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• Yubian Andres Bedoya Henao

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INTRODUCCION BERNARDO ARENAS GAVIRIA Universidad de Antioquia Instituto de Física 2014

Índice general

0. Introducción 0.1. Cantidades físicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.1.1. Análisis dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.1.2. Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.2. Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.2.1. Cantidades escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.2.2. Cantidades vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . 0.2.3. Notación vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.2.4. Representación de un vector . . . . . . . . . . . . 0.2.5. Dirección de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . 0.2.6. Vectores iguales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.2.7. Vectores iguales y opuestos . . . . . . . . . . . . . 0.2.8. Vectores unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.2.9. Suma o composición de vectores . . . . . . . . . . 0.2.10. Suma de vectores por el método gráfico . . . . . . 0.2.11. Componentes rectangulares de un vector . . . . . 0.2.12. Suma de vectores por componentes rectangulares 0.2.13. Producto entre vectores . . . . . . . . . . . . . . . 0.2.14. Producto escalar o producto punto entre vectores 0.2.15. Producto vectorial o producto cruz entre vectores 0.2.16. Derivadas con vectores . . . . . . . . . . . . . . . 0.3. Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.4. Matemática para la física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.4.1. Algebra y trigonometría . . . . . . . . . . . . . . . 0.4.2. Geometría Euclidiana . . . . . . . . . . . . . . . . 0.4.3. Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.5. Pautas generales en la solución de problemas . . . . . . . 0.6. ENUNCIADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliografía

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1 1 1 1 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 6 8 10 10 12 13 14 15 15 17 18 19 20 24

3

Cap´ıtulo

0

Introducción COMPETENCIAS En esta introducción se busca que el estudiante Manipule adecuadamente las herramientas matemáticas que son indispensables en la física. Infiera la importancia del análisis dimensional y de las unidades en la física. Obtenga las relaciones numéricas entre los diferentes sistemas de unidades que se emplean en la física. Distinga entre una cantidad escalar y una cantidad vectorial. Utilice correctamente la notación vectorial. Analice las diferentes operaciones con vectores. Obtenga las relaciones matemáticas entre coordenadas rectangulares y coordenadas polares.

0.1. Cantidades físicas 0.1.1.

Análisis dimensional

clasifican en dos grupos: fundamentales y derivadas. Una cantidad fundamental se define como aquella que no es posible expresar en función de ninguna otra; en cambio una cantidad derivada se define como aquella que se expresa en función de una o varias cantidades fundamentales. En física se reconocen cuatro cantidades fundamentales, a partir de las cuales es posible expresar cualquier otra cantidad física. Estas son: la longitud cuya dimensión es L, la masa cuya dimensión es M, el tiempo cuya dimensión es T y la carga eléctrica cuya dimensión es C. En lo que sigue, la dimensión de una cantidad física se expresa encerrando la cantidad física entre corchetes. Por ejemplo si F es una fuerza, su dimensión se expresa en la forma [F]. En el área de la mecánica, sólo es necesario considerar las tres primeras cantidades fundamentales, esto es, L, M y T, ya que se tratarán temas en los cuales no interviene la carga eléctrica. Por ello, se hace referencia únicamente a las que son de interés en los conceptos a tratar cuando se analiza el movimiento de los cuerpos. Cualquier otra cantidad física se encuentra dentro del grupo de las denominadas cantidades derivadas, tales como: área (A) con dimensión [ A] = L2 , volumen (V) con dimensión [V ] = L3 , densidad (ρ) con dimensión [ρ] = ML−3 , fuerza (F) con dimensión [F] = MLT−2 , velocidad (v) con dimensión [v] = LT−1 , etc.

Los conceptos, leyes y principios de la física, se expresan mediante ecuaciones matemáticas 0.1.2. Unidades que contienen diferentes tipos de cantidades denominadas cantidades físicas. Desde el punto A cada una de las cantidades fundamentales se de vista dimensional, estas cantidades físicas se le asigna una unidad patrón, dependiendo del

2

CAPÍTULO 0. INTRODUCCIÓN

sistema de unidades a emplear. Existen tres sisTabla 1: Cantidades físicas, dimensiones y unitemas de unidades: El Sistema Internacional (SI), dades el Sistema Gaussiano y el Sistema Inglés (SU). El sistema de unidades más utilizado en la acCantidad física Símbolo Dimensión Unidad tualidad y que será empleado en la mayoría de Longitud x, y,z L m los casos, es el SI. En este sistema de unidades Masa M, m M kg la dimensión L se expresa en metros (m), la diTiempo t T s mensión M se expresa en kilogramos (kg) y la Posición r L m dimensión T se expresa en segundos (s). Desplazamiento ∆r L m El sistema gaussiano es un sistema derivado − 1 Velocidad v LT m s−1 del anterior y en el cual las unidades de las di− 2 Aceleración a LT m s−2 mensiones L, M, T son, respectivamente, el cenVel. angular ω T−1 s−1 tímetro (cm), el gramo (g) y el segundo (s). − 2 Acel. angular α T s−2 Los factores de conversión, entre los sistemas Mto. lineal P, p MLT−1 kg m s−1 de unidades SI y gaussiano, están dados por: − 2 Fuerza F, f MLT kg m s−2 Mto. angular L ML2 T−1 kg m2 s−1 1 m ≡ 102 cm y 1 kg ≡ 103 g. Mto. de una fuerza M ML2 T−2 kg m2 s−2 Trabajo W ML2 T−2 kg m2 s−2 El sistema de unidades SU es de poco uso en la Energía E ML2 T−2 kg m2 s−2 actualidad. En este sistema las cantidades funPotencia P ML2 T−3 kg m2 s−3 damentales son la fuerza con dimensión F, la longitud con dimensión L y el tiempo con di- Abreviaturas. Vel.: Velocidad, Acel.: Aceleración Mto.:Momento mensión T y sus unidades patrón son, respectivamente, la libra (lb), el pie (p) y el segundo (s). Otra unidad utilizada en este sistema es la Fuerza: 1 kg m s−2 ≡ 1 N (Newton). pulgada (in o pul), cuya relación con el pie es Trabajo y energía: 1kg m2 s−2 ≡ 1 J (Julio).

1 p ≡ 12 in.

Potencia: 1 kg m2 s−3 ≡ 1 W (Vatio).

Las relaciones entre las unidades del sistema SI y el sistema SU son: 1 lb ≡ 4.448 N

y

Presión: 1 N m−2 ≡ 1 Pa (Pascal).

1 p ≡ 0.3048 m.

Como se verá, en el desarrollo de los diferentes temas del curso, un buen manejo de las dimensiones y sus respectivas unidades, tanto de las cantidades fundamentales como derivadas, permitirá detectar posibles errores cometidos en los cálculos matemáticos que se llevan a cabo en el análisis de situaciones físicas. En la tabla 1 se muestran las cantidades físicas que serán utilizadas en los temas a tratar en este curso. Se incluyen sus correspondientes dimensiones y las unidades respectivas en el sistema SI, con el fin de ir adquiriendo familiaridad desde ahora con ellas. Algunas de ellas reciben los siguientes nombres

Ejemplo 0.1 Determine las dimensiones y unidades, en cada uno de los sistemas anteriores, de k1 , k2 , k3 en la expresión s = k1 t2 − k2 t + k3 , sabiendo que s es una longitud (L) y t es un tiempo (T).

Solución

Si s es una longitud, cada uno de los términos de esta expresión debe tener dimensiones de longitud, es decir, para el primer término [

] [ ] k1 t2 = [k1 ] t2 = [k1 ] T2 = L,

así

[k1 ] =

L = LT−2 , T2

por consiguiente, sus unidades son: m s−2 en el sistema SI, cm s−2 en el sistema gaussiano y en el sistema inglés p s−2 , por lo que de acuerdo con la tabla 1, k1 corresponde a una aceleración.

3

0.2. VECTORES

0.2. Vectores

Para el segundo término

[k2 t] = [k2 ] [t] = [k2 ] T = L, de donde

[k2 ] =

L = LT−1 , T

en este caso las unidades son: m s−1 en el sistema SI, cm s−1 en el sistema gaussiano y p s−1 en el sistema inglés, o sea que k2 corresponde a una velocidad. Para el tercer término

[k3 ] = L, donde finalmente, las unidades de k3 son: m en el sistema SI, cm en el sistema gaussiano y p en el sistema inglés, ya que sólo tiene dimensiones de longitud.

Ejercicio 0.1 Halle las dimensiones y unidades, en los tres sistemas, de la constante G que aparece en la expresión m m F = G 12 2 , r donde F es una fuerza, r es una longitud y tanto m1 como m2 son masas.

