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• felipe catolico

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TALLER #1 CALCULO VECTORIAL TEMA Funciones en varias variables Objetivo Identificar, definir, caracterizar y aplicar las funciones en varias variables en la solución de problemas en el ámbito profesional. MARCO TEORICO Definición Se dice que una función está definida en varias variables cuando esta función tiene una dependencia directa con dos o más variables independientes, por esta razón se representa como f(x,y), f(x,y,z),f(x,y,z,t) entre otras, de lo anterior podemos afirmar que f(x,y) representa una función f que depende de dos variables independientes que en seste caso son x,y, un ejemplo de este caso en particular lo podemos tener cuando se revisa el volumen de un cilindro donde este depende de la altura y el radio del mismo, es decir V(r,h)=𝜋𝑟 2 ℎ donde tanto r como h se consideran variables independientes y V como variable dependiente. También se puede considerar como una transformación de un plano en 𝑅 2 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑅 F(x,y)=z es decir que a un par ordenado (x,y) de números reales les asignamos mediante una característica un número real z. El dominio de una función f(x,y)=z está determinado por el conjunto de valores de x,y que hacen que f(x,Y) se defina en el conjunto de los reales y el rango por el conjunto de valores de z, siendo z un número real. La grafica de la función esta determinada por el conjunto de puntos x,y en el espacio tridimensional que se definen en la función según su característica, teniendo en cuenta que las variables independientes son x,y y la dependiente es z. Ejemplo: Determinar el dominio de la función 𝑓(𝑥, 𝑦) =

√𝑦−𝑥 2 1−𝑥 2

Para que f se defina en los reales se debe cumplir que el denominador no sea cero y que el radicando en el numerador no sea negativo, es decir 1 − 𝑥 2 ≠ 0 esto se tiene cuando 𝑥 ≠1, y,𝑥 ≠-1 por que 1 − 𝑥 2 = 0 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜, (1 − 𝑥)(1 + 𝑥) = 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 1 − 𝑥 = 0, 𝑜, 1 + 𝑥 = 0 resolviendo cada ecuación se tiene que el denominador es cero si 𝑥 = 1 , 𝑜, 𝑥 = −1 razon por la cual estos valores no pueden pertenecer al dominio de La función, el numerador de la función está definido sobre un radical de grado par lo que nos indica que el radicando no puede ser menor de cero entonces 𝑦 − 𝑥 2 ≥ 0, 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑦 ≥ 𝑥 2 entonces el dominio de la función está determinado por el conjunto

D={(x,y)/ y≥ 𝑥 2 , ˄, 𝑥 ≠ ±1}, el rango, 𝑅𝑔 ={z𝜖𝑅/−∞ ≤ 𝑧 ≤ ∞} 𝑦 su grafica esta conformada por la unión de todos los puntos (x,y,z) que cumplen con la característica dada

LIMITE El limite de una función en varias variables nos indica el comportamiento de esta, en vecindades de un punto dado y se denota por lim 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐿. (𝑥,𝑦)−(𝑎,𝑏)

La interpretación de dicho enunciado es que si x se acerca a, y tiende b entonces f(x,y)tiende a L. Para calcular límites de funciones en varias variables escogemos diferentes trayectorias y evaluamos cada limite, si se obtiene el mismo valor por las diferentes trayectorias se dice que el limite probablemente existe y tiende a dicho valor. Ejemplo: Evaluar

𝑥𝑦

lim

(𝑥,𝑦)−(0,0) √𝑥 2 +𝑦 2

Al efectuar la evaluación directa el limite toma la forma indeterminada 0/0 lim

𝑥𝑦

(𝑥,𝑦)−(0,0) √𝑥 2

+ 𝑦2

=

0∗0 √02

+

02

0 = , 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑠 0

𝑡𝑟𝑎𝑦𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑠 𝑦 = 𝑥 , 𝑥 = 𝑦 2 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦 = 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 − 𝑥𝑦 0, 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑜𝑡𝑟𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑦𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑠𝑖 𝑥 = 𝑦 2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦 − 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 lim = 2 2 (𝑥,𝑦)−(0,0) √𝑥 +𝑦

lim

𝑥∗𝑥

𝑥−0 √𝑥 2 +𝑥 2

= lim

𝑥2

𝑥−0 √2𝑥 2

=

𝑥2 lim 2𝑥 𝑥−0 √

𝑥 = lim 2 𝑥−0 √

0 = 2 √

= 0.

