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DERIVADAS PARCIALES En las aplicaciones de las funciones de varias variables surge una pregunta: ¿Cómo será afectada la función por una variación de una de las variables independientes?. Podemos responder esta interrogante considerando cada vez una variable independiente. Por ejemplo, para determinar el efecto de un catalizador en un experimento, un químico llevaría a cabo el experimento varias veces usando cantidades distintas de catalizador, pero manteniendo constantes otras variables, tales como la temperatura y la presión. Seguimos un procedimiento parecido para determinar la razón de cambio de una función f con respecto a una de sus variables independientes. Esto es, hacemos la derivada de f cada vez con respecto a una variable independiente, manteniendo constantes las demás. Este proceso se conoce como derivada parcial, y su resultado se refiere como la derivada parcial de f con respecto a la variable independiente elegida.

1. Definición de derivadas parciales n Sea f : U ⊂ ℜ → ℜ una función y

respecto

a

su

i-ésima

x 0 ∈ U . Se define la derivada parcial de

variable

en

el

punto

x 0 , denotada por

f

con

∂f ( x0 ) ∂xi

  ∂z   o f x ( x 0 ) o ∂x ( x 0 )  , como el límite:   i i

f ( x 0 + h ei ) − f ( x 0 ) ∂f ( x 0 ) = lím h →0 ∂xi h siempre y cuando exista dicho límite. Observaciones: a) Los ei son los vectores de la base canónica de R n . En particular los vectores de la base canónica de R 2 son: e1 = (1,0) y e2 = (0,1) a) Derivadas parciales para una función de dos variables: Si z = f ( x, y ) , entonces las derivadas parciales primeras de f con respecto a las variables x e y son las funciones f x y f respectivamente, definidas mediante: y

siempre y cuando existan los límites. 2 3 EJERCICIO 1: Determinar f x y f para la función f ( x, y ) = x y y deducir una forma práctica para calcular las derivadas parciales y

y

z

x

EJERCICIO 2: Si f ( x, y, z ) = x + x + y , verificar que:

x

∂f ∂f ∂f +y +z =0 ∂x ∂y ∂z

EJEMPLO 1: Para la función

encontrar fx y fy y evaluar cada una de ellas en el punto (1, ln2)

Solución Como

la derivada parcial de f con respecto a x en (1, ln2) es

Como

la derivada parcial de f con respecto a y en (1, ln2) es

1.2. Interpretación geométrica de la derivada parcial: Dada la función z = f ( x, y ) a) Para y = b , la función ϕ( x) = f ( x, b) está representada geométricamente por la curva C1 que se obtiene de intersecar la superficie S dada por z = f ( x, y ) con el plano vertical y = b . Luego: f ( a + h , b) − ϕ(a , b) ∂f ϕ(a + h) − ϕ(a ) ϕ′(a) = lím = lím = (a , b) h →0 h →0 h h ∂x

∂f ( a , b) representa la pendiente de la recta tangente T1 a la curva C1 en el punto ∂x P = ( a, b, c ) donde c = f ( a, b) …..FIGURA 1

Es decir

FIGURA

1

b) Para x = a , la función ϕ( y ) = f ( a, y ) está representada geométricamente por la curva C 2 que se obtiene de intersecar la superficie S dada por z = f ( x, y ) con el plano vertical x = a . Luego: f ( a , b + h) −ϕ( a , b) ϕ(b + h) −ϕ(b) ∂f ϕ′(b) = lím = lím = ( a , b) h →0

h

h →0

h

∂y

∂f

Es decir ∂y ( a , b) representa la pendiente de la recta tangente T2 a la curva C 2 en el punto P = ( a, b, c) donde c = f (a, b) …..FIGURA 2

FIGURA

2

EJEMPLO 2: Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva que se obtiene de la intersección del paraboloide z = 4 − x 2 − y 2 y el plano y =1 , cuando x = 1 / 2 . Solución En este caso la pendiente de la recta tangente esta dada por

con lo cual, la recta es :

, pero pasa por el punto

En la figura 1 se muestra la recta tangente Las ecuaciones paramétricas de la recta tangente son:

y la parábola

y así

La gráfica del paraboloide, la parábola y la recta tangente se muestran en la figura 3. FIGURA 3

EJERCICIO 3: Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva que se obtiene de la intersección del paraboloide z = 4 − x 2 − y 2 y el plano

x = 1 , cuando y =1 / 2 .

1.3. DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR: En forma similar a como se define las derivadas de ordenes superiores para funciones en una variable, n tambien se puede obtener las derivadas parciales de ordenes superiores para funciones f : U ⊂ R → R . 2 Por ejemplo para la función f : U ⊂ R → R , podemos obtener de ellas sus derivadas parciales segundas

(derivadas parciales de segundo orden), las cuales son cuatro en total: Si z = f ( x, y ) , utilizamos la siguiente notación :

∂2 f significa que primero derivamos con respecto a ∂ y∂ x y , mientras que para calcular f y x el orden se invierte.

La notación f

x y

o

x

y luego con respecto a

EJEMPLO 3 3 2 2 3 Calcule las segundas derivadas parciales de f ( x, y ) = x + x y + y

Solución Las primeras derivadas parciales están dadas por :

Entonces tenemos que :

EJERCICIO 4: Compruebe que la función u ( x, y , z ) = ( x 2 + y 2 + z 2 ) de Laplace en derivadas parciales:

−1 / 2

satisface la ecuación diferencial

∂2 u ∂2 u ∂2 u + + =0 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2

1.4. Observación : note que las derivadas parciales mixtas f

x y

y

f y x en el ejemplo 3, son iguales. Esto no

es una casualidad y en la mayoría de los casos prácticos se da. El siguiente teorema, descubierto por el matemático francés Alexis Clairaut (1713 - 1765), da las condiciones bajo las cuales podemos afirmar que esta igualdad se da. 1.5. TEOREMA:

Teorema (igualdad de las derivadas mixtas) 2 Sea f : U ⊂ R → R una función definida en el conjunto abierto U : Si las funciones f y f son continuas en U , entonces: x y

y x

fx y = fyx

EJERCICIO 5: Si se dijera que existe una función z = f ( x, y ) cuyas derivadas parciales son f x ( x, y ) = x + 4 y f ( x, y ) =3 x − y , ¿usted lo creería? y

EJERCICIO 6: Si f ( x, y ) = cos( 3x − 2 y ) : calcular: K =

∂ 2 f ( P0 ) ∂ 3 f ( P0 ) + 2 ∂x∂y ∂ y∂x

π π donde P0 = ( , ) 6 4

EJERCICIO 7: Constate que la función u = ( x − at ) + ( x + at ) satisface la ecuación del calor: 2

2

2 ∂ 2u 2 ∂ u =a ∂t 2 ∂x 2

VECTOR GRADIENTE 1. DEFINICIÓN: Definición (vector gradiente) 2 Sea la función f : U ⊂ R → R definida en el conjunto abiento U , se define f ) como el vector: el gradiente de f (denotada por grad ( f ) o ∇

Observación: si f es una función en tres variables, su gradiente esta dado por:

EJEMPLO 4 2 2 f (π,1) . Si f ( x, y ) = sen ( xy ) + x y , calcule ∇

Solución El gradiente está dado por :

y evaluando

EJERCICIO 8: Hallar grad f (1,0) donde f ( x, y ) = e x

2

+y 2

2. PROPIEDADES DEL GRADIENTE: n Sea la función f : U ⊂ R → R definida en el conjunto abiento U :

a) La dirección de máximo crecimiento de f en

dicho crecimiento es grad

x 0 ∈ U está dado por grad f ( x ) . El valor máximo de 0

f (x0 )

b) La dirección de mínimo crecimiento de f en

x 0 ∈ U está dado por − grad f ( x ) . El valor mínimo 0

de dicho crecimiento es − grad f ( x ) 0

EJERCICIO 10: La temperatura en grados Celsius sobre la superficie de una placa metálica viene dado por: T ( x, y ) = 20 − 4 x 2 − y 2

Midiendose

x

e y en pulgadas. Desde el punto ( 2,−3)

a) ¿En qué dirección crece la temperatura más rapidamente? b) ¿A qué ritmo se produce este crecimiento?

