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Unidad 1: Unidades, cantidades físicas y vectores MSc . Francisco Ugarte Palacin

Recursos matemáticos para física

Vector Un vector es un segmento orientado en el espacio que se caracteriza por:    

Origen o punto de aplicación y extremo Dirección: la recta que lo contiene Sentido: el que indica la flecha Módulo: longitud del segmento.Indica el valor numérico de la magnitud en la unidad elegida

A' E Extremo

O

v Origen

Linea de acción

A

NOTACION DE UN VECTOR 

Del vector:

A, A, A 

Del Módulo:

|A| , |A| , A

CLASIFICACIÓN DE VECTORES VECTOR FIJO  Es aquél que tiene un punto de aplicación. Ejemplo: 

C.G.

PESO

VECTORES DESLIZANTES 

Se denominan de esta manera a los vectores que se consideran iguales si, además de tener sus módulos, direcciones y sentidos iguales, tienen la misma línea de acción (recta sobre la cual actúan). FUERZ A

LINEA DE ACCION CUERP O

VECTORES LIBRES  



Se dice que un vector es libre, si su punto de aplicación no esta definido en el espacio Estos vectores también se denominan "vectores equipolentes". Estos son los vectores más frecuentemente considerados, ya que solo representan a la fuerza, velocidad, etc. en sí misma, sin importar su ubicación en el espacio. Ejemplos: V

IGUALDAD DE VECTORES 

Se dice que dos vectores son iguales si tienen el mismo módulo, dirección y sentido

B

A

VECTORES EQUIVALENTES Se dice que dos vectores son equivalentes si producen el mismo efecto.  Dos vectores pueden ser iguales, pero ello no implica que sean equivalentes 

EJEMPLO 1: 

F1= F2, pero F1 hace girar a la rueda en sentido horario y F2 en sentido antihorario, por lo tanto F1 no es equivalente con F2.

O

F1

F2

NOTA: r







Dos vectores pueden ser equivalentes, pero ello no implica que sean iguales

r/2 O

F1 y F2 producen el mismo momento, entonces son equivalentes pero no F2= 2F1 iguales MoF2= F2•r/2=2F1•r/2=F1•r MoF1= F1•r

F1

b

a

c

d

b

R

R

a

O

O Suma de vectores

Suma y diferencia de vectores Dados dos vectores a y b, se define la suma, o resultante, de ambos al vector R, obtenido al unir el punto O, origen del primero (a) con el extremo del vector b, aplicado al extremo del vector a. b

La suma presenta las siguientes propiedades: 1.

Conmutativa: a+b=b+a

2. Asociativa: a + (b + c) = (a + b) + c

a

-b a R=a+ (-b) Diferencia de vectores

Producto de un escalar k por un vector a El producto de un vector a por un escalar k es otro vector de igual dirección y sentido que el vector y de módulo "k" veces el módulo del vector a. R=k.a Las propiedades que presenta el producto de un escalar por un vector son: 1. Conmutativa:

k.a=a.k

2. Asociativa respecto del escalar:

k1. (k2 . a) = k2. (k1. a)

3. Distributiva respecto a la suma de escalares: (k1 + k2) . a = k1. a + k2. a 4. Distributiva respecto a la suma de vectores: k .(a + b) = k. a + k. b

PRODUCTO OMULTIPLICACIÓN DE UN VECTOR POR UN ESCALAR 

a = k b / k es escalar



Si 0 |b|



Si k =1 |a|= |b|

0,5 a

DESCOMPOSICIÓN DE VECTORES A=n+m+p+q+r+s A los vectores n, m, p,q,r y s se denominan componentes del vector A

A

s q p m

n

r

VECTORES COMPONENTES EN DIRECCIONES ARBITRARIAS A = AL1 + A AL2

L1

A

L1 AL2

L2

COMPONENTES RECTANGULARES Z

Vz

V = Vx + V y + V z

V VX x

|V| =

|Vx|2+ |Vy|2+ |Vz|2

Vy

y

COSENOS DIRECTORES Z

Cos() = Vx/ V Cos() = V /

Vz

y

V Cos() = Vz/ V Se cumple:



VX

Cos2()+ Cos2()+ Cos2(γ)=1 X



V 

Vy

y

VECTORES UNITARIOS 

Se denomina así a aquellos vectores que tienen como módulo la unidad V

V = V / |V| V =

V

V = |V|

1

VECTORES UNITARIOS PRINCIPALES z

Son los correspondientes a los ejes coordenados x, y,z

k

Para x: i Para y: j Para z: k

i x

j

y

VECTOR POSICION Z

r = OP = (x, y, z) =ix+jy+kz

z

O

r

P

X y

X Y

VECTOR POSICION RELATIVO DE DOS PUNTOS P1P2= P2 – P1 = i(x2 – x1) + j(y2 – y1) + k(z2 – z1) Z ;

1 X ( P1

1 ;Y

Z1

)

