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REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD DEL ZULIA FACULTAD DE HUMANIDADES Y EDUCACION ESCUELA DE EDUCACION DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Y FISICA ASIGNATURA:GEOMETRÍA ANALÍTICA PROFESOR: JUAN PRIETO

Realizado por: Barreto Edixelys Carreño Marvin Delgado Anaira Maracaibo; 28 de Abril del 2013

DESARROLLO

1. Vector fijo y su notación Es un segmento orientado que posee un punto de origen y punto extremo, aplicados en un punto en particular. Su notación es la siguiente: ⃗⃗⃗⃗⃗ 2. Componentes de un Vector. Definición y maneras de determinarlas. Según el autor Júpiter Figuera: “Los componentes del vector ⃗⃗⃗⃗⃗ corresponden a la diferencias entre las abscisas y las ordenadas de sus puntos extremos”. Lo que es equivalente a escribir: Componentes de ⃗⃗⃗⃗⃗ : ( - , - ) Según libro de matemática de bicentenario definiendo los vectores en el espacio: “Si las coordenadas de los puntos A y B son A( - , ) y B( ), entonces las coordenadas o componentes del vector ⃗⃗⃗⃗⃗ se obtienen restando a las coordenadas del punto extremo con las coordenadas del punto origen”. Y lo representamos de la siguiente manera: ⃗⃗⃗⃗⃗ =( -

,

- , - )

3. Dirección de un vector. Definición y manera de determinarlo. Corresponde a la dirección de la recta que contiene al vector. Ahora bien, ¿Cómo definimos la dirección de una recta en el plano cartesiano? Una de las formas más sencillas de hacerlo es medir el ángulo que la recta forma con el eje X o con una recta pararela al mismo. La medida de este ángulo se hace colocando un transportador con su centro en el punto donde la recta corta al eje X y efectuando la lectura en sentido anti horario. Para hallar el ángulo de forma analítica:

4. Vectores equipolentes y su notación. Según Júpiter Figuera y la Sociedad de ciencias Naturales la Salle: “Dos vectores son iguales o equipolentes si tienen la misma magnitud y dirección. Los vectores equipolentes tienen iguales sus componentes”. Notación: ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

5. Vectores libres y su notación Al conjunto formado por todos los vectores equipolentes a un vector dado se le denomina vector libre. Cualquier vector del conjunto vector libre es representante del mismo y puede ser usado en las representaciones con vectores. Al conjunto de todos los vectores libres en R3 se denotaran por V3: V3= (todos los vectores libres en R3) 6. Magnitudes Vectoriales y Escalares La gran mayoría de los fenómenos y situaciones que nos rodean se pueden expresar de manera matemática usando números o vectores. Los que solo se pueden representar por números son aquellos como la edad, la temperatura, la estatura, entre tantas otras. Todas las cantidades antes mencionadas reciben el nombre de magnitudes escalares. Las magnitudes vectoriales se diferencian de las escalares en el hecho de que no solo indican cantidad, sino que le asocian a esa cantidad una dirección y un sentido, por ejemplo, el desplazamiento de un punto a otro del país que nos indica la distancia entre esos dos puntos, pero adicionalmente nos señala de dónde vienes y a dónde vas. El peso es otra magnitud vectorial ya que además de indicar la masa del objeto nos indica su fuerza perpendicular al suelo. Lo mismo sucede con la velocidad, que es una magnitud vectorial. En cambio, la rapidez, es una magnitud escalar. 7. Vector unitario y Vector nulo El vector unitario es aquel cuyo modulo es la unidad, y el vector nulo es aquel que tiene modulo cero, y tiene sus componentes iguales a cero.

8. Adición de vectores. Interpretación geométrica y propiedades El vector que sustituye a dos vectores dados para producir el mismo efecto se llama la resultante de los dos vectores, y componer dos vectores, es hallar su resultante. En matemáticas la resultante de dos vectores se llama suma, y sumar es componer. Ej. Si dos personas empujan un automóvil por detrás de el en el mismo sentido, entonces la fuerza aplicada tiene la suma de cada uno de los esfuerzos. Para construir la suma de dos vectores ⃗⃗⃗ y con un mismo origen 0 por el método de la regla del paralelogramo, se realiza lo siguiente: por los extremos de los vectores ⃗⃗⃗ y se trazan rectas paralelas a los vectores ⃗⃗⃗ y , respectivamente, hasta que corte en un punto P. la suma ⃗⃗⃗ + es el vector ⃗⃗⃗⃗⃗ .

Otra manera de sumar los vectores ⃗⃗⃗ y es la siguiente: se traza un vector equipolente a ⃗ y el vector equipolente a con origen en el extremo de ⃗⃗⃗ Luego, ⃗⃗⃗ + es el vector de origen el origen de ⃗ y de extremo el extremo de .

 Propiedades de la suma de vectores  Propiedad conmutativa: la suma de dos vectores, ⃗⃗⃗ y , no se altera si se cambia el orden de los sumandos, es decir: ⃗⃗⃗ + ⃗ 

Propiedad asociativa Al asociar dos o más sumandos de distintas formas, se obtiene el mismo vector resultante. Es decir, dados lo vectores ⃗ , y ⃗⃗ , se cumple la siguiente igualdad: (⃗⃗⃗ + ) + ⃗⃗ ⃗ + ( ⃗ +⃗⃗⃗⃗ )



Elemento neutro Al sumar un vector ⃗ con el vector nulo ⃗ resulta el mismo vector ⃗ ; en efecto, el vector nulo es elemento neutro para la suma de ⃗ +⃗ vectores. Por lo cual, se cumple que: ⃗ + ⃗ ⃗



Elemento opuesto ⃗ Dado un vector ⃗ existe un único vector de modo tal que ⃗⃗⃗ + Por lo cual, la suma de un vector ⃗ mas su opuesto es igual al vector nulo.

