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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CANCÚN

Ing. Edgar A. García Campos

INGENIERÍA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES INVESTIGACION DE OPERACIONES Teoría de inventarios U N I D A D  3:  P R O G R A M A C I O N   N O   L I N E A L Maestro: Ing. Edgar A. García Campos

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Ing. Edgar A. García Campos

TEORIA DE INVENTARIOS

Definición: Cantidad de bienes tangibles y otros recursos económicos almacenados en espera de ser vendidos en el curso ordinario de los negociso, o utilizados en los procesos de producción de las empresas. Contablemente representa uno de los principales activos de las organizaciones. Los inventarios comprenden, además de las materias primas, productos en proceso y productos terminados o mercancías para la venta, los materiales, repuestos y accesorios para ser consumidos en la producción de bienes fabricados para la venta o en la prestación de servicios; empaques y envases y los inventarios en tránsito. Representan entre el 15 y el 50 por ciento del capital invertido en el negocio dependiendo del tipo del mismo. Objetivo.- El objetivo de la administracion de los inventarios es lograr un balance entre la inversion por la adquisición de los bienes y otros costos asociados a su administración, y el nivel del servicio al cliente.

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TEORIA DE INVENTARIOS

FUNCIONES DEL INVENTARIO. 1.-Demanda.-Proveer una selección de bienes para anticiparse a la demanda y separar a la empresa de las fluctuaciones de la misma. 2.-Producción.-Desacoplar o separar varias partes del proceso de producción, asi cada parte del proceso trabaja mas indpendientemente. 3.-Compra.-Tomar ventaja de los descuentos de precio compra.

por volumen de

4.-Finanzas.-Protegerse contra la inflación, incrementos de precio.

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TEORIA DE INVENTARIOS TIPOS DE INVENTARIO. 1.-Materias primas.-articulos comprados que no han recibido ningun proceso de manufactura. Por ejemplo: madera , metales, hule, plastico, pieles, algodón 2.-Partes en proceso de trabajo.- Puertas de automoviles, llantas, motores, bocinas de radio, monitores de computadora, etc. , producidos en las lineas de producción y almacanados temporalmente mientras son requeridos para continuar con el proceso. 3.-Productos semiterminados.- son productos que ya han tenido algun trabajo de transaformación pero el mismo no ha finalizado. Se pudieron haber producido en la misma empresa o adqurirdos a otra 4.-Inventario para mantenimiento y reparación.- Partes y refacciones para el mantenimiento preventivo y correctivo de la maquinaria y equipos utilizados en el proceso productivo. 5.-Producto Terminado. Productos terminados, almacenados, esperando ser embarcados a las tiendas de distribución o directamente al cliente. 4

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TEORIA DE INVENTARIOS

El ciclo de flujo de materias primas dentro de la empresa Tiempo del ciclo 95% Entrada

Espera para inspección

Espera para  Tiempo de transporte transporte

5% Espera  Tiempo Tiempo por operador preparación ejecución

Salida

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TEORIA DE INVENTARIOS

DESDE EL ENFOQUE DE LA DEMANDA LOS INVENTARIOS PUEDEN SER: ▶Demanda independiente – la demanda para cada artículo es independiente de la demanda de cualquier otro articulo en el inventario. ▶Demanda Dependiente – la demanda de cada articulo depende de algun otro

artículo en el inventario. Por ejemplo la cantidad de llantas de un modelo especifico, que se pueden comprar o producir, depende de la cantidad de automoviles de un modelo especifico que se vaya a fabricar. Asi, si se producen 2000 automoviles, es necesario comprar, o producir, 8000 rines, 8000 llantas, 2000 llantas de refacción, 10000 tapones de valvula de inflado de llanta, 10000, valvulas de inflado. Todos estos articulo dependen de la demanda del articulo principal que es el automovil.

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TEORIA DE INVENTARIOS

TIPOS DE INVENTARIO EN FUNCIÓN DE LA DEMANDA.

CERTIDUMBRE DE LA

1.-Determinísticos.- en este tipo de inventario la demanda es conocida por adelantado ( si no se conoce se puede estimar o determinar con mas o menos precisión) 2.-Probabilísticos.- La demanda no se conoce, es aleatoria, y se determina con base a estadistica y tecnicas probabilisticas.

