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• Fernanda Castañeda

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Soluciones implícitas. Una relación 𝒈(𝒙, 𝒚) es una solución implícita de una ecuación diferencial en el intervalo 𝑰, si define una o más soluciones explícitas en 𝑰. 1) Demuestre que: 𝒚𝟐 +𝒙 − 𝟑 = 𝟎 es una solución implícita de: 𝒅𝒚 𝟏 = − 𝒆𝒏 (−∞ , 𝟑 𝒅𝒙 𝟐𝒚 𝒅𝒆:

𝒚𝟐 + 𝒙 − 𝟑 = 𝟎

despejar 𝒚: ⇒ 𝒚 = ± 𝟑 − 𝒙

Luego, encontrar la derivada de: 𝒚𝟐 +𝒙 − 𝟑 = 𝟎

despejar

𝒅𝒚 ∶ 𝒅𝒙

⇒ 𝟐𝒚

𝒅𝒚 = −𝟏 𝒅𝒙

⇒

𝟏 𝟏 =− 𝟐𝒚 𝟐𝒚

−

⇒

⇒ 𝟐𝒚

dominio: (−∞ , 𝟑 𝒅𝒚 +𝟏=𝟎 𝒅𝒙

𝒅𝒚 𝟏 =− 𝒅𝒙 𝟐𝒚 𝒚 ≠ 𝟎 𝒆𝒏 (−∞ , 𝟑

clqqd

UMG – Facultad de Ingeniería, Matemática y Ciencias Físicas – Ing. Octavio Roberto Puac Álvarez

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2) Demuestre que: −𝟐𝒙𝟐 𝒚 + 𝒚𝟐 = 𝟏 es una solución implícita de: 𝟐𝒙𝒚 𝒅𝒙 + 𝒙𝟐 − 𝒚 𝒅𝒚 = 𝟎 Encuentre al menos una solución explícita 𝒚 = 𝝓(𝒙). Dé un intervalo 𝑰 de definición en cada solución.

Derivando la expresión: −𝟐𝒙𝟐 𝒚 + 𝒚𝟐 = 𝟏 ⇒ −𝟐𝒙𝟐 ⇒

⇒

𝒅𝒚 𝒅𝒚 + 𝒚 −𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 =𝟎 𝒅𝒙 𝒅𝒙

−𝟐𝒙𝟐

−𝟐𝒙𝟐

𝒅𝒚 𝒅𝒚 − 𝟒𝒙𝒚 + 𝟐𝒚 =𝟎 𝒅𝒙 𝒅𝒙

Si se multiplica toda la expresión por

𝒅𝒙 𝟐

∶

2 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒙 − 𝟒𝒙𝒚 + 𝟐𝒚 =𝟎 𝒅𝒙 𝟐 𝟐 𝒅𝒙 𝟐

⇒ −𝒙𝟐 𝒅𝒚 − 𝟐𝒙𝒚 𝒅𝒙 + 𝒚 𝒅𝒚 = 𝟎 multiplicando por −𝟏 y ordenando: ⇒ 𝟐𝒙𝒚 𝒅𝒙 + 𝒙𝟐 𝒅𝒚 − 𝒚 𝒅𝒚 = 𝟎 ⇒ 𝟐𝒙𝒚 𝒅𝒙 + 𝒙𝟐 − 𝒚 𝒅𝒚 = 𝟎 clqqd UMG – Facultad de Ingeniería, Matemática y Ciencias Físicas – Ing. Octavio Roberto Puac Álvarez

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Luego las soluciones explícitas son: 𝒅𝒆: −𝟐𝒙𝟐 𝒚 + 𝒚𝟐 = 𝟏 ⇒ 𝒚𝟐 − 𝟐𝒙𝟐 𝒚 − 𝟏 = 𝟎 𝟐𝒙𝟐 ± 𝟒𝒙𝟒 − 𝟒(𝟏)(−𝟏) ⇒𝒚= 𝟐(𝟏)

Resolver esta ecuación cuadrática, tomando 𝒙𝟐 como constante.

𝟐𝒙𝟐 ± 𝟒𝒙𝟒 + 𝟒 ⇒ 𝒚= 𝟐

𝟐𝒙𝟐 ± 𝟒 𝒙𝟒 + 𝟏) 𝟐𝒙𝟐 ± 𝟒(𝒙𝟒 +𝟏) ⇒ 𝒚= ⇒ 𝒚= 𝟐 𝟐 𝟐𝒙𝟐 ± 𝟒 𝒙𝟒 + 𝟏) 𝟐𝒙𝟐 ± 𝟐 𝒙𝟒 + 𝟏) ⇒ 𝒚= ⇒ 𝒚= 𝟐 𝟐 𝟐(𝒙𝟐 ± 𝒙𝟒 + 𝟏) ) ⇒ 𝒚= 𝟐

⇒ 𝒚 = 𝒙𝟐 ± 𝒙𝟒 + 𝟏

⇒ 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒆𝒙𝒑𝒍í𝒄𝒊𝒕𝒂𝒔: 𝒚𝟏 = 𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟒 + 𝟏 𝒚𝟐 = 𝒙 𝟐 − 𝒙 𝟒 + 𝟏

−∞ , ∞

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3) Demuestre que: 𝒙𝟐 +𝒚𝟐 = 𝟒 es una solución implícita de:

𝒅𝒚 𝒙 =− 𝒅𝒙 𝒚

Encuentre al menos una solución explícita 𝒚 = 𝝓(𝒙). Dé un intervalo 𝑰 de definición en cada solución. 𝒅𝒚 Derivando la expresión: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟒 ⇒ 𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 =𝟎 𝒅𝒙 despejar 𝒅𝒚 : 𝒅𝒙

⇒ 𝟐𝒚

𝒅𝒚 𝒅𝒚 𝟐𝒙 𝒅𝒚 𝒙 = −𝟐𝒙 ⇒ =− ⇒ =− 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝟐𝒚 𝒅𝒙 𝒚

Soluciones explícitas: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟒 ⇒ 𝒚𝟐 = 𝟒 − 𝒙𝟐 ⇒ 𝒚𝟏 =

clqqd

⇒ 𝒚 = ± 𝟒 − 𝒙𝟐 ⇒ 𝒚𝟐 = − 𝟒 − 𝒙 𝟐

𝟒 − 𝒙𝟐

intervalo: −𝟐 , 𝟐

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1.2 Problemas con valores iniciales de primero y segundo orden (p.13) 1)

𝟏 𝒚= (𝟏 + 𝑪𝟏 𝒆−𝒙 )

es una familia uniparamétrica de soluciones de la ecuación diferencial de primer orden 𝒚′ = 𝒚 − 𝒚𝟐 .

Encuentre una solución del problema con valor inicial de primer orden que consiste en esta ecuación diferencial y la solución 𝒚 −𝟏 = 𝟐

Solución:

⇒ 𝑪𝟏 𝒆 =

𝟏 𝟐= (𝟏 + 𝑪𝟏 𝒆−

−𝟏

)

𝟏

⇒ 𝟐 𝟏 + 𝑪𝟏 𝒆

𝟏 𝟏 − 𝟏 ⇒ 𝑪𝟏 𝒆 = − 𝟐 𝟐

⇒

𝑪𝟏 = −

𝟏 = 𝟏 ⇒ 𝟏 + 𝑪𝟏 𝒆 = 𝟐 𝟏 −𝟏 (𝒆 ) 𝟐

𝟏

Luego la solución es:

𝒚=

𝟏 ⇒ 𝒚= 𝟐 − 𝒆−𝟏−𝒙 𝟐

⇒ 𝒚=𝟏

𝟏 𝟏 − 𝟐 𝒆−𝟏 𝒆−𝒙

𝟐 𝟐 − 𝒆−(𝒙+𝟏)

⇒

𝟐 𝒚= 𝟐 − 𝒆−(𝒙+𝟏)

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2)

𝒚=

𝟏 𝒙𝟐 + 𝑪

es una familia uniparamétrica de soluciones de la ecuación diferencial de primer orden 𝒚′ + 𝟐𝒙𝒚𝟐 = 𝟎.

Encuentre una solución del problema con valor inicial de primer orden que 𝟏 consiste en esta ecuación diferencial y la solución 𝒚 −𝟐 = 𝟐

𝟏 𝟏 Solución: = 𝟐 (−𝟐)𝟐 +𝑪

⇒

𝟏 𝟏 = 𝟐 𝟒+𝑪

𝟏 ⇒ 𝟒+𝑪 =𝟏 𝟐

⇒ 𝟒 + 𝑪 = 𝟏(𝟐) ⇒ 𝑪 = 𝟐 − 𝟒 ⇒ 𝑪 = −𝟐

Luego la solución es: 𝒚=

𝟏 𝒙𝟐 − 𝟐

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3)

𝟏 𝒚= 𝟐 𝒙 +𝑪

es una familia uniparamétrica de soluciones de la ecuación diferencial de primer orden 𝒚′ + 𝟐𝒙𝒚𝟐 = 𝟎.

