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Resolución Nº 01

El problema pide la variación de la resultante de 2 vectores A y B, cuyos módulos son 10 y 2 respectivamente. Para hallar esto, debemos obtener primeramente los valores mínimos y máximos que puede tomar dicha resultante (R), ya que serán los límites de la variación. * Calculando valor mínimo: Simplemente debemos restar aritméticamente los módulos de A y B. →10-2=8 ** Calculando valor mínimo: Simplemente debemos sumar aritméticamente los módulos de A y B. →10+2=12 *** Entonces la variación estará comprendida entre 8 y 12. 8≤R≤12 Clave: B Resolución Nº 02

Nos piden la resultante de 2 vectores, cuyos módulos se desconocen, cuando forman un ángulo recto (90º). Entonces nuestro proposito es conocer los módulos de los vectores mencionados. * Completando variables: Llamaremos a los vectores “a” y “b”. ** Por dato: Nota: Del problema anterior dijimos que la resultante máxima era la suma aritmética de los módulos, mientras que la mínima era la diferencia. a+b=7...(α) a-b=1 ...(β) *** Para hallar módulo de “a” sumamos (α) y (β): a+b=7 a-b=1 2a=8 (operando la ecuación de 1er grado) a=4...(I) **** Para hallar módulo de “b” reemplazamos (I) en (α): 4+b=7 (operando la ecuación de 1er grado) b=3...(II) Continúa en la sgte. página

*****Ahora tenemos los módulos de “a”y “b” y debemos colocarlos perpendicularmente (90º). Nos resulta lo siguiente: 2

2

2

Donde R =a +b ...(III) Reemplazando (I) y (II) en (III)

R a

2

2

R =4 +3 R=5

2

b Clave: E Resolución Nº 03

El problema da tres casos notables de arreglos de vectores. * Caso I

R=A 2 Demostración: Aplicando teorema de Pitágoras

R

A

R =A +A R=A 2 (l.q.q.d.) A **Caso II R

A

R=A 3 Demostración: Aplicando teorema de cosenos 2

2

2

R =A +A + 2.A.A.Cos(60º) R=A 3 (l.q.q.d.)

60º A ***Caso III

R A

R=A Demostración: Aplicando teorema de cosenos 2

120º A

2

2

R =A +A + 2.A.A.Cos(120º) R=A (l.q.q.d.) Clave: A

Resolución Nº 04

Piden resultante de dos vectores A y B; pero en la figura nos los muestran separados, sin embargo sabemos que una propiedad importante de los vectores es que se pueden trasladar en un mismo plano. Lo cual da la sgte. gráfica:

Aplicando teorema de cosenos R

A=5

2

2

2

R =5 +1 + 2.5.1.Cos(37º) R= 34 49º-12º=37º

B=1

Clave: A

Resolución Nº 05

Debemos hallar el módulo de la resultante del conjunto de vectores de la sgte. forma: 3 9 r 30º 30º 3

Aplicando teorema de cosenos en los vectores de módulo 2

2

3

2

r = 3 + 3 + 2. 3. 3.Cos(30º+30º) r=3 Además notamos que el vector “r” es colineal con el vector de módulo igual a 9, por lo que podemos decir que la resultante del conjunto de vectores será igual a la diferencia aritmética de los módulos de estos vectores. → R= 9-3=6 Clave: B Resolución Nº 06

En el problemas primero hallamos el módulo de la resultante de los vectores que forman 90º por el teorema de Pitágoras, operando esto nos da 20. A este vector (20) lo operamos vectorialmente con el otro de 20, y de allí no dara la Continúa en la sgte. página resultante total del conjunto. Entonces bosquejemos:

Notemos que los dos vectores de 20 forman un caso de arreglo notable, ya que forman un ángulo de 45º+15º=60º → R=20 3 Demostrado el ejercicio número tres.

20

10 2

R 45º 10 2 15º 20

Clave: C Resolución Nº 07

Dan el sgte. conjunto de vectores (el gráfico es solo referencial): B

B

A R

E C

C

D

Este sector del arreglo son vectores consecutivos y por propiedad su resultante es 0. Es como sino existiera.

Ahora para hallar los que nos piden (la resultante del conjunto de vectores) solo debemos encontrar la resultante de B y C. Entonces del gráfico se nota que R es igual a E Clave: B

Resolución Nº 08

Sigamos el procedimiento: En el gráfico verificamos que |a+b|=10 |c+d|=6 A →|a+b+c+d|=16 Clave: C

a b

c B c+d 6

d a+b 10

C

Resolución Nº 09

Debemos determinar el valor de la resultante y para ello debemos completar algunos datos que podemos inferir de la figura.

Seleccionamos este sector (1) y descomponemos el vector “5”.

3 5

5 4 3

5

Estos vectores 4 se pueden sumar aritméticamente por ser paralelos (4+4=8).

4 3

Estos vectores se anulan por tener igual módulo y sentidos opuestos.