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TEORIA DE INVENTARIOS

DECISIONES FUNDAMENTAL EN TEORIA DE INVENTARIOS:

Cuanto pedir ?, Cuando pedir? La dificultad para decidir se basa en las siguientes consideraciones: si se producen o compran lotes pequeños entonces se elevan los costos de ordenar los pedidos o de preparar las máquinas y equipos para las varias corridas de producción. Si los lotes son grandes, se disminuyen los costos de ordenar y de preparación de equipos pero se dispara el costo de mantener el inventario, puesto que es necesario pagar al personal que los maneja, pagar seguros e impuestos, pagar edficios para el almacenamiento y energía.

Cualquier decisión debería basarse en la minimización de los costos totales de la administración del inventario

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TEORIA DE INVENTARIOS

CARACTERÍSTICAS DE LOS SISTEMAS DE INVENTARIO: I. -LOS COSTOS II.- LA DEMANDA III.-CICLO DE PEDIDO IV.- TIEMPO DE ENTREGA (LEAD TIME). V.-REABASTECIMIENTO DEL INVENTARIO. VI.- HORIZONTE DE TIEMPO. VII.-NÚMERO DE ARTICULOS

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TEORIA DE INVENTARIOS CARACTERÍSTICAS DE LOS SISTEMAS DE INVENTARIO: I. -LOS COSTOS ▶Costo de mantenimiento (tambien le llaman de almacenamiento, o de llevar el inventario) – Este costo está asociado con el mantenimiento de un nivel de inventario disponible y varía con el nivel y periodo de tiempo de almacenamiento del inventario. Estos costos comprenden: 1.-costo de oportunidad de la inversión comprometida en el inventario, 2.-costos de almacenamiento ( alquiler calefacción, refrigeración, vigilancia 3.-Costos por deterioro del producto y obselescencia, 4.Impuestos, depreciacion, seguros. Los costos de manteimiento se expresan como el costo en pesos (dolares) por mantener una unidad en inventario por unidad de tiempo (usualmente 1 año) ▶Costo de Ordenar (tambien se llama costo de pedir) – es el costo de colocacion de una orden o requisición de articulos y la recepción de los mismos. Son todos los costos asociados con el reabastecimiento del inventario. Varian con el numero de pedido colocados. Incluyen los costos de requisición, los costos de emision y seguimiento de la orden de compra, los costos de inspección al recibir y colocar los articulos en inventario, costos de papelería, consumibles, etc. ▶Costo de preparación – es equivalente al costo de ordenar, pero en este caso es el costo en el que se incurre al preparar las maquinas o un proceso para manufacturar una orden. ▶Puede estar muy correlacionado con el tiempo de preparación 10

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TEORIA DE INVENTARIOS I.-LOS COSTOS

▶Costo de escasez ( de faltantes, de penalizacion).- Costos en los que se incurre por no tener productos para surtir la demanda. Se deben a ventas perdidas, perdida de clientes, perdida de prestigio, penalizaciones por incumplimiento. Cuando la demanda puede satisfacerse en un periodo posterior, con un pedido pospuesto, los costos varian directamente con la cantidad faltante y el retardo de tiempo. Si la demanda no cumplida se pierde completamente (no se surte con pedidos pospuestos) los costos de los faltantes se vuelven proprcionales solamente a la cantidad faltante. ▶Costo de compra. Es el costo en el que se incurre por pagar el precio de cada articulo

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Peso aproximado de los diferentes costos que intervienen en el Costo de Mantenimiento del Inventario Determinación del Costo de Mantenimiento del Inventario COSTO (Y RANGO) COMO % DEL VALOR CATEGORIA DEL INVENTARIO Costos de alojamiento (renta o depreciación del 6% (3 - 10%) edificio para almacenar, costos de operación, impuestos, seguros) Costos por manejo de materiales (renta o 3% (1 - 3.5%) depreciación de equipo, energía, costo de operación) Costo por mano de obra(recepción, 3% (3 - 5%) almacenamiento, securidad) Costo de inversión (costo de capital, impuestos, 11% (6 - 24%) seguros del inventario) Robo y obsolescencia (mucho mas alto en 3% (2 - 5%) industrias de cambio rapido como las de computadores y telefonos celulares) Costos Globales por Manejo 26% Cada tipo de empresa maneja diferentes pesos porcentuales , en función de la tecnología, la estacionalidad, la moda u otro aspecto de los artículos.

