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INSTITUTO TECNOLÓGICO DEL ISTMO CALCULO VECTORIAL UNIDAD 3 FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

ÍNDICE

Introducción . ........................................................................................................... 2 3.1

Definición de función vectorial de una variable real. ...................................... 3

3.2

Graficación de curvas en función del parámetro t. ......................................... 4

3.3

Derivación de funciones vectoriales y sus propiedades. ................................ 7

3.4

Integración de funciones vectoriales. ........................................................... 10

3.5

Longitud de arco. ......................................................................................... 11

3.6

Vector tangente, normal y binormal. ............................................................ 13

3.7

Curvatura. .................................................................................................... 14

3.8

Aplicaciones: .................................................. Error! Bookmark not defined.

Conclusion. ............................................................................................................ 17 Bibliografia ............................................................... Error! Bookmark not defined.

pág. 1 MARCOS RUDY FLORES MARTÍNEZ

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Introducción. Una función con valores vectoriales también se conoce como una función vectorial, es una función matemática de una o más variables cuyo rango es un conjunto multidimensional de vectores o de dimensión infinita vectores. A menudo, la entrada de un vector-función con valores es un escalar, pero en general la entrada puede ser un vector de dos variables reales o complejos.En esta investigación se abarcaran los temas que conforman la tercera unidad de cálculo vectorial, con el propósito de conocer y razonar los conocimientos sobre las funciones vectoriales de una variable real. Lo primero que se presentara en esta investigación serán los conceptos sobre que son las funciones y la forma en que estas se grafican, también se hablara sobre la graficación de curvas, derivación e integración de funciones vectoriales, longitud de arco, vectores tangentes normales y binormales y la curvatura. Al final de cada tema se presentara un ejemplo lo cual será una aplicación sobre el tema estudiado para tener un enfoque más amplio sobre lo que se explica.

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3.1 Definición de función vectorial de una variable real. Las funciones vectoriales, también conocidas con el nombre de funciones valoradas vectoriales, son funciones matemáticas cuyo dominio es un conjunto de números reales y su rango es un conjunto infinito de vectores dimensionales. La notación convencional para tal función es, Una función vectorial puede tomar como valor de entrada tanto cantidades escalares como cantidades vectoriales, pero el resultado siempre será una cantidad vectorial. Como podemos ver aquí el rango de dicha función está infinitamente extendido, pero no afecta el rango del dominio de la función de alguna manera. Dado que el rango de la función es infinito, por tanto puede ser dividido sus componentes constitutivos. Por ejemplo, si el rango es de dos dimensiones entonces el rango se puede dividir en sus componentes. Después de haber leído la definición de una función valorada vectorial, es importante saber, ¿por qué surgió la necesidad de desarrollar funciones vectoriales cuando ya teníamos otras funciones con nosotros? Una función vectorial representa principalmente una función que varía con respecto al tiempo. Tomemos el ejemplo de una abeja. La trayectoria que esta traza mientras vuela puede ser descrita en términos de variables de x e y en un espacio tridimensional, pero esta no nos proveería ninguna información con respecto al tiempo de vuelo. En otras palabras, tal función solo nos daría información sobre el camino recorrido por la abeja. Así que imaginemos que la abeja comenzó su vuelo en la posición r1. Por tanto el vector de posición que describe la posición de inicio de la abeja puede ser representado como, Ahora, después de un tiempo esta abeja se detiene en la posición r2 sobre el plano x-y. En consecuencia, podemos utilizar otro vector para representar la posición final de la abeja como,

Entonces, el camino recorrido por esta abeja sería una serie de vectores que comienzan en r1 y terminan en r2. Estos vectores son los vectores de posición, que representan sólo la punta de la flecha del vector en el diagrama anterior. Y a medida que pasa el tiempo, los vectores cambian de r1 a r2.

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3.2 Graficación de curvas en función del parámetro t. Sea la función vectorial entonces diremos que ′ es la derivada de dicha función y se define mediante:

Para valores cualesquiera de t para los que existe el límite. Cuando el límite existe para t = a se dice que es derivable en t = a.

Teorema Sea una función vectorial y supongamos que sus funciones componentes f, g y h son todas derivables para algún valor de t, entonces es derivable en ese valor de t y su derivada está dada por:

Propiedades Supongamos que r(t) y s(t) son funciones vectoriales derivables, que f(t) es una función escalar también derivable y que c es un escalar cualquiera, entonces:

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Cuando una función vectorial definida en un intervalo abierto de R es derivable indefinidamente y su primera derivada no es nula, decimos que se trata de una curva regular. Al vector vectores

y

se le llama vector de posición de la curva y a los se les llama, respectivamente, vectores velocidad y

aceleración. De modo que la rapidez en un instante t es

, es importante

observar que la rapidez es un escalar, mientras que la velocidad un vector. Al vector

también se le llama vector tangente a la curva

vector

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en t, y el

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Ejemplo:

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3.3 Derivación de funciones vectoriales y sus propiedades. La función vectorial

es una anti derivada de la función vectorial

,

siempre y cuando:

Integral indefinida Si

es cualquier antiderivada de

, la integral indefinida de esta se

define como:

Donde c es un vector constante arbitrario.

Integral definida Para la función vectorial

, se define la integral definida de la misma

Teorema fundamental del cálculo integral (regla de barrow) Supongamos que

es una antiderivada de

en el intervalo [a,b] diremos:

Integración vectorial Si un vector a es función de un escalar t, y sus componentes son funciones integrables, se define la integral indefinida de a (t) como:

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De manera que, en general,

En donde c es un vector arbitrario y constante (que no depende de t). La integral definida de la misma función vectorial a(t) entre los límites a y b será

De manera que, en general,

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Ejemplo:

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3.4 Integración de funciones vectoriales. Definición de la integral de una función vectorial: ( ) ( ) dondef y g son continuas en [ 1- Si ( ) integral indefinida ( o antiderivada) de r es ∫ ( )

[∫ ( )

], entonces la

[∫ ( ) ]

]

Y su integral definida en el intervalo ( )

∫

( )

[∫

]

( )

[∫

]

( ) ( ) ( ) dondef , g y h son continuas en [ 2- Si ( ) entonces la integral indefinida ( o antiderivada) de r es ∫ ( )

[∫ ( )

]

[∫ ( )

]

[∫ ( )

( )

]

]

Y su integral definida en el intervalo ∫

( )

( )

[∫

]

[∫

[∫

Evidencia 3: 1. Hallar la integral indefinida ) a) ∫( b) ∫ ( c) ∫((

) )

)

√

2. Evaluar la integral definida a) ∫ (

)

b) ∫ ( c) ∫ (

) )

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( )

]

],

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3.5 Longitud de arco. En matemática, la longitud de arco, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.

Al considerar una curva definida por una función derivada

y su respectiva

que son continúas en un intervalo [a, b], la longitud s del arco

delimitado por a y b es dada por la ecuación:

En el caso de una curva definida paramétricamente mediante dos funciones dependientes de t como punto

e

hasta el punto

, la longitud del arco desde el se calcula mediante:

Si la función está definida por coordenadas polares donde la coordenada radial y el ángulo polar están relacionados mediante comprendido en el intervalo

, la longitud del arco

, toma la forma:

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En la mayoría de los casos, no hay una solución cerrada disponible y será necesario usar métodos de integración numérica. Por ejemplo, aplicar esta fórmula a la circunferencia de una elipse llevará a una integral elíptica de segunda especie. Entre las curvas con soluciones cerradas están la catenaria, el círculo, la cicloide, la espiral logarítmica, la parábola, la parábola semicúbica y la línea recta.

Ejemplo:

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3.6 Vector tangente, normal y binomial. Definición del vector unitario tangente Sea C una curva suave e un intervalo abierto I, representada por r. El vector unitario tangente T (t) en t se define como: ( ) ( ) ( ) ‖ ( )‖

Definición del vector unitario normal principal Sea C una curva suave en un intervalo abierto I, representada por r. Si entonces el vector unitario normal principal en t se define como: ( )

( ) ‖ ( )‖

Evidencia 4: 1. Hallar el vector unitario tangente ( ) . a) ( ) b) ( )

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( )

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3.7 Curvatura. En matemáticas, la curvatura se refiere a cualquiera de una serie de conceptos vagamente relacionados en las diferentes áreas de la geometría. Normalmente se refiere a un concepto métrico de objetos matemáticos o geométricos. Por extensión también se usa el término para referirse a un número u objeto matemático que caracteriza la forma y magnitud de la curvatura. Más específicamente el término curvatura puede referirse a alguno de estos conceptos: 





Geometría diferencial de curvas: 

Geometría diferencial de curvas para curvas.



Radio de curvatura

Geometría diferencial general: 

Geometría diferencial de superficies para superficies.



Tensor de curvatura



2-forma de curvatura.

Física: 

Curvatura del espacio-tiempo.

Dada una curva regular F (t) se puede reparametrizar, de manera que la longitud de la curva entre dos puntos a y b coincida con la longitud del intervalo con origen en a y extremo en b; en este caso se dice que la curva está para metrizada por la longitud de arco, que llamamos s. En este caso el vector tangente siempre es unitario. Se define la curvatura k como la variación del vector tangente respecto a la longitud de arco.

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La curvatura viene a medir como se “tuerce” la curva respecto de su longitud. Esta definición es bastante intuitiva, pero no es fácil de calcular. Para curvas, no necesariamente parametrizadas por el arco, se puede calcular como:

Si la curva está en el espacio, también se “retuerce” y para medir esto de define a la torsión T como:

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3.8 Aplicaciones. Muchos de los fenómenos que existen en la naturaleza pueden ser expresados a través de fórmulas o modelos matemáticos de tal forma que si estos fenómenos reúnen las condiciones para expresarse como un vector, entonces su modelo sería una expresión vectorial, de la forma:

En base en lo anterior, el vector velocidad, la vector aceleración y la rapidez del instante t vienen dados por:

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Conclusión En esta conclusión se puede decir que las funciones vectoriales de una variable son aplicadas en los campos vectoriales que modelan el electromagnetismo, que incluye la radiotransmisión de señales, mensajes y la óptica. Así mismo mediante funciones vectoriales se modela el flujo de fluidos, usado en el movimiento de barcos, aviones, y en la meteorología incluido la predicción del clima eso por poner unos ejemplos así nos damos cuenta de la importancia de estas funciones y sus derivadas de este tema que lo conforman, y sus definiciones matemáticas las podemos apreciar al inicio de la investigación.

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INSTITUTO TECNOLÓGICO DEL ISTMO CALCULO VECTORIAL UNIDAD 3 FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL Bibliografía https://es.scribd.com/doc/112177397/Unidad-3-Calculo-Vectorial https://es.scribd.com/doc/139817911/Funciones-Vectoriales-de-Una-VariableReal http://www.matematica1.com/2012/05/vector-tangente-unitario-ejercicios.html http://www.slideshare.net/anaceb/funciones-vectoriales-de-variable-realpresentation https://sites.google.com/site/calculovectorialnum3/unidad-3-funcionesvectoriales-de-una-variable-real http://cursos.aiu.edu/matematicas%20superiores/pdf/tema%203.pdf

http://es.scribd.com/doc/45505939/Integracion-de-Funciones-Vectoriales

http://www.slideshare.net/kaizzerz/geometria-analitica-charles-h-lehmann

http://www.slideshare.net/edvinogo/15-integracion-vectorial

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