,1,1)

1( x  1)  1( y  0)  1( z  0)  0 x 1 y  z  0 x  y  z 1

b)

A( x  xo )  B( y. y o )  C ( z  z o )  0 P  (1,1,1)  n  (1,2,3)

1( x  1)  2( y  1)  3( z  1)  0 x  1  2 y  2  3z  3  0 x  2 y  3z  6

c)

 r  (5,0,2)t  (3,1,1)

A( x  xo )  B( y  y o )  C ( z  z o )  0

P  (5,1,0)

5( x  5)  0( y  1)  2( z  0)  0 5 x  25  2 z  0 5 x  2 z  25

 ro  (5,0,2)

d)

A( x  xo )  B( y  y o )  C ( z  z o )  0

 r  (1,2,3)t  (0,7,1) P  (2,4,1)

 1( x  2)  2( y  4)  3( z  1)  0 ( x  2  2 y  8  3z  3  0)(1) x  2  2 y  8  3z  3  0 x  2 y  3z  13

 ro  (1,2,3)

Problema 103 a) Demostrar que dos planos paralelos o bien son idénticos o bien tienen intersección vacía b) ¿Cómo se intersectan dos planos que no son paralelos? Solución a) 𝐀₁𝒙 + 𝐁₁𝒚 + 𝐂₁𝒛 = 𝐃₁ → 𝐕𝐞𝐜𝐭𝐨𝐫 𝐧𝐨𝐫𝐦𝐚𝐥 𝐧₁ = (𝐀₁; 𝐁₁; 𝐂₁) 𝐀₂𝒙 + 𝐁₂𝒚 + 𝐂₂𝒛 = 𝐃₂ → 𝐕𝐞𝐜𝐭𝐨𝐫 𝐧𝐨𝐫𝐦𝐚𝐥 𝐧₂ = (𝐀₂; 𝐁₂; 𝐂₂) ∴ 𝐧𝟏 ||𝐧𝟐 ↔

𝐀₁ 𝐁₁ 𝐂₁ 𝐃₁ = = ≠ 𝐀₂ 𝐁₂ 𝐂₂ 𝐃₂

Donde 𝑨₂ ≠ 𝟎; 𝑩₂ ≠ 𝟎; 𝑪₂ ≠ 𝟎. b) 𝒏₁ ⊥ 𝒏₂ ↔ 𝒏₁ ∙ 𝒏₂ = 𝑨₁ · 𝑨₂ + 𝑩₁ · 𝑩₂ + 𝑪₁ · 𝑪₂ = 𝟎

Problema 104 Hallar la intersección de los planos 𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝒛 = 𝟎 y 𝒙 − 𝟑𝒚 − 𝒛 = 𝟎 𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝒛 = 𝟎

−𝟑 𝒙 − 𝟔𝒚 − 𝟑𝒛 = 𝟎

𝒙 − 𝟑𝒚 − 𝒛 = 𝟎

−𝟐𝒙 + 𝟔𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟎

𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝒛 = 𝟎

𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟎

−𝟓𝒙 − 𝒛 = 𝟎 𝒙 =

𝒛 −𝟓

𝒙 − 𝟑𝒚 − 𝒛 = 𝟎 Intersección en: 𝒙 =

𝒙 − 𝟑𝒚 = 𝟎 𝒛 −𝟓

=

𝒚 𝟐

𝒙=

𝒚 𝟐

Problema 106 Hallar la intersección de los dos planos cuyas ecuaciones son (𝟑(𝒙 − 𝟏) + 𝟐𝒚 + (𝒛 + 𝟏)) = 𝟎

((𝒙 − 𝟏) + 𝟒𝒚 − (𝒛 + 𝟏)) = 𝟎

𝒚

𝒊) 𝟑(𝒙 − 𝟏) + 𝟐𝒚 + (𝒛 + 𝟏) = 𝟎 𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓 → = (𝟑, 𝟐, 𝟏) 𝒂

𝑷𝒖𝒏𝒕𝒐 = (𝟏, 𝟎, −𝟏) 𝒊𝒊) ((𝒙 − 𝟏) + 𝟒𝒚 − (𝒛 + 𝟏)) = 𝟎 𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓 → = (𝟏, 𝟒, −𝟏) 𝒃