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TEORIA DE INVENTARIOS II.- LA DEMANDA Determinística.- Las cantidas pedidas en cada periodo subsiguiente se conocen con certeza . Si es constante para cada periodo la demanda es estática, si varia pero se conoce con antelación al período es dinámica Probabilistica. Tambien llamada “estocástica”, por cuanto la ocurrencia de una demanda especifica en cualesquiera de los periodos es una variable aleatoria (incierta), y su comportamiento se describe a traves de un distribución de probabilidad. La distribucion de probabilidad puede ser estacionario y no estacionaria

Distribución estacionaria: la media y la desviacion estandar son mas o menos constantes

Distribución no estacionaria : la media y la desviación no son constantes

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TEORIA DE INVENTARIOS II.- LA DEMANDA (continuación): Para un periodo de tiempo determinado la demanda puede ser satisfecha instantaneamente al principio de cada periodo o puede satisfacerse uniformemente a lo largo del periodo, lo cual afecta los niveles de inventario y los costos durante dicho periodo. III.-CICLO DE PEDIDO. Es el período de tiempo entre la colocación de dos pedidos sucesivos. Puede ser de Revisión Continua o Revisión Periódica. Revisión Continua: Caracterizado por la revicion continua del nivel de inventario, de tal forma que cuando se llega a cierto nivel se coloca un nuevo pedido. Revisión Periódica: Los pedidos se colocan en intervalos regulares de tiempo mas o menos constantes. IV.- TIEMPO DE ENTREGA (LEAD TIME). Intervalo de tiempo entre la colocación del pedido y el momento de reaprovisionamiento del inventario. Puede ser instantaneo en cuyo caso el tiempo es cero o puede no serlo en cuyo caso t >0. Puede ser deterministico o estocástico. 14

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TEORIA DE INVENTARIOS V.- REABASTECIMIENTO DEL INVENTARIO. Es la incorporacion de una cantidad de nuevos articulos al inventario existente, el cual puede ocurrir instantaneamente o uniformemente. VI.- HORIZONTE DE TIEMPO. Es el período durante el cual el nivel inventario debe ser controlado. Puede ser finito o infinito. Por razones fiscales usualmente es de un año, por lo que se le denomina ejercicio fiscal. VII.-NÚMERO DE ARTICULOS Es la variedad de articulos diferentes que se manejan en el inventario y que compiten por los recursos de la empresa: presupuesto, espacio, personal , energía etc.

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TEORIA DE INVENTARIOS

LOS MODELOS QUE SE DISCUTIRÁN SERÁN: I.-MODELO CLÁSICO CEP ( EOQ): NO SE PERMITEN FALTANTES II.-MODELO CEP (EOQ) :SE PERMITEN FALTANTES III.-MODELO CEP (EOQ) : LOTES A PRODUCIR. IV.-MODELO (EOQ) :CON DESCUENTOS POR CANTIDAD

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TEORIA DE INVENTARIOS I.-MODELO CLÁSICO CEP ( EOQ): NO SE PERMITEN FALTANTES Suposiciones básicas: a.-La demanda se conoce con certeza b.-La tasa de demanda es cosntante. c.-El inventario se reabastece cuando su nivel está exactamente en cero (no hay faltantes ni sobrantes) d.-El tiempo de entrega (lead time) es constante e igual o mayor que cero. e.-El precio unitario de adquisición de los articulos, el costo de pedido, y los costos unitarios de mantener el inventario son constantes.

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TEORIA DE INVENTARIOS I.-MODELO CLÁSICO CEP ( EOQ): NO SE PERMITEN FALTANTES FORMULACION DEL MODELO CEP (EOQ): SE PERMITEN FALTANTES: DEFINICION DE VARIABLES: CEP = Q = Cantidad a ordenar. T = Periodo de tiempo entre pedidos. Cp = Costo de colocar una orden o pedido de materiales o articulos con nuestro poveedor ($/pedido) Ch = Costo unitario de mantenimiento del inventario ($ /unidad de tiempo, puede ser cualquier unidad de tiempo, pero todas las unidades deben ser consistentes) D = demanda anual (unidades /año) C = costo unitario de compra ($/unidad L= tiempo de entrega a partir del pedido (Lead Time) CT = Costo Total . ($/año) 18

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TEORIA DE INVENTARIOS I.-MODELO CLÁSICO CEP ( EOQ): NO SE PERMITEN FALTANTES PERFIL DE COMPORTAMIENTO DEL INVENTARIO  EN EL MODELO EOQ: CON FALTANTES

Nivel de Inventario

Orden total recibida Cantidad a  Im = Nivel Max Inv. ordenar = Q (máximo nivel  de inventario) d

