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Parte 2: Variables aleatorias y funciones de probabilidad. CONCEPTOS GENERALES 1. Considere X e Y dos variables aleatorias y 𝑎, 𝑏 constantes. Demuestre las siguientes propiedades: a) 𝐸(𝑎𝑋) = 𝑎𝐸(𝑋) b) 𝐸(𝑎) = 𝑎 c) 𝐸(𝑋 ± 𝑌) = 𝐸(𝑋) ± 𝐸(𝑌) 2. Considere X e Y dos variables aleatorias independientes y 𝑎, 𝑏 constantes. Demuestre las siguientes propiedades: a) 𝑉𝑎𝑟(𝑎𝑋) = 𝑎2 𝑉𝑎𝑟(𝑋) b) 𝑉𝑎𝑟(𝑎) = 0 3. Encuentre la función de distribución 𝐹(𝑥) para la función de cuantía dada: 1 𝑓 (𝑥) = { 3 𝑥 = −1,0,1 0 𝑐𝑜𝑐 VA DISCRETAS 4. Considere la siguiente función:

1−𝛼 𝑓 (𝑥) = { 𝛼 0

𝑠𝑖 𝑥 = 0 𝑠𝑖 𝑥 = 1 𝑐𝑜𝑐

a) ¿Para qué valor de α 𝑓(𝑥) es una función de densidad de probabilidad discreta? Explique. b) Calcule la esperanza y la varianza de X. Respuesta: a) para 0 < 𝛼 < 1, b) 𝐸 (𝑋) = 𝛼 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝛼(1 − 𝛼) x−2

5. Sea la función 𝑓(𝑥) = , donde la variable aleatoria x toma los valores {1, 2, 3, 4, 5}. ¿Es 5 ésta una función de densidad de probabilidad? Justifica tu respuesta. 6. ¿Cuál de las siguientes tres funciones 𝑓𝑖 (𝑥), 𝑖 = 1,2,3 es una fdp legítima para X y por qué no se permiten las otras dos? Explique. Para la fdp legítima, calcule la función de distribución acumulada. 𝒙 0 1 ( ) 𝑓1 𝑥 0,3 0,2 𝑓2 (𝑥) 0,4 0,1 𝑓3 (𝑥) 0,4 0,1

2 3 4 0,1 0,05 0,05 0,1 0,1 0,3 0,2 0,1 0,3

1

7. Se selecciona al azar un individuo que tenga un seguro automotriz ce cierta empresa. Sea Y la cantidad de multas que ha recibido durante los últimos tres años. La fdp de la variable aleatoria Y es: 0 0,60

𝑦 𝑓(𝑦)

1 0,25

2 0,10

3 0,05

a) Calcule la probabilidad de que en los últimos tres años haya recibido a lo sumo 2 multas. b) Calcule el número esperado de multas obtenidas durante los últimos tres años. c) Suponga que un individuo con Y multas obtiene un recargo de $100.000𝑌 2 . Calcule la cantidad esperada del recargo. Respuesta: a)0,95 b) E(Y) = 0,6 multas c) $110.000 8. Un negocio de computadoras que atiende pedidos por correo tiene seis líneas telefónicas. Simbolicemos con X el número de líneas en uso en un momento específico. Supongamos que la fpd de X está dada en la tabla siguiente: 𝑥 𝑓(𝑥)

0 0,10

1 0,15

2 0,20

3 0,25

4 0,20

5 0,06

6 0,04

Calcule la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos: a) A lo sumo 3 líneas están en uso. b) Menos de 3 líneas están en uso. c) Por lo menos 3 líneas están en uso. d) Entre 2 y 5 líneas están en uso. e) Entre 2 y 4 líneas no están en uso. f) Por lo menos 4 líneas no están en uso. 9. El número de errores detectados durante el proceso de facturación de una empresa corresponde a una variable aleatoria, con un número esperado de 0,439 (errores/factura) y función de probabilidad dada por: 𝑥 0 1 2 3 4 𝑓(𝑥) 0.735 a 0.078 0.03 b De acuerdo con esta información determine los valores de a y b tal que f(x) sea una función de cuantía. Respuesta: a = 0,145 b = 0,012 10. Se lanza una moneda cargada tres veces, de forma que la probabilidad de obtener cara es 2/3, y la probabilidad de obtener cruz es 1/3. Sea la variable aleatoria 𝑋“el mayor número de caras sucesivas”. a) Determine el rango de la variable aleatoria. b) Calcular la función de probabilidad de 𝑋. c) Calcular la esperanza y la desviación estándar de 𝑋.