EJERCICIO 11: La temperatura en el punto ( x, y, z ) en un trozo de metal viene dada por la 2 x +y +3 z fórmula f ( x, y , z ) = e , ¿en qué dirección, a partir del punto (0,0,0) , crece más rápidamente la temperatura.

PLANO TANGENTE 1. DEFINICIÓN DE PLANO TANGENTE Y RECTA NORMAL: 2 Sea f :U ⊂ ℜ → ℜ una función diferenciable en x0 = ( x0 , y0 ) ∈U ( una función con derivadas parciales continuas en U o una función que geométricamente es una superficie que tiene un trazo suave, “sin puntas, vértices o esquinas” ).

1.1. La ecuación: PT : ( ( x, y, z ) − ( x0 , y0 , z0 ) ) ⋅ gradF( x0 , y0 , z 0 ) = 0

…………( I )

define el PLANO TANGENTE a la superficie z = f ( x, y ) en el punto P0 = ( x0 , y0 , z 0 ) y con vector normal n = gradF ( x0 , y0 , z 0 ) , donde z 0 = f ( x0 , y0 ) y F ( x, y, z ) = z − f ( x, y ) 1.2. La ecuación: LN : P = P0 + t ⋅ gradF ( P0 ) , t ∈ ℜ ………………………………( II ) Define a la RECTA NORMAL a la superficie z = f ( x, y ) en el punto P0 = ( x0 , y0 , z 0 ) y con vector direccional gradF ( P0 ) ,

1.1.1. Observación: Como la función F se define como: F ( x, y, z ) = z − f ( x, y ) . Luego:

n = gradF ( x 0 , y0 , z 0 ) = ( − f x ( x0 , y0 ) , − f y ( x0 , y0 ) , 1) …………( III ) Reemplazando ( III ) en ( I ), la ecuación del plano tangente PT se puede escribir como:

PT : − f x ( x0 , y0 ) ⋅ ( x − x0 ) − f y ( x0 , y0 ) ⋅ ( y − y0 ) + ( z − z0 ) = 0

Figura 1: Plano tangente y Recta normal EJEMPLO 1: 2 2 Hallar la ecuación del plano tangente al paraboloide z = 4 − x − y en el punto P0 = ( 0 ,1, 3) . Solución El vector gradiente esta dado por 2 2 donde F ( x, y , z ) = z + x + y − 4 En el punto P0 = ( 0 ,1, 3) , el vector normal es n =( 0 , 2 ,1) y la ecuación del plano tangente es:

PT : ( P − P0 ) ⋅ n = 0

⇒ P : ( x , y −1, z − 3) ⋅ ( 0 , 2 ,1) = 0 T

simplificando

PT : 2 y + z = 5 En la figura siguiente se plano tangente.

muestra el paraboloide y el

Figura 3: Plano tangente

EJEMPLO 2: ¿En qué punto de la superficie z = 3x + 2 xy + y , la recta normal es paralela al vector u = ( 6 , 4 , − 2) = 6 i + 4 j − 2 k ? 2

2

Solución Sea P = ( a, b, c ) el punto que buscamos. Si la recta normal es paralela al vector , entonces su vector 2 2 director también es paralelo a ; con lo cual, si F ( x, y , z ) = z − 3 x − 2 xy − y , entonces:

Evaluando en P = ( a, b, c ) : ……………………..( 1 ) Por otro lado, el punto P = ( a, b, c ) está sobre la superficie, por lo que satisface su ecuación. Es decir:

De (1) obtenemos el siguiente sistema:

Resolviéndolo obtenemos que:

 Y así, el punto buscado es P =  ,

1 3 9 ,  . 4 4 8 

EJERCICIO 1: Hallar la ecución del Plano Tangente al Paraboloide elíptico z =

x2 + 4 y2 en el 10

punto ( 2 ,−2 , 2 ) . Además hallar la Recta normal L en dicho punto y graficar. N

EJERCICIO 2: Halle el punto de la superficie z = 3 − x − y + 6 y donde el plano tangente es horizontal. Graficar 2

2