Encuentre una solución del problema con valor inicial de primer orden que consiste en esta ecuación diferencial y la solución 𝒚

Solución: −𝟒 =

𝟏 𝟏 𝟐

𝟐

⇒

+𝑪

−𝟒 =

𝟏 𝟏 𝟒+𝑪

𝟏 𝟐

⇒ −𝟒

𝟐 ⇒ −𝟏 − 𝟒𝑪 = 𝟏 ⇒ −𝟒𝑪 = 𝟏 + 𝟏 ⇒ 𝑪 = − 𝟒

= −𝟒

𝟏 +𝑪 =𝟏 𝟒

𝟏 ⇒ 𝑪=− 𝟐

Luego la solución es: 𝒚=

𝟏 𝟏 𝒙𝟐 − 𝟐

𝟏 ⇒ 𝒚= 𝟐𝒙𝟐 − 𝟏 𝟐

𝟐 ⇒𝒚=𝟏 𝟐𝒙𝟐 − 𝟏

⇒ 𝒚=

𝟐 𝟐𝒙𝟐 − 𝟏

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4)

𝒙 = 𝑪𝟏 𝑪𝒐𝒔 𝒕 + 𝑪𝟐 𝑺𝒆𝒏 𝒕

es una familia de soluciones de dos parámetros de la ecuación diferencial de segundo orden 𝒙′′ + 𝒙 = 𝟎. Determine la solución, dadas las condiciones: 𝒙 Solución: 𝒙 = 𝑪𝟏 𝑪𝒐𝒔 𝒕 + 𝑪𝟐 𝑺𝒆𝒏 𝒕 𝝅 + 𝑪𝟐 𝑺𝒆𝒏 𝟐 𝝅 𝑪𝟏 𝑺𝒆𝒏 + 𝑪𝟐 𝑪𝒐𝒔 𝟐

𝑪𝟏 𝑪𝒐𝒔

𝝅 =𝟎 𝟐 𝝅 =𝟏 𝟐

⇒ 𝑪𝟏 𝟎 + 𝑪𝟐 𝟏 = 𝟎 ⇒ 𝑪𝟐 = 𝟎

𝝅 𝟐

= 𝟎 ; 𝒙′

𝝅 𝟐

=𝟏

⇒ 𝒙′ = −𝑪𝟏 𝑺𝒆𝒏 𝒕 + 𝑪𝟐 𝑪𝒐𝒔 𝒕

como: 𝑪𝒐𝒔

𝝅 𝟐

= 𝟎 𝒚 𝑺𝒆𝒏

𝝅 𝟐

=𝟏

& − 𝑪𝟏 𝟏 + 𝑪𝟐 𝟎 = 𝟏 ⇒ 𝑪𝟏 = −𝟏

Sustituyendo en: 𝒙 = 𝑪𝟏 𝑪𝒐𝒔 𝒕 + 𝑪𝟐 𝑺𝒆𝒏 𝒕 La solución es: 𝒙 = (−𝟏)𝑪𝒐𝒔 𝒕 + (𝟎)𝑺𝒆𝒏 𝒕

⇒

𝒙 = −𝑪𝒐𝒔 𝒕

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5)

𝒙 = 𝑪𝟏 𝑪𝒐𝒔 𝒕 + 𝑪𝟐 𝑺𝒆𝒏 𝒕

es una familia de soluciones de dos parámetros de la ecuación diferencial de segundo orden 𝒙′′ + 𝒙 = 𝟎. Determine la solución, dadas las condiciones: 𝒙 Solución: 𝒙 = 𝑪𝟏 𝑪𝒐𝒔 𝒕 + 𝑪𝟐 𝑺𝒆𝒏 𝒕 𝝅 + 𝑪𝟐 𝑺𝒆𝒏 𝟒 𝝅 −𝑪𝟏 𝑺𝒆𝒏 + 𝑪𝟐 𝑪𝒐𝒔 𝟒 𝑪𝟏 𝑪𝒐𝒔

⇒

𝝅 = 𝟐 𝟒 𝝅 =𝟐 𝟐 𝟒

𝟐 𝟐 𝑪𝟏 + 𝑪 = 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐

𝟐 𝟐 ⇒ − 𝑪 + 𝑪 =𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐

1

2

𝝅 𝟒

= 𝟐 ; 𝒙′

𝝅 𝟒

=𝟐 𝟐

⇒ 𝒙′ = −𝑪𝟏 𝑺𝒆𝒏 𝒕 + 𝑪𝟐 𝑪𝒐𝒔 𝒕 𝑺𝒆𝒏

𝝅 𝟐 = 𝟒 𝟐

1

⇒ 𝟐

𝒚 𝑪𝒐𝒔

+

𝝅 𝟐 = 𝟒 𝟐

2

𝟐 𝑪𝟐 = 𝟑 𝟐 𝟐

⇒ 𝑪𝟐 =

𝟑 𝟐 𝟐

⇒ 𝑪𝟐 = 𝟑

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Sustituyendo en 1 ⇒

𝟐 𝟑 𝟐 𝑪𝟏 + = 𝟐 𝟐

𝟐

⇒

𝟐 𝟑 𝟐 𝑪 = 𝟐 − 𝟐 𝟏 𝟐

𝟐 𝟐 𝟐 − 𝟑 𝟑 ⇒ 𝟐𝑪 = − 𝟐 𝟏 ⇒ 𝑪𝟏 = 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 ⇒ 𝑪𝟏 =

− 𝟐 𝟐

𝟐 𝟐

⇒ 𝑪𝟏 = −𝟏

Sustituyendo en: 𝒙 = 𝑪𝟏 𝑪𝒐𝒔 𝒕 + 𝑪𝟐 𝑺𝒆𝒏 𝒕 𝒙 = (−𝟏)𝑪𝒐𝒔 𝒕 + 𝟑𝑺𝒆𝒏 𝒕

La solución es: ⇒

𝒙 = −𝑪𝒐𝒔 𝒕 + 𝟑 𝑺𝒆𝒏 𝒕

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6)

𝒚 = 𝑪𝟏 𝒆𝒙 + 𝑪𝟐 𝒆−𝒙

es una familia de soluciones de dos parámetros de la ecuación diferencial de segundo orden 𝒚′′ − 𝒚 = 𝟎. Determine la solución, dadas las condiciones: 𝒚 𝟏 = 𝟎 ; 𝒚′(𝟏) = 𝒆 Solución:

𝒚 = 𝑪𝟏 𝒆𝒙 + 𝑪𝟐 𝒆−𝒙

⇒

Sustituyendo 𝑪𝟏 en

Luego se forma el sistema: 1 2

𝑪𝟏 𝒆𝟏 + 𝑪𝟐 𝒆−𝟏 = 𝟎 𝑪𝟏

𝒆𝟏

− 𝑪𝟐

𝒆−𝟏

=𝒆

+

𝒆 𝟏 𝟐𝑪𝟏 𝒆 = 𝒆 ⇒ 𝑪𝟏 = ⇒ 𝑪𝟏 = 𝟐𝒆 𝟐

Luego la solución es:

𝒚′ = 𝑪𝟏 𝒆𝒙 − 𝑪𝟐 𝒆−𝒙 1

𝒆 𝟏 −𝟏 −𝟏 ⇒ 𝒆 + 𝑪𝟐 𝒆 = 𝟎 ⇒ 𝑪𝟐 𝒆 = − 𝟐 𝟐 𝒆 𝟏 𝟐 ⇒ 𝑪𝟐 = − ⇒ 𝑪 = − 𝒆 𝟐 𝟐𝒆−𝟏 𝟐

𝟏 𝒙 𝟏 𝟐 −𝒙 𝒚= 𝒆 − 𝒆 𝒆 𝟐 𝟐

⇒

𝒚=

𝟏 𝒙 𝟏 𝟐−𝒙 𝒆 − 𝒆 𝟐 𝟐

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7)

𝒚 = 𝑪𝟏 𝒆𝒙 + 𝑪𝟐 𝒆−𝒙

es una familia de soluciones de dos parámetros de la ecuación diferencial de segundo orden 𝒚′′ − 𝒚 = 𝟎. Determine la solución, dadas las condiciones: 𝒚 𝟎 = 𝟎 ; 𝒚′(𝟎) = 𝟎 Solución:

𝒚 = 𝑪𝟏 𝒆𝒙 + 𝑪𝟐 𝒆−𝒙

⇒

Luego se forma el sistema: 1 2

𝒚′ = 𝑪𝟏 𝒆𝒙 − 𝑪𝟐 𝒆−𝒙

Sustituyendo 𝑪𝟏 en

1

𝑪𝟏 𝒆𝟎 + 𝑪𝟐 𝒆𝟎 = 𝟎 𝑪𝟏

𝒆𝟎

− 𝑪𝟐

𝒆𝟎

=𝟎

+

𝟎 + 𝑪𝟐 𝒆𝟎 = 𝟎

⇒ 𝑪𝟐 = 𝟎

𝟐𝑪𝟏 = 𝟎 ⇒ 𝑪𝟏 = 𝟎 Luego la solución es: 𝒚 = 𝟎 𝒆𝒙 + (𝟎) 𝒆−𝒙

⇒

𝒚=𝟎

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