• Author / Uploaded
• Richard Terry

Citation preview

ANÁLISIS VECTORIAL VECTOR

✓ MÓDULO O MAGNITUD

Es un ente matemático que se representa con un segmento de recta orientado (flecha). Se utiliza para representar a las magnitudes vectoriales; por ejemplo, la velocidad, la fuerza, entre otras.

Es el valor numérico y su unidad del vector.

(Magnitud de A) = A = | A| = | | A| | ⃗ 𝐀

NOTACIÓN

⃗ | = √𝟑𝟐 + 𝟒𝟐 = 5 |𝐀 A Magnitud Vector A : * * Dirección SUMA

⃗ ) O RESULTANTE DE VECTORES ( 𝐑

A

•

MÉTODO DEL PARALELOGRAMO



⃗ se lee : “ Vector A” donde A ELEMENTOS ✓ DIRECCIÓN

R = | | R| | = | R| = | A+ B| = A2 + B 2 + 2 ABCos Es la medida del ángulo antihorario, con lado inicial en el eje positivo de las abcisas (eje X) y lado final en el vector. Casos particulares ⃗B

⃗A

⃗ y B ⃗ tienen la misma dirección a) Si A ( α = 0°), entonces

θB

θA 50°

θA = 40°

40°

θB = 130° 1

•

MÉTODO DEL POLÍGONO

⃗ y B ⃗ tienen direcciones contrarias b) Si A ( α = 180°), entonces

Para calcular su resultante, los vectores deben ubicarse en forma consecutiva. c) Si ⃗A y ⃗B son perpendiculares ( α = 90°), entonces

d) Si son de igual módulo, entonces

Para calcular más de dos vectores (método del polígono) se cumple lo siguiente:

Caso particular

2

DIFERENCIA DE VECTORES

Componente en el eje X : Ax = ACosα

La diferencia entre dos vectores se obtiene sumando al primero el negativo (u opuesto) del segundo; esto es:

Componente en el eje Y : Ay = ASenα

MULTIPLICACIÓN DE UN VECTOR POR UN ESCALAR (NÚMERO REAL)

| = | | D| | = | A-B| = | B-A| =

A 2 + B 2 − 2 ABCos

DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR Consiste en expresar un vector en función de otros mutuamente perpendiculares. Ejemplos

⃗⃗ 𝐀

2u

3

⃗ 𝟐𝐀

4u

⃗ -3𝐀

6u

𝟏 ⃗ 𝐀 𝟐

1u

⃗⃗ −𝐀

2u

PROBLEMAS PROPUESTOS

a) 13 d) 34

BLOQUE I

1

4 3

c) 26

06. Encontrar la magnitud del vector diferencia ⃗A − ⃗B , si estos vectores se muestran en la figura, de modo que: , . ⃗ | = 50 , |B ⃗ | = 14 |A

01. Hallar la magnitud del vector resultante del grupo de vectores mostrados. Todos los vectores son horizontales.

3

b) 17 e) 41

6

A B

a) 1 m d) 4 m

b) 2 m e) 5 m

c) 3 m 56°

a) 24 d) 36

02. Dados los vectores. Hallar la magnitud de la resultante.

50°

b) 48 e) 42

b) 64

⃗ +2B ⃗ |= 30u y |2A ⃗ - 3B ⃗ |= 25u. 07. Si: |3A ⃗ - 4B ⃗ | Hallar: | 7A .

2a

2A - 3B

60° a

a) √3𝑎 b) √5𝑎 d) √10𝑎 e) √13𝑎

60°

c) √7𝑎

3A+ 2B

03. Se tienen dos vectores no paralelos A y B de módulos 3 y 5 respectivamente. ¿Cuál de los siguientes valores podría ser la magnitud de la resultante? a) 8 d) 1

b) 2 e) 4

a) 50 u d) 80 u

b) 60 u e) 90 u

c) 70 u

08. Hallar la magnitud de la resultante en el ⃗|= conjunto de vectores, siendo |A ⃗ | = 5 cm . 10 cm , |B

c) 9

B

04. Dos vectores de magnitud 7 y 8 cm dan origen a un vector de magnitud 13 cm. Hallar el ángulo que forman los vectores. a) 30° d) 53°

b) 37° e) 60°

A

c) 45°

a) 5 cm b) 10 cm c) 15 cm d) 30 cm e) 45 cm

05. La magnitud de la resultante de dos vectores cuando forman 0° es 34, y cuando forman 180° es 14. ¿Cuál es la magnitud de la resultante cuando dichos vectores son perpendiculares?