Tasa de uso

d

Inventario  disponible  promedio: Q 2

R= Punto  de reorden

Inventario  mínimo 0

L

t0 T

t1

t2 T=( Im)/ d

t3

Tiempo 19

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TEORIA DE INVENTARIOS I.-MODELO CLÁSICO CEP ( EOQ): NO SE PERMITEN FALTANTES La unica variable de decisión en el modelo EOQ es precisamante Q , es decir la cantidad o tamaño del lote que minimice la suma de los costos de pedir y mantener el inventario (CT). A CT lo afecta Q , Cp , Ch , y D, pero aparte de Q todos los demas parametros son constantes, por lo tanto la variable independiente es Q. Objetivo: encontrar el valor de Q = Q* que minimice los costos CT Costo de Costo ($)/año = mantenimiento del inventario /año

Donde:

Costo de + pedir/año

+

Costo de comprar/ año

CT= Costo ($)/año

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TEORIA DE INVENTARIOS I.-MODELO CLÁSICO CEP ( EOQ): NO SE PERMITEN FALTANTES Ahora obtengamos las expresiones para cada uno de los costos de la ecuación generl de costo anual. Costo de mantenimiento del = inventario /año

Costo de pedir/año

Costo de comprar/año

=

=

Costo unitario de Inventario X mantenimiento por = promedio año

Costo de pedir

X

Numero de pedidos/ año

Costo unitario de X compra

demanda anual

=

=

Q Ch 2

D Cp ( ) Q

CD

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TEORIA DE INVENTARIOS I.-MODELO CLÁSICO CEP ( EOQ): NO SE PERMITEN FALTANTES Al sustituir en la ecuacion de costo total (CT), tenemos:

CT =

Q D C h + C p ( ) + CD 2 Q

Como CT solo depende de la variable Q , entonces para obtener el valor óptimo de Q solo basta derivar CT , que es funcion de Q , y obtener el valor de Q para el cual la derivada se hace cero, este valor es la Q óptima, que denominaremos como Q*.

dCT (Q) Ch C p D = − 2 =0 2 dQ Q Q* =

Despejanddo  Q  obtenemos el lote económico:

2C p D Ch

Se observa que el lote economico Q* no depende en absoluto del costo de compra C de los artículos. 22

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TEORIA DE INVENTARIOS

CT =

Q D C h + C p ( ) + CD 2 Q

Costo total  mínimo

Costo anual

Costo de  mantenimiento  del inventario

Costo de  preparar(ordenar) Costo de comprar

Cantidad óptima a  ordenar (Q*)

Cantidad a ordenar Q

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I.-MODELO CLÁSICO CEP ( EOQ): NO SE PERMITEN FALTANTES ANALISIS DE LAS CURVAS DE COSTO. En la figura donde se presenta los costos del modelo EOQ clasico se observan las curvas tipicas de un modelo de esta naturaleza. Cuando Q se incrementa el inventario crece y por consiguiente tambien crecen los costos de mantenimiento; sin embargo el número anual de pedidos disminuye y tambien disminuyen el costo de ordenar, en forma no lineal, descendiendo asintoticamente. Por lo que respecta al costo de compra del inventario , este solo lo desplaza hacia arriba, pero no ejerce ninguna influencia en la determinación del valor de Q*. El costo total anual (CT), es la suma de los cosros de mantenimiento, de pedir y de comprar aunque solo varia con los dos primeros. Dismimuye primero cuando Q empieza a crecer a partir de cero, alcanza un valor mínimo en Q * y despues empieza a aumentar.

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TEORIA DE INVENTARIOS I.-MODELO CLÁSICO CEP ( EOQ): NO SE PERMITEN FALTANTES C T ph

Ahora calculemos la formula del costo total optimo CT*. Antes hagamos el costo de unicamente pedir y mantener el inventario como y sustituyamos Q*:

Q* D CTph = Ch + Cp 2 Q* Esto, para no complicar el desarrollo algebraico, y al final solo sumaremos el costo CD , asi , elevamos al cuadrado:

Q* D 2 (CTph ) = (Ch + Cp ) 2 Q* 2

Y si expandimos realizando el binomio cuadrado tenemos:

Q* D 2 Ch 2 (Q*) 2 Q* D D2 2 (CTph ) = (Ch + Cp ) = + (2)(Ch )(C p ) + Cp 2 Q* 4 2 Q* (Q*) 2 2

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TEORIA DE INVENTARIOS I.-MODELO CLÁSICO CEP ( EOQ): NO SE PERMITEN FALTANTES Al sustituir el valor de Q*: Q* D (CT ) = (Ch + Cp )= 2 Q*

Ch 2 (

2C p D

2

Ch

2C p D

)2 + (2)(Ch

4

Ch 2

)(C p

D ) + Cp2 2C p D Ch

(

D2 2C p D Ch

)2

Y despues de manipulación algebraica queda como :

