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UNIVERSIDAD NACIONAL SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA FACULTAD DE CIENCIAS AGRARIAS ESCUELA DE FORMACION PROFECIONAL DE INGENIERIA AGRICOLA

TRABAJO Nº01

VECTORES CURSO:

FISICA I

PROFESOR: ARANA, Julio

JIMENEZ

INTEGRANTES:

FECHA DE ENTREGA:

TOMAYLLA CABANA, Julio Cesar

20 – 11 – 17 AYACUHO – PERU 2017

1

DEDICATORIA Dedico este trabajo a nuestros padres que cada día se esfuerzan por darnos lo mejor, por brindarnos su apoyo incondicional.

Índice 1.- introducción………………………………………………………………………………………..3 2

2.- Vectores………………………………………………………………………………………………3 3.-definicion……………………………………………………………………………………………..3 4.-tipos de vectores………………………………………………………………………………….4 5.-vectores unitarios………………………………………………………………………………..5 6.-operaciones vectoriales……………………………………………………………………….5 6.1. Suma de vectores……………………………………………………………………6 6.1.1. Método del triángulo……………………………………………….…6 6.1.2. Método del polígono………………………………………………….6 6.1.3. Método del paralelogramo………………………………………..7 6.2. Diferencia de vectores…………………………………………………………….9 6.2.1. Descomposición vectorial………………………………………….10 - Vector en el espacio……………………………………………………………………12 6.3. Producto de vectores…………………………………………………………….15 6.3.1. Producto escalar…………………………………………………….…15 6.3.2 cálculo del producto escalar usando componentes…...15 6.3.3 proyección de un vector sobre otro vector………………..16 6.3.4 producto vectorial…………………………………………………..…17 7. bibliografía………………………………………………………………………………………...21

3

INTRODUCCION El estudio de los vectores que desarrollaremos es una parte del algebra vectorial y nos ayudara explicar, comprender y evaluar algunos fenómenos físicos que requieren para su descripción, del uso de magnitudes vectoriales como el desplazamiento de un automóvil, la velocidad de un avión, la fuerza aplicada a un ladrillo, etc. Es sabido que Galileo y Galilei (1564-1642) fue uno de los primeros científicos que, al estudiar el movimiento de los proyectiles, tuvo la necesidad de usar vectores con el fin de determinar para un instante, la velocidad de un proyectil, la composición de sus velocidades en la dirección horizontal y en la dirección vertical. La importancia que tiene los vectores para la física es que a través de ellos se representan las magnitudes vectoriales; lo cual permite una descripción y comprensión de los fenómenos físicos.

VECTORES 1. DEFINICION Se define un vector, como una expresión matemática que tiene modulo, dirección y sentid. Gráficamente un vector se representa por una flecha, que nos define la dirección y la punta de la flecha el sentido. Un vector es un segmento de recta orientado, tiene un origen P y un extremo Q; su tamaño dependerá de su módulo y se le representa así P

O

θ

Donde: ⃗⃗⃗⃗⃗ : Se lee vector OP ⃗⃗⃗⃗⃗ : Se lee modulo del vector OP. : Su medida nos indica la dirección del vector; se medí en sentido anti horario Ejemplo. Determine el modulo y la dirección del vector dado

1u ⃗

4

⃗ 3cm

4cm En el triángulo rectángulo formado, aplicaremos teorema de Pitágoras √

⃗ ⃗ Para su dirección 5cosθ =4 Cosθ= θ=37° 2. TIPOS DE VECTORES

1.-Vectores colineales: son aquellos vectores que están contenidos en una misma línea de acción. ⃗

⃗

2.-Vectores concurrentes: son aquellos vectores cuyas líneas de acción, se cortan en un solo punto. ⃗ ⃗ ⃗

3.-vectores coplanares: son aquellos vectores que están contenidos en un mismo plano.