Ejercicio 0.2 Teniendo en cuenta las dimensiones obtenidas para G en el ejercicio 1, determine a qué cantidad física corresponde g en la expresión g=G

m . r2

Ejercicio 0.3 Encuentre las dimensiones y unidades en

√ cada una de las siguientes expresiones (a) gR, (b) mgR, [ ( vt ) ] (c) mvR cos R + 1 y (d) 12 mv2 + mgR(1 − cos θ ). Don-

La física es una ciencia natural que tiene como objetivo explicar los fenómenos físicos que ocurren en la naturaleza, tal como el movimiento de los cuerpos. Para poder explicar estos fenómenos se dispone de modelos físicos, los cuales están sustentados por leyes comprobadas experimentalmente y que se expresan en forma de ecuaciones matemáticas. Es decir, se toma la matemática como el medio más adecuado para explicar los fenómenos de la naturaleza que están directamente relacionados con la física, en otras palabras, la matemática es el lenguaje de la física. Por ello, es necesario utilizar el álgebra, la trigonometría, la geometría euclidiana, la geometría vectorial y el cálculo, ya que mediante estas ramas de la matemática, es posible llevar a cabo procedimientos matemáticos adecuados con las cantidades físicas a utilizar, para un buen entendimiento de los fenómenos físicos involucrados. Lo anterior lleva a una clasificación de las cantidades físicas, dependiendo de la forma como se expresan. De este modo, se clasifican en cantidades escalares y cantidades vectoriales.

0.2.1. Cantidades escalares

de g es una aceleración, R es una longitud, m es una masa,

Son aquellas cantidades físicas que quedan completamente determinadas por su magnitud cuál cantidad física corresponde cada expresión. y su unidad respectiva. Las cantidades escalaEjemplo 0.2 La densidad de una sustancia es res se operan de acuerdo con las reglas de la ρ = 4.5 g cm−3 . Exprese esta densidad en el sistema SI de aritmética, el álgebra y el cálculo. Cantidades unidades. físicas de este tipo son el área (A), el volumen Solución (V), la masa (m), el tiempo (t), el trabajo (W), Utilizando factores unitarios se tiene la potencia (P), el momento de inercia (I), la ρ = 4.5 g cm−3 presión (p), la energía (E), la temperatura (T), la 6 cm3 1 kg 10 entropía (S ), etc. = 4.5 g cm−3 × × , v es una velocidad y t es un tiempo. En cada caso, diga a

103 g

1 m3

así, luego de efectuar y simplificar se obtiene

Ejemplos: A = 10 cm2 , V = 3 m3 , m = 5 kg, t = 3 s.

ρ = 4.5 × 103 kg m−3 .

Ejercicio 0.4 Exprese en unidades SI y en unida-

des gaussianas: (a) 50 km h−1 . (b) 3.03 × 103 p s−2 . (c)

300 p lb s−1 .

0.2.2. Cantidades vectoriales Son aquellas cantidades físicas que para su completa determinación, se requiere añadir una

4

CAPÍTULO 0. INTRODUCCIÓN

dirección además de su magnitud y su unidad respectiva. A diferencia de las cantidades escalares, las cantidades vectoriales se operan de acuerdo con las reglas de la geometría vectorial. Cantidades físicas de este tipo son la velocidad (v), la aceleración (a ), la velocidad angular ( ω), la aceleración angular (α ), el momento lineal o cantidad de movimiento (p ), la fuerza (F ), el momento de una fuerza (M ), el momento angular (L ), etc.

0.2.3. Notación vectorial

0.2.5.

Dirección de un vector

Por definición, a un vector se le debe asignar, además de su magnitud, una dirección. Para que la dirección del vector quede completamente determinada, es necesario definir una dirección de referencia, respecto a la cual se mide el ángulo que forma el vector considerado. En la figura 2 se muestra la dirección de los vectores de la figura 1, donde se ha tomado la horizontal como la dirección de referencia. Matemáticamente, los vectores de la figura 2, se expresan en la forma: A= A

Como se ha podido observar, las cantidades escalares y las cantidades vectoriales, se denotan de manera diferente con el fin de distinguir unas de otras. En textos impresos, generalmente se utiliza letra negrilla para representar los vectores; por ejemplo, la fuerza se expresa como F y en otros casos como ⃗F. Igualmente, la magnitud ⃗ | = A, del vector A se representa como |A| = | A que corresponde a un escalar. En los temas que se tratarán de acá en adelante, es indispensable distinguir claramente entre una cantidad escalar y una cantidad vectorial.

C=C D =D

45

A

o

B 45

0o

o

o C 90

D

45o

Figura 2: Dirección de un vector.

0.2.6.

Vectores iguales

Los vectores A y B son iguales si tienen la misma magnitud y la misma dirección, como se ilustra en la figura 3. Matemáticamente, lo anterior se expresa en la forma A = B. A

A

o

B=B

0.2.4. Representación de un vector Un vector se representa gráficamente mediante una flecha cuya longitud, utilizando una escala adecuada, corresponde a la magnitud del vector. Igualmente, la dirección del vector está dada por el sentido de la flecha, como se ilustra en la figura 1 para los vectores A, B, C y D, que tienen direcciones diferentes.

45

B

B q

q

Figura 3: Vectores iguales.

C D

0.2.7. Figura 1: Representación de un vector.

Vectores iguales y opuestos

Dos vectores A y B son iguales y opuestos si tienen la misma magnitud pero sentidos opuestos,

5

0.2. VECTORES

z

como se ilustra en la figura 4. Por lo que matemáticamente A = −B.

k

q

A

i

B

j

y

O

q

x Figura 4: Vectores iguales y opuestos.

0.2.8.

Figura 6: Vectores unitarios en coordenadas rectangulares.

Vectores unitarios

vectores con el fin de obtener el vector suma o Un vector unitario es aquel cuya magnitud es vector resultante. igual a la unidad. Por ello, como en la figura 5, se define el vector unitario λ, que es paralelo al 0.2.10. Suma de vectores por el método vector A, en la forma

gráfico

A λ≡ , A donde A es la magnitud del vector A.

z A l y

Dentro de este método existen dos maneras de hacerlo, por el método del polígono y el método del paralelogramo. Cuando se trata de sumar dos vectores, se puede utilizar el método del triángulo o el método del paralelogramo, en la forma que se muestra en las figuras 7 y 8, donde se ilustra gráficamente la suma de los vectores A y B.

x A

B

Figura 5: Vector unitario paralelo al vector A De este modo, el vector A se puede expresar en la forma A = λA, lo cual indica que un vector unitario es adimensional, esto es, no tiene dimensiones. Para trabajar operacionalmente con vectores, a cada uno de los ejes coordenados se le asocia un vector unitario, como se ilustra en la figura 6 donde al eje x se le asocia el vector unitario i, al eje y el vector unitario j y al eje z el vector unitario k.

0.2.9.

Suma o composición de vectores

Los vectores se pueden sumar gráfica y analíticamente, como se describe a continuación. Esta operación vectorial es de utilidad, por ejemplo, cuando se trata de hallar la fuerza neta o fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo. En este y muchos otros casos, es necesario sumar varios

B

A S=A+B S=B+A

B

A

Figura 7: Método del triángulo. En el caso del método del triángulo, se toma uno de los vectores y donde éste termina se traslada el otro vector, de este modo, el vector suma está dado por el vector que va desde donde empieza el primer vector hasta donde termina el segundo, como se ilustra en la figura 7. Al observar la figura 7, se encuentra que A +

6

CAPÍTULO 0. INTRODUCCIÓN

B = B + A, lo cual indica que la suma de vectores es conmutativa. En el método del paralelogramo, se trasladan los dos vectores a un punto común, se completa el paralelogramo cuyos lados opuestos tienen valores iguales a la magnitud del vector correspondiente. El vector suma está dado por la diagonal que parte del punto común a los dos vectores, como se muestra en la figura 8.

A

B

A

ni la dirección de ninguno de ellos, pues si esto ocurre se encontraría un vector suma diferente al buscado.

0.2.11.

Componentes rectangulares de un vector

En la sección 0.2.12, se considera el método analítico que permite sumar vectores. En dicho método se emplea el concepto de componentes rectangulares de un vector. Con ayuda de los vectores unitarios asociados a los ejes coordenados, siempre es posible expresar un vector en componentes rectangulares, como se ilustra en la figura 10, para el vector A. z

S=A+B

B

Azk

Figura 8: Método del paralelogramo.