3

Seleccionamos este sector (2) y descomponemos el vector “5”. Haciendo un procedimiento parecido al anterior nos da un vector paralelo a “8” de módulo 4. Entonces el módulo de la resultante del conjunto de vectores que nos presentaron inicialmente es la suma de los módulos de las resultantes parciales de los sectores (1) y (2), cuyos módulos son 8 y 4 respectivamente. →8+4=12 Clave: A Resolución Nº 10

Hay que hallar la resultante del conjunto de vectores en función de los vectores A y B. Entonces completamos el triángulo con el vector auxiliar C: Podemos decir que: N A+C=X...(α) C+X=B...(β) B A Restando (α) y (β) X A+C=X...(α) C+X=B...(β) S M T A-X=X-B (Despejando X) C C A+B=X Clave: A 2

Resolución Nº 11

El problema nos pide hallar la resultante de la reunión de vectores. Operando: A+B=2C (Propiedad demostrada en el ejercicio anterior) B A →A+B+C=3C C Clave: D Resolución Nº 12

Piden hallar el modulo de la resultante de los vectores. Para eso debemos solamente sumar vectorialmente de la siguiente forma: b c

a+b

a

d a+b+c e+f e

La figura demuestra que: a+b+c=d e+f=d →a+b+c+d+e+f=3d Como piden el modulo de la resultante (dato: módulo de d=6) →3x6=18

f

Clave: A

Resolución Nº 13

El problema pide hallar α

Aplicando teorema de cosenos 2

15

R 15

2

2

2

2

R =15 +7 + 2.15.7.Cos(53º) R=20 Luego para hallar α aplicamos teorema de cosenos en el triángulo cuyos lados son R, 7 y 15. 2

15 =R +7 -2.R.7.Cos(α) 53º α 7

2

2

2

15 =20 +7 -2.20.7.Cos(α) α=37º Clave: E

Resolución Nº 14

Debemos hallar el modulo de la resultante del conjunto de vectores, para lo cual nos dan como dato que la figura ABCD es un paralelogramo y que AB=AD=5; de aquí deducimos que AC también es igual a AB. C La figura muestra un caso notable de B arreglo de vectores (demostrado en el ejercicio número tres) R 5 →R=5 5 60º →R+5=5+5=10 60º A

5

D

Clave: C

Resolución Nº 15

Debemos hallar el modulo de la resultante del conjunto de vectores, para lo cual nos dan como dato a la figura. La figura muestra un caso notable de arreglo de vectores (demostrado en el ejercicio número tres) →R=A →R+A=A+A=2A

R A 60º

A 60º 60º A

Clave: C

Resolución Nº 16

Debemos hallar el ángulo β. Bosquejando el problema:

Aplicando teorema de cosenos 2

R= 2/5 .p p

β p

2

2

R =p +p + 2.p.p.Cos(β) Cos(β)=-4/5 β=143º (IIC) o β=217º (IIIC) El valor que se ajusta a las claves es 143º, además pertenece al segundo cuadrante. Clave: C

Resolución Nº 17

Nota: Del problema número uno dijimos que la resultante máxima era la suma aritmética de los módulos, mientras que la mínima era la diferencia. De los datos: A+B=8...(α) A-B=2 ...(β) * Para hallar módulo de “A” sumamos (α) y (β): A+B=8 A-B=2 2a=10 (operando la ecuación de 1er grado) a=5...(I) ** Para hallar módulo de “b” reemplazamos (I) en (α): 5+B=8 (operando la ecuación de 1er grado) B=3 *** Aplicando teorema de cosenos R =5 +3 + 2.5.3.Cos(120 ) R= 19 Clave: A Resolución Nº 18

Para simplificar el problema hay que descomponer los vectores que están oblicuos. A

Luego de sumar aritméticamente vectores paralelos y anular vectores opuestos tenemos:

R

Aplicando teorema de Pitágoras: 2

4A

2

R =(4A) +(2A)

2

R=2.A. 5 2A

Clave: C

Resolución Nº 19

Análogamente al problema anterior debemos descomponer los vectores oblicuos. (El problema está incompleto ya que debería decirnos que la figura mostrada es un paralelepípedo rectangular, por lo cual se asume.) Estos vectores se anulan por ser opuestos. a Estos vectores se suman aritméticamente por ser paralelos. →R=5+5=10

b

Clave: B Resolución Nº 20

Piden hallar la el módulo de la resultante (R) de la reunión de vectores. Resolvamos en la figura: Por teorema de Pitágoras se calcula “r”. 2

R

5 3

r α

7º

2

2

→r =3 +4 r=5 Además α es igual a 53 . Tambi n notamos que los vectores de módulo igual a 5 forman un arreglo notable ya que α+7º=53º+7º=60º (demostrado en el ejercicio número tres). →R=5 3

4 Clave: B

Nota: Para resolver estos últimos ejercicios (21-25) debemos aplicar un mismo razonamiento como trasladar vectores, aplicar el teorema de cosenos, sumar vectorialmente con método del polígono y completar con vectores auxiliares.

Resolución Nº 21

En problemas anteriores se había visto que este tipo de arreglo resultaba 0

b

a A

De la figura notamos: B d

a+b=-AB...(I) d+c=-AB...(II) Sumamos ambas expresiones a+b+c+d=-2AB

c

Clave: E Resolución Nº 22

2α+α+α+2α=360º α=60º En la figura notamos el arreglo notable cuya resultante es igual a 10, además esta resultante parcial es colineal con el vector de módulo 8. Entonces el módulo de la resultante totales igual a 10-8=2

10

10 α

α

2α

2α 8 Clave: B

Resolución Nº 23

En problemas anteriores se había visto que este tipo de arreglo resultaba 0

d e f a

c

Ademas la figura demuestra que: a+b+c=-f → a+b+c+d+e+f=-f

b Clave: B

Resolución Nº 24

En el gráfico observamos lo siguiente:

B

b

a+b=AB c+d=AC

a+b a 60º C

A c+d c

d

Clave: D

Pero para hallar la resultante total debemos agregar los vectores AB y AC Entonces quedarían 2 vectores formando un ángulo de 60º, cuyos módulos son 2AB y 2AC. Haciendo uso del teorema de cosenos nos da como resultante total un vector cuyo modulo es igual a 7.

Resolución Nº 25

Trasladando vectores a a 2a a

Por dato el hexágono es regular y geométricamente cumple propiedades especiales

3a

Hallando el módulo de la resultante: → a+2a+3a →6a Clave: C