𝑷𝒖𝒏𝒕𝒐(𝟏, 𝟎, −𝟏) i) 𝟑(𝒙 − 𝟏) + 𝟐𝒚 + (𝒛 + 𝟏) = 𝟎 𝟑𝒙 − 𝟑 + 𝟐𝒚 + 𝒛 + 𝟏 = 𝟎 𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝒛 = 2 𝒚 = 𝟎 , 𝒛 = 𝟎; 𝟑𝒙 + 𝟐(𝟎) + (𝟎) = 𝟐

𝟑𝒙 = 𝟐

𝒙=

𝟐 ( , 𝟎, 𝟎) 𝟑

𝟐 𝟑

𝒙 = 𝟎, 𝒛 = 𝟎 𝟑(𝟎) + 𝟐𝒚 + (𝟎) = 𝟐

𝟐𝒚 = 𝟐

𝒚=

(𝟎, 𝟏, 𝟎) 𝒙=𝟎 , 𝒚=𝟎 𝟑(𝟎) + 𝟐(𝟎) + 𝒛 = 𝟐 (𝟎, 𝟎, 𝟐)

𝒛=𝟐

𝟐 𝟐

𝒚=𝟏

ii) (𝒙 − 𝟏) + 𝟒𝒚 − 𝒛 + 𝟏 = 𝟎 𝒙 − 𝟏 + 𝟒𝒚 − 𝒛 = 𝟎 𝒚=𝟎 , 𝒛=𝟎 𝒙 + 𝟒(𝟎) − (𝟎) = 𝟎 𝒙=𝟎 (𝟎, 𝟎, 𝟎) 𝒙=𝟎 , 𝒛=𝟎 (𝟎) + 𝟒𝒚 − (𝟎) = 𝟎 𝟒𝒚 = 𝟎 𝟎 𝒚= 𝟒 𝒚=𝟎 (𝟎, 𝟎, 𝟎) 𝒙=𝟎 𝒚=𝟎 (𝟎) + 𝟒(𝟎) − 𝒛 = 𝟎 −𝒛 = 𝟎 𝒛=𝟎 (𝟎, 𝟎, 𝟎)

Problema 107 Un triángulo tiene vértices (0,0,0),(1,1,1),(0,-2,3) hallar su área. ⃗⃗ = 𝑷𝑸 = (𝟏, 𝟏, 𝟏) 𝒂 ⃗⃗ = 𝑷𝑹 = (𝟎, −𝟐, 𝟑) 𝒃 𝒂𝒓𝒆𝒂 =

𝟏 𝟏 𝒊 ⃗⃗| = |[𝟏 ⃗⃗ × 𝒃 |𝒂 𝟐 𝟐 𝟎

𝒋 𝟏 −𝟐

𝒌 𝟏 𝟏 𝟏]| = |(𝟓𝒊 − 𝟑𝒋 − 𝟐𝒌)| = √(𝟓)𝟐 + (−3)𝟐 + (−𝟐)𝟐 𝟐 𝟐 𝟑 𝒂𝒓𝒆𝒂 =

𝟏 √𝟑𝟖 𝟐

Problema 110 >> Hallar una ecuación para el plano que pasa por el punto P(2,-1,3) y es perpendicular a ⃗⃗ = (𝟏, −𝟐, 𝟐) + 𝒕(𝟑, −𝟐, 𝟒) la recta 𝒓 ⃗⃗⃗⃗⃗𝟎 = (𝟑, −𝟐, 𝟒) = 𝟑𝒊 − 𝟐𝒋 + 𝟒𝒌 𝒓 𝑨 = 𝟑 ; 𝑩 = −𝟐; 𝑪 = 𝟒 𝟓(𝒙 − 𝟐) − 𝟐(𝒚 − (−𝟏)) + 𝟒(𝒛 − 𝟑) = 𝟎 𝟓𝒙 − 𝟏𝟎 − 𝟐𝒚 − 𝟐 + 𝟒𝒛 − 𝟏𝟐 = 𝟎 𝟓𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟒𝒛 = 𝟐𝟒

Problema 111 Hallar una ecuación para el plano que pasa por el punto (2,-1,3) y es perpendicular a la recta v= (0,-2,1)+t(1,-2,4) Ṽ= (0,-2,1) Ro=(1,-2,4)= ῖ-2j+4ḱ =A(x-xo)+B(y-yo)+C(z-zo)=0 =1(x-2)-2(y+1)+3(z-3) =x-2-2y-2+3z-9=0 =x-2y+3z=2+2+9 =x-2y+3z=13

