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• Juan De Dios Lopez Bailon

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INTRODUCCIÓN.

FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA DE LOS MEDIOS CONTINUOS. UNIDAD 2: ESTADO DE ESFUERZOS. TEMA 2.1. FUERZAS DE SUPERFICIE Y DE CUERPO: Los tipos de fuerzas que se aceptan en el estudio de los medios continuos son de superficie y de cuerpo. a) Fuerzas de superficie: Aquéllas aplicadas en las fronteras del medio continuo por la acción de otros cuerpos que se encuentran en contacto con el medio. La fuerza resultante de todas las fuerzas de superficie, que actúan sobre un área A , de un medio continuo está dada por:

El subíndice k que aparece en la ecuación 1.1 se usa para expresar el mismo concepto en notación indicial, donde:

Adoptando un sistema de referencia cartesiano, la ecuación 1.1 queda como:

Teoría del estado de esfuerzo: Cuando un cuerpo deformable se somete a solicitaciones de cualquier tipo, éste se deforma hasta cierto límite. Esto se debe a que las fuerzas cohesivas han entrado en juego, tomando un valor tal que permiten equilibrar a las fuerzas externas aplicadas. Para describir las acciones entre todas las partículas de un medio continuo, imaginemos un sistema de fuerzas aplicado a un medio continuo, tal como se ilustra en la figura (1.1).

Al hacer un corte imaginario a través de un plano cualquiera, cuya normal está definida por el vector unitario se obtienen los cuerpos I y II, mostrados en la figura (1.2).

TEMA 2.2. TEOREMA DE CAUCHY:  Componentes normal y tangencial del vector esfuerzo.

 Determinación de las ecuaciones de Cauchy:

TEMA 2.3. TENSOR DE ESFUERZOS: En mecánica de medios continuos, el tensor tensión, también llamado tensor de tensiones o tensor de esfuerzos, es el tensor que da cuenta de la distribución de tensiones y esfuerzos internos en el medio continuo.

Tipos de tensor tensión.  Tensor tensión de Cauchy.

Representación gráfica de las componentes del tensor tensión en una base ortogonal.

El teorema de Cauchy sobre las tensiones de un cuerpo, establece que dada una distribución de tensiones internas sobre la geometría de un medio continuo deformado, que satisfaga las condiciones del principio de Cauchy existe un campo tensorial T simétrico definido sobre la geometría deformada con las siguientes propiedades:

La tercera propiedad significa que este tensor vendrá dado sobre las coordenadas especificadas por una matriz simétrica. Cabe señalar que en un problema mecánico a priori es difícil conocer el tensor tensión de Cauchy ya que este está definido sobre la geometría del cuerpo una vez deformado, y ésta no es conocida de antemano. Por tanto previamente es necesario encontrar la forma deformada para

conocer exactamente el tensor de Cauchy. Sin embargo, cuando las deformaciones son pequeñas, en ingeniería y aplicaciones prácticas se emplea este tensor aunque definido sobre las coordenadas del cuerpo sin deformar (lo cual no conduce a errores de cálculo excesivo si todas las deformaciones máximas son inferiores a 0,01). Fijado un sistema de referencia ortogonal, el tensor tensión de Cauchy viene dado por una matriz simétrica, cuyas componentes son:

La tercera forma es la forma común de llamar a las componentes del tensor tensión en ingeniería.  Primer tensor tensión de Piola-Kirchhoff. Los tensores de Piola-Kirchhoff TR se introducen para evitar la dificultad de tener que trabajar con un tensor definido sobre la geometría ya deformada (que normalmente no es conocida de antemano). La relación entre ambos tensores viene dada por:

Donde F es el tensor gradiente de deformación. Este tensor sin embargo, tiene el problema de que no es simétrico (ver segundo tensor tensión de Piola-Kirchhoff).



Segundo tensor tensión de Piola-Kirchhoff.

Este tensor se introduce para lograr un tensor definido sobre la geometría previa a la deformación y que además sea simétrico, a diferencia del primer tensor de Piola-Kirchhoff que no tiene por qué ser simétrico. El segundo tensor tensión de Piola-Kirchhoff viene dado por:

TEMA 2.4. ESFUERZOS Y DIRECCIONES PRINCIPALES:

Casos particulares de estados de esfuerzo:

TEMA 2.5. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL ESTADO TRIDIMENSIONAL Y PLANO DE ESFUERZO.

 El diagrama de Mohr para esfuerzos en 3D:

CONCLUSIÓN. Tomando como punto de partida que los estados de fuerzas están integradas por fuerzas longitudinales, angulares, isotrópicas y distorsiónales. Y cada una de ellas cuenta con propiedades características como son: las propiedades extensivas ( que son las propiedades cuyo valores depende de la cantidad de sustancias presente, por ejemplo la masa, el peso el volumen y la cantidad de calor por mencionar algunas), las propiedades intensivas o también llamadas de punto( que son las propiedades que su valor no depende de la cantidad de sustancia, como son el peso específico, la densidad, la presión, la temperatura, la densidad y peso específico). Otro característica muy particulares a la hora de evaluar loes estados de esfuerzos son; las dimensiones de estas propiedades. También lo que son las fuerzas y esfuerzos que actúan en un medio continuo se clasifican en fuerzas de cuerpo y fuerzas de superficie, Las fuerzas de cuerpo están distribuidas de manera continua en todo el medio. Para realizar una evaluación de los estados de esfuerzos se suelen utilizar varios teoremas entre ellos el teorema de Cauchy, en el cual se realizan evaluaciones por medio de análisis complejos, por integración, por análisis reales, por teoremas en grupo, mediante un resultado de la convergencia de la series de potencias, con ecuaciones en derivadas parciales, por el teorema de Picard-Lindelof (se evalúa un resultado sobre ecuaciones diferenciales ordinarias) básicamente son los medios de evaluación utilizados por el teorema de Cauchy. Sobre la tensión de esfuerzos únicamente tenemos la evaluación de las tenciones que actúan al realizar una tensión. En esta evaluación se analizan los esfuerzos de compresión, tensión y combinadas. Al realizar la evaluación de los esfuerzos se debe tomar en cuenta su dirección para de este modo obtener las componentes que conformen cada tensión