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UNIDAD 2: FASE 3 - APLICAR LOS CONOCIMIENTOS SOBRE LOS DIEDROS Y POLIEDROS

PRESENTADO POR:

ANDRES FELIPE GALLEGO EDER FERNANDO RUIZ KAREN MARGARITA PEREZ OMER MARIO MADERA JOSÉ JAVIER MORENO

GEOMETRIA DEL ESPACIO (LIC. EN MATEMATICAS) GRUPO: 551122_7

PRESENTADO A: PABLO ANDRES LOPEZ

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD CEAD VALLEDUPAR ABRIL -2020

INTRODUCCIÓN

El presente trabajo consiste, primero realizar un documento en Word sobre el tema diedros y poliedros, para luego resolver problemas mediante la aplicación de fórmulas matemáticas, para la comprensión y análisis de situaciones de la vida cotidiana y del mundo científico en la resolución de problemas para desarrollar dicha competencia, se trata de aplicar los conocimientos sobre ángulos diedros y ángulos poliedros, prismas, pirámides y poliedros regulares y volumen de poliedros regulares, la actividad se desarrolla de manera colaborativa, teniendo en cuenta aportes y sugerencias de los compañeros para consolidación del trabajo, contribuyendo con un aprendizaje autónomo y significativo.

Desarrollo del trabajo

Problema 1: Poliedros y cuerpos geométricos

¿Qué son los cuerpos geométricos? Un sólido o cuerpo geométrico es un elemento o figura geométrica que dispone de tres dimensiones (largo, ancho y alto), que ocupa un lugar en el espacio y en consecuencia tiene un volumen. [ CITATION Por12 \l 9226 ]  

POLIEDROS

SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN O CUERPOS REDODNDOS

Los poliedros son cuerpos geométricos cuyas caras son todas polígonos (figuras geométricas planas).  Por lo tanto tienen todas sus caras planas. Los elementos de un poliedro son caras, aristas y vértices. [ CITATION Por12 \l 9226 ] El significado de poli es mucho y de edro es car, por tanto poliedro significa muchas caras.

Caras: Son las superficies planas que forman el poliedro, las cuales se interceptan entre sí.

Los poliedros irregulares se clasifican básicamente en: Prismas y Pirámides Los prismas y pirámides son cuerpos geométricos cuyas caras son todas polígonas. Los prismas tienen dos caras paralelas e iguales, llamadas bases, el resto de sus caras son paralelogramos. Las pirámides tienen una base y el resto de las caras son triángulos.   El prisma Está constituido por dos bases poligonales e iguales y sus caras laterales son paralelogramos. Según el  número de lados de la base se le da el nombre al prisma. Un prisma es convexo o cóncavo si respectivamente sus bases son polígonos convexos o cóncavos.

Aristas: La línea que une dos caras se denomina arista. Por ejemplo en un cubo hay 12 aristas.

La altura del prisma es la distancia entre las bases. Si la altura coincide con las aristas laterales el prisma recto, en caso contrario es oblicuo.

Las caras laterales de los prismas rectos son rectángulos.   Vértices: Son los puntos donde se interceptan 3 o más aristas. 

Por ejemplo: Prismas triangular (sus bases son un triángulo), Prismas cuadrangulares (sus bases son cuadrados), Prisma pentagonal (sus bases son pentágonos), Prisma hexagonal (sus bases son hexágonos), etc. [ CITATION Por09 \l 9226 ]

Clases de poliedros: se distinguen dos clases de

 

 Los cuerpos geométricos pueden ser: Poliedros y la superficies de revolución (Cuerpos Redondos). Tenemos los siguientes ejemplos.

 

Problema 2: Poliedros y cuerpos geométricos

1. Calcular el área lateral de un prisma recto de base cuadrada, dado que el perímetro de la base y la altura miden: 24 cm y 18 cm. Solución Los datos que nos dan son : Perimetro de la Base ( P b )=24 cm Altura ( h )=18 cm Para Calcular el arealateral debemos conocer que esta es igual al perimetro de su base por la altura . Alateral=P b∗h Por lo tanto procedemos a remplazar y desarrollar las operaciones pertinentes Alateral =24 cm∗18 cm Alateral =432 cm2 Por lo tanto el Area Lateral es 432 cm2

2. Los lados de la base de un pilar hexagonal regular miden 40 cm y la altura 5 m; expresar en metros cuadrados el área de su respectiva superficie. Solución Los datos que nos dan son : Altura ( h )=5 m Lados de la base=40 cm

Realizamosla conversión Lados de la base=40

cm∗1 m 2 = =0.4 m 100 cm 5

Tenemos que la formula es . ATotal = A Lateral + 2 A Base Calculamos el area lateral inicialmente multiplicamos los lados por el numero de rectangulos ,al ser hexagonal son 6 , por lo tanto . A Lateral =6 lados∗0.4 m A Lateral =

12 m 5

Ahora ese resultado lomultiplicamos por la altuna A Lateral =

12 m∗5 m 5

A Lateral =12m

Tenemos que laformula para calcular elarea de la base es . A Base=

P∗a 2

P=Perimetro del poligono a= Apotema Calculamos el perimetro(P) P=6lados∗0.4 m P=

12 m=2.4 m 5

Calculamos el Apotema(a) Para calcular el apotema debemos utilizar pitagoras , la formula seria. h2 =l 2+l 2 Inicialmente nos dieron la distanciadesde el centro hasta una de las esquinas equivale a 0.4 m

Al serun poligono regular sabemos que la parte de abajo tambien medira 0.4 m Como sabemos el apotema es la linea que va desde el centro de la figura , hasta elcentro de un lado Por lo tantotenemos que . 0.4 m 1 = =0.2m 2 5 Remplazamos en laformula h2 =l 2+l 2 (0.4 m)2=a 2+(0.2 m)2 (0.4 m)2=a 2+(0.2 m)2 0.16 m=a2+ 0.04 m a 2=0.16 m−0.04 m a 2=

3 =0.12 25

a=√ 0.12 3 a= √ m 5 Procedemos a calcular el area de la base

2.4 A Base= A Base=

m∗√ 3 5 2

6 √3 m 25

Procedemos a calcular el area total ( A Total = A Lateral +2 A Base )

ATotal =12 m+2

6 √3 m 25

ATotal =12 m+2

6 √3 m 25

ATotal =12 m+

12 √ 3 m 25

ATotal =12 m+

12 √ 3 m 25

ATotal =

300+12 √3 25

ATotal =12.83

3. La diagonal de las caras de un cubo mide 6 cm; calcular la diagonal del cubo. Para encontrar la diagonal de un cubo debemos conocer la longitud de uno delos lados del cubo (arista), el cual lo podemos hallar mediante el teorema de Pitágoras pues sabemos la longitud de la diagonal de una cara del cubo.

h2 =a2 +b2 Cat a= x

62 =x2 + x 2

h=Diag . 6cm

62 =2 x 2 36 =x 2 2

Cat b= x

√ 18= √ x 2 x=4,24 cm Para hallar la diagonal del cubo aplicamos al triangulo rectángulo formado por un cateto que se una arista, el otro cateto es la diagonal de una cara y la hipotenusa que es la diagonal del cubo el teorema de Pitágoras

Cat a= arista 4,24 cm h = Diag. del cubo

Cat b= Diag. de la cara 6 cm

h2 =a2 +b2 h2 =( 4,24)2+(6)2 h2 =√(4,24 )2 +(6)2 h2 =√ 18+ 36

h2 =√ 54 3 √ 6 h=7,35 cm

Diagonal del cubo

4. La diagonal de un cubo mide 8 cm; calcular la diagonal de las caras.

Diag. De cara= d

Diag. Del Arista= a

Cubo= 8cm

 Con la diagonal del cubo podemos hallar el valor de la longitud de una de las aristas del cubo con la siguiente fórmula: D=a √3 8=a √ 3 8 =a √3 a=4,6 cm

Medida de una de las aristas del cubo

Conociendo el valor de la arista hallamos la diagonal de una de las caras del cubo con la fórmula:

d=a √2 d=4,6. √ 2 d=6,51cm

Diagonal de la cara del cubo.

5. La Gran Pirámide de Egipto tiene por base un cuadrado de 232 m de lado, y sus caras laterales son triángulos equiláteros; calcular su área lateral.

--------------232m------------------Solución Usamos el teorema de Pitágoras para hallar la altura de un triángulo que viene siendo la apotema de la pirámide: Identificamos los lados de la siguiente manera b=166

a. = altura del triángulo (apotema de la pirámide) = Termino desconocido h = hipotenusa del triángulo rectángulo= 232m b= base del triángulo rectángulo =

lado de la base cuadrangular 232m = = 166m 2 2

Teorema de Pitágoras h2 =a2 +b2 h2 −b2=a2 2

2

a=√ h2−b 2=√ ( 232 ) −( 166 ) = √53.824−27.556=√ 26.268 a=162,07 m Ya hallado el lado (a ¿, podemos hallar el área de una cara lateral de la pirámide. base de la cara lateral∗altura = 2 232m∗162,07 m 37.600,24 m 2 2 = =18.800,12m 2 2

Área de una cara lateral =

Como la pirámide tiene cuatro caras laterales multiplicamos el área de una cara lateral por cuatro. 18.800,12 * 4 = 75.200,48m 2

El área lateral de la pirámide es de 75.200,48m2 6. Hallar el área lateral y total de un tronco de pirámide regular de bases cuadradas sabiendo que los lados de las bases y las aristas laterales miden respectivamente 8, 4 y 9 cm.

A L=

PbM + Pbm ∗Ap 2

A L=

32+16 ∗9 2

A L =216 AT = AbM + A bm+

PbM + Pbm ∗Ap 2

AT =64 +16+216 AT =296 cm 7. En una pirámide regular de base hexagonal la altura tiene 10 cm y el lado de la base 4 cm; calcular la longitud de las aristas laterales.

h

b= 10

a= 4cm 4cm

Solución: Un hexágono regular contiene seis triángulos equiláteros por lo tanto el radio coincide con su arista básica en este caso el radio valdría 4cm.

Organicemos los datos Radio= 4cm = a (cateto) Altura de la pirámide = 10cm = b (cateto) ¿La longitud de la arista lateral = h =? (hipotenusa del triángulo)

Usamos el teorema de Pitágoras para hallar la longitud de las aristas laterales h2 =a2 +b2 h=√ a2 +b2 h=√ 4 2+10 2=√ 16+100= √116=10,77 cm h=10,77 cm La longitud de las aristas laterales mide cada un 10,77 cm

8. La base de una pirámide regular es un triángulo equilátero de 6 cm de lado; las aristas laterales miden 8 cm; calcular el área total

Solución Para hallar el área de la pirámide debemos aplicar la siguiente formula AT = Ab + A l.

8cm

8cm

6 cm

Como primera medida calcularemos el área de la base, que en este caso es el triángulo equilátero. Para hallar el área de la base aplicamos la formula Ab =

b∗h . Sabemos que la base es 6 cm, pero 2

desconocemos la altura. Así que aplicaremos el Teorema de Pitágoras, de esta manera obtendremos la altura de la base

6 cm h=? 3cm

62 =32 +h2 36=9+h 2 36−9=h2 27=h2

√ 27= √ h2 h=5,2 cm

De esta manera procedemos a calcular el área de la base: Ab =

b∗h 2

Ab =

6∗5.2 2

Ab =15,6 cm2 Ahora hallamos el área de una de las caras de la pirámide el cual conocemos su base, conocemos la longitud de sus aristas pero no conocemos su altura, la cual también es la apotema de la pirámide (Ap.)

8cm h=?

3cm

82 =32+ h2 64=9+ h2 64−9=h2 55=h2

√ 55= √ h2 h=7,42 cm Ahora hallamos el área lateral pues ya conocemos el valor de la base y el valor de su altura Al =

B∗h 2

Al =

6 cm∗7,42 cm 2

Al =

44,52 2

Al =22,3 cm2

Como son tres caras de la pirámide multiplicamos el área lateral por tres Al =3∗(22,3 cm2) Al =67 cm2 Ahora hallamos el área total de la pirámide: AT = Ab + A l AT =15,6+67 AT =82,6 cm2 ≅

CONCLUSIONES

La resolución de problemas con los diedros y poliedros, haciendo uso de fórmulas matemáticas nos permite comprender y analizar situaciones de la vida cotidiana y del mundo científico, de la misma manera desarrollar competencias de análisis y comprensión de situaciones en donde se involucra la geometría del espacio. La realización de este taller nos permite la apropiación de conocimientos sobre los diedros y poliedros, comprender y utilizar las diferentes fórmulas para hallar el área de algunos cuerpos geométricos Desarrollar la competencia para trabajar colaborativamente es relevante, ya que cada aporte y ayuda mutua permiten el desarrollo de un buen trabajo, contribuye con un buen aprendizaje, interacción y comunicación.

BIBLIOGRAFÍA

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Rojas, C. (2015). Introducción a la geometría. Editorial Universidad del Norte. Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action? docID=11125852&p00=geometria

Educativo, P. (03 de 01 de 2009). Portal Educativo. Obtenido de https://www.portaleducativo.net/septimo-basico/284/Poliedros-irregulares-prismas-y-piramides

Educativo, P. (06 de 04 de 2012). Portal Educativo conectando Neuronas. Obtenido de Portal Educativo conectando Neuronas: https://www.portaleducativo.net/sexto-basico/410/Cuerposgeometricos

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