P2 (X Z2) 2; Y2;

r1

r2 Y X

P1P2=(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 + (z2 – z1)2

OPERACIONES CON VECTORES EN FUNCION DE LOS VECTORES UNITARIOS PRINCIPALES 

Sean: a = axi + ay j + az k

b = bx i + by j + bzk



a + b =(ax + bx ) i + (ay + by ) j + (az + bz)k



a - b =(ax -bx ) i + (ay - by ) j + (az - bz)k



3a = 3axi + 3ay j + 3az k



- 5a = -5axi - 5ay j - 5az k

Componentes de un vector

a = a i + ay j + az k

Z

x

donde ax = |a| cos ,

az k i ax X



ay = |a| cos 

a

j 

az = |a| cos 



ay

Y

denominándose a cos , cos , cos  los cosenos directores del vector. Y el módulo vale

a = a 2x + a 2y + a 2x

Componentes de un vector en el plano Si trabajamos en el plano, como  y  son complementarios, se cumple que:

Y

cos = sen 

ay 

a x = a cos  a y = a cos  = a sen 

a 

j i

ax

X

Y el módulo vale

a = a 2x + a 2y http://iris.cnice.mec.es/fisica/probar.php?applet_id=74

Producto escalar de dos vectores Se define el producto escalar de dos vectores a y b como un escalar cuyo valor es: a . b = |a| . |b| cos ; donde  es el ángulo que forman los dos vectores y está comprendido entre 0 y 

b 

a

proyección

(0 ) También se puede definir como el producto del módulo de un vector por la proyección del otro sobre él.

Propiedades del producto escalar 1. Conmutativa :

a.b=b.a

2. Distributiva respecto de la suma : a . (b + c) = a . b + a . c

4. a. a = ax2 + ay2 + az2 = a2 5. Si a y b pero a . b = 0, entonces el cos  = 0, luego a  b.

3. Asociativa respecto de un escalar: k (a . b) = (k a) . b = a . (k b) = (a. b) k Expresión en función de las componentes: a . b = (ax i + ay j +az k). (bx i + by j + bz k) = ax bx i . i + ax by i . j + ax bz i . k + ay bx j . i + ay by j . j + ay bz j . k + az bx k . i + az by k . j + az bz k . k = ax bx + ay by + az bz luego a . b = ax bx + ay by + az bz ya que i . j = j . i = 0 ; i . k = k . i = 0 ; j . k = k . j = 0 ; i . i = j . j = k . k = 1

Aplicaciones del producto escalar 1. Cálculo de la proyección de

b

un vector sobre una dirección Si definimos un vector unitario u en la dirección de la recta sobre la que vamos a calcular la proyección, se cumple proyr b = b cos = b

a .b

a.b

=

ur Proyección

.u

2. Determinación del ángulo que forman dos vectores cos µ =

r

b 

ax.bx + ay.by +az.bz ax2 + ay2 + az2 bx2 + by2 + bz2

a



Aplicaciones del producto escalar 3. Cálculo de cosenos directores r.i r x .1 + r y .0 + r z .0 cos  = = = 2 2 2 r rx + r y + rz

r . i = r cos 

rx 2 2 2 rx + r y + rz

De igual manera calcularemos el cos y cos

4. Ley de los cosenos a-b=c; (a - b) . (a - b) = c . c

a c 

b

a . a - a . b - b . a - b . b = c. c a2 - 2 a . b - b2 = c2 a2 - 2 a . b .cos + b2 = c2

Producto vectorial de dos vectores Se define el producto vectorial de dos vectores como un vector cuyo módulo es: | p | = | a xb | = | a | | b | sen  , donde (0 ), la dirección perpendicular al plano formado por los dos vectores y el sentido el que indica la regla del sacacorchos o del tornillo.

p b 

a

Propiedades del producto vectorial 1. No conmutativa: a x b = - b x a 2. Distributiva respecto de la suma: a x (b + c) = (a x b) + (a x c) 3. Asociativa respecto de un escalar: k (a x b) = (k a) x b = a x (k b) = (a x b) k 4. a x a = 0 5. Si a 0 y b 0 pero a x b = 0, entonces el sen  = 0, luego a es paralelo a b.

Expresión del producto vectorial en función de las componentes a x b = (ax i + ay j +az k) x (bx i + by j + bz k) = ax bx i x i + ax by i x j + + ax bz i x k + ay bx j x i + ay by j x j + ay bz j x k + az bx k x i + az by k x j + +az bz k x k = ax by k - ax bz j - ay bx k + ay bz i + az bx j - az by i =

=

i

j

k

ax

ay

az

bx

by

bz

k j

ya que: i x i = j x j = k x k = 0 ; ixj =-jxi=k;

i

-i x k = k x i = j ; jxk=-kxj=i http://iris.cnice.mec.es/fisica/probar.php?applet_id=77

OBSERVACIONES : 1) 2) 3)

Si A B  A • B = 0 Si A // B  A x B = 0 Área = H |B| = |A| Sen() |B| A = |A x B|  H=A Sen(θ)

B

DOBLE PRODUCTO MIXTO Sean:

A = Ax i + Ay j + Az k B = B x i + B y j + Bz k C = Cx i + C y j + C z k Ax Ay Az A • B x C = B x By Bz Cx Cy C z

NOTA: A • B x C = B x C • A = A x B • C

NOTA: El módulo de A • B x C representa el volumen de un paralelepipedo Volumen = |B x C |.h ……..(I) Pero : |A•BxC| = |A| |BxC| Cos() = |BxC| h ………….. (II) Bx C

Porque: h= |A| Cos() A



h 

De (I) = (II):

C B

Volumen: |A•BxC|

Aplicaciones del producto vectorial 1. El área del paralelogramo formado por los dos vectores se puede definir como el producto vectorial de los dos vectores.