Problema 112 Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (𝟏, −𝟐, −𝟑) y es perpendicular al plano 𝟑𝒙 − 𝒚 − 𝟐𝒛 + 𝟒 = 𝟎. Solución: ̂ = (𝟑, −𝟏, −𝟐) 𝒏 ̂) + 𝒕(𝟑𝒊̂, −𝟏𝒋̂, −𝟐𝒌 ̂) ⃗𝑽⃗ = (𝟏𝒊̂, −𝟐𝒋̂, −𝟑𝒌 ̂) + (𝟑𝒕𝒊̂, −𝟏𝒕𝒋̂, −𝟐𝒕𝒌 ̂) ⃗⃗ = (𝟏𝒊̂, −𝟐𝒋̂, −𝟑𝒌 𝑽 ̂(−𝟑 − 𝟐𝒕) ⃗⃗ = 𝒊̂(𝟏 + 𝟑𝒕) + 𝒋̂(−𝟐 − 𝟏𝒕) + 𝒌 𝑽 𝒙 = 𝟏 + 𝟑𝒕 𝒚 = −𝟐 − 𝟏𝒕 𝒛 = −𝟑 − 𝟐𝒕

Problema 113 Hallar la ecuación del plano que contiene las dos rectas (paralelas) Vi= ( 0, 1, -2) + t (2, 3, -1) V2= ( 2, -1, 0) + t (2, 3, -1)

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑷𝑰𝑷𝟐 = (2 , -2 - 2) 𝒊 |𝟐 𝟐

𝒋 𝟑 −𝟐

𝒌 −𝟏| = 𝟒 𝒊 − 𝟔 𝒋 − 𝟏𝟎𝒌 𝟐

A(X – X0 )+B( Y – Y0)+C( Z – Z0 )=0 4(X – 0 )-6( Y – 1)-10( Z – 2 )=0 4x – 6y – 10z = 14 2x – 3y – 5z = 7

Problema 114 Calcular la distancia del punto (2, 1, -1) al plano x – 2y +2z + 5 = 0 𝑃 = (2, 1, −1) 𝑄 ≡ 𝑥 − 2𝑦 + 2𝑧 + 5 = 0 𝑑(𝑃, 𝑄) =

𝑑(𝑃, 𝑄) =

|𝐴𝑥0 + 𝐵𝑦0 + 𝐶𝑧0 + 𝐷 | √𝐴2 + 𝐵2 + 𝐶 2

|(1 ∗ 2) + (−2 ∗ 1) + (2 ∗ (−1)) + 5| √12 + (−2)2 + 22 𝑑(𝑃, 𝑄) = 𝑑(𝑃, 𝑄) =

|3| √9 |3| 3

𝑑(𝑃, 𝑄) = 1

Problema 115 Hallar una ecuación al plano que contiene la recta 𝑣1 = (−1,1,2) + 𝑡(3,2,4) y es perpendicular al plano 2x+y-3z+4=0 Sea n el vector normal del plano 2x+y-3z+4 = 0 𝑛 = (2𝑖 + 𝑗 − 3𝑘) (3𝑖 + 2𝑗 + 4𝑘) 𝑋 (2𝑖 + 𝑗 − 3𝑘) = 𝑛′ Vector normal del plano requerido 3 2

2 1

4 −1 = (−2 − 4)𝑖 − (−3 − 8)𝑗 + (3 − 4)𝑘 = −6𝑖 + 11𝑗 − 𝑘

Ecuación escalar del plano : A(x-xo) + B(y-yo) + C(z-zo) = 0 A = -6

B = 11

C = -1

xo = -1yo = 1 zo = 2

Ecuación del plano = -6(x+1) + 11(y-1) – (z-2) = 0 −6x − 6 + 11y − 11 – z + 2 = 0 6𝑥 − 11𝑦 + 𝑧 + 15 = 0

Problema 119 Distancia de un plano a un punto 12x+13y+5z+2=0 P(1,1,-5) D=distancia D=Ax0+By0+Cz0+d/sqt(A2+B2+C2) D=(12*1+13*1-5(5)+2)/sqrt(338) D=2/ sqrt(338) D=.108u