(CTph ) = 2

C p Ch D 2

+ C p Ch D +

C p Ch D 2

Y finalmente:

CTph = 2C p Ch D

y agregamos el costo CD:

CT * = 2C p Ch D + CD

No perder de vista que en esta ultima ecuación ya agregamos el costo de comprar CD 26

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TEORIA DE INVENTARIOS I.-MODELO CLÁSICO CEP ( EOQ): NO SE PERMITEN FALTANTES El nivel máximo de inventario Im = Q*. Mas adelante cuando veamos otro modelo veremos que esto no siempre sucede así, sino que es una caracteristica de este modelo específico. El número optimo de pedidos al año es = N*= D/Q* El tiempo entre pedidos o Ciclo de Pedido es = T*=1/N*= Q*/D El punto de reorden es = tasa de demanda diaria X tiempo entrega = R*= d L Pero la demanda diaria d =Demanda anual (D)/ num. dias habiles enel año: d= D/dh

Donde dh= dias habiles. Así: R* = ( D/dh ) L

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TEORIA DE INVENTARIOS II.-MODELO CEP (EOQ) CON FALTANTES En este modelo se siguen las mismas suposiciones que en el modelo EOQ clásico, solo que ahora si se permiten faltantes. I

Im

d

CEP=Q Q‐S

t2 S

t1

Q

T Perfil de inventario EOQ , permitiendo faltantes 28

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TEORIA DE INVENTARIOS II.-MODELO CEP (EOQ) CON FALTANTES Intuitivamente la noción es de que el costo de quedarse sin existencias puede ser suficientemente pequeño en comparación al coste de mantener el inventario, de tal forma que puede ser conveniente quedarse sin existencias. Se observa que el patrón de comportamiento de las existencias es un diente de sierra pero cae por debajo del nivel de inventario cero. Aqui el inventario negativo representa mercancías que están vendidas pero los pedidos se han pospuesto en vez de entregarse. Puesto que los pedidos pospuestos (faltantes) se cumplen despues de recibidos, el nivel máximo de inventario alcanza la cantidad Q como lo hace el modelo clásico CEP(EOQ). Mas bien la cantidad faltante S se cumple (entrega) inmediatamente que se recibe un pedido y el nivel de inventario regresa a un nivel Im = Q – S, el máximo nivel que el inventario puede alcanzar en este modelo. Puesto que el nivel maximo de inventario (Im) en este modelo es menor que en el caso donde no se permiten faltantes, los costos de mantener el inventario se reducen.

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TEORIA DE INVENTARIOS II.-MODELO CEP (EOQ) CON FALTANTES FORMULACIÓN DEL MODELO:

Cs = Costo de escasez por penalización por faltantes, es proporcional tanto al número de pedidos pospuestos como al tiempo: es el costo unitario anual del faltante ( es lo que cuesta que falte una unidad durante un año)

S = Número de faltantes por pedido (cantidad pospuesta) Imax = Nivel maximo de inventario (Q-S) t1 = Tiempo durante el cual hay inventario disponible t2 = Tiempo durante el cual hay faltantes T= Tiempo entre recepcion de pedidos (T = t1 + t2) CT= Costo de ordenar + Costo de mantenimiento + Costo de escasez En este caso no vamos a considerar el costo unitario de compra toda vez que ya vimos que no influye para obtener el valor de Q*

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TEORIA DE INVENTARIOS II.-MODELO CEP (EOQ) CON FALTANTES COSTO ANUAL DE ORDENAR: Costo de ordenar = Cp D/Q ; ($/pedido) (numero de pedidos/año) COSTO ANUAL DE MANTENIMIENTO: En un ciclo los costos de mantenimiento solo ocurren durante t1. Así el máximo nivel de inventario es Imax = Q – S , por lo que el inventario promedio durante t1 es:

I prom

I max ⎛ Q − S ⎞ = =⎜ ⎟ 2 2 ⎝ ⎠

Por lo tanto el costo de mantenimiento durante T, es decir, durante el ciclo entre reaprovisionamientos es :

Im ax ⎛Q−S ⎞ Ch t1 = Ch ⎜ ⎟ t1.........α 2 ⎝ 2 ⎠

Ahora bien, para determinar el costo anual de mantenimiento del inventario notemos que la tasa de utilización d es : Q−S

d=

t1

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TEORIA DE INVENTARIOS II.-MODELO CEP (EOQ) CON FALTANTES Tambien tenemos que por la propiedad de triángulos semejantes es:

d=

Q T

De tal forma que si igualamos las dos expresiones para d tenemos:

Q− S Q = t1 T

Desde donde obtenemos:

T (Q − S ) t1 = Q

Si sustituimo este valor de t1 en

Ch

α

tenemos:

I max T (Q − S ) (Q − S ) T (Q − S ) ( ) = Ch ( ) 2 2 Q Q 32

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TEORIA DE INVENTARIOS II.-MODELO CEP (EOQ) CON FALTANTES Así, el Costo de Mantenimiento por ciclo es:

( (Q − S ) T ) 2

Costo de Mant. por ciclo =

Ch

2Q

Puesto que hay N pedidos al año, el Costo Anual de Mantenimiento es:

Ch (Q − S ) 2 T Costo Anual de Mantenimiento =  ( )N 2Q Donde TN = 1 ; por lo tanto : Costo anual de Mantenim  =

Ch (Q − S )2 2Q 33

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TEORIA DE INVENTARIOS II.-MODELO CEP (EOQ) CON FALTANTES COSTO ANUAL DE ESCASEZ O DE FALTANTES : Se debe desarrollar una expresión para el número promedio de faltantes y para el costo de los faltantes. Puesto que S representa el máximo nivel de faltantes, el nivel promedio de faltantes durante el period o en el cual hay faltantes ( t2 ) será S / 2 . El costo de un faltante en el ciclo T es: Costo de un faltante en un ciclo

S = Cs t 2 − − − − − β 2 S

Para determinar el costo anual de faltantes, notemos que : Y que tambien: 

d=

Q T

por lo que igualando a d, tenemos:

S Q = t2 T

d=

de donde:

t2

S t2 = T Q 34

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TEORIA DE INVENTARIOS II.-MODELO CEP (EOQ) CON FALTANTES Ahora sustituimos la t2 de β y tenemos:

S2 T Costo de faltantes en un ciclo = Cs 2Q Por lo tanto el costo anual de faltantes es =

S2 NCs T 2Q

Y como: NT = 1, entonces el Costo Anual de Escasez o Faltantes es:

S2 Costo Anual de Escasez = Cs 2Q Entonces, la ecuacion general de costo anual es:

D Ch (Q − S ) 2 Cs S 2 CT = C p + + 2Q 2Q Q 35

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TEORIA DE INVENTARIOS II.-MODELO CEP (EOQ) CON FALTANTES En esta ecuación se observa que el CT es función de Q y de S, por lo que para obtener los valores que lo minimizan es necesario derivar parcialmente con respecto a Q y S, igualar las dos ecuaciones derivadas con cero, y resolver el sistema de ecuaciones que resulte. A partir de alli hacemos las sustituciones correctas para obtener CT*, Q* e Im* :

CT * = 2ChC p D

CS Ch + C S

2C p D Ch + CS Q* = Ch CS

CS 2CpD Im * = Ch Ch + C S 36

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TEORIA DE INVENTARIOS II.-MODELO CEP (EOQ) CON FALTANTES OBTENCIÓN DE  Q*, CT*, Im* : Ya que la función de costo CT(Q,S), podemos reescribirla para derivarla parcialmente con respecto a Q y con respecto a S, de una manera mas sencilla, asi:

CT = C p

D Q C + CS 2 + Ch + h S − Ch S Q 2 2Q

Ahora obtenemos las derivadas parciales en función de Q y S, y las igualamos a cero, lo  cual es equivalente a obtener el  gradiente de la función de inventario, con valor  cero  en  sus componentes (vector cero) lo cual sucede en los valores Q* y S*, es decir los puntos  extremos.

∇CT (Q, S ) = ∇(C p

D Q C + CS 2 S − Ch S ) = (0, 0) + Ch + h Q 2 2Q

∂ (CT (Q, S )) D Ch (Ch + CS ) S 2 = −C p 2 + − = 0 − − − − − − − θ1 2 Q 2 2Q ∂Q

∂ (CT (Q, S )) Ch + CS = S − Ch = 0 − − − − − − − −θ 2 ∂S Q 37

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TEORIA DE INVENTARIOS II.-MODELO CEP (EOQ) CON FALTANTES De la ecuación θ 2 se obtiene:

Ch S* = Q Ch + C S

θ1 :

Ahora, sustituyendo S* en

−C p

D Ch + − 2 Q 2

(Ch + CS )(Q 2Q

Ch )2 Ch + C S 2

=0

Haciendo operaciones algebraicas queda como: Ch 2 Q (Ch − ) = 2C p D Ch + C S 2

Y finalmente al despejar Q obtenemos:

Q* =

2C p D (Ch + CS ) Ch C S

2C p D Ch + CS = Ch CS 38

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TEORIA DE INVENTARIOS III.-MODELO:CANTIDAD ECONÓMICA A PRODUCIR 1.