⃗ ⃗ ⃗

5

4.-vectores opuestos o contrarios (-A): se llama vector opuesto (-A) de un vector A cuando tienen el mismo módulo, la misma dirección pero sentido contrario. ⃗

⃗

3. VECTORES UNITARIOS El vector unitario de un vector ⃗ , denotado como ⃗ A se define como aquel vector que tiene igual dirección que el vector ⃗ y cuyo modulo es igual a la unidad. ⃗

=

=1

Z ̂

̂

̂

̂

̂

Y

̂ X Las cantidades vectoriales con frecuencia se expresan en términos de vectores unitarios. Un vector unitario es un vector sin dimensiones que tiene una magnitud de exactamente 1. Los vectores unitarios se usan para especificar una dirección conocida y no tiene otro significado físico. Son útiles exclusivamente como una convención para describir una dirección en el espacio. Se usaran los símbolos i, j y k para representar los vectores unitarios que apuntan en las direcciones x, y, z positivas, respectivamente. Matemáticamente definimos al vector unitario ⃗ como: ⃗

⃗ ⃗

4. OPERACIONES VECTORIALES En primer lugar, se debe saber que las operaciones que se realizan con los vectores no se rigen a las leyes o reglas de aritmética o el álgebra común. El álgebra vectorial tiene sus propias reglas y propiedades. Debemos tener presente que para poder sumar vectores estos deben tener igual unidad de medida. Cuando decimos que para sumar vectores deben tener la misma unidad de medida, no significa que deben representar a una misma magnitud necesariamente; podemos sumar vectores que representen a distintas magnitudes pero que tengan igual unidad de medida. Por ejemplo, el desplazamiento y la posición se miden en la misma unidad (metros); entonces, 6

podemos sumar un vector que represente desplazamiento con otro que represente posición. Pero para la multiplicación de vectores no se requieren que tengan la misma unidad de medida. 4.1 SUMA DE VECTORES La adición de vectores es el proceso en el cual dado dos o más vectores se obtiene el vector suma o llamado también vector resultante. Sumar dos o más vectores, es representarlos por un solo llamado resultante. Este vector resultante produce los mismos efectos que todos juntos. Hay que tener en cuenta que la suma vectorial no es lo mismo que la suma aritmética. ⃗

⃗

⃗

⃗

⃗

Una forma conveniente de sumar vectores es mediante los métodos: 4.1.1 Método del triangulo Valido solo para dos vectores concurrentes y coplanares. El método es el siguiente: se unen los dos vectores uno a continuación de otro para luego formar un triángulo, el vector resultante se encontrara en la línea que forma el triángulo y su punto de aplicación coincidirá con el origen del primer vector. ⃗

θ

⃗

⃗

180-θ ⃗

⃗

⃗ Si el ángulo que forman los vectores ⃗ calcula por la ley de senos.

⃗

⃗

⃗ es agudo u obtuso, el módulo de la resultante se ⃗

⃗

4.1.2 Método del polígono Balido solo para dos o más vectores concurrentes y coplanares. El método es el siguiente: se unen los vectores uno a continuación de otro para luego formar un polígono, el vector resultante se encontrara en la línea que forma el polígono y su punto de aplicación coincidirá en el origen del primer vector. ⃗ ⃗

⃗

⃗

⃗

⃗

⃗

⃗ 7

Cuando el origen del primer vector coincide con el extremo del último, el vector resultante es nulo; y el sistema se llama ¨polígono cerrado¨. ⃗

⃗

⃗

⃗

⃗

⃗ ⃗

⃗

⃗

⃗

⃗

⃗

⃗

⃗

⃗

⃗

⃗

4.1.3 Método del paralelogramo Este método es válido solo para dos vectores coplanares y concurrentes, para hallar la resultante se une ambos vectores por el origen (deslizándolos) para luego formar un paralelogramo, el vector resultante se encontrara en una de las diagonales, y su punto de aplicación coincidirá con el origen común de los dos vectores. Este método es una variante del método del triángulo; sean los vectores ⃗ método del triángulo.

⃗

⃗

⃗

⃗ sumados por el

⃗

⃗ Si trasladamos al vector ⃗ tal que su origen coincida con el origen del vector ⃗ notaremos que los vectores ⃗ ⃗ y la resultante definen un paralelogramo.

⃗ ⃗

⃗

⃗

⃗

θ

El módulo de la resultante se determina la ley de los cosenos. √ Casos particulares: Del caso general del método del paralelogramo, se tiene los siguientes casos particulares: ,⃗

1. Si

⃗ serian paralelos, de igual dirección. La resultante sería así

⃗ 8

⃗

⃗

⃗

⃗

√ √ √

El módulo de la resultante sería la suma de los módulos de los vectores. 2. si , ⃗ ⃗ seria mutuamente perpendiculares. Entonces, el módulo de la resultante se obtendrá como

⃗

⃗

⃗

⃗

⃗ √ √ √

(Teorema de Pitágoras)

⃗

3. si

⃗

⃗ serian opuestos. El módulo de la resultante se obtiene como

⃗

. ⃗

⃗

√ √ √ √

9

El módulo de la resultante sería la diferencia de los módulos de los vectores. y⃗

4. si

⃗

⃗ son de igual modulo.