9. Multiplicación de un número real por un vector. interpretación geométrica y propiedades. Al multiplicar un numero k por un vector ⃗ se obtiene el vector k ⃗ , esta operación se denomina producto de un escalar por un vector. El vector ⃗ tiene la misma dirección que tiene el vector ⃗ . Si k entonces ⃗ y k ⃗ tienen el mismo sentido; si k 0 entonces ⃗ y k ⃗ tienen sentidos opuestos. El modulo k ⃗ es | | veces el modulo del vector ⃗ . Multiplicar un vector por un número es multiplicar cada componente por ese número

 Propiedades La propiedad del factor cero indica que si un numero se multiplica por cero, entonces su resultado es el número cero. 

Si se multiplica el número cero por cualquier vector, se obtiene el vector ⃗ nulo: 0. ⃗



Al multiplicar un numero cualquiera por el vector nulo se obtiene el ⃗ vector nulo: k.⃗



Para todo vector ⃗ , se cumple que: 1. ⃗



Si k y s son números y ⃗ es un vector, entonces: k (s ⃗ )



Si k es un numero cualquiera, y ⃗ y k( ⃗ + ) ⃗ +k



Si k y s son dos números, y ⃗ es un vector, se cumple que: (k+s). ⃗

⃗ ⃗

son dos vectores, se cumple que:

⃗+ ⃗.

10. Combinación lineal. Interpretación geométrica Se dice que un vector ⃗ es combinación de otro vector , si para un numero real se cumple que ⃗ Así, dado +2 si multiplicamos por obtenemos un vector ⃗ dado por: ⃗= =3 =(9,6)= 9 +6 Que es combinación lineal de . Un vector es combinación lineal de los vectores ⃗ y si, dados se puede escribir:

⃗+

11. Dependencia e independencia lineal. Interpretación geométrica. Dado un conjunto finito de vectores , se dice que estos vectores son linealmente dependientes si existen números , no todos iguales a cero, tales que:

Un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes. Por ejemplo, en R3, el conjunto de vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) es linealmente independiente, mientras que (2, −1, 1), (1, 0, 1) y (3, −1, 2) no lo es, ya que el tercero es la suma de los dos primeros. Geométricamente, dos vectores son independientes si no tienen la misma dirección. Esta definición supone que el vector nulo tiene todas las direcciones, en otras palabras este debe generar un área. Tres vectores son independientes si y solo si no están contenidos en el mismo plano vectorial, o sea si ninguno de ellos es una combinación lineal de los otros dos (en cuyo caso estaría en el plano generado por estos vectores) en otras palabras este debe generar un volumen. 12. Producto escalar de dos vectores Es una operación binaria definida sobre dos vectores de un espacio euclídeo cuyo resultado es un número o escalar.

Dados los vectores ⃗ vectores, denotado por ⃗

el producto escalar de ambos , se define como: ⃗

El producto escalar es un numero real. Así, si ⃗

:

⃗

El producto escalar de dos vectores en un espacio euclídeo se define como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.

En los espacios elucídeos, la notación usual de producto escalar es Esta definición de carácter geométrico es independiente del sistema de coordenadas elegido y por lo tanto de la base del espacio vectorial escogida.

 Propiedades  Conmutativa: ⃗ ⃗  Distributiva respecto a la adición de vectores: ⃗ ⃗  Si dos vectores son perpendiculares, su producto escalar es igual a cero

13. Vectores paralelos y perpendiculares Dos vectores son paralelos si tiene la misma dirección Dos vectores son perpendiculares si forman un ángulo de 90 entre sì. 14. Vectores opuestos Dos vectores son opuestos si tienen el mismo modulo, la misma dirección y sentidos opuestos.

BIBLIOGRAFIA

Matemática 8vo grado. Autor: Jupiter Figuera yibirin, ediciones: CO-BO Matemática 8vo grado. Autores: Estrella Suarez, Darío Duran Cepeda, ediciones: Santillana Matemática 8vo grado. Autor: Eusebio j. Ortiz. Editorial: Larense Matemática, 4to año, Nivel de Educación Media del Subsistema de Educación Básica. Autores: Ana Duarte Castillo, Andres Moya Romero, Ángel Miguez Álvarez, Carlos Torres Sorando, Darwin Silva Alayon, Federico Vásquez Spettich, Hernán Paredes Ávila Revisión Editorial de la Colección Bicentenario Norelkis Arroyo Pérez Matemática, primer año, educación media diversificada y profesional. Autor: Sociedad de Ciencias Naturales La Salle Editorial: Natura, S.R.L. Matemática, primer año, educación media diversificada y profesional. Autor: Júpiter Figuera Yibirín. Ediciones: CO-BO Matemática, Segundo año, educación media diversificada y profesional. Autor: Júpiter Figuera Yibirín. Ediciones: CO-BO