Se usa cuando el inventario se acumula sobre un periodo de tiempo despues de colocada la orden

2.

Se usa cuando las unidades son producidas y vendidas simultaneamente

Nivel de inventario

Figure 12.6

Part e del ciclo de inventario durante el  cual la producción (y su uso) toma lugar Parte del ciclo de la demanda sin  producción (solo uso) Im= Invent.  máximo

t

Tiempo

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TEORIA DE INVENTARIOS III.-MODELO:CANTIDAD ECONÓMICA A PRODUCIR

Q =Numero de piezas por orden p = Tasa de producción diaria H =Costo de Mant. por unida por año d = Demanda diaria o tasa de uso t =Longitud de la corrida de producción en dias Costo Anual de   Mant. del invent.

= (Nivel de Invent. Promedio) x

Nivel de Invent.  Promedio Anual

= (Nivel Maximo de Inventario)/2

Nivel de  Inventario  Máximo

Total producido durante  =                                         – la corrida de producción

Im= pt – dt

Costo de Mant.  por und. por año

Total usado durante  la corrida de  producción

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TEORIA DE INVENTARIOS III.-MODELO:CANTIDAD ECONÓMICA A PRODUCIR

Q =Numero de piezas por orden p = Tasa de producción diaria H =Costo de Mant. por unida por año d = Demanda diaria o tasa de uso t =Longitud de la corrida de producción en dias Nivel de  Inventario  Máximo

Total producido durante  =                                         – la corrida de producción

Total usado durante  la corrida de  producción

Im= pt – dt Por lo tanto, Q = total producido = pt ; así:  t = Q/p Nivel de  Inventario  Máximo

= p

Q –d p

Q = Q 1 – p

d p

Q Maximum inventory level Costo de Mant.  =                                             (H) =         1 – 2 2 Costo de Mant = Costo de Mant. Anual

H

d p

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Ing. Edgar A. García Campos

TEORIA DE INVENTARIOS III.-MODELO:CANTIDAD ECONÓMICA A PRODUCIR

Q =Numero de piezas por orden p = Tasa de producción diaria H =Costo de Mant. por unida por año d = Demanda diaria o tasa de uso t =Longitud de la corrida de producción en dias

Costo de preparación = ( D / Q) S

Costo de Mantenimiento = 12 HQ[1 − (d p )]

(

)

D S = 21 HQ⎡⎣1− d p ⎤⎦ Q 2DS Q2 = H ⎡⎣1− d p ⎤⎦

(

Cantidad  económica a  =  producir

Q*p =

)

2DS

(

)

H ⎡⎣1− d p ⎤⎦

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TEORIA DE INVENTARIOS III.-MODELO:CANTIDAD ECONÓMICA A PRODUCIR Ejemplo: Se desea encontrar el lote económico a producir de tapones para rines de automovil D = 1,000 unidades p =8 unidades por día S = $10 d =4 unidades por día H = $0.50 por unidad por año

Q = * p

2 DS H [1 − (d p )]

2(1,000)(10) Q = 0.50[1 − (4 8)] * p

20,000 = = 80,000 0.50(1 2) = 282.8 tapones, or 283 tapones

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TEORIA DE INVENTARIOS III.-MODELO:CANTIDAD ECONÓMICA A PRODUCIR

Notar que: D d = 4 =                                                                       = Número de dias de operacion de la planta

1,000 250

Cuando se utilizan los datos anuales la ecuacion se convierte en:

Q*p =

2 DS ⎛ Tasa de demanda anual ⎞ ⎟⎟ H ⎜⎜1 − ⎝ Tasa de produccion anual ⎠

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TEORIA DE INVENTARIOS IV.-MODELO (EOQ) :CON DESCUENTOS POR CANTIDAD

▶ La reduccion de precios frecuentemente es posible cuando se compran grandes cantidades ▶ Hay un intercambio entre los beneficios de la reducción de precios y el incremento en los costos de mantenimiento TABLE 12.2

LISTA DE DESCUENTOS POR CANTIDAD 

Número de  Descuento 1 2

CANTIDAD PARA EL  DESCUENTO

DESCUENTO (%)

PRECIO DE  DESCUENTO (P)