09. Dados los vectores, hallar la resultante.

4

13. Hallar la dirección del vector resultante.

b

y

15

a e

53°

c f

x 17

d

⃗ a) d ⃗ d)−2d

4

⃗ b) -d ⃗ e) 3d

⃗ c) 2d a) 37° d) 30°

10. Expresar el vector "x" en función de los vectores a⃗ y ⃗b.

b) 53° e) 45°

c) 60°

14. Hallar la magnitud de la resultante, si es horizontal.

b

a

y

x 30N

1cm

a) d)

⃗ ⃗ +b 2a

2cm

b)

3 ⃗ − ⃗b 2a

e)

3



⃗ ⃗ +2b a

c)

3 ⃗ ⃗ −2b a

24N

3

a) 2 d) 6

11. Hallar la resultante de los vectores mostrados:

b) 4 e) 12

c) 5

15. Si la resultante del sistema es cero. Determinar la medida del ángulo “θ”.

C D

B

y

5 00

A E

⃗ a) F ⃗ d) 4F

3 00

⃗ b) 2F ⃗ e) 0

8 0°

⃗ c) 3F

a) 40° d) 60°

y

15 37°

x

b) 20° e) 37°

c) 30°

16. Se tiene un vector cuya magnitud es 15. Halle la magnitud de otro vector que forme con el primero 37° de tal forma que la diferencia de ellos sea mínima.

x

3

b)6√2 e) 9√2



7 00

12. Hallar la resultante de los vectores mostrados.

a) 6 d) 9

x

⃗ ⃗ +b a

3

F

20N

a) 9 d) 16

c) 12

5

b) 12 e) 10

c) 15

BLOQUE II

1.

Determine

el

módulo

de →

A) 12 u D) 10 u

la 4.

→

C . →

A = 4 6u

→

60°

A) 12 u D) 13 u

2.

→

vector A

→

C) 24 u

A) 4 u y 6 u C) 5 u y 6 u E) 4 u y 3 u

B)

0u  A + B  4u

C)

6u  A + B  16u

→

5.

Los

→

→

→

→

A =2 cm 53°

16°

45° →

D) 6u  A + B  10u E)

→

B = 2 2 cm

→

4u  A + B  16u

→

→

→

A) R = 0,8 i + 0,3 j →

→

→

B) R = −0,8 i − 0,3 j 3.

→

→

C = 2,5 cm

→

→

→ →

A,B y C

vectores

están

ubicados en el sistema ortogonal, tal como se muestra en la figura. Determine la resultante de los vectores.

→

0u  A + B  16u

B) 8 u y 5 u D) 4 u y 5 u

→

Dos vectores A y B tienen módulos de 10 u y 6 u respectivamente. Determinar en que intervalo se encuentra el módulo de la resultante que se pueden obtener con estos dos vectores.

A)

sobre L1 y L2.

C = 4u

B) 14 u E) 15 u

→

→

Sea el vector A de módulo 5 u que forma 63° con respecto al eje +x, y las rectas L1 y L2 que forman ángulos de 137° y 10° con respecto al eje +x. Determine los módulos de las componentes del

B = 4u

60°

C) 20 u

→

resultante de los vectores A , B y

→

B) 14 u E) 15 u

Dos vectores tienen una resultante máxima cuyo módulo es 14 u y una resultante mínima cuyo módulo es 2u. Determine el módulo de la resultante de los vectores cuando son perpendiculares entre si.

→

→

→

C) R = 0,8 i − 0,3 j →

→

→

D) R = −0,8 i + 0,3 j →

→

→

E) R = 0,3 i + 0,8 j 6

6.

→ →

→

→

Los vectores A,B y C están ubicados en el sistema ortogonal, tal como se muestra en la figura. Determine la resultante de los vectores.

7.

Determine el módulo del vector A tal que la resultante de los vectores mostrados en la figura sea vertical. (B = 25u) →

B

A) 40 u

→

A = 10u

B) 20 u C) 60 u

53°

D) 30 u E) 90 u

30°

→

83°

C = 10u

38° →

4 1 4 1 1

u u u u u

    

→

A

B = 82 u A) B) C) D) E)

60°

7º 8º 0º 0º 10 º

7