Sí tomamos la trayectoria x=𝑦 2 entonces 𝑥𝑦

lim

(𝑥,𝑦)−(0,0) √𝑥 2

lim

𝑦2

𝑦−0 √𝑦 2 +1

=

+

0 √1

𝑦2

= lim

𝑦2 ∗ 𝑦

𝑦−0 √𝑦 4

+

𝑦2

= lim

𝑦3

𝑦3

𝑦−0 √𝑦 2 (𝑦 2

+ 1)

= lim 𝑦√𝑦 2 + 1

=

𝑦−0

= 0. El valor del limite por dos trayectorias diferentes es cero, entonces se puede

decir que el limite probablemente existe

lim

𝑥𝑦

(𝑥,𝑦)−(0,0) √𝑥 2 +𝑦 2

= 0.En la evaluación de limites se

pueden tomar diferentes trayectorias y así determinar el comportamiento de la función en vecindades del punto dado. DERIVADAS PARCIALES: Interpretación geométrica de las derivadas parciales ¨Las derivadas parciales de una función representan las pendientes de las rectas tangentes, a las trazas o curvas que conforman la superficie S dada por la función z=f(x,y)¨. Si f(x,y) es una función en dos variables, la función tiene dos derivadas parciales una respecto de x, ∧, otra respecto de Y, estas se representan por 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦) = de x. 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦) =

𝜕𝑓 𝜕𝑦

𝜕𝑓 derivada parcial de la funcion f respecto 𝜕𝑥

derivada parcial de la función respecto de y. 𝜕𝑓

Para hallar 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦) = 𝜕𝑥 se toma la variable y como una constante,∧, se halla la derivada ordinaria de la función respecto a x. Para hallar 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦) =

𝜕𝑓 𝜕𝑦

se toma la variable x como constante,∧, se halla la derivada ordinaria de la

función respecto a y. Ejemplo: Hallar las derivadas parciales de 𝑓(𝑥, 𝑦) = 5𝑥𝑦 + 3𝑥 2 . 𝑃𝑎𝑟𝑎 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑥 𝜕𝑓

𝑠𝑒 𝑡𝑜𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝑦 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝜕𝑥 = 5𝑦 + 6𝑥,

𝜕𝑓 𝜕𝑦

= 5𝑥.

Ejemplo: Hallar las derivadas parciales de 𝑧 = ln (𝑥 + 𝑡 2 ) La función se define entorno a las variables independientes x, ∧, t entonces las derivadas parciales son: 𝜕𝑧 𝜕𝑥

1

𝜕𝑧

1

= 𝑥+𝑡 2 (1), 𝑦 , 𝜕𝑡 = 𝑥+𝑡 2 (2𝑡), la derivada de la función externa que es la función logaritmo en

este caso, por la derivada de la función interna que es un polinomio algebraico. EJERCICIOS 1. Determinar el dominio, rango y hacer la gráfica de las siguientes funciones. 𝑥−𝑦 a. 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑥+𝑦 b. 𝑓(𝑥, 𝑦) =

√𝑦−𝑥 2 . 1−𝑥 2

2. Evalué los siguientes límites. a. lim (𝑥 2 𝑦 3 − 4𝑥 2 ). (𝑥,𝑦)−(3,2)

b. c. d.

lim

2

𝑒 𝑦 tan(𝑥𝑧) .

(𝑥,𝑦,𝑧)−(𝜋,0,1/3) 𝑥 2 𝑦𝑒 𝑦 lim 𝑥 4 +4𝑦2 . (𝑥,𝑦)−(0,0) 𝑥 4 −𝑦 4 . (𝑥,𝑦)−(0,0) 𝑥 2 +𝑦 2

lim

3. Hallar las derivadas parciales de las siguientes funciones a. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑙𝑛(𝑥 2 + 5𝑥𝑦 + 7𝑦 2 ) b. 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦𝑡𝑎𝑛𝑔(𝑥 + 2𝑧) c. 𝑓(𝑥, 𝑡) = 𝑒 −𝑡 cos (𝜋𝑥) d. 𝑧 = 𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦) 4. Sí 𝑓(𝑥, 𝑦) = √4 − 𝑥 2 − 4𝑦 2 , encuentre 𝑓𝑥 (1,0), 𝑓𝑦 (1,0) e interprete estos resultados, realice la respectiva grafica.