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Variables Aleatorias Bidimensionales

Luis Alejandro Másmela Caita Universidad Distrital

[email protected]@hotmail.com

De…nición 1 Sea " un experimento aleatorio y S el espacio muestral asociado con ". Sean X = X (s) y Y = Y (s) dos funciones que asignan un número real a cada uno de los resulatados s 2 S: Llamamos a (X; Y ) variable aleatoria bidimensional (algunas veces llamada vector aleaotorio).

Observación 2 De igual manera a como se habla en el caso univariado, el recorrido de (X; Y ) se designará por RX Y como el conjunto de los posibles valores de (X; Y ). El recorrido de (X; Y ) será por tanto un subconjunto del plano euclidiano. Cada uno de los resultados de X = X (s), Y = Y (s) se puede representar como un punto (x; y ) en el plano.

De…nición 3 (X; Y ) es una variable aleatoria bidimensional discreta si los valores posibles de (X; Y ) son …nitos o in…nitos numerables. Es decir, los valores posibles de (X; Y ) se pueden representar como xi; yj ; con i = 1; 2; :::; n; ::: y j = 1; 2; :::; m; ::: (X; Y ) es una variable aleatoria bidimensional continua si (X; Y ) puede tomar todos los valores en un conjunto no numerable del plano euclidiano.

De…nición 4 Sea (X; Y ) una variable aleatoria discreta bidimensional. Con cada resultado posible xi; yj asociamos un valor p xi; yj que representa P X = xi; Y = yj y que satisface las siguientes condiciones: p xi ; y j 1 X 1 X

0 para todo (x; y ) ; p xi ; y j = 1 :

i=1 j=1

La función p( ) de…nida para todo xi; yj en el recorrido de (X; Y ) se llama función de probabilidad de (X; Y ): El conjunto de las ternas xi; yj ; p xi; yj i; j = 1; 2; ::: es llamada en algunos casos función de distribución de probabilidad de (X; Y ).

;

Ejemplo 5 Se seleccionan al azar 2 repuestos para un bolígrafo de una caja que contiene 3 repuestos azules, 2 rojos y 3 verdes. Si X es el número de repuestos azules y Y el número de repuestos rojos seleccionados, encuentre

a. la función de probabilidad conjunta

b. P [(X; Y ) 2 A]; donde A es la región f(x; y )jx + y

1g

De…nición 6 Sea (X; Y ) una variable aleatoria continua que toma todos los valores en una región R del plano euclidiano. La función de densidad de probabilidad conjunta f es una función que satisface f (x; y ) ZZ

R

0 para todo (x; y ) 2 R; f (x; y ) dxdy = 1:

Ejemplo 7 Suponga que la variable aleatoria continua bidimensional (X; Y ) tiene una fdp conjunta dada por f (x; y ) =

(

x2 + xy 3; 0 0

x

1; 0 e.o.c.

y

2

a. Veri…que que f (x; y ) es una fdp.

b. Calcule la probabilidad P [(X; Y ) 2 B ] donde B = fX + Y

1g :

De…nición 8 Sea (X; Y ) una variable aleatoria bidimensional. La función de distribución acumulativa (fda) F de la variable bidimensional (X; Y ) esta de…nida por F (x; y ) = P (X

x; Y

y) :

Observación 9 Propiedades similares al caso de variables unidimensionales tiene esta función, entre ellas @ 2F = f (x; y ) @x@y dondequiera que F sea diferenciable.

De…nición 10 Las distribuciones marginales de X sóla y Y sóla en el caso discreto estan dadas por p(xi) =

1 X

p xi ; y j

1 X

p xi ; y j ;

Z 1

f (x; y )dx:

y q ( yj ) =

j=1

i=1

en el caso continuo se tiene g ( x) =

Z 1

1

f (x; y )dy

y h (y ) =

1

De…nición 11 Dada una variable aleatoria bidimensional discreta (X; Y ); con fdp conjunta p xi; yj y con marginales p(xi) y q (yj ); se de…ne las distribuciones condicionales de X dado Y = yi y de Y dado X = xi como, p xi ; y j p(xijyj ) = siempre que q (yj ) > 0; q (yj ) p xi ; y j q (yj jxi) = siempre que p(xj ) > 0: p(xi)

