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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA DE LA FUERZA ARMADA NUCLEO ZULIA INGENIERIA EN SISTEMAS PROBABILIDAD Y ESTADISTICAS SECCIÓN 03-ISI-D02

UNIDAD III: VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES

INTEGRANTES: ENRIQUE CORDERO CI. 20662798 KERMAN SANCHEZ CI. 25668245

MARACAIBO, FEBRERO DE 2016

INDICE

1. Función de densidad conjunta. 2. Función de densidad marginal. 3. Función de densidad condicional, valor esperado condicional. 4. Variables aleatorias independientes 5. Esperanza matemática de funciones de varias variables aleatorias 6. Extension al caso n-dimensional

1. Función de densidad conjunta. El estudio de variables aleatorias y su distribución de probabilidad, está restringido a espacios muéstrales unidimensionales en los que registramos los resultados asumidos por una sola variable en un experimento. Sin embargo habrá situaciones en las que convenga registrar resultados simultáneos de diferentes variables aleatorias. Se dice que dos variables aleatorias X e Y tienen una distribución continua conjunta si existe una función NO negativa f definida sobre todo el plano xy tal que para cualquier subconjunto A del plano,

La función f se denomina función de densidad de probabilidad conjunta o f.d.p conjunta, de X e Y. Tal f.d.p conjunta debe satisfacer las dos condiciones siguientes:

La probabilidad de que el par (X,Y) pertenezca a cualquier región del plano xy se puede determinar integrando la f.d.p conjunta f(x,y) sobre esa región. EL volumen total por debajo de la superficie z =f(x, y) y por encima del plano xy debe ser 1. La probabilidad de que el par (X, Y) pertenezca al rectángulo A es igual al volumen de la figura sólida con base que se muestra a continuación. La parte superior de la figura sólida está formada por la superficie z = f(x, y).

2. Función de densidad marginal. Al hablar de función de densidad conjunta podemos definir la función de densidad marginal de X o de Y. Llamemos entonces f marginal para Y.

1

(x) la función de densidad marginal para X y f

En el caso del ejemplo de las bolas negras y azules, tenemos:

2

(y) la función de densidad

Para: X = 1, 2, ---- 4

;

Y = 1, 2, ---- 5

Observamos que la función de densidad marginal de X , la calculamos utilizando el recorrido de la otra variable, con el fin de que la conjunta nos quede en términos de una sola variable. Ahora:

3. Función de densidad condicional, valor esperado condicional. Si tenemos una función de densidad de variable discreta pluridimensional en general, podemos hallar la función de densidad condicional que deseemos; para el caso de función de densidad conjunta f(x, y), se tendrán dos funciones de densidad condicional, así:

Si nos remitimos de nuevo al ejemplo de la distribución de las bolas negras y azules; tenemos:

Cuando una variable aleatoria se condiciona por la ocurrencia de un evento B podemos definir valores esperados condicionados por ese evento. Valor Esperado Condicional de X: Se define como valor esperado condicional al valor esperado que ocurre cuando se condiciona la variable por el evento B. Se calcula mediante la expresión siguiente:

4. Variables aleatorias independientes Variable aleatoria independiente: Supongamos que "X" e "Y" son variables aleatorias discretas. Si los eventos X = x / Y = y son variables aleatorias independientes. En tal caso: P(X = x, Y = y) = P( X = x) P ( Y = y). De manera equivalente: f(x,y) = f1(x).f2(y). Inversamente, si para todo "x" e "y" la función de probabilidad conjunta f(x,y) no puede expresarse sólo como el producto de una función de "x" por una función de "y" (denominadas funciones de probabilidad marginal de "X" e "Y" ), entonces "X" e "Y" son dependientes. Si "X" e "Y" son variables aleatorias continuas, decimos que son variables aleatorias independientes si los eventos "X ≤ x", e "Y ≤ y" y son eventos independientes para todo "x" e "y" . De manera equivalente: F(x,y) = F1(x).F2(y), donde F1(x) y F2(y) son las funciones de distribución

(marginal) de "X" e "Y" respectivamente. Inversamente, "X" e "Y" son variables aleatorias dependientes si para todo "x" e "y" su función de distribución conjunta F(x,y) no puede expresarse como el producto de las funciones de distribución marginales de "X" e "Y". Para variables aleatorias independientes continuas, también es cierto que la función de densidad conjunta f(x,y)es el producto de las funciones densidad de probabilidad marginales de "X", f1(x), y de "Y", f2(y).

5. Esperanza matemática de funciones de varias variables aleatorias

6. Extension al caso n-dimensional La generalización inmediata de (R,B,P) es la probabilización de R k mediante el espacio de probabilidad (R k ,B k ,P), donde B k es la correspondiente σ álgebra de Borel que puede venir engendrada, entre otros, por los rectángulos

La función de distribución asociada a la medida de probabilidad en R k se define para cada punto mediante

Donde Sx, denominado región suroeste, es igual a posee propiedades análogas a las del caso unidimensional. -

. Esta función

Es monótona creciente para cada componente. Continuidad conjunta por la derecha. Si x (n)↓x, entonces F(x(n))↓F(x) ❑

lim F ( x 1 , … , x i ) =1

-

∀ x i ↑ +∞

-

Si para

ai ≤ bi , ∆a ,b i

i

y

lim F( x1 , … , x i )=0

∋ x i ↓−∞

.

representa al operador diferencia, actuando de

la forma

Sucesivas aplicaciones del mismo conducen a

Y siendo la probabilidad mayor o igual que cero, la siguiente desigualdad es siempre cierta,

permite obtener una medida de probabilidad que es además única. La demostración de este resultado puede ser objeto de un ejercicio complementario de prácticas. En cualquier caso, buenas exposiciones del mismo pueden consultarse en los textos de Billingsley y Shiryayev.

BIBLIOGRAFIA

- Manual de Estadística. David Ruiz Muñoz. Universidad Pablo de Olavide. 2000 - Teoría de Probabilidades y Estadística Matemática. Gert Maibaum. Editorial Pueblo y educación. 1988 - Probabilidad y estadística para ingenieros. Ronald E. Walpole, Raymond H. Myers, Sharon L. Myers. Pearson Education. 1998 - Probabilidad e inferencia estadística. Luis A. Santaló. Universidad de Buenos Aires. 1970