0 to 999 1,000 to 1,999

sin descuento 4

$5.00 $4.80

3

2,000 and over

5

$4.75

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TEORIA DE INVENTARIOS IV.-MODELO (EOQ) :CON DESCUENTOS POR CANTIDAD

Costo Total Anual = Costo de preparar + Costo de mant. + Costo del Producto

TC = donde

D Q S+ H + PD Q 2

Q = Cantidad ordenada P = Precio por unidad D = Demanda anual en unidades H =Costo de Mantenimiento por unidad por año S= Costo de ordenar o preparar por orden    IP= Costo de Mantener (sustituye a H)

Para cada rango de descuento se calcula el valor de Q*, dado ahora como:  

Q* =

2DS IP

Debido a que el precio unitario varía, el Costo de Mantenimiento (H) es expresado como un  porcentaje (I)  del precio unitario (P) del  artículo.

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TEORIA DE INVENTARIOS IV.-MODELO (EOQ) :CON DESCUENTOS POR CANTIDAD

Pasos en el análisis del modelo. 1. Para cada rango de descuento, calcular Q* 2. Si Q* para un rango no califica, elija la cantidad mas  baja posible para recibir el descuento 3. Compute el costo total para cada Q* o el valor  ajustado desde el paso 2 4. Seleccione el  Q* que da el costo total mas bajo. 

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TEORIA DE INVENTARIOS Curva de  costo total  para  descuento 1

IV.-MODELO (EOQ) :CON DESCUENTOS POR CANTIDAD

Costo Total $

Curva de costo total para descuento 2

Curva de costo total para descuento 3

b a 1er.  quiebre  del precio

0

Q* para descuento 2 esta abajo del rango permisible en el punto (a) y se debe ajustar hacia arriba para 1,000 unidades en el punto (b) 2o. quiebre  del precio

1,000

2,000 Cantidad a ordenar

Figure 12.7

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TEORIA DE INVENTARIOS IV.-MODELO (EOQ) :CON DESCUENTOS POR CANTIDAD

Ejemplo Wohl’s Discount Store tiene en inventario carritos de carrera. Recientemente le ofrecieron un programa de descuentos por cantidad para estos carritos. Este programa de descuentos se presenta en la tabla 12.2. Asi, el costo normal de los carritos es de $ 5.00. Para órdenes de entre 1000 y 1999 unidades, el costo unitario baja a $ 4.80; para 2,000 unidades o mas el costo unitario es de $ 4.75. Además el costo de ordenar es de $ 49.00 por orden. La demanda anual es de 5,000 carritos de carreras, y el cargo por mantener el inventario como porcentaje del costo, I, es del 20%, o 0.2 ¿Que cantidad ordenada minimizará el costo total del invenario? Datos: D= 5,000 carritos al año S= Costo de Ordenar

I = 20 % porcentaje del costo P= precios unitarios por rango

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TEORIA DE INVENTARIOS IV.-MODELO (EOQ) :CON DESCUENTOS POR CANTIDAD

Ejemplo: Calculate Q* for every discount

2DS Q = IP *

2(5,000)(49) Q1* =                           = 700 cars/orden (.2)(5.00) 2(5,000)(49) Q2* =                           = 714 cars/orden (.2)(4.80) 2(5,000)(49) Q3* =                           = 718 cars/orden (.2)(4.75)

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TEORIA DE INVENTARIOS IV.-MODELO (EOQ) :CON DESCUENTOS POR CANTIDAD

2DS Q = IP *

Ejemplo

Calcular Q* para cada descuento

2(5,000)(49) Q1* =                           = 700 cars/order (.2)(5.00) 2(5,000)(49) Q2* =                           = 714 cars/order (.2)(4.80) 1,000 — adjusted 2(5,000)(49) Q3* =                           = 718 cars/order (.2)(4.75) 2,000 — adjusted

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TEORIA DE INVENTARIOS IV.-MODELO (EOQ) :CON DESCUENTOS POR CANTIDAD

Ejemplo TABLE 12.3

Calculo de costo total para “Wohl’s Discount Store “ CANTIDAD A ORDENAR

COSTO ANUAL DE MANTEN.

TOTAL

$350

$350

$25,700

$24,000

$245

$480

$24,725

$23.750

$122.50

$950

$24,822.50

COSTO ANUAL DEL PROD.

NUMERO DE DESCUENTO

PRECIO UNITARIO

1

$5.00

700

$25,000

2

$4.80

1,000

3

$4.75

2,000

COSTO ANUAL DE ORDENAR

Seleccione el precio y la cantidad que da el costo  total mas bajo.  Comprar 1,000 unidades  a $ 4.80 por  unidad.