2

11. Lanzamos simultáneamente una moneda y un dado. Sea X una variable aleatoria que anota los puntos obtenidos, teniendo en cuenta que cuando sale cara se duplican (ejemplo: si obtenemos cara y 5 serían 10 puntos; si obtenemos sello y 4 serían 4 puntos). Se pide: a) La función de densidad de probabilidad. b) Esperanza de la variable aleatoria. c) Desviación estándar. 12. Un jugador lanza dos monedas equilibradas. Gana 1 euro si aparece una cara y 2 euros si aparecen dos caras. Por otra parte, pierde 5 euros si no aparece ninguna cara. Determinar el valor esperado del juego y si éste es favorable al jugador. ¿Y si pierde 4 euros si no sale ninguna cara? 13. *El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 25% son economistas. Suponga que, para que un ingeniero ocupe un puesto directivo debe tener a lo más 3 años en la empresa, mientras que los empleados que son economistas deben tener entre 4 o 5 años para llegar a un puesto directivo. Por otro lado los no ingenieros y los no economistas deben tener a lo menos 7 años en la empresa para llegar al mismo puesto directivo. Luego, consideramos como T la variable aleatoria que indica el tiempo (en años) que un empleado lleva cumpliendo funciones en la empresa. La función de densidad de probabilidad está dada por: 𝑇 𝑓(𝑡)

1 0,05

2 0,10

3 0,15

4 0,15

5 0,25

6 0,2

7 0,05

8 0,03

9 0,02

Si se elige un empleado al azar para ocupar el cargo de directivo, ¿cuál es la probabilidad de que no sea ni ingeniero ni economista? 14. *Un distribuidor de aparatos electrodomésticos vende cuatro modelos diferentes de congeladores verticales con capacidades de 13.5, 15.9, 17.7 y 19.1 pies cúbicos de espacio de almacenaje. Sea 𝑋 la variable aleatoria que indica la cantidad de espacio de almacenaje de un congelador comprado por un cliente. Supongamos que 𝑋 está caracterizada por la siguiente función de cuantía: 𝑥 13.5 15.9 17.7 19.1 𝑓(𝑥) 𝑎 0.1 𝑏 0.45 Además se sabe que la cantidad esperada de espacio de almacenaje de los congeladores es 17,31 pies cúbicos. a) Calcule los valores de las constantes 𝑎 y 𝑏. b) Si el precio en dólares de un congelador con capacidad 𝑋 pies cúbicos se calcula mediante la fórmula 25𝑋 − 8.5, ¿cuál es el precio esperado a pagar por un cliente que va a comprar un congelador? Obtenga además la desviación estándar del precio. c) Suponga que mientras la capacidad nominal de un congelador es X, la capacidad real es 𝑋 − 0.01𝑋 2 . ¿Cuál es la capacidad real esperada del congelador comprado por un cliente? Respuesta: a) a=0,2 b=0,25 b) E(P)=424,25 σp=53,513 c) E(R)=14,268

3

15. *Una compañía de arriendo de vehículos para empresas adquiere 9 vehículos a principio de año y los pone a disposición de su cliente AB Minerals. La compañía de renta de autos define la variable aleatoria X como la cantidad de vehículos que llegaran en buenas condiciones a fin de año, sabiendo que al menos uno llegará en buenas condiciones, y define la siguiente función de probabilidad para X: x+1 p(x) = log10 ( ) x a) Demuestre que la función efectivamente es una función de probabilidad para X. b) Encuentre la probabilidad de que 3 vehículos lleguen en buenas condiciones a fin de año c) Encuentre la probabilidad de que al menos 3 vehículos lleguen en buenas condiciones a fin de año d) Encuentre el valor esperado de vehículos que llegarán en buenas condiciones a fin de año y la variabilidad de estos. Respuesta: b) 0,1249 c) 0,5229 d) E(X)=3,4402 Var(X)=6,0567

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