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• Felipe Ignacio Fuentes Muñoz

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UNIVERSIDAD DE CONCEPCION FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS DEPARTAMENTO DE ESTADISTICA FPP/20-06-2011

PROBLEMAS RESUELTOS VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES ESTADISTICA (523210. Sección 4)

1.- Sea (\ß ] Ñ una variable aleatoria bidimensional discreta con la siguiente distribución de probabilidades conjunta:

:\ß] ÐBß CÑ œ - † ÐB  CÑ à B œ "ß #ß $ à C œ "ß #ß $ a)

Obtener la constante - para que :ÐBß CÑ defina de manera correcta una distribución de probabilidades conjunta. i) Debe cumplirse que :\ß] ÐBß CÑ € 0 , a (Bß CÑ − V\ß] . ii) ! ! :ÐBß CÑ œ "Þ En efecto: B−V\

C−V]

:\ß] Ð"ß "Ñ  :\ß] Ð"ß #Ñ  :\ß] Ð"ß $Ñ  :\ß] Ð#ß "Ñ   :\ß] Ð#ß #Ñ  :\ß] Ð#ß $Ñ  :\ß] Ð$ß "Ñ  :\ß] Ð$ß #Ñ  :\ß] Ð$ß $Ñ œ " ¾ #-  $-  %-  $-  %-  &-  %-  &-  '- œ " Ê $'- œ " Ê - œ

" $'

Luego:

:\ß] ÐBß CÑ œ

" $'

† ÐB  CÑ à B œ "ß #ß $ à C œ "ß #ß $

O también:

B " # $ :] ÐCÑ b)

"

C #

$

:\ ÐBÑ

# $' $ $' % $' * $'

$ $' % $' & $' "# $'

% $' & $' ' $' "% $'

* $' "# $' "& $'

"

Calcular las siguientes probabilidades: i) P(\ œ 1ß ]  4Ñ à ii) P(\ œ 3Ñ à iii) P(] œ 2Ñ à iv) P(\  2ß ]  2Ñ * i) P(\ œ 1ß ]  4Ñ œ :Ð"ß "Ñ  :Ð"ß #Ñ  :Ð"ß $Ñ œ $'

ii) P(\ œ 3Ñ œ :\ Ð$Ñ œ "& $' iii) P(] œ 2Ñ œ :] Ð#Ñ œ "# $' # iv) P(\  2ß ]  2Ñ œ :Ð"ß "Ñ œ $'

1

c)

Calcular el valor esperado y la varianza de las variables \ e ] : $

IÐ\Ñ œ ! B † :\ ÐBÑ œ 1 † Bœ"

* $'

15  2 † 12 $'  3 † $' œ #

Z Ð\Ñ œ IÒ\  IÐ\ÑÓ# œ Š1 

13 $' ‹

†

 Š2 

* $'

78 $'

œ 2.167 #

13 $' ‹

†

12 $'

 Š3 

#

13 $' ‹

†

15 $'

œ !Þ'$*

$

IÐ] Ñ œ ! C † :] ÐCÑ œ 2.167 Bœ"

Z Ð] Ñ œ IÒ]  IÐ] ÑÓ# œ !Þ'$*

d)

¿Son \ e ] variables aleatorias independientes?

\ e ] variables aleatorias independientes Í :\ß] ÐBß CÑ œ :\ ÐBÑ † :] ÐCÑ à a (Bß CÑ − V\ß] Consideremos el par (2,3) − V\ß] À

:\ Ð#Ñ † :] Ð$Ñ œ

12 $'

†

14 $'

œ

7 54

Á :\ß] Ð2ß 3Ñ œ

5 $'

Entonces, \ e ] son variables aleatorias dependientes. e)

Calcular el coeficiente de correlación entre \ e ] .