De…nición 12 Dada una variable aleatoria bidimensional continua (X; Y ); con fdp conjunta f (x; y ) y con marginales g (x) y h(y ); se de…ne las distribuciones condicionales de X dado Y = y y de Y dado X = x como, f (x; y ) g (xjy ) = siempre que h(y ) > 0; h (y ) h(yjx) =

f (x; y ) siempre que g (x) > 0: g ( x)

De…nición 13 Dada una variable aleatoria bidimensional discreta (X; Y ): Decimos que X y Y son variables aleatorias independientes si y sólo si p(xijyj ) = p(xi)q (yj );

para todo i y j . De…nición 14 Dada una variable aleatoria bidimensional continua (X; Y ): Entonces de dice que X y Y son variables aleatorias independientes si y sólo si f (x; y ) = g (x)h(y )

para todo x y y , en donde f es la fdp conjunta y g y h son las fdps marginales de X y Y respectivamente:

Ejemplo 15 Sean X y Y dos variable aleatorias con fdp conjunta f (x; y ) = e (x+y); x

0; y

muestre que las dos variables son independientes.

0

Teorema 16 Suponga (X; Y ) una variable aleatoria bidimensional: 1. Si (X; Y ) es una variable aleatoria bidimensional discreta. Entonces X y Y son independientes si y sólo si

para todo i, j .

p(xijyj ) = p(xi) o q (yj jxi) = q (yj )

2. Si (X; Y ) una variable aleatoria bidimensional continua. Entonces X y Y son independientes si y sólo si g (xjy ) = g (x) o h(yjx) = h(y )

para todo (x; y ). Demostración. (Ejercicio)

Ejercicio 17 Suponga que f (x; y ) = 8xy si 0

veri…que que X y Y son dependientes.

x

y

1

Funciones de Variables Aleatorias. Al de…nir una variable aleatoria bidimensional (X; Y ), se tratan un par de funciones X (s) y Y (s) que asignan un par de valores al evento s en S , en el marco de un experimento aleatorio ": Considerando ahora la función bivariada Z = H1 (X; Y ) se debe tener claro que, en el marco del experimento "; ahora se tiene que Z = Z (s) = H1 [X (s); Y (s)]

es una nueva variable aleatoria que asigna a s un valor real como función de los valores reales que asignaban X y Y .

¿Cómo se obtiene la fdp de la nueva variable aleatoria Z ?

Caso Discreto En el caso discreto la situación es sencilla y se ilustra a partir del Ejemplo 5. Especi…cando su fdp conjunta se tiene:

Si se desea obtener la distribución de la variable aleatoria Z = X + Y; se puede observar que esta variable toma valores 0, 1, 2, 3 y 4. Por ejemplo para calcular

la probabilidad P (Z = 2) = P [(X = 0; Y = 2) [ (X = 1; Y = 1) [ (X = 2; Y = 1)]

= P (X = 0; Y = 2) + P (X = 1; Y = 1) + P (X = 2; Y = 0) = p(0; 2) + p(1; 1) + p(2; 0) = 1=28 + 3=14 + 3=28 = 2=7

De manera similar se obtienen las probabilidades para los otros casos. (Ejercicio)

Caso Continuo Teorema 18 Supongamos que (X; Y ) es una variable aleatoria bidimensional continua con fdp conjunta f . Sea Z = H1(X; Y ) y W = H2(X; Y ); y supongamos que las funciones H1 y H2 satisfacen las siguientes condiciones:

a. Las ecuaciones z = H1(x; y ) y w = H2(x; y ) se pueden resolver únicamente para x y y en función de z y w; digamos x = G1(z; w) y y = G2(z; w):

b. Las derivadas parciales @x=@z; @x=@w; @y=@z y @y=@w existen y son continuas.

Luego la fdp conjunta de (Z; W ); digamos k(z; w), está dada por la expresión siguiente: k(z; w) = f [G1(z; w); G2(z; w)] jJ (w; z )j

en donde, J (w; z ) =

@x=@z @x=@w @y=@z @y=@w

en donde k(z; w) será distinta de cero para los valores de (z; w) que corresponden a valores de (x; y ) para los cuales f (x; y ) es distinto de cero.

Ejercicio 19 Sean X y Y dos varaibles aleatorias continuas con distribución de probabilidad conjunta f (x; y ) =

(

4xy; 0 0;

x 1; 0 y en otros casos

1

Encuentre la distribución de probabilidad conjunta de Z = X 2 y W = XY: