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• Alvaro Vallejos

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ESTADISTICA II

PRACTICA Nº 1 VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES 1.- Sea el experimento lanzar un par de dados A y B. Se define X el número promedio de ambos resultados y sea Y el resultado de la suma de ambos dados. a) Obtenga la distribución de probabilidad conjunta de estas 2 v.a.. b) Calcule las distribuciones marginales. c) Obtenga las distribuciones de probabilidad condicional p(x/y) y p(y / x) d) Compare las distribuciones de probabilidad de los incisos b y c. ¿Qué fenómeno observa? 2.- La función de densidad conjunta para las variables aleatorias (X, Y), donde X es el cambio de temperatura unitario e Y es la proporción de desplazamiento espectral que produce cierta partícula atómica es:

f ( x, y )  6 xy 2

0  x 1 0  y 1

a) Encuentre las funciones marginales de la conjunta y las funciones condicionales. b) Encuentre la probabilidad de que el espectro se desplace más de la mitad de las observaciones totales, dado que la temperatura aumenta a 0,6 de unidad. c) Calcule su esperanza y desviación estándar con su interpretación. d) Calcule la covarianza y coeficiente de correlación con interpretación. 3.- Un camión de entregas especiales viaja del punto A al punto B y de regreso por la misma ruta cada día. Hay tres semáforos en esta ruta. Sea X el número de semáforos en rojo que el camión encuentra en su camino al punto de entrega B y sea Y el número de semáforos en rojo que el camión encuentra en su camino de regreso al punto de entrega A. Un ingeniero de tráfico ha determinado la distribución de probabilidad conjunta de X y Y que se muestra en la siguiente tabla. x 0 y 1 2 3

0 0.02 0.02 0.05 0.02

1 0.02 0.07 0.11 0.09

2 0.07 0.10 0.13 0.10

3 0.01 0.06 0.08 0.05

a) Calcule la distribución de probabilidad marginal de X e Y. b) Dado que el camión encuentra x=2 semáforos en rojo en su camino al punto de entrega B, calcule la distribución de probabilidad de y. c) ¿X e Y son independientes? 4.- Sea X e Y la función de densidad conjunta

f ( x, y )  x  cy

NPJ

1  x  2,

0  y  1/ 2 INFERENCIA ESTADISTICA 2018

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ESTADISTICA II a) Encuentre el valor de c que convierte a f(x,y) en una función de densidad de probabilidad. b) Obtenga las funciones marginales. c) Calcule f(x / y) y f(y / x). d) Hallar la E(x), V(x) y Cov (x,y) y  ( x, y ) e interpretar. e) Hallar la E(g(x,y)), V(x) y Cov (x,y) y  ( x, y ) e interpretar. g(x,y) = xy f) X e Y son independientes. g) Sea z = x/y, y w=x, hallar la función f(z).

5.- La densidad conjunta de X, el tiempo total (en minutos) entre la llegada de un trabajo de computación a la cola de trabajos y su salida del sistema después de su ejecución, e Y, el tiempo (en minutos) que el trabajo espera en la cola antes de ejecutarse es:

f ( x, y ) 

2 ( x  y )e  x 3

si

x  0, 0  y  1

a) Encuentre el valor de c que convierte a f(x,y) en una función de densidad de probabilidad. b) Obtenga las funciones marginales. c) Calcule f(x / y) y f(y / x). d) Sea z = x+y, y w=x, hallar la función f(z). e) Hallar la E(x), V(x) y Cov (x,y) y  ( x, y ) e interpretar. f) X e Y son independientes. 6.- Suponga que X, el tiempo en minutos, que una persona pasa por un agente eligiendo una póliza de seguros de vida, e Y el tiempo en minutos que el agente emplea en efectuar el trámite una vez que el cliente se ha decidido, entonces la función de probabilidad conjunta está dada por: x

y

 1 f ( x, y )  e 30 10 300

para

x  0,

y0

Usted se dispone a encontrarse con un agente de seguros para suscribir una póliza de seguros de vida. ¿Cuál es la probabilidad de que toda la transacción dure menos de media hora? ¿Calcule el coeficiente de correlación e interprete? 7.- Sea (X, Y) una v.a. bidimensional con distribución:

f ( x, y )  2 x

para

0  x  1,

0  y 1

Se pide: a) La probabilidad de que X tome un valor mayor que 0.5. b) La probabilidad de que X e Y tomen ambos valores mayores que 0,5. c) La probabilidad de que X tome valores mayores que Y. d) La varianza de X. e) Si Z = 4X + 2. Calcula la varianza de Z f) Las distribuciones marginales de X e Y. g) Las distribuciones condicionadas. NPJ

INFERENCIA ESTADISTICA 2018

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ESTADISTICA II h) ¿Son X e Y variables aleatorias independientes? i) La probabilidad de que Y tome un valor mayor que 0,5 condicionada a que X ha tomado a su vez un valor mayor que 0,5.

8.- Sean X e Y dos variables aleatorias independientes y sea Z = 2X - 3Y. Obtén razonadamente la esperanza y varianza de Z en función de las varianzas de X e Y. 9.- Considera las variables X e Y, cuya distribución conjunta se adjunta. Determina si son independientes, obtener sus marginales y condicionales. X/Y -1 0 1 -1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 1 1/8 1/8 1/8 10.- Sean X, Y, Z, v.a. continuas con media y varianzas comunes, tales que μ= 12 y σ =3. Supongamos que X e Y son independientes y que COV(Z,X)= -5. Calcula: a) La varianza de la v.a. X+Y. b) La varianza de la v.a. X+Z. c) La probabilidad de que X+Y tome un valor en el intervalo [16,32]. 11.- Si X e Y son dos variables aleatorias independientes y continuas, con funciones de densidad: f(x)=1/3,

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