⃗

⃗

120°

⃗ √

Como A=B √

4.2 DIFERENCIA DE VECTORES Como en el álgebra vectorial solo está definido la adición y multiplicación de vectores, para determinar la diferencia de vectores se puede partir de la adición. Sean dos vectores ⃗ ⃗ , el vector diferencia ⃗ del vector ⃗ y el opuesto del vector ⃗ . Así:

⃗ denotado por ⃗ se obtiene como la suma

⃗

θ

⃗

⃗

⃗

180-θ ⃗ ⃗

⃗ ⃗

⃗ ⃗

⃗

Su módulo es: √ √

10

En conclusión, dados dos vectores ⃗ ⃗

⃗

⃗

⃗

θ ⃗

⃗ , tendremos.

⃗ Representan los vectores suma y diferencia, respectivamente, de los vectores ⃗

⃗

Propiedad ●

Si A = B = a ⃗ ⃗

a

⃗

θ a ⃗

●

El vector resultante se encuentra en la bisectriz del ángulo formado por los dos vectores ⃗ ⃗. El módulo de la resultante es:

●

Cuando el vector diferencia es perpendicular al vector resultante. El módulo de la diferencia es:

4.2.1

DESCOMPOSICION VECTORIAL

El proceso de descomponer un vector en sus componentes, es el proceso inverso de sumar vectores. Anteriormente se ha visto que al sumar dos o más vectores se obtiene uno solo que reemplaza a dichos vectores (vector resultante); ahora veamos el proceso inverso. Es decir, dado el 11

vector, lo reemplazamos por dos o más vectores que darán como resultante el vector inicial. A estos vectores se les llama vectores componentes, y al método que se utiliza, descomposición vectorial. Los vectores que se determinan al unir el origen de ⃗ con los puntos de intersección serán los vectores componentes según las líneas deseadas. L1 ⃗

L2

o

Descomposición del vector ⃗ en ⃗ L1 y ⃗ L2.

⃗ L1

⃗

⃗ L2

o

Donde ⃗ L1 y ⃗ L2 son componentes de ⃗ . Componentes rectangulares de un vector.- son aquellos vectores componentes de

.

y

⃗Y

o

⃗

⃗X

x

⃗ x y ⃗ y son componentes rectangulares del vector ⃗ , donde el módulo de las componentes se determina como: Ax = Acosθ Ay = Asenθ

12

4.2 VECTORES EN EL ESPACIO Si tenemos un vector en tres dimensiones tal como el que se muestra, podemos expresarlo en función de tres vectores componentes, que son las proyecciones de este vector sobre los tres ejes coordenados. z

⃗ α

β

y

x Dado ⃗ sus proyecciones sobre los ejes X, Y y Z son ⃗ x, ⃗ y, ⃗ z, respectivamente. Z ⃗⃗ z

⃗

θ β

⃗Y

α

Y

⃗x

X Observando la figura concluimos ⃗

⃗

⃗

⃗

Donde: ⃗ 13

⃗

cosα, cosβ y cosθ se denominan cosenos directores. ⃗

Si del grafico extraemos el triángulo rectángulo sombreado, encontramos ⃗

√ ⃗

√

Por lo tanto el modulo del vector ⃗ es: √ Pero conocemos que ,

,

√ √ Simplificando se obtiene (Propiedad de los cosenos directores)

Ejemplo: Exprese ⃗ en función de los vectores unitarios ̂ ̂ ̂ sabiendo que su proyección sobre el eje X es de 20u. (cosα =

√

; cosβ =

√

)

z ⃗ θ α

y

14

x Solución: Nos piden expresar ⃗ en función de los vectores unitarios ̂ ̂ ̂ pero sabemos ⃗ ⃗

̂

̂

⃗

⃗

⃗

̂ …………(I)

z

⃗ α

β

y

x Por dato se tiene que

= 20u; pero también sabemos que

√ √

√

√

√ Para conocer debemos determinar primero el cosenos directores.