O

A Ay j

Axi

y

Cuando se trata de sumar más de dos vectox res, se hace una generalización del método del triángulo y en este caso se habla del método del Figura 10: Componentes rectangulares de un vector. polígono, el cual se ilustra en la figura 9, para la suma de los vectores A, B, C y D. En este caso se ha aplicado el método gráfico para la suma de vectores, con la condición que los vectores componentes son perpendiculares A C B D entre sí, esto es, el vector A expresado en componentes rectangulares está dado por D A

A = A x i + Ay j + Az k, B

donde las componentes rectangulares A x , Ay y Az pueden ser positivas o negativas, dependiendo de la orientación del vector respecto a C los sentidos positivos de los ejes rectangulares. S=A+D+B+C En el caso de la figura 10, las tres componentes son positivas. La magnitud del vector A está reFigura 9: Método del polígono. lacionada con la magnitud de sus componentes Igual que para dos vectores, sigue siendo vá- rectangulares, por medio de la expresión lida la conmutatividad en la suma de vectores, A2 = A2x + A2y + A2z . esto es, A + B + C + D = D + C + B + A = A + D + B + C. Donde se ha utilizado el teorema de Pitágoras. Cuando se suman vectores gráficamente, al Para expresar la dirección de un vector en el trasladarlos, no se debe cambiar ni la magnitud espacio tridimensional, se utilizan los ángulos

7

0.2. VECTORES

que el vector en consideración forma con cada uno de los ejes coordenados.En el caso de la figura 10, el vector A forma los ángulos θ x , θy y θz , con los ejes x, y y z, respectivamente. De este modo, las respectivas componentes del vector A, se obtienen mediante las expresiones A x = A cos θ x , Ay = A cos θy y Az = A cos θz . Así A = A(cos θ x i + cos θy j + cos θz k), donde el vector unitario paralelo al vector A, está dado por

dependiendo de la orientación del vector respecto al sentido positivo de los ejes de coordenadas, esto es, del cuadrante donde se encuentre el vector. En la figura 11, las componentes son positivas. En el caso particular de un vector en dos dimensiones, como sus componentes rectangulares son perpendiculares, el teorema de Pitágoras permite relacionar la magnitud del vector con la magnitud de sus componentes rectangulares, mediante la expresión A2 = A2x + A2y ,

λ = cos θ x i + cos θy j + cos θz k,

donde, conociendo las magnitudes de dos de ellas, es posible conocer la magnitud de la otra. expresado en función de los cosenos directores Por otro lado, una vez que se conocen las cos θ x , cos θy y cos θz . magnitudes de las tres cantidades, la dirección Igualmente, como la magnitud del vector λ es del vector A se obtiene utilizando cualquiera de la unidad, se satisface la igualdad las definiciones de las funciones trigonométri2 2 2 cas, aunque es costumbre emplear la función tricos θ x + cos θy + cos θz = 1, gonométrica tangente, esto es, esto es, la suma de los cuadrados de los cosenos Ay Ay directores es igual a la unidad. , θ = tan−1 , tan θ = Ax Ax En el caso de dos dimensiones, se procede de forma idéntica, solo que únicamente aparecen ó dos componentes rectangulares, como se muesAx Ax , β = tan−1 . tan β = tra en la figura 11, para el vector A. Ay Ay De acuerdo con lo anterior, en la figura 11 se puede tomar como referencia el eje x o el eje y De este modo, el vector A de la figura 11, matemáticamente se expresa en la forma

y

Ay j O

b

A q Axi

x

A=A

q

A=A

b

Figura 11: Componentes rectangulares de un vector. Ejemplo 0.3 Encuentre las componentes rectangulares del vector unitario paralelo a la línea AB, apuntando en el

En este caso, aplicando de nuevo el método sentido de A hacia B. gráfico para la suma de vectores, se tiene que el Solución −→ Sea λ un vector unitario paralelo al vector AB, esto es vector A expresado en componentes rectangu−→ lares está dado por AB λ=

A = A x i + Ay j, donde igualmente las componentes rectangulares A x y Ay pueden ser positivas o negativas,

AB

.

−→ De acuerdo con la siguiente figura, el vector AB tiene las componentes rectangulares −→ AB = ( − 0.6i + 0.32j − 0.51k)m,

8

CAPÍTULO 0. INTRODUCCIÓN

c

y

5

mm 10 B

S=A+B

320 mm

B q

a

b

A O 600 mm

A

x donde

z

ac = S, ab = A + B cos θ, bc = B sen θ.

y

0 51

mmB

Reemplazando las expresiones de la ecuación (2) en la ecuación (1), se obtiene

320 mm

S2

l O 600 mm

A

x

=

( A + B cos θ )2 + ( B sen θ )2

=

A2 + B2 + 2AB cos θ,

donde mediante esta expresión, conocida como la ley del coseno, es posible conocer la magnitud del vector suma. Para hallar la dirección del vector suma, con ayuda de la figura, se procede como sigue.

z donde su magnitud está dada por AB

= =

√

a

= =

( − 0.6 i + 0.32 j − 0.51 k)m , 0.85m −0.71 i + 0.38 j − 0.6 k.

O sea que las componentes rectangulares del vector unitario son λ x = −0.71,

λy = +0.38,

g B

b e

A

c

S

d

0.62 + 0.322 + 0.512 m 0.85 m.

−→ Por consiguiente el vector unitario paralelo al vector AB, expresado en componentes rectangulares, está dado por λ

(2)

q

b

cb = S sen β = B sen θ,

S B = , sen θ sen β

(3)

ed = A sen β = B sen γ,

A B = . sen γ sen β

(4)

Por las ecuaciones (3) y (4), se encuentra S A B = = . sen θ sen γ sen β

λz = −0.6.

Ejercicio 0.5 En el ejemplo 3, encuentre las componentes rectangulares del vector unitario paralelo a la línea BA, apuntando en el sentido de B hacia A. Compare su resultado con el obtenido en el ejemplo 3.

Expresión conocida como la ley del seno, y mediante la cual es posible hallar el ángulo β, conociendo los valores de B, θ y S.

Ejercicio 0.6 Halle la magnitud y dirección del vector

Ejemplo 0.4 Con ayuda del método gráfico, halle el

suma, de los vectores mostrados en la figura.

vector suma de los vectores mostrados en la figura.

B=15 u

B

57

o

A=23 u

q A

Solución

Teniendo en cuenta el método del triángulo, la magnitud y dirección del vector suma se obtiene como sigue. De la figura se cumple la igualdad

(ac)2 = (ab)2 + (bc)2 ,

(1)

0.2.12.

Suma de vectores por componentes rectangulares

Para sumar dos o más vectores por componentes rectangulares, primero se expresa cada uno

9

0.2. VECTORES

de los vectores en sus componentes rectangulaii) Componentes rectangulares del vector sures y luego se suman, por separado, las compo- ma nentes rectangulares paralelas a cada eje coorS x = A x + Bx + D x , denado, es decir, al sumar los vectores A, B, C y D, se procede así Sy = Ay + By + Cy + Dy . i) Se obtienen las componentes rectangulares de cada vector, como se ilustra gráficamente en De este modo, el vector suma en componentes rectangulares, está dado por la figura 12. y

S = Sx i + Sy j.

Ay j

iii) Magnitud del vector suma

A B Bxi

By j O Dy j

Dxi D Axi

y

x

C

Sy j

S

b q

O

Figura 12: Componentes rectangulares de cada vector.

A = A x i + Ay j, B = Bx i + By j,

x

Sxi

Figura 13: Vector suma de varios vectores. Como las componentes del vector suma son perpendiculares entre sí, de nuevo se utiliza el teorema de Pitágoras, esto es

C = Cy j,

S2 = S2x + Sy2

D = Dx i + Dy j,

iv) Dirección del vector suma donde,

tan θ =

Sy Sx ,

θ = tan−1

Sy Sx ,

- las componentes del vector A son positivas, tan β = SSyx , β = tan−1 SSyx ya que el vector se encuentra en el primer cuadrante (A x > 0, Ay > 0), dependiendo del eje que se tome como referencia, como se muestra en la figura 13. - la componente horizontal del vector B es negativa, mientras que su componente vertical es positiva por estar ubicado el vector Ejemplo 0.5 Halle el vector suma o vector resultante, de los cuatro vectores mostrados en la figura. en el segundo cuadrante (Bx < 0, By > 0), - el vector C solo tiene componente vertical la cual es negativa por apuntar en sentido opuesto a la dirección tomada como positiva para el eje y (Cy < 0),

y

B=

25o

- la componente horizontal del vector D es positiva y su componente vertical negativa, ya que el vector se encuentra en el cuarto cuadrante (Dx > 0, Dy < 0).

15 u

20 = A o 37

O C = 30 u 29o

u

x D= 7 u

10

CAPÍTULO 0. INTRODUCCIÓN

Solución

se debe tener cuidado al definirlas ya que existen dos tipos de producto, uno de ellos se conoce como producto escalar o producto punto entre dos vectores y el otro como producto vectorial o Sx = 5.77u y Sy = −17.75u. producto cruz entre dos vectores, los cuales tieDe este modo, el vector suma expresado en componentes nen propiedades o características diferentes corectangulares está dado por mo se muestra en lo que sigue. Luego de considerar las componentes rectangulares de cada vector, se encuentra que las componentes rectangulares del vector suma son

S = (5.77i − 17.75j)u.

0.2.14. Finalmente, luego de hallar la magnitud y dirección de este vector, se obtiene

El producto escalar entre dos vectores, será de gran utilidad en la definición matemática del concepto de trabajo. Se consideran los vectores A y B que forman entre sí un ángulo θ, como se ilustra en la figura 14. El producto escalar entre estos dos vectores, que se representa como A · B, está definido por

o

71.99

S = 18.66 u

Gráficamente se tiene y

O -17.75 u

Producto escalar o producto punto entre vectores

A · B ≡ AB cos θ,

5.77 u 71.99o

x

o sea que el producto escalar entre los vectores A y B es igual al producto de sus magnitudes por el coseno del ángulo que forman.

18.66 u

A Ejercicio 0.7 Encuentre los siguientes vectores, utilizando los cuatro vectores de la gráfica. (a) V1 = A −

(B − C) + D, (b) V2 = −(A − B) + C − D, (c) V3 = A + D − (2C − B) y (d) V4 = −A − B − C − D.

25

o

20 15 u

B Figura 14: Producto escalar de dos vectores.

y

B=

q

De acuerdo con esta definición, se tiene que el producto punto entre dos vectores es un escalar que cumple la condición

u

= A o 37

O C = 30 u 29o

x D= 7 u

A · B = AB cos θ, B · A = BA cos θ,

lo cual indica que el producto escalar satisface la propiedad de conmutatividad. Partiendo de esta definición, es posible obte0.2.13. Producto entre vectores ner otras dos definiciones para el producto escaEn física se definen cantidades, tales como el lar, teniendo en cuenta la figura 15, como sigue. trabajo realizado por una fuerza, el momento angular de un cuerpo o el torque de una fuerza, En la figura 15(a), la proyección del vector A en función del producto entre dos vectores. Pero sobre el vector B está dada por A cos θ, lo cual

11

0.2. VECTORES

A A

se satisfacen las siguientes igualdades

B cos q q

i · i = j · j = k · k=1,

q

A cos q

B

i · j = j · i = j · k = k · j = k · i = i · k = 0.

(b)

Por consiguiente, el producto escalar de los vectoresA y B, teniendo en cuenta sus componentes rectangulares, también se puede expresar en la forma

B

(a)

Figura 15: Proyección de un vector sobre el otro.

A · B = A x Bx + Ay By + Az Bz .

permite expresar la definición de producto escalar en la forma A · B ≡ ( A cos θ ) B,

Ejemplo 0.6 Utilizando la definición de producto punto, encuentre el ángulo que el vector A forma con cada uno de los vectores B, C y D, mostrados en la figura.

esto es, el producto escalar de los vectores A y B también se puede definir como el producto de la componente del vector A paralela a B por la magnitud de B. Análogamente, al considerar la figura 15(b), la proyección del vector B sobre el vector A está dada por B cos θ, por lo que la definición de producto escalar se puede escribir en la forma

y

B=

25

o

20 15 u

u

= A o 37

O

x D= 7 u

C = 30 u 29o

A · B ≡ A( B cos θ ),

Solución

o sea, el producto escalar de los vectores A y B Inicialmente se expresa cada vector en componentes recigualmente se puede definir como el producto tangulares de la magnitud del vector A por la componente A = (20 cos 37 i + 20 sen 37 j) u, del vector B paralela al vector A. B = (−15 cos 25 i + 15 sen 25 j) u, Como consecuencia de la definición del proC = (−30j) u, ducto escalar entre los vectores A y B, se obtieD = (7 sen 29 i − 7 cos 29 j) u. nen las siguientes conclusiones Ahora, empleando la definición de producto escalar, entre

- Cuando los vectores son paralelos el pro- los vectores A y B, se tiene que el ángulo entre ellos está ducto punto es máximo, ya que en este caso dado por A·B . cos θ = el coseno adquiere su máximo valor. AB - Cuando los vectores son antiparalelos el producto punto es mínimo, ya que en este caso el coseno adquiere su mínimo valor. - Cuando los vectores son perpendiculares el producto punto es nulo. En síntesis, el producto punto entre los vectores A y B adquiere valores comprendidos entre el intervalo − AB ≤ A · B ≤ + AB. Teniendo en cuenta lo anterior, para los vectores unitarios i, j y k, que son linealmente independientes por ser perpendiculares entre sí,

Llevando a cabo las operaciones indicadas en la expresión anterior, para cada pareja de vectores, se encuentra Angulo entre los vectores A y B: θ1 = 118o . Angulo entre los vectores A y C: θ2 = 127o . Angulo entre los vectores A y D: θ3 = 98o . Resultados que están de acuerdo con los mostrados en la figura.

Ejercicio 0.8 Utilizando la definición de producto punto, encuentre el ángulo entre los siguientes vectores (a) A + B y A − C, (b) B − C y A − D, (c) B y A − C y (d) D − A y C + B, donde los vectores A, B, C y D, se muestran en la figura.

12

CAPÍTULO 0. INTRODUCCIÓN

y

B=

25

o

20

u

= A o 37

15 u

x

O

D= 7 u

C = 30 u 29o

o sea, la magnitud del producto vectorial entre los vectores A y B es igual al producto de sus magnitudes por el seno del ángulo que forman. Por otro lado, como consecuencia de la definición del producto vectorial entre los vectores A y B, se tienen las siguientes conclusiones - Cuando los vectores son paralelos la magnitud del producto cruz es nula, ya que en este caso el seno adquiere el valor cero.

Ejercicio 0.9 Considere los vectores P1 y P2 de la figura. Efectúe el producto escalar entre estos dos vectores y utilice el resultado para demostrar la identidad trigonométrica

- Cuando los vectores son antiparalelos la magnitud del producto cruz es nula, ya que en este caso el seno adquiere el valor cero.

cos(θ1 − θ2 ) = cos θ1 cos θ2 + sen θ1 sen θ2

- Cuando los vectores son perpendiculares, la magnitud del producto cruz es máxima, ya que el seno adquiere su máximo valor, esto es AB.

y P1

P2

q1

q2

x

- Cuando los vectores son perpendiculares, formando entre sí un ángulo de 270o , la magnitud del producto cruz es mínima, ya que el seno adquiere su mínimo valor, esto es − AB. En síntesis, el producto cruz entre los vectores

0.2.15. Producto vectorial o producto A y B adquiere valores comprendidos entre el cruz entre vectores intervalo − AB ≤ |A × B| ≤ + AB. Se consideran los vectores A y B que forman entre sí un ángulo θ, como se ilustra en la figura 16. El producto vectorial entre estos dos vectores, que se representa como A × B, está definido de tal forma que es igual a otro vector C perpendicular tanto al vector A como al vector B, esto es, el vector C = A × B es un vector perpendicular al plano formado por los vectores A y B, donde su magnitud está dada por

|C| = |A × B| = AB sen θ,

Teniendo en cuenta lo anterior, para los vectores unitariosi, j y k, que son linealmente independientes por ser perpendiculares entre sí, se satisfacen las siguientes igualdades i × i = j × j = k × k = 0, i × j = k, k × j = −i,

j × i = −k, k × i = j,

j × k = i, i × k = −j

Por consiguiente, el producto vectorial de los vectores A y B, teniendo en cuenta sus componentes rectangulares, también se puede expresar en la forma C = A×B

= ( A x i + Ay j + Az k) × ( Bx i + By j + Bz k).

C = Ax B

Con q

C = Cx i + Cy j + Cz k,

B A

Figura 16: Producto vectorial entre vectores.

se encuentra que Cx = Ay Bz − Az By ,

13

0.2. VECTORES

Cy = Az Bx − A x Bz ,

y

Cz = A x By − Ay Bx .

B=

El resultado anterior también se puede obtener al resolver el determinante i j k A × B = A x Ay Az Bx By Bz El producto vectorial entre vectores se utilizará para definir, respecto a un punto determinado, el vector momento de una fuerza y el vector momento angular de un cuerpo. Ejemplo 0.7 Considere los vectores P1 y P2 de la figura. Efectúe el producto vectorial entre estos dos vectores y utilice el resultado para demostrar la identidad trigonométrica sen(θ1 − θ2 ) = sen θ1 cos θ2 − cos θ1 sen θ2

25o

15 u

20 = A o 37

u

x

O

D= 7 u

C = 30 u 29o

Ejemplo 0.8 Utilizando la definición de producto cruz, encuentre el ángulo que el vector A forma con cada uno de los vectores B, C y D, mostrados en la figura.

Solución

Inicialmente se expresa cada vector en componentes rectangulares A B C D

= = = =

(20 cos 37 i + 20 sen 37 j) u, (−15 cos 25 i + 15 sen 25 j) u, (−30 j) u, (7 sen 29 i − 7 cos 29 j) u.

Ahora, empleando la definición de producto vectorial, entre los vectores A y B, se encuentra que el ángulo entre ellos está dado por

y P1 q1

sen θ =

P2 q2

|A × B| . AB

Llevando a cabo las operaciones indicadas en la expresión anterior, para cada pareja de vectores, se encuentra

x

Angulo entre los vectores A y B: θ1 = 62o , que es el suple-

Solución

Para hallar el producto vectorial de estos dos vectores, primero se debe expresar cada uno de ellos en componentes rectangulares, esto es

mento de θ1 = 118o . Angulo entre los vectores A y C: θ2 = 53o , que es el suplemento de θ1 = 127o . Angulo entre los vectores A y D: θ3 = 82o , que es el suple-

P1

=

P1x i + P1y j P1 cos θ1 i + P1 sen θ1 j, P2x i + P2y j

mento de θ1 = 98o .

P2

= = =

P2 cos θ2 i + P2 sen θ2 j.

plo 6, utilizando la definición de producto escalar.

Resultados que concuerdan con los obtenidos en el ejem-

Por consiguiente, el producto vectorial de los vectores dados, que de acuerdo con la regla de la mano derecha apunta en la dirección negativa del eje z, está dado por

Ejercicio 0.10 Encuentre, empleando la definición de

P1 × P2 = − P1 P2 (senθ1 cos θ2 − sen θ2 cos θ1 )k,

D − A y C + B, donde los vectores A, B, C y D, son los nidos en el ejercicio 8.

(1)

Por otro lado, considerando la definición de producto vectorial, se tiene que la magnitud también está dada por

|P1 × P2 | = P1 P2 sen(θ1 − θ2 ).

(2)

Finalmente, igualando las ecuaciones (1) y (2), se obtiene sen(θ1 − θ2 ) = (senθ1 cos θ2 − sen θ2 cos θ1 ).

(a) A + B y A − C, (b) B − C y A − D, (c) B y A − C y (d) mostrados en la figura. Compare con los resultados obte-

por lo que su magnitud es

|P1 × P2 | = P1 P2 (senθ1 cos θ2 − sen θ2 cos θ1 ).

producto vectorial, el ángulo entre los siguientes vectores

0.2.16. Derivadas con vectores En diferentes situaciones se hace necesario derivar un vector, bien sea respecto a una de las coordenadas o respecto al tiempo, es decir, respecto a una cantidad escalar. Esta operación se

14

CAPÍTULO 0. INTRODUCCIÓN

y

B=

25o

15 u

20 = A o 37

u

x

O C = 30 u 29

En este caso se debe tener presente que el producto cruz no es conmutativo, mientras que el producto punto sí lo es.

D= 7 u o

Ejemplo 0.9 Derivar los siguientes vectores respecto al escalar t. (a) A(t) = 3t2 i + 2tj + 8k. (b) r(t) = [ Acos(ωt)] i + [ Asen(ωt)] j, donde ω es una constante.

Solución (a)

emplea al definir cantidades físicas tales como los vectores velocidad (v), aceleración (a), fuerza (F) y momento de una fuerza respecto a un punto (τ). En lo que sigue, t es un escalar respecto al cual se tomarán las derivadas de un vector o de un producto de vectores. Si el vector A está dado en componentes rectangulares por A = A x i + Ay j + Az k, su derivada respecto al escalar t, viene dada por dA dt

= =

d ( A x i + A y j + A z k), dt dAy dAz dA x i+ j+ k, dt dt dt

donde se ha tenido en cuenta que los vectores unitarios i , j y k tienen magnitud y dirección constantes, es decir di dj dk = = = 0. dt dt dt En algunas situaciones se hace necesario determinar la derivada de un producto escalar o de un producto vectorial. En este caso, se aplican las mismas reglas del cálculo para la derivada de un producto. Así, la derivada del escalar A = B · C, está dada por

dA(t) = 6ti + 2j. dt (b) dr(t) dt

=

[− Aω sen(ωt)] i + [ Aω cos(ωt)] j

=

Aω {[− sen(ωt)] i + [cos(ωt)] j}.

Ejercicio 0.11 Halle la segunda derivada de los vectores dados en el ejemplo 9. Encuentre una relación entre el vector r (t) y su segunda derivada.

0.3.

Coordenadas polares

Hasta este momento se han empleado coordenadas rectangulares para el trabajo con vectores. Como se verá más adelante, se presentan situaciones físicas en las que es más adecuado emplear otro sistema de coordenadas conocido como coordenadas polares r θ, en las que un punto del plano xy, con coordenadas rectangulares (x, y), se expresa en la forma (r, θ) donde r es la longitud de la recta que va del origen al punto en consideración y θ es el ángulo que la recta forma con respecto a un eje de referencia, medido en sentido antihorario, como se ilustra en la figura 17. (r, q) r

dA dt

= =

d (B · C) dt dB dC ·C+B· . dt dt

q

Figura 17: Coordenadas polares.

Mediante el sistema de coordenadas rectanDe igual manera, la derivada del vector D = gulares, es posible encontrar una relación enP × Q, es tre ambos sistemas de coordenadas, teniendo en cuenta la figura 18. d dD = (P × Q) De la figura 18 se tiene dt dt dP dQ x = r cos θ y y = r sen θ. = ×Q+P× . dt dt

15

0.4. MATEMÁTICA PARA LA FÍSICA

y

Ejercicio 0.12 Dos puntos en el plano tienen coordenadas polares (2.5 m, 30.0o ) y (3.8 m, 120.0o ). Determine (a)

(r, q) (x, y)

Las coordenadas cartesianas de estos puntos. (b) La dis-

r

tancia entre ellos.

q

x

Figura 18: Coordenadas polares y coordenadas rectangulares. Ejemplo 0.10 Las coordenadas cartesianas de dos

puntos en el plano xy, están dadas por (2.0, − 4.0) m y ( − 3, 0, 3.0) m. Determine (a) La distancia entre estos puntos. (b) Sus coordenadas polares.

Solución

(a) Para determinar la distancia entre los puntos A y B, se consideran los vectores r1 y r2 , cuyas componentes rectangulares están dadas por

r2 q2 D

Como la matemática es parte del lenguaje en el que se expresa la física, de ahí radica la importancia de ella en esta área de la ciencia. Por lo anterior, en esta sección se hace una revisión general de algunas operaciones y conceptos matemáticos que se utilizan en la física, particularmente en el curso de Física Mecánica.

0.4.1. Algebra y trigonometría

y (m) B (-3.00, 3.00)

0.4. Matemática para la física

O

x (m)

q1 r1

Para operar de manera literal, en la deducción de expresiones matemáticas que involucran diferentes cantidades físicas y en la solución de ecuaciones simultáneas, es necesario utilizar el algebra y la trigonometría.

A (2.00, -4.00)

r1 = (2i − 4j) m

y

r2 = ( − 3i + 3j) m.

Ahora, la diferencia entre los vectores r1 y r2 es igual al vector D, esto es D

= =

r1 − r2 (5i − 7j) m.

De este modo, la distancia entre los puntos A y B, corresponde a la magnitud del vector diferencia, es decir √ D = 52 + 72 ≈ 8.6 m. (b) Coordenadas polares de cada punto Para el punto A sus coordenadas polares son (r1 ,θ1 ), cuyos valores están dados por √ r1 = 22 + 42 = 4.47 m, 4 θ1 = 360 − tan−1 2 = 296.57o . Para el punto B las coordenadas polares son (r2 ,θ2 ), con valores √ r2 = 32 + 32 = 4.24 m, 3 θ2 = 180 − tan−1 3 = 135o .