S=a^b

h

b

S = a . h = a . b .sen  = | a x b|

90º

 a

2. Representación vectorial de una superficie: Como consecuencia de la aplicación anterior, cualquier superficie se puede dividir en pequeñas superficies elementales en forma de paralelogramos, pudiendo representar cada uno de ellos por un vector perpendicular a su superficie. Como todos tendrían la misma dirección y sentido se pueden sumar. Por lo que cualquier superficie la podemos representar como un vector perpendicular a ella, de tal forma que, su módulo sea el área de la superficie y su sentido el del sacacorchos que gire en el sentido del recorrido de su periferia.

Aplicaciones del producto vectorial 3. Ley de los senos a+b=c;

a x (a + b) = a x c

(a x a) + (a x b) = a x c a . b . sen ( -) = a . c . sen  a . b .sen = a . c . sen  b sen  = c sen  4. El producto mixto representa el volumen del paralelepípedo formado por los tres vectores. c. (a x b) = c. S = c.S.sen  =

cx cy cz

S.h = Vol =

ax ay az bx by bz

S = a^b

h= c sen 

90º 

c

b a

Momento de un vector deslizante respecto a un punto Sea el vector deslizante a, define el momento del vector a con respecto a un punto O, como el producto vectorial del vector r , cuyo origen es el punto O y el extremo un punto de la recta donde se aplica el vector, por el vector a. M=rxa

M

a  r

O d

90º

P

M = r. a. sen = a .

d El momento no varia tanto si desplaza el vector sobre su recta de acción como si desplaza el punto O sobre una paralela a ella. Teorema de Varignon Si consideramos varios vectores deslizantes que sean concurrentes, el momento de la suma de estos vectores respecto a un punto O es igual a la suma de los momentos de los vectores componentes respecto al mismo punto O.

Momento de un vector respecto a un eje

P

Par de vectores Se define el par de vectores como un sistema formado por dos vectores deslizantes de la misma magnitud y sentidos opuestos, situados en dos rectas paralelas

Intersección de las superficies equiescales con el plano 3

3

2

2

1

1

3

4

3 



Líneas vectoriales del campo a

a

a

Unidad de superficie

a

a

Derivada de un vector respecto de un escalar Sea una magnitud vectorial, h(), que depende de un escalar , generalmente el tiempo. Si consideramos, respecto a unos ejes coordenados, la curva que describen los extremos del vector h cuando varia por variar el escalar , como se observa en la figura tenemos:

A h( ) O

h h()

B h 

h = h( +) - h() Al multiplicar dicho vector por (1/), tenemos un nuevo vector h/ que tendrá la misma dirección que h. Por analogía con el concepto de derivada de una función escalar definimos la derivada de un vector con respecto a un escalar como el límite a que tiende el vector h/cuando  tiende a cero.

dh h(  +  ) - h(  ) h = lim = lim   0  d   0 

Derivada de un vector respecto de un escalar Como h = hx i + hy j + hz k , podemos escribir que:

dh dh x dh y dh = i+ j+ z k d d d d

Por lo que la derivada de un vector h respecto de un escalar, es un vector cuya dirección es tangente a la curva descrita por los extremos del vector h en el punto considerado, y cuyas componentes son las derivadas de cada una de las componentes del vector h respecto del escalar.

Derivada de un vector respecto de un escalar: consecuencias a) Si al variar el escalar, el vector h sólo varía en dirección pero no en módulo, sus extremos describen una circunferencia, entonces h y dh/d son perpendiculares. b) Si el vector h sólo varía módulo pero no en dirección, sus extremos describirán una recta, luego h y dh/d tienen la misma dirección. c) Si ponemos el vector h como h = h u

Z dh u d

Al derivar dicha expresión tenemos: dh dh du = u +h dµ dµ dµ

lo que nos indica que la derivada de un vector se puede descomponer como la suma de dos vectores, uno en la dirección del vector y otro en la dirección perpendicular.

h u

h du d

dh d

Y

X

Físicamente estos dos vectores nos indican las variaciones del módulo y la variación en la direcciónh du dµ

dh u dµ

Derivada parcial Si tenemos una magnitud escalar f(x,y,z), que es función de x, y, z , se define la derivada parcial, respecto a una variable x: f f (x+x,y,zf (x,y,z ----lim --------------------------- x xx

es decir, se calcula la derivada de la función con respecto a la variable considerando las otras variables como constantes. De la misma forma podemos definir la derivada parcial de un vector a respecto a x, como  a a (x+x,y,z) - a (x,y,z) ---- = lim ---------------------------xx x

de igual manera podríamos definir respecto a las otras variables.