√

. Aplicamos la propiedad de los

√

Operando

15

√

Reemplazando en: √ √

√

Final mente reemplazamos en (I) ⃗

̂

̂

̂

4.3 PRODUCTO DE VECTORES Hemos visto como la suma de vectores es consecuencia natural de combinar desplazamientos, y sumaremos muchas otras cantidades vectoriales posteriormente. También podemos expresar muchas relaciones físicas de forma concisa usando producto de vectores. Los vectores no son números ordinarios, así que no podemos aplicarles directamente la multiplicación ordinaria. En el álgebra vectorial se definen dos formas para realizar el producto entre vectores: uno es el producto escalar, produce un resultado escalar y la otra es el producto vectorial, produce otro vector. Una cantidad escalar se especifica por completo mediante un valor único con una unidad adecuada y no tiene dirección. Ejemplo: volumen, temperatura, masa, rapidez e intervalos de tiempo. Una cantidad vectorial se especifica por completo mediante un número y unidades apropiadas más una dirección. Ejemplo: desplazamiento, velocidad, fuerza, etc.

4.3.1 PRODUCTO ESCALAR El producto escalar de dos vectores Ᾱ y B se denota con ⃗ • ⃗ (A multiplicado escalarmente por B). Por esta notación, el producto escalar también se denomina producto punto o producto interno. A un cuando Ᾱ y B sean vectores, la cantidad ⃗ • ⃗ es un escalar. El producto escalar de dos vectores ⃗ y ⃗ es un escalar cuya magnitud es igual al producto de la magnitud del vector ⃗ por la magnitud del vector ⃗ y el coseno del ángulo entre ellos. ⃗ •⃗ = ⃗

⃗ cosθ

4.3.2 CACULO DEL PRODUCTO ESCALAR USANDO COMPONENTES 16

Podemos calcular el producto escalar ⃗ .⃗⃗⃗ Directamente si conocemos los componentes X, Y y Z de ⃗ y ⃗ . Para saber cómo se hace, obtengamos primero los productos escalares de los vectores unitarios. z ̂

̂

̂ ̂

̂ ̂

̂ ̂

(Paralelismo)

̂ ̂

̂ ̂

̂ ̂

(Perpendicularidad)

y

̂ x

Si ahora representamos a los vectores A y B en función de sus componentes cartesianos y luego realizamos el producto escalar tendremos: ⃗ = Ax⃗ + Ay⃗ + Az⃗ ⃗ = Bx⃗ + By⃗ + Bz⃗ ⃗ • ⃗ = (Ax⃗ + Ay⃗ + Az⃗ ). (Bx⃗ + By⃗ + Bz⃗ ) = Ax⃗ .Bx⃗ + Ax⃗ .By⃗ + Ax⃗ .Bz⃗ + Ay⃗ .Bx⃗ + Ay⃗ .By⃗ + Ay⃗ .Bz⃗ + Az⃗ .Bx⃗ + Az⃗ .By⃗ + Az⃗ .Bz⃗ =AxBx(⃗ .⃗ ) + AxBy(⃗ .⃗ ) + AxBz(⃗ .⃗ ) + AyBx(⃗ .⃗ ) + AyBy(⃗ .⃗ ) + AyBz(⃗ .⃗ ) + AzBx(⃗ .⃗ ) + AzBy(⃗ .⃗ ) + AzBz(⃗ .⃗ ) ⃗ • ⃗ = AxBx + AyBy + AzBz Algunas propiedades que posee el producto escalar: 1.- ⃗ . ⃗ = ⃗ ⃗ 2.- ⃗ . (⃗ + ⃗ ) = ⃗ . ⃗ + ⃗ ⃗ 3.- m (⃗ . ⃗ ) = (m⃗⃗ ). ⃗ 4.3.4 Proyección de un vector sobre otro vector La proyección del vector ⃗ sobre el vector ⃗ es una cantidad escalar (d) que está definida por la siguiente expresión. ⃗

θ

⃗ ⃗

d=

⃗

⃗ ⃗ ⃗

También se puede expresar: d=

⃗⃗ ⃗⃗

⃗ ⃗ 17

d= Acosθ

Ejemplo: ➢ Dados dos vectores ⃗ Y ⃗ , ⃗ = (20; 15)u Y ⃗ = (24√ ; -7√ )u, determine ⃗ . ⃗ Y el ángulo que forman los vectores ⃗ Y ⃗ . Sol. 1. Nos piden ⃗ . ⃗⃗ , entonces podemos emplear la relación ⃗ • ⃗ = AxBx + AyBy ya que nos dan los componentes de ambos vectores. ⃗ . ⃗ = (20; 15).(24√ ; -7√ ) ⃗ . ⃗ = 20(24√ +15(-7√ ) ⃗ . ⃗ = 480√ - 105√ ⃗ . ⃗ = 375√ u 2. También nos piden el ángulo que forman ⃗ Y ⃗ , para ello, podemos emplear la relación siguiente: ⃗ •⃗ = ⃗ Donde:

⃗ cosθ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

……..(1)

⃗ =√

⃗ =√

⃗ =√

√

√ ⃗

⃗ = 25

√ ⃗

√

Reemplazando en (1) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ √ √

4.3.5 PRODUCTO VECTORIAL

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El producto vectorial de dos vectores ⃗ Y ⃗ es una operación definida en el álgebra vectorial y cuyo resultado es otro vector ⃗ Y ⃗ . Al producto vectorial de dos vectores también se le llama producto cruz o producto externo. El producto vectorial está representado por el símbolo ⃗ X⃗ (A multiplicado vectorialmente por B), se define como el vector perpendicular al plano determinado por ⃗ hacia ⃗ . ⃗ ⃗

⃗ θ ⃗ Su módulo se determina como: ⃗ ⃗

⃗ ⃗

Nota Para determinarla dirección del vector ⃗ X⃗ de los vectores ⃗ y ⃗ se utiliza una regla practica llamada regla de la mano derecha. Calculo del producto vectorial usando componentes Si conocemos los componentes de ⃗ y ⃗ , podemos calcular los componentes del producto vectorial usando un procedimiento similar al del producto escalar. Primero deducimos la tabla de multiplicación de los vectores unitarios ⃗ ⃗ ⃗ que son mutuamente perpendiculares. El producto cruz de cualquier vector consigo mismo es cero, así que: ⃗ ⃗

⃗ ⃗

⃗ ⃗

Producto vectorial de los vectores unitarios ⃗ ⃗

z

⃗

̂ ⃗ ⃗

⃗ ⃗

⃗

⃗

̂

y

̂ x Ahora expresamos ⃗ correspondientes:

⃗ en términos de sus componentes y los vectores unitarios

⃗ = AX⃗ + AY⃗ + BZ⃗ ⃗

19

= BX⃗ + BY⃗ + BZ⃗ Para obtener el producto vectorial expresado en forma analítica, es decir a través de sus componentes, debemos desarrollar el siguiente determinante: ⃗ X⃗ = ̂ ̂ ̂ ⃗ X⃗ = (AyBz – ByAz) ̂ – (AxBz - BxAz) ̂ + (AxBy - BxAy) ̂ OBSERVACION Matemáticamente, el producto vectorial de los vectores ⃗ y ⃗ tiene un módulo igual al área del paralelogramo formado por los vectores ⃗ y ⃗ .

⃗ h= Bsenθ

área Área

= base x altura = AB.senθ

⃗ Porlotanto: ⃗ ⃗

⃗

θ ⃗ Área

=⃗ ⃗

El área del triángulo es que forman ⃗ y ⃗ es: Área =

⃗ ⃗

Ejemplo: 1. Se tiene dos vectores concurrentes: ⃗ = 2 ̂ - 4 ̂ - ̂ y ⃗ = 2 ̂ + 8 ̂ . Determine un vector unitario perpendicular al plano formado por los vectores ⃗ y ⃗ Sol. Como el producto vectorial es perpendicular al plano de ⃗ y ⃗ , entonces: ⃗ X⃗ = ̂ ̂ ̂ ⃗ X⃗ = ((-4).8 – 2.(-1)) ̂ – (2.8 – 0.(-1)) ̂ + (2.2 – 0.4) ̂ ⃗ X⃗ = -30 ̂ – 16 ̂ + 4 ̂ El módulo es: 20

⃗ ⃗

√ ⃗ ⃗

√

Como nos pide un vector unitario, entonces ⃗ ⃗⃗

⃗ ⃗⃗

⃗⃗

⃗ ⃗ ̂

⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗

⃗ ⃗ ⃗⃗

⃗⃗

̂

̂

̂

̂

√ ̂

⃗⃗

√ √

̂

̂

̂

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Bibliografía -

RAYMOD A. SERWAY física tomo I. Edit. McGRAU-HILL. A. NAVARRO / F. TAIPE física tomo I. Edit. Gomez. SEARS Y SEMANSKY física universitaria tomo I. Edit. Addison Wesley Logman. MARCELO ALONSO Y EDWAR J. FINN física tomo I. Edit. Fondo educativo interamericano, S.A.

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