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• Jefferson Gomez Herrera

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Álgebra Lineal Tarea 2: Vectores:

A. De un ejemplo de alguna magnitud de su cotidianidad que pueda ser representada por un

vector, recuerde que debe cumplir con el hecho de tener una magnitud y una dirección. Desplazamiento desde mi casa hasta el lugar de trabajo B. Encuentre la magnitud y dirección de los siguientes vectores:

𝒗 = (𝟓, 𝟐) 𝒗 = (−𝟑, −𝟒)

𝑣 = √52 + 22 = √25 + 4 = √29 = 5.38 𝑡𝑎𝑛𝛼 =

2 = 0.4 5

𝑡𝑎𝑛−1 (0.4) = 21.80 𝑇𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑚𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 5,38 𝑢 𝑦 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠 21,8º 𝑁𝐸

𝒗 = (−𝟑, −𝟒)

𝑣 = √(−3)2 + (−4)2 = √9 + 16 = √25 = 5 𝑡𝑎𝑛𝛼 =

−4 = 1.33 −3

𝑡𝑎𝑛−1 (1.33) = 53.13 𝑇𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑚𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 5 𝑢 𝑦 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠 53.13º 𝑆𝑂

C. Encuentre un vector 𝒗 que tenga la magnitud y dirección dadas:

|𝒗| = √𝟏𝟑; 𝜽 = 𝟓𝟔, 𝟑𝟏° |𝒗| = 𝟒; 𝜽 = 𝟑𝟑𝟎° Para el primer vector |𝒗| = √𝟏𝟑; 𝜽 = 𝟓𝟔, 𝟑𝟏° Hacemos la descomposición rectangular.

𝒗𝒙 = 𝒗𝒄𝒐𝒔𝜽 = √𝟏𝟑𝒄𝒐𝒔𝟓𝟔, 𝟑𝟏º = 𝟐 𝒗𝒚 = 𝒗𝒔𝒆𝒏𝜽 = √𝟏𝟑𝒔𝒆𝒏𝟓𝟔, 𝟑𝟏º = 𝟑 𝑬𝒍 𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓 𝒆𝒔 𝒗 = (𝟐, 𝟑)

𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒆𝒍 𝒔𝒆𝒈𝒖𝒏𝒅𝒐 𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓 |𝒗| = 𝟒; 𝜽 = 𝟑𝟑𝟎° Hacemos la descomposición rectangular.

𝒗𝒙 = 𝒗𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝟒 𝒄𝒐𝒔𝟑𝟑𝟎º = 𝟑. 𝟒𝟔𝟒𝟏 𝒗𝒚 = 𝒗𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝟒 𝒔𝒆𝒏𝟑𝟑𝟎º = −𝟐 𝑬𝒍 𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓 𝒆𝒔 𝒗 = (𝟑. 𝟒𝟔 , −𝟐)

D. Calcule el producto escalar de los dos vectores dados y el ángulo que forman:

a) 𝒖 = 𝟑𝒊 + 𝟕𝒋 𝒚 𝒗 = 𝟕𝒊 + 𝟑𝒋 𝒖 = (𝟑, 𝟕) 𝒗 = (𝟕, 𝟑) Producto escalar 𝒖 . 𝒗 = (𝟑, 𝟕) . (𝟕, 𝟑) = 𝟑𝒙𝟕 + 𝟕𝒙𝟑 𝒖 . 𝒗 = 𝟐𝟏 + 𝟐𝟏 = 𝟒𝟐 Para hallar el ángulo hacemos 𝒄𝒐𝒔𝜽 =

𝒖. 𝒗 |𝒖||𝒗|

|𝒖| = √𝟑𝟐 + 𝟕𝟐 = √𝟓𝟖 𝒄𝒐𝒔𝜽 =

|𝒗| = √𝟕𝟐 + 𝟑𝟐 = √𝟓𝟖

𝒖. 𝒗 𝟒𝟐 𝟒𝟐 = = = 𝟎. 𝟕𝟐𝟒𝟏 |𝒖||𝒗| 𝟓𝟖 √𝟓𝟖 √𝟓𝟖

𝟒𝟐 𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔 ( ) = 𝟒𝟑, 𝟔º 𝟓𝟖

b) 𝒖 = 𝒊 + 𝟓𝒋 𝒚 𝒗 = 𝟐𝒊 − 𝟗𝒋 𝑢. 𝑣 = (1𝑥2) + (5 𝑥 (−9)) = 2 − 45 = −43 |𝒖| = √𝟏𝟐 + 𝟓𝟐 = √𝟐𝟔 𝒄𝒐𝒔𝜽 =

|𝒗| = √𝟐𝟐 + (−𝟗)𝟐 = √𝟖𝟓

𝒖. 𝒗 −𝟒𝟑 −𝟒𝟑 = = = −𝟎. 𝟗𝟏𝟒𝟔 |𝒖||𝒗| 𝟒𝟕. 𝟎𝟏 √𝟐𝟔 √𝟖𝟓

−𝟒𝟑 𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔 ( ) = 𝟏𝟓𝟔. 𝟏𝟔𝟏º 𝟒𝟕. 𝟎𝟏

E. Calcule 𝑃𝑟𝑜𝑦𝑣 𝑢 sabiendo que:

a) 𝒖 = 𝟑𝒊 + 𝟐𝐣; 𝒗 = 𝒊 + 𝟒𝒋 b) 𝒖 = 𝟑𝒊 − 𝟐𝒋 + 𝟔𝒌 𝒗 = −𝟐𝒊 + 𝒋

Para 𝒖 = 𝟑𝒊 + 𝟐𝐣; 𝒗 = 𝒊 + 𝟒𝒋 𝑃𝑟𝑜𝑦𝑣 𝑢 =

(3,2). (1,4) 𝑢. 𝑣 3𝑥1 + 2𝑥4 3+8 11 (1, 4) = (1,4) = (1,4) = (3,4) 𝑣= 2 2 |𝑣| 17 17 17 (√12 + 42 ) 𝑃𝑟𝑜𝑦𝑣 𝑢 =

𝑢. 𝑣 33 44 33 44 𝑣=( , )= 𝑖+ 𝑗 2 |𝑣| 17 17 17 17

Para 𝒖 = 𝟑𝒊 − 𝟐𝒋 + 𝟔𝒌 𝒗 = −𝟐𝒊 + 𝒋

𝑃𝑟𝑜𝑦𝑣 𝑢 =

(3, −2). (−2,1) 𝑢. 𝑣 3𝑥(−2) + (−2)𝑥1 (−2, (−2,1) 𝑣 = 1) = 2 |𝑣|2 9 + 4 2 2 (√3 + (−2) )

𝑃𝑟𝑜𝑦𝑣 𝑢 =

𝑢. 𝑣 −6 − 2 −8 16 −8 16 8 (−2,1) (−2,1) 𝑣 = = = ( , ) = 𝑖 − 𝑗 |𝑣|2 13 13 13 13 13 13