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Área de Estadística Estadística 1, secciones C-, P VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES Muchos experimentos aleatorios llevan a modelos donde el interés es estudiar simultáneamente dos variables aleatorias. Estas variables se definen cuando se observan dos características o resultaos del experimento y se le asigna a cada elemento del espacio muestral igual número de funciones que le hacen corresponder una pareja de números reales (x,y). El tratamiento matemático de estas variables será estudiado en actividad extra aula para lo cual se desarrollarán las actividades señaladas en esta Guía de Estudio, se expone el contenido clasificando las variables aleatorios en discretas (parte 1) y variables aleatorias continuas (parte 2).

Guía de estudio de Unidad 3 Variables Bidimensionales Discretas Calendarización de actividades del 6 al 14 de septiembre 2016

Material de Lectura:  Parte 1 - Probabilidades Prof. María B. Pintarelli 5VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES Secciones 5.1, 5.2, 5.3 y 5.4 (Descargar documento el portal del Área de Estadística, Estadística 1 sección C-, P, R)  Probabilidad y estadística para Ingeniería y Ciencias Jay Devore Capítulo 5 Contenido programático Tercera Unidad: Variables Aleatorias Discretas 3.2 Variables Bidimensionales 3.2.1 Definición 3.2.2 Distribuciones de probabilidad 3.2.3 Esperanza y varianza Objetivos Identificar las variables aleatorias en el contexto de un problema. Definir la distribución de probabilidad de variables aleatorias

bidimensionales discretas. Interpretar correctamente las propiedades que la distribución de probabilidad debe cumplir. Determinar correctamente el recorrido de una variable aleatoria. Calcular la distribución de probabilidades de una variable aleatoria. Calcular la esperanza, la varianza, de las variables aleatorias e interpretar sus valores Actividades Lección 1:  Leer sección 5.1 Generalidades del documento variables aleatorias bidimensionales María B. Pintarelli  Estudiar problema de ejemplo 1 del material complementario (construcción de la tabla)

Lección 2:  Leer 5.2 - Funciones de distribución marginales de una v.a. (X,Y) discreta, variables aleatorias bidimensionales María B. Pintarelli  Estudiar problema de ejemplo 2 del material complementario (distribuciones marginales)

Lección 3  Leer 5.3 - Funciones de probabilidades condicionales, variables aleatorias bidimensionales María B. Pintarelli  Estudiar problema de ejemplo 3 del material complementario (condicional) Lección 4  Leer 5.4– Variables aleatorias independientes  Realizar la Hoja de trabajo que aparece en la página siguiente Puesta en común Reunión en clase presencial, jueves 22 de septiembre 2016 Lección 5 Leer capítulo 5 Probabilidad y estadística para Ingeniería y Ciencias Jay Devore, siguiendo la Guía de Lectura Variables Aleatorias Bidimensionales, Área de Estadísticia  Estudiar problema de ejemplo 4 del material complementario

Hoja de trabajo Variables Aleatorias Bidimensionales Discretas 1. Tres monedas balanceadas se lanzan en forma independiente al aire. Una de las variables de interés es Y1, el número de caras. Denote con Y2 la cantidad de dinero ganado en una apuesta colateral en la siguiente forma. Si la primera cara aparece en el primer tiro, usted gana $1. Si la primera cara aparece en el tiro 2 o en el 3 usted gana $2 o $3, respectivamente. Si no aparece una cara, usted pierde $1 (esto es, gana –$1). a. Encuentre la función de probabilidad conjunta para Y1 y Y2. b. ¿Cuál es la probabilidad de que haya menos de tres caras y usted gane $1 o menos? 2. De nueve ejecutivos de una empresa financiera, cuatro están casados, tres nunca se han casado y dos están divorciados. Tres de los ejecutivos se han de seleccionar para un ascenso. Denote con Y1 el número de ejecutivos casados y con Y2 el número de ejecutivos que no se han casado entre los tres seleccionados para el cargo. Suponiendo que los tres se seleccionan aleatoriamente de entre los nueve disponibles, encuentre la función de probabilidad conjunta de Y1 y Y2. 3. Se seleccionan de una caja tres repuestos para un vehículo, la caja contiene 3 repuestos nuevos originales y 3 nuevos compatibles. Si X representa la cantidad de repuestos nuevos originales y Y la cantidad de repuestos nuevos compatibles que se seleccionaron. Encuentre a. b. c. d.

La distribución de probabilidad conjunta de (X, Y). La distribución condicional de X dado que Y es igual a dos. La distribución condicional de Y dado X igual a uno. La esperanza y la varianza de Y dado X igual a uno.

4. Cuando una patrulla de seguridad detiene un automóvil, se comprueba el desgaste de cada neumático y se verifica si cada luz delantera apunta en la

dirección correcta. Sea X el número de luces delanteras que requiere ajuste, y sea Y el número de llantas defectuosas. a. Si X y Y son independientes con px(0) = 0.5, px(1) = 0.3, px(2) =0.2 y py(0) = 0.6, py(1) = 0.1, py(2) = py(3) = 0.05, py(4) = 0.2, muestre la función masa de probabilidad conjunta (X, Y) en una tabla de probabilidad conjunta. b. Calcule P(X ≤ 1 y Y ≤ 1) de la tabla de probabilidad conjunta y compruebe que es igual al producto P(X ≤ 1)* P(Y ≤ 1). c. Calcular P(X + Y = 0). d. Calcular P(X + Y ≤ 2). 5. Se seleccionan al azar 2 repuestos para bolígrafo de una caja que contiene 3 repuestos azules, 2 rojos y 3 verdes. Si X es el número de repuestos azules y Y es el número de repuestos rojos seleccionados, calcule a. b. c. d. e.

La función de probabilidad conjunta f (x, y), La función marginal de X y la función marginal de Y. Calcule el valor esperado de g(X, Y) = XY. Calcule el valor esperado de X y el valor esperado de Y Calcule el coeficiente de correlación entre X y Y.