Algebra Potencias Producto de potencias con la misma base x. x n x m = x n+m xn = x n−m xm √ x1/n = n x

( x n )m = x nm . Operaciones algebraicas Operaciones algebraicas entre fracciones, con las cantidades, a, b, c y d. c a ± = b d a c ( )( ) = b d

( a/b)/(c/d) =

ad ± bc bd ac bd ad . bc

Productos notables Productos notables que se utilizan en muchas situaciones donde se debe

16

CAPÍTULO 0. INTRODUCCIÓN

factorizar una expresión matemática.

( a ± b) a2 − b2 ( a ± b )3 ( a + b + c )2 2

= = = =

a ± 2ab + b 2

Figura 19: Triángulo rectángulo

2

( a + b)( a − b) a3 ± 3a2 b + 3ab2 ± b3 a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc.

g

a

c b b

Tabla 2: Definición de las funciones trigonométricas Ecuación cuadrática Cuando se tiene una Angulo β Angulo γ ecuación cuadrática de la forma sen β = a/c sen γ = b/c cos β = b/c cos γ = a/c ax2 + bx + c = 0, tan β = a/b tan γ = b/a cot β = b/a cot γ = a/b donde x es la cantidad no conocida, sus soluciosec β = c/b sec γ = c/a nes están dadas por la expresión csc β = c/a csc γ = c/b √ −b ± b2 − 4ac x= . 2a ocurre en muchos casos al sumar cantidades físicas de tipo vectorial, particularmente, vectores Logaritmos Las propiedades de los logaritfuerza. mos, permiten disponer de una herramienta de utilidad en la física. Si y = ln x, entonces x = ey . 180 - b

ln( ab) = ln( a) + ln(b) ln( a/b) = ln( a) − ln(b) ln an = n ln a

Figura 20: Triángulo no rectángulo

ln e = 1 ln e a = a 1 = − ln a. ln a

Ley del seno a sen β

Las propiedades anteriores, para los logaritmos naturales cuya base es la constante de Euler e, son de validez general en cualquier base.

= =

b sen γ c . sen α

Ley del coseno Trigonometría Las funciones trigonométricas y las identidades trigonométricas, son de uso común en el manejo de expresiones matemáticas, particularmente cuando se trabaja con cantidades vectoriales, tales como el momento lineal, la fuerza y el momento angular. Utilizando el triángulo de la figura 19, se obtienen las definiciones mostradas en la tabla 2, para los ángulos γ y β. Mediante la figura 20, se ilustra la ley del seno y la ley del coseno, las cuales se utilizan en el caso de triángulos que no son rectángulos, como

a2 = b2 + c2 − 2bc cos β a2 = b2 + c2 + 2bc cos(180 − β) b2 = a2 + c2 − 2ac cos γ c2 = a2 + b2 − 2ab cos α. En el caso particular que uno de los ángulos sea recto, es decir, cuando el triángulo es rectángulo, se obtiene el teorema de Pitágoras. Por ejemplo, si γ = π/2, la tercera de las ecuaciones anteriores adquiere la forma b2 = a2 + c2 ,

17

0.4. MATEMÁTICA PARA LA FÍSICA

que corresponde al teorema de Pitágoras. Identidades trigonométricas

Teorema Si una recta corta dos rectas paralelas, los ángulos correspondientes entre ellas son iguales. En la figura 22, los ángulos β y γ g

sen2 θ + cos2 θ = 1 sen 2θ = 2 sen θ cos θ

b

cos 2θ = cos2 θ − sen2 θ

1 sen2 θ 2 1 cos2 θ 2 sen(−θ ) cos(−θ ) sen(θ ± π/2) cos(θ ± π/2) sen(θ ± π ) cos(θ ± π ) sen(θ ± β) cos(θ ± β)

= 2 cos2 θ − 1 = 1 − 2 sen2 θ 1 = (1 − cos θ ) 2 1 = (1 + cos θ ) 2 = − sen θ = cos θ = ± cos θ = ∓ sen θ = ∓ sen θ = − cos θ = sen θ cos β ± cos θ sen β = cos θ cos β ∓ sen θ sen β

Figura 22: Angulos correspondientes entre paralelas son correspondientes, por lo tanto β = γ. Teorema Dos ángulos formados por lados respectivamente perpendiculares, son iguales. Como en la figura 23, el lado AB es perpendi-

D g

E B

b

C

A Figura 23: Angulos iguales

.

0.4.2.

Geometría Euclidiana

cular al lado DC y el lado DB es perpendicular al lado AE, los ángulos β y γ están formados por lados respectivamente perpendiculares, es decir β = γ.

En esta parte, se enuncian tres teoremas de la geometría euclidiana, que a menudo es necesaArco de una circunferencia La longitud del rio tener en cuenta en la física. Igualmente, se arco mostrado en la figura 24, es gual al radio consideran algunas propiedades de las figuras R multiplicado por el ángulo θ en radianes, esto geométricas más utilizadas. es, Teorema Si una recta corta dos rectas paralelas, los ángulos alternos internos entre ellas son iguales. En la figura 21, los ángulos β y γ

s = Rθ

s R g

q

b

Figura 21: Angulos alternos internos entre paralelas son alternos internos, por lo tanto β = γ.

Figura 24: Arco de una circunferencia

18

CAPÍTULO 0. INTRODUCCIÓN

Longitud de la circunferencia La longitud Derivada de la suma de dos funciones Si o perímetro de una circunferencia de radio R, f ( x ) = g( x ) + h( x ), donde x es una variable, está dado por, la derivada de la función f ( x ) respecto a x, está dada por l = 2πR d f (x) dg( x ) dh( x ) = + . Area y volumen En la tabla 3 se indica el dx dx dx área y el volumen de algunas figuras geométriDerivada del producto de dos funciones Si cas, que son útiles en el análisis de diferentes f ( x ) = g( x )h( x ), donde x es una variable, la temas de la física. derivada de la función f ( x ) respecto a x, está dada por Tabla 3: Area y volumen Figura geométrica Rectángulo (lados a y b) Triángulo (base b y altura h) Círculo (radio R) Esfera (radio R) Cilindro (radio R y longitud l)

Area

ab bh/2 πR2 4πR2 2πRl

Volumen

4 3 3 πR 2 πR l

d f (x) dg( x ) dh( x ) = h( x ) + g( x ) . dx dx dx Derivada del cociente de dos funciones Si f ( x ) = g( x )/h( x ), donde x es una variable, la derivada de la función f ( x ) respecto a x, está dada por d f (x) = dx

dg( x ) dx h ( x ) −

g( x ) [h( x )]2

dh( x ) dx

.

0.4.3. Cálculo Regla de la cadena Si y = f ( x ) y x = g(t), En la física, el cálculo es una herramienta de donde x y t son variables, la derivada de la fungran utilidad, ya que muchas cantidades se expresan o definen bien sea utilizando el concepto ción y respecto a t, está dada por de derivada o de integral. d f ( x ) dg(t) dy = . dt dx dt Cálculo diferencial Mediante el cálculo diferencial se definen cantidades físicas tales como Segunda derivada Si y = f ( x ), donde x es el vector velocidad, el vector aceleración y el una variable, la derivada segunda de la función vector fuerza. Por est razón, se considera la de- y respecto a x, está dada por finición de derivada y algunas de sus propiedad d f (x) d2 y des. . = 2 dx dx dx Definición de derivada Derivadas más comunes En la tabla 4, se Si la variable y es una función de la variable x, indican las derivadas de las funciones más esto es, y = y( x ), la derivada de la función y comunes que se presentan en la física. respecto a x, está dada por dy ∆y ≡ l´ım . dx ∆x →0 ∆x Cálculo integral ∫ La integral, cuyo símbolo es Propiedades de la derivada A continuación una S alargada, , corresponde a la operación se indican algunas propiedades de la operación opuesta de la derivada y es de utilidad cuando se trabaja con cantidades continuas. De este derivada. modo, la integral se interpreta como una suma

19

0.5. PAUTAS GENERALES EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Tabla 4: Derivada de funciones Función d/dx = ax y=e ae ax y = sen( ax ) a cos( ax ) y = cos( ax ) − a sen( ax ) y = tan( ax ) a sec2 ( ax ) y = cot( ax ) − a csc2 ( ax ) y = sec x tan x sec x y = csc x − cot x csc x y = ln( ax ) a/x − 1 y = sen ( ax ) a/(1 − a2 x2 )1/2 − 1 y = cos ( ax ) − a/(1 − a2 x2 )1/2 y = tan−1 ( ax ) a/(1 + a2 x2 )1/2 de cantidades continuas. Cuando se trabaja con cantidades discretas o contables a simple vista, se utiliza el símbolo de sumatoria ∑. En física se emplean, tanto la integral como la sumatoria, debido a que se trabaja con cantidades discretas y con cantidades continuas. Integrales más comunes A continuación, se indican las integrales más comunes que se presentan en la física. b ∫ b x n+1 n x dx = n + 1 a a 1 )(bn+1 − an+1 ) = ( n+1 ∫ b 1 dx = ln x |ba x a = ln b − ln a b = ln a b ∫ b 1 sen(cx ) dx = − cos(cx ) c a a

= ∫ b a

cos(cx ) dx =

1 [cos(ca) − cos(cb)] c b 1 sen(cx ) c a

= ∫ b a

ecx dx =

1 [sen(cb) − sen(ca)] c 1 cx b e c a

=

1 cb [e − eca ]. c

Alfabeto griego Por último y debido a que en el movimiento curvilíneo y rotacional, varias cantidades físicas se expresan mediante letras del alfabeto griego, se tiene la tabla 5 con el nombre de cada letra y su representación. Tabla 5: Alfabeto griego Nombre Alfa Beta Gamma Delta Epsilon Zeta Eta Theta Iota Kappa Lambda Mu Nu Xi Omicron Pi Rho Sigma Tau Upsilon Phi Chi Psi Omega

Mayúscula

Minúscula

A B Γ ∆ E Z H Θ I K Λ M N Ξ O Π P Σ T Υ Φ X Ψ Ω

α β γ δ ϵ ζ η θ ι κ λ µ ν ξ o π ρ σ τ υ ϕ χ ψ ω

0.5. Pautas generales en la solución de problemas Los diferentes temas que se tratan en un curso de física, corresponden a situaciones que se presentan en la naturaleza, tal como el movimiento de los cuerpos. Estos temas se analizan primero de una manera general y luego se aplican los conceptos involucrados en el análisis y solución de situaciones físicas particulares, más conocidos como problemas. A continuación, se consideran las pautas generales que se deben seguir

20

CAPÍTULO 0. INTRODUCCIÓN

en la solución de problemas. 1. Mientras no se entienda con toda claridad la situación física planteada en un problema particular, no es posible llegar a una solución que tenga sentido físico real. Por ello es indispensable leer detenida y cuidadosamente el enunciado propuesto. No entender el enunciado es quizá el origen de muchas salidas en falso, que pueden llevar a soluciones sin ningún significado. 2. Una vez que se ha logrado cumplir el paso anterior, es posible trazar un diagrama o esquema de la situación planteada en el enunciado. Con esto se logra una mejor visualización del caso que se describe. 3. Con ayuda del diagrama anterior, generalmente, se escriben las cantidades dadas y las cantidades conocidas. Igualmente, se debe estar seguro de cuáles cantidades debe determinar, es decir, cuáles son las incógnitas del problema. 4. En la solución de un problema, por lo general, sólo se aplican pocos principios o conceptos físicos. En esta etapa es indispensable analizar cuáles principios o conceptos se deben emplear, teniendo en cuenta la relación entre las cantidades a determinar y las cantidades conocidas. 5. Teniendo en cuenta que la matemática es el lenguaje de la física, se expresan los principios o conceptos en función de las cantidades físicas que intervienen en el problema particular. En esta parte se debe tener mucho cuidado de utilizar expresiones matemáticas que sean válidas en la situación que se está tratando. Tenga presente que algunas expresiones no son de validez general, sino que sólo son aplicables en ciertos casos. Como algunas veces se obtienen varias ecuaciones simultáneas que es necesario resolver, se debe contar el número de ecuaciones y de incógnitas con el fin de saber si es posible obtener una solución en función de las cantidades conocidas o no. En cada caso particular, utilice el método

más adecuado que le permita resolver de la forma más sencilla posible, el sistema de ecuaciones simultáneas. 6. Hasta donde sea posible, trabaje en forma literal, es decir, utilice los símbolos de las cantidades físicas conocidas en lugar de hacer los reemplazos numéricos desde un comienzo. Así es posible expresar literalmente las incógnitas en función de las cantidades dadas en el enunciado, y de esta forma se tiene la posibilidad de hacer un análisis físico y dimensional de los resultados obtenidos, permitiendo detectar posibles errores. Espere hasta el final para reemplazar los valores numéricos con sus respectivas unidades. Es importante incluir unidades, porque la respuesta se debe expresar en función de ellas y porque se tendrá una comprobación adicional al simplificar las unidades en forma adecuada. 7. Cuando se obtengan respuestas numéricas, es necesario hacer un análisis de ellas respondiendo a la pregunta ¿tiene sentido físico el valor encontrado? Por ejemplo, si se encuentra que la velocidad de un auto es mayor que la velocidad de la luz (3 × 108 m · s−1 ), o que un cuerpo, tal como un balón, tiene una masa igual a la de la tierra (5.98 × 1024 kg) o a la de un electrón (9.1 × 10−31 kg), es porque existe un error en la solución del problema, ya que son respuestas o resultados que no están de acuerdo con la realidad. 8. Por último, se deben utilizar "todas" las comprobaciones posibles de los resultados.

0.6.

ENUNCIADOS

1. Considere las cantidades físicas masa (M), longitud (L), fuerza (F) y tiempo (T). Diga cuál de ellas no es una cantidad física fundamental en el sistema (a) internacional de unidades y (b) inglés de unidades. 2. Al analizar una situación física, se obtiene un resultado tal que el numerador tiene

21

0.6. ENUNCIADOS

las unidades kg · m2 · s−1 y el denominador kg · m2 · s−2 . ¿Qué cantidad física se obtuvo finalmente?

11. Muestre que el momento lineal tiene las dimensiones del producto de una fuerza por el tiempo.

3. Justificando su respuesta, diga si cada una de las afirmaciones anteriores es correcta o incorrecta: (a) Sólo se pueden sumar cantidades físicas que tengan las mismas unidades. (b) Dos cantidades físicas se pueden multiplicar o dividir, si y sólo si, tienen las mismas dimensiones.

12. Cuando un cuerpo se mueve en el aire, se genera una fuerza de fricción que es proporcional al área superficial A del cuerpo y a su rapidez al cuadrado v2 , es decir, Ff = CAV 2 . Obtenga las dimensiones de la constante C.

4. Cierta región, la rapidez del sonido en el aire es 335 m · s−1 . Halle, en km · h−1 , la rapidez de un avión que se mueve con una rapidez igual al doble de la velocidad del sonido en dicha región.

13. En el sistema internacional de unidades la fuerza se da en N. Halle las dimensiones y unidades, en dicho sistema, de la constante de gravitación universal G, que aparece en la ley de gravitación de Newton F = Gm1 m2 /r2

5. Un deportista tiene una estatura de 5.8 p y 9.9 pul. Halle su estatura en el sistema internacional de unidades y en el sistema gaussiano. 6. La separación entre dos de los soportes del puente Golden Gate, en San Francisco California, es de 4200 p. Exprese esta distancia km. 7. Un cilindro circular recto tiene un diámetro de 7.1 pul y una altura de 1.9 p. Halle el área de la base y su volumen, en el sistema internacional de unidades. 8. En las ecuaciones siguientes, x se da en m, t en s, v en m · s−1 y a en m · s−2 . Teniendo en cuenta estas unidades, determine las dimensiones de las cantidades: (a) v2 /x, (b) √ x/a y (c) at2 /2. Ae−ωt ,

9. En la expresión x = x es una longitud, A es una longitud máxima y t es un tiempo . ¿Cuáles son las dimensiones de ω? 10. Un objeto de cierta masa, que está sujeto al extremo de una cuerda, describe una circunferencia. La fuerza ejercida por la cuerda tiene las dimensiones ML/T−2 y depende tanto de la masa del cuerpo, como de su rapidez y del radio de la circunferencia que describe. ¿Cuál combinación de estas últimas tres cantidades, genera las dimensiones de la fuerza?

14. Simplifique cada una de las siguientes expresiones vectoriales: (a) 3(A − 2B) + C − 4(6B − C ) = 0, (b) P = 4[3(2A − 3B + C) − (5A − C) + 8B], (c) 8A − 7B − 4(3B + 6A) = 0. 15. Responda cada una de las siguientes preguntas. (a) Los vectores A y B tienen igual magnitud. ¿Es posible que su suma sea cero? Explique. (b) Los vectores P y Q tienen magnitudes diferentes. ¿Es posible que su suma sea nula? Explique. (c) Los vectores A, B y C tienen igual magnitud. ¿La suma entre ellos puede ser cero? Explique. (d) Los vectores P, Q y R tienen diferente magnitud. ¿La suma entre ellos puede ser cero? Explique. (e) El vector M tiene una magnitud de 4 unidades y el vector N de 3 unidades. Cómo se deben combinar estos vectores para que se obtenga un vector resultante con magnitud de: (i) 1 unidad, (ii) 5 unidades, (iii) 7 unidades y (iv) Cualquier magnitud entre 1 y 7 unidades. 16. La magnitud y dirección respecto a la horizontal, de los vectores A, B y C, están dadas respectivamente por 50 unidades y 45o , 75 unidades y 210o , 100 unidades y 330o . Determine la magnitud y dirección de: (a) A − B + C. (b) A + B − C, (c) el vector D,

22

CAPÍTULO 0. INTRODUCCIÓN

si A + B − C + D = 0 y (d) el vector D si A−B−C−D = 0

al transmisor A con el transmisor B.¿Cuál operación entre vector realizó en este caso?

17. Se tienen los vectores P y Q que forman entre sí un ángulo θ y cuya resultante o suma es el vector S. (a) Utilizando el método del paralelogramo y la trigonometría, obtenga la magnitud y dirección del vector S, en función de P, Q y el ángulo φ que forma con la horizontal. (b) Resuelva el numeral anterior utilizando componentes rectangulares. (c) Compruebe sus resultados si θ = 0o , 90o , 180o .

20. (a) Encuentre un vector unitario paralelo al vector M = −i + 2j + k. (b) Halle la componente del vector M = −i + 2j + k en la dirección del vector N = 4i + 3j.

A q B 18. Sobre un punto, que se encuentra sobre una circunferencia, se aplica un vector de 103 unidades que apunta hacia el centro y otro de 3 × 103 unidades que apunta horizontalmente hacia la derecha. (a) Utilizando el método del paralelogramo y la trigonometría, obtenga la magnitud y dirección del vector suma, en función del ángulo θ. (b) Resuelva el numeral anterior, utilizando componentes rectangulares. (c) Compruebe sus resultados si θ = 0o , 90o , 180o . y x

q 3

3

10 u

3 x 10 u

21. La magnitud de la suma de dos vectores y la magnitud de su diferencia son iguales. Demuestre que los dos vectores son perpendiculares. 22. Los vectores A y B, que se encuentran en plano xy, forman con el eje x los ángulos respectivos θ1 y θ2 . (a) Exprese cada vector en sus componentes rectangulares. (b) Mediante el producto punto, demuestre que cos(θ1 − θ2 ) = cos θ1 cos θ2 + sen θ1 sen θ2 23. Dos vectores, de magnitudes P y Q, forman entre sí un ángulo β cuando se colocan a partir del mismo origen. Mediante componentes rectangulares, halle la magnitud del vector suma de estos dos vectores. ¿Qué nombre recibe el resultado obtenido? 24. La figura muestra dos conjuntos de ejes coordenados y sus vectores unitarios asociados. (a) Demuestre que i′ = cosφi + senφj, j′ = −senφi + cosφj. b) Use el resultado del numeral anterior para demostrar que las componentes rectangulares del vector A en ambos sistemas de coordenadas, se relacionan mediante las expre′ ′ siones A x = A x cosφ + Ay senφ, Ay = − A x senφ + Ay cosφ. y y'

19. Un barco en alta mar recibe dos señales desde los transmisores A y B que se encuentran separados 100 km y uno al sur del otro. El localizador de direcciones del barco detecta que A está 30o al sur del este y que B se encuentra al este. (a) Encuentre la separación entre el barco y cada transmisor de señales. (b) Exprese en componentes rectangulares los vectores que unen al barco con cada transmisor. (c) Utilizando los vectores anteriores, obtenga el vector que une

x' j j' O

i' j i

x

25. Demostrar que si la suma y la diferencia de dos vectores, son perpendiculares, los vectores tienen magnitudes iguales. 26. Dos vectores tienen la misma magnitud V y forman entre sí un ángulo θ. Demostrar:

23

0.6. ENUNCIADOS

z

(a) Que la suma tiene una magnitud S = 2V cos(θ/2), (b) Que la diferencia tiene una magnitud D = 2V sen(θ/2) .

B

7m 3m

27. La figura muestra el sistema fijo de coordenadas xy, con sus vectores unitarios asociados i y j. Adicionalmente, se tienen los vectores unitarios rotantes a y b. Considere el instante en el cual el vector unitario a forma un ángulo θ con la horizontal. (a) Exprese los vectores unitarios a y b en componentes rectangulares. (b) De acuerdo con el enunciado, ¿qué diferencia se presenta entre las parejas de vectores unitarios i y j con a y b? Explique. (c) Encuentre la derivada de cada vector unitario respecto al tiempo. Dar sus respuestas completamente simplificadas. ¿Qué puede concluir de sus resultados? Explique. y

j

b O

a q i

x

28. Obtenga la magnitud y dirección del vector suma resultante entre los vectores A = −6i + j − 3k unidades y B = 4i − 5j + 7k unidades. 29. Se tienen los vectores P = 3i − 4j + 3k unidades y Q = −3i + 5j − 6k unidades. (a) Halle la magnitud y dirección del producto cruz entre los vectores P y Q. (b) Encuentre el ángulo entre los vectores P y Q. 30. En el punto A, sobre el eje x, se aplican los vectores M y N cada uno de magnitud 100 unidades. (a) Halle la magnitud y dirección del vector S = M + N. (b) Encuentre el producto escalar entre M y N. ¿Qué ángulo forman estos vectores? (c) Encuentre el producto vectorial entre M y N. ¿Qué ángulo forman estos vectores? 31. (a) ¿Qué ángulo forman los vectores A y B, sabiendo que su producto punto es − AB? (b) La magnitud de cada uno de los vectores A y B es 5.6 m y forman entre sí un

C

M A

N

y

4m

x

ángulo de 58o . Halle el valor del producto punto entre estos vectores. 32. Determine tanto el producto punto entre los vectores P y Q, como el ángulo comprendido entre ellos, si (a) P = −6i + 3j, Q = 2i − 4j, (b) P = −5i − 5j, Q = −4i + 2j, (c) P = −4i − 6j, Q = −6i + 4j.

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CAPÍTULO 0. INTRODUCCIÓN

Bibliografía

[1] R. A. Serway, J. W. Jewett, Jr. "Física (Séptima edición), Volumen 1". Cengage Learning Editores S.A., 2009. [2] Paul A. Tipler, Gene Mosca. "Física para la ciencia y la tecnología (Quinta edición), Volumen 1". Editorial Reverté, 2005. [3] R. L. Reese. "Física Universitaria, Volumen I". Thomson, 2002. [4] Arthur P. Boresi. Richard J. Schmidt. Ïngeniería Mecánica: ESTATICA". Thomson, 2001. [5] M. Alonso y E. Finn. "Física, vol. I (Mecánica)". Fondo Educativo Interamericano, S.A., 1976. [6] F. W. Sears, M. W. Zemansky, H. D. Young y R. A. Freedman. "Física Universitaria Volumen 1 (Undécima edición)". Pearson Educación, 2004. [7] F. P. Beer y E. R. Johnston, Jr. "Mecánica Vectorial para Ingenieros, Estática". McGraw-Hill, 1998.

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Índice alfabético

C, cantidad derivada, 1 escalar, 3 fundamental, 1 vectorial, 3 coordenadas polares, 14 rectangulares, 14 cosenos directores, 7 D, definición de producto escalar, 10 vectorial, 12 derivada de un producto escalar, 14 de un producto vectorial, 14 de un vector, 13–14 dimensión de una cantidad física, 1 dirección de un vector, 4, 6, 7 L, ley del coseno, 8 del seno, 8 M, método analítico, 6 del paralelogramo, 5, 6 del polígono, 5, 6 del triángulo, 5 magnitud de un vector, 4

del producto vectorial, 12 N, notación vectorial, 4 P, producto entre vectores, 14 escalar, 10–12 de vectores unitarios, 11 vectorial, 10, 12 de vectores unitarios, 12 producto entre vectores, 10 propiedad conmutativa, 10, 14 proyección de un vector, 11 R, representación vectorial, 4 S, sistema gaussiano de unidades, 2 inglés de unidades, 2 internacional de unidades, 2 T, teorema de Pitágoras, 6, 7 V, vector, 3 aceleración, 14 componentes rectangulares, 6, 7 en componentes rectangulares, 6–8 en dos dimensiones, 7 26

ÍNDICE ALFABÉTICO

fuerza, 14 momento angular, 13 momento de una fuerza, 13, 14 suma, 5, 6, 10 analíticamente, 8–10 gráficamente, 5 unitario, 7 velocidad, 14 vectores iguales, 4 iguales y opuestos, 4 unitarios, 5

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