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• Meissel Karime Tovar Hernandez

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Teoría de números (Lic. matemática)

Grupo 551108_2

Actividad Colaborativa Unidad 1: Paso 2 - Actividad colaborativa Unidad 1

Presentado por: Antonio José Barrios, cód.: Javier David Ortega Vergara, cód.: Vanessa Oemis Velásquez Mercado, cód.: 1.102.844.008 Samir Alberto Guevara, cód.: Mario Gabriel Herazo, Cód.: 1100626954

Docente JUAN CARLOS BENAVIDES

Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD CEAD corozal Licenciatura en matemáticas

INTRODUCCION La presente actividad dentro de la estructura general de curso, aborda el estudio de los objetos y procesos matemáticos relacionados Sistemas de Numeración. Inducción matemática, con definiciones recursivas: suma, multiplicación y algoritmo de la división con números primos, sistema de numeración, MCD y Teorema fundamental de la aritmética.

Para lograr tales propósitos, se diseñó la actividad en torno a la aplicación de los conceptos anteriores, requeridos para la realización de una serie de ejercicios contextualizados, los cuales tienen como temas fundamentales: Inducción matemática, definiciones recursivas: suma, multiplicación y algoritmo de la división, números primos, sistema de numeración, MCD y Teorema fundamental de la aritmética y sus aplicaciones, los cuales llevan un lineamiento para la solución de estas, como lo es el uso adecuado de las propiedades y métodos de eliminación.

La consecución del objetivo grupal ha sido fiel evidencia y a la vez determinante para constatar la importancia del aprendizaje de los conceptos del sistema numérico, con la anotación que estas últimas son muy variadas al momento de desarrollarlas, y la socialización del trabajo colaborativo

Estos conocimientos son vitales en la cotidianidad matemática, y es necesario que los estudiantes y futuros docentes aprendamos a organizarla, clasificarla y adaptarla, toda vez que podamos motivar su aprendizaje haciendo fácil su comprensión a los estudiantes,

por medio de

actividades que contribuyen a prepararlo para la vida y a desarrollar su pensamiento, en este caso para realizar un trabajo con unos resultados positivos o significativos, fundamentales en el ejercicio matemático y sus infinitas aplicaciones..

OBJETIVO GENERAL: Al finalizar, el alumno, conocerá estructura general de curso, aborda el estudio de las características y principales procesos matemáticos relacionados Sistemas de Numeración. Inducción matemática, con definiciones recursivas: suma, multiplicación y algoritmo de la división con números primos, sistema de numeración, MCD y Teorema fundamental de la aritmética. Y sobre todo tendrá una visión general e integral que le permitirá comprender el complejo problema de las adicciones OBJETIVOS ESPEFICICOS: 

Identificar los problemas relacionados con el sistema numérico



Reconocer e identificar la deficiones recursiva como la suma, multiplicación



Formular problemas de logaritmo y sistema de numeración MCD



Combina teoremas de aritmética.

PREGUNTAS INICIALES 1. ¿Cómo se relacionan el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo? El mínimo común múltiplo (M.C.M) y el máximo común divisor (M.C.D) son dos operaciones y procesos matemáticos muy utilizados en la simplificación o búsqueda de un múltiplo o divisor común de un grupo de números o una situación determinada. Ambos procesos tienen como base la descomposición de números en sus factores primos, sin embargo difieren en que uno el M.C.M toma como base el múltiplo o en su defecto en el proceso los factores primos comunes y no comunes con mayor exponente, estos se multiplican y se encuentra en M.C.M; mientras que el M.C.D, toma el menor de los divisores que contengan la situación, en caso de realización del proceso se toman los factores primos comunes con su menor exponente y se multiplican ofreciendo como resultado el M.C.D. Existe una relación entre estos dos procesos y es que el producto de M.C.M multiplicado por el M.C.D de una cantidad de números iguales es igual al producto de dichos números. Como se muestra: M.C.D (A, B)×M.C.M (A, B)=A×B. 2. ¿Qué características tiene el método de demostración inducción matemática y cuáles son los pasos básicos para su desarrollo? El método de demostración de inducción matemática permite demostrar proposiciones a partir de razonamientos basados en una variable n que toma valores de números enteros. Algunas características de esta son: 

Permite demostrar propiedades, formulas, validarlas y probar que son verdaderas.



Se basa en pasos básicos de demostración los cuales son: Comprobación, Hipótesis de Inducción, Tesis y Demostración.

A continuación evidenciamos como se desarrollan y se llevan a cabo los pasos en la inducción matemática: El primero es de Comprobación, consiste en comprobar si n y la proposición es verdadera

.

Segundo paso es de Hipótesis de Inducción, en el que se asumen que la Tesis que predice que

.

y esto nos lleva a

Por último se da el proceso de demostración que si se cumple para

, entonces también

tiene la misma validez. 3. ¿En qué campos de la ciencia se utiliza el sistema binario, decimal y

hexadecimal?

Dé ejemplos reales de su utilidad. El sistema binario, decimal y hexadecimal son sistemas numéricos que integran un conjunto de símbolos y reglas para representar datos, por lo que son muy importantes en muchos campos científicos y de estudio no solo es de utilidad y estudio para las matemáticas, sino también otras carreras y ciencias importantes a nivel humano. La utilización real se ve en muchos casos y situaciones, por ejemplo un docente con énfasis o licenciado en matemáticas enseña y utiliza en muchos momentos estos sistemas de numeración para desarrollar sus clases o enseñar algunas temáticas específicas. En el campo de las ingenierías sobre todo en la de sistemas y electrónica, los datos de programación y de numeración que utilizan para cualquier evento o proceso que desarrollen por lo general se maneja en códigos números binarios o decimales, en búsqueda de comodidad y facilidad para estos procesos. En la computación y las TIC son muy utilizadas en la programación y fabricación de software por eso es muy necesario manejar este tipo de conocimientos.

Resolución de los ejercicios

1. Demostrar utilizando inducción matemática. A.

Comprobamos cuando

.

Luego entonces se cumple para

, cuando

.

Por lo tanto se cumple. Ahora veamos que se cumpla para

Luego se cumple para

, entonces

b) Probamos para 1